О почти периодических на бесконечности распределениях из гармоничных пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.9

MSC2010: 46F05, 46B25

О ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ ИЗ ГАРМОНИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ1

© В. Е. Струков

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И МЕХАНИКИ

пл. Университетская, 1, Воронеж, 394005, Российская Федерация e-mail: sv.post.of.chaos@gmail.com

On Almost Periodic at Infinity Distributions from Harmonic Spaces.

Strukov V. E.

Abstract. The article under consideration is devoted to some problems of harmonic analysis of almost periodic at infinity functions from homogeneous spaces and distributions from harmonic spaces. We introduce the definition of an abstract homogeneous space F(R, X) of functions defined on real axis R and with values in a complex Banach space X. The homogeneous function spaces under investigation are contained in Stepanov space SX(R, X), convolutions with complex-valued functions from Banach algebra LX(R) and shifts do not take out any function from the corresponding homogeneous space. Thanks to the convolution with functions from L1 (R) any homogeneous function space can be endowed with Banach module structure. We provide a number of examples of homogeneous function spaces including spaces Lp(R, X), p £ [1, ro], Stepanov spaces S1(R, X), p £ [1, ro), Wiener amalgam spaces (Lp(R, X), lq(R, X), p, q £ [1, ro), continuous function spaces C&(R,X), Cb,u(R,X) and Co(R,X), Hoelder spaces etc. Then we introduce the notions of the subspaces Fs/,^(R, X) and AP^F(R, X) of slowly varying and almost periodic at infinity functions from F(R, X). For functions from AP^F(R, X) we construct a notion of Fourier series, which is ambiguous, i.e., its coefficients can be chosen differently. We prove the Fourier coefficients to be slowly varying at infinity.

However, Borel measures on R with bounded variation and values in a Banach space X do not satisfy the definition of a homogeneous function space and force us to introduce an applicable extension. We consider the space S'(R, X) of distributions of slow growth. On the space S'(R, X) we define a group of shift operators and convolution with a function from a Banach algebra L1 (R). For a homogeneous space F(R, X) (denoted also as F(0)(R, X)) we introduce a countable set of spaces F(n)(R, X) = {fn * x | x £ F(R, X)}, n £ N, with the norm ||fn * x||f(n) = If * x||f + ||x||f, where fn £ L1(R), fn = tne-i/n! for t > 0 and f (t) = 0 for t < 0. By the symbol F-n(R, X) for any n £ N we denote a harmonic distribution space defined as linear subspace of S'(R, X) of distributions Ф £ S'(R, X) such that there is

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-3100097

a function p from corresponding homogeneous space F(R, X) defined by $ = (D + I)np and ||$|| = ||p^. It should be noted that p = fn * Further we consider all function and distribution spaces F(n)(R, X) with n £ Z as harmonic distribution spaces and prove that every such space is isometrically isomorphic to the corresponding homogeneous space F(R, X). Every harmonic space F(n)(R, X) with n £ Z is proved to be a Banach Lx(R)-module with shift operators group and a structure endowed by a convolution with a function from L1(R).

On the basis of definitions of slowly varying and almost periodic at infinity functions from F(R, X) we design the concept of slowly varying and almost periodic at infinity distributions from harmonic spaces. By means of the methods of abstract harmonic analysis we study the properties of those distributions. For almost periodic at infinity distributions we construct Fourier series and study their properties. The results of the article are obtained with essential use of methods of isometric representations and Banach modules theories.

Keywords: slowly varying at infinity function, almost periodic at infinity function, homogeneous space, Banach space, distribution of slow growth, Fourier series

1. Однородные пространства функций

Пусть X — комплексное банахово пространство, Еп^Х — банахова алгебра линейных ограниченных операторов (эндоморфизмов), действующих в X.

Символом Ьг1ос(М, X) обозначим линейное пространство локально суммируемых (измеримых по Бохнеру) на К (классов эквивалентности) функций со значениями в банаховом пространстве X.

Через БР(К, X), где р € [1, то), будет обозначаться пространство Степанова, состоящее из функций х € Ь^ос(Ш, X), для которых конечна величина

/1 х1/.

ЦхЦ^р = Бир I / ||х(й + £)||Х^ ) , р € [1, то), принимаемая за норму. «ек Vо )

Определение 1. Банахово пространство Р(К, X) функций, определенных на К, со значениями в комплексном банаховом пространстве X, называется однородным, если выполнены следующие условия:

(a) пространство Р(К, X) содержится в пространстве Степанова Б 1(К, X), причем вложение Р(К, X) С Б 1(К, X) инъективно и непрерывно (инъективность означает инъективность оператора вложения);

(b) в Р(К, X) определена и ограничена группа изометрий Б(£), £ € К, операторов сдвигов функций

(Б(¿)х)(в) = х(в + £), в, £ € К, х € Р(К,X); (1)

(с) для любых функций / € Ь1(К), х € Р(К, X) их свертка

(/ * х)(£) = У /(т)х(£ - т)йг = У /(т)(Б(-т)х)(^т, £ € К, (2)

к к

принадлежит Р(К, X) и выполнено неравенство ||/ * х|| < С||/||1|х| для некоторой постоянной С > 1 (как правило, С =1);

(^ <х € Р (К, X) для любой х € Р(К, X) и любой бесконечно дифференцируемой функции < € СЬ(К) с компактным носителем Бирр<, причем ||<х|| < Ц^^ЦхЦ и отображение £ н <Б(£)х : К н Р(К, X) непрерывно.

Такое определение однородного пространства использовалось в [1,2]. Примерами однородных пространств являются:

1) пространства ^(К^) и Ьр = ^(К^), р € [1, то);

2) пространства Степанова БР(К, X), р € [1, то);

3) пространства амальгам Винера (ЬР(К, X),/9(К, X)), р, д € [1, то);

4) пространства С^К^), С^К^) и С0(К^);

5) пространства Гельдера Ск'а(К, X)

и другие (более подробно см. [1, 2]).

Банахово пространство М(К, X) векторных (со значениями в X) борелевских мер ограниченной вариации на К со сверткой мер в качестве умножения не является пространством функций, но его можно рассматривать как гармоничное пространство распределений (см. определение 7).

Далее символом Р (К, X) будем обозначать однородное пространство. Через Рс(К, X) обозначим замкнутое подпространство из Р (К, X) вида {х € Р(К^) : функция £ н Б(£)х : К н Р(К^) непрерывна}. Через Р0(К^) обозначим наименьшее замкнутое подпространство из Р (К, X), содержащее все функции <х, х € Р (К, X), где < € Сь (К, X) бесконечно дифференцируема и Бирр < — компакт.

Непосредственно из определения 1 следует, что все перечисленные однородные пространства Р(К, X) являются банаховыми Ь1 (К)-модулями, в которых действует группа Б сдвигов вида (1) и модульная структура определяется сверткой функций (2). Таким образом, появляется возможность использования основных понятий и результатов из спектральной теории банаховых модулей над алгеброй Ь1(К) (см. [2-5]). В частности, пространства Рс(К,X) совпадают с пространствами Б-непрерывных векторов (см. [2, 3]).

2. ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ФУНКЦИИ ИЗ

ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВ

В [2] были введены четыре эквивалентных определения почти периодической на бесконечности функции из однородного пространства ^(К, X). Приведем два из них.

Определение 2. Пусть е > 0. Число и € К называется е-периодом на бесконечности функции х € ^(К,X), если существует функция х0 € ^0(К,X) такая, что ||$(и)х — х — х01| < е.

Множество е-периодов на бесконечности функции х € ^ (К, X) обозначим тем же символом ^^(е,х).

Определение 3. Функция х € #"С(К, X) называется почти периодической на бесконечности, если для любого е > 0 множество ^^(е, х) ее е-периодов на бесконечности относительно плотно на К.

Для формулировки второго определения почти периодической на бесконечности функции нам потребуется определение медленно меняющейся на бесконечности функции из однородного пространства (см. [1, 2]).

Определение 4. Функция х € ^"С(К, X) называется медленно меняющейся на бесконечности, если Б(а)х — х € ^0(К, X) для любого а € К.

Множество медленно меняющихся на бесконечности функций из однородного пространства ^(К, X) обозначим символом ^/^(К, X). В работах [6-8] давалось определение медленно меняющейся на бесконечности функции из Сь,и(К, X) и изучались свойства таких функций.

Определение 5. Функция х € #"С(К, X) называется почти периодической на бесконечности, если для любого е > 0 можно указать числа Ах,..., Ап € К и медленно меняющиеся на бесконечности функции хх,...,хп € ^..¡¡^(К^) такие, что

п

||х — ^ хквк|| < е, где функции вк, 1 < к < п, имеют вид вк(£) = вгАк£ € К. к=1

Отметим, что при ^(К, X) = СЬ(К, X) приведенные определения соотвествуют определениям, данным в статье [9].

Определение ряда Фурье функции из АР^^"(К, X) введем аналогично понятию ряда Фурье непрерывных почти периодических на бесконечности функций (см. [10]). Пусть х € АР^^"(К, X) и ряд ж ~ рп, Лв(ж) = {Ах, А2,...}, Л(уп) = Ап, явля-

п>1

ется рядом Фурье класса эквивалентности ж € АР(X), построенного по функции х, где символом Лв (ж) обозначен спектр Бора ж.

Определение 6. Ряд x(t) ~ xn(t)eiAnt, t G R, где функции zn, n > 1, вида

n>1

zn(t) = xn(t)eiAnt, t G R, xn G Fc(R, X), являются представителями соответствующих классов эквивалентности yn, n > 1, называется рядом Фурье функции x. Функции xn, n > 1, будем называть коэффициентами Фурье функции x G AP^F(R,X).

Следует отметить неединственность ряда Фурье функции x G AP^F(R, X).

Непосредственно из определений 5 и 6 следует

Теорема 1. Коэффициенты любого ряда Фурье функции x G AP^F(R, X) принадлежат пространству Fsl,^(R, X).

3. Гармоничные пространства распределений и их свойства

Пусть X - комплексное банахово пространство. Символом S = S(R, X) обозначим пространство Шварца, т.е. линейное полинормированное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций < : R ^ X таких, что для всех m,n G N U {0} существует C > 0 такое, что для всех t G R выполняется условие

sup ||tm<(n)(t)||x < C. Такие функции называют пробными.

teR

Будем говорить, что последовательность (<k, k G N), G S(R, X), сходится к функции < G S(R, X), если при всех m, n G NU{0} последовательность t ^ tm<[n) (t), k G N, t G R, равномерно сходится к функции t ^ tm<(n)(t), t G R.

Пусть Ф : S(R, X) ^ X - линейный оператор. Будем обозначать значение оператора Ф на < G S(R, X) символом Ф(<). Линейный оператор Ф : S(R, X) ^ X называют непрерывным, если Ф(<к) сходится к Ф(<) всякий раз, когда {<k} сходится к < в S(R, X). Всякий непрерывный линейный оператор Ф : S(R, X) ^ X называют распределением (или обобщенной функцией) медленного роста на R со значениями в X. Обозначим символом S' = S'(R, X) линейное пространство всех распределений медленного роста с естественными операциями сложения и умножения на число (более подробно для скалярных распределений из S'(R) см. [11]).

Производной распределения Ф G S'(R, X) будем называть распределение ^Ф G S'(R,X), определенное формулой (^Ф)(<) = —Ф(<'), < G S(R,X). Отметим, что оператор дифференцирования D : S'(R, X) ^ S'(R, X) - линейный и непрерывный оператор. Из определения пространства S(R, X) следует, что любое распределение Ф G S'(R, X) дифференцируемо бесконечное число раз.

В пространстве распределений S'(R, X) действует группа S : R ^ EndS'(R, X) операторов сдвига

(S(t)F)(<) = F(S(—1)<), < G S(R,X), t G R. (3)

Свертка распределения Р € &'(К, X) с функцией / € Ьх(К) определяется формулой

(/ * Р)(^) = Р(/ * Р € ^(К^), ^ € &(К,X), / € Ьх(К), (4)

где функция / имеет вид /(т) = /(—т), т € К.

Далее введем понятие гармоничного пространства распределений. Рассмотрим последовательность (/п, п € М) функций из алгебры Ьх(К), вида

/п(£) Ч Пв-' , £ > 0 (5)

!

t< 0.

Отметим, что преобразование Фурье /п : К ^ С функции /п, п € М, имеет вид

Тп(А) = (гл++1)П, А € К.

Каждому однородному пространству функций & (К, X) можно поставить в соответствие счетное множество пространств & (п)(К, X), п € М, которые определяются как линейные пространства функций вида &(^(К^) = {/п *х | х € &(К,X)}, п € М, с нормой ||/п *х||^м = ||/п *х||^ + ||х||^, где функции /п, п € М, задаются формулой (5). Отметим, что все пространства &(п)(К, X), п € М, также являются однородными.

Определение 7. Линейное подпространство Е(К, X) С (К, X) называется гармоничным пространством распределений, если существует такое п € М, что для любого распределения Ф из Е(К, X) найдется функция <£> из однородного пространства & (К, X) такая, что Ф = (^ + I )п<£> и ||Ф|| = ||<£>||. При этом для пространства Е(К, X) будем использовать обозначение &(-п)(К, X) и говорить, что пространство распределений Е(К, X) соответствует однородному пространству функций & (К, X).

Заметим, что в определении 7 функция <£> представима в виде <£> = fn * Ф, где функция fn из алгебры LX(R) определяется формулой (5).

Под пространством F(0)(R, X) будем понимать само однородное пространство F(R, X). Тогда каждому однородному пространству F(R, X) можно поставить в соответствие счетное множество однородных пространств F(n)(R, X), n G Z. Из определения 7 вытекает, что любое из этих пространств можно рассматривать как гармоничное пространство распределений.

В каждом из пространств F (n)(R, X), n G Z, рассмотрим операторы : D(Dm) С F(n)(R, X) ^ F(n-m)(R,X) вида

= (D + I)m, m G N, (6)

и операторы О~т : £(Ю>~Ш) С Р^К^) н Р^^(К^), действующие по правилу

О"тФ = /т * Ф, Ф € Р(п) (К, X), ш € М, (7)

где функция /т из алгебры Ь1(К) определяется формулой (5).

Когда ясно, о каком именно пространстве идет речь, вместо обозначения будем использовать более короткое обозначение От, ш € Ъ. При этом под оператором О0 будем понимать тождественный оператор I, действующий в соответствующем пространстве Р(п)(К, X), п € Ъ. Следует отметить, что операторы От, ш € Ъ, обладают свойством О-тОт = I, ш € Ъ.

Кроме того, в каждом из пространств Р(п)(К, X), п € Ъ, рассмотрим оператор М/) : Р^К^) н Р^К^) свертки распределения Ф из Р^К^) с функцией / из алгебры Ь1(К), задаваемый формулой §п(/)Ф = / * Ф. При п = 0 вместо §0(/) будем писать просто §(/).

Далее символом Е(К, X) будет обозначаться одно из пространств функций или распределений Р(п)(К, X), п € Ъ, рассматриваемое как гармоничное пространство распределений.

Теорема 2. Любое гармоничное пространство распределений Е(К,X) (т.е. Е(К, X) = Р(п)(К, X) для некоторого п € Ъ) изометрически изоморфно соответствующему однородному пространству функций Р(К, X).

Утверждение тоеремы 2 следует непосредственно из определения 7. При этом изоморфизм осуществляет оператор Оп вида (6) и обратный к нему оператор О-п вида (7).

Из теоремы 2 и определения 7 следует

Теорема 3. Пусть Е(К, X) = Р(п)(К, X) для некоторого п € Ъ, т.е. Е(К, X) — гармоничное пространство распределений. Тогда имеют место следующие свойства:

1) Е(К, X) — банахово пространство;

2) Б(т)Ф € Е(К,X) и ||Б(т)Ф|| = ||Ф|| для любого т € К и любого распределения Ф € Е(К,X);

3) / * Ф € Е(К, X) и ||/ * Ф|| < ||/||1|Ф| для любой функции / из алгебры Ь1(К) и любого распределения Ф € Е(К, X);

4) существует ш € Ъ такое, что О-т Е(К, X) С Б 1(К, X).

Условия 1)-3) теоремы 3 означают, что каждое гармоничное пространство распределений Е(К, X) образует банахов Ь1(К)-модуль (см. [3-5]), в котором действует

группа Б сдвигов вида (3) и модульная структура задается формулой (4), в которой распределение Р принадлежит соответствующему гармоничному пространству распределений Е(К, X).

4. ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ

ГАРМОНИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ

В соответствии с определением 7 для произвольного распределения Ф из гармоничного пространства распределений Е(К, X), где Е(К, X) = &(п)(К, X) для некоторого п € найдется функция у из однородного пространства & (К, X) такая, что Ф = Опу, где оператор Оп, п € определяется одной из формул (6) или (7). При этом у = 0-пФ, п €

Введем понятия медленно меняющихся и почти периодических на бесконечности распределений из пространств Е(К, X).

Пространства (К, X) и Е0(К, X) определим следующим образом: ЕС(К,X) = {Ф € Е(К,X) : Ф = Опу, у € ^(К^)}; Е0(К,X) = {Ф € Е(К,X) : Ф = Опу, у € ^(К^)}.

Определение 8. Распределение Ф € ЕС(К, X) называется медленно меняющимся на бесконечности, если Б(а)Ф — Ф € Е0(К, X) для всех а € К.

Множество медленно меняющихся на бесконечности распределений обозначим символом X). Непосредственно из определения следует, что X) об-

разует замкнутое линейное подпространство из ЕС(К, X), инвариантное относительно группы сдвигов Б.

Из теоремы 2 следует

Теорема 4. Пространства X) и X) изоморфны, т.е. распределение

Ф € Е(К, X) является медленно меняющимся на бесконечности тогда и только тогда, когда функция у = 0-пФ € & (К, X) является медленно меняющейся на бесконечности.

Из теоремы 4 следует, что X) = {Ф € Е(К, X) : Ф = Опу, у € &я1,«,(К, X)}.

На основании определения 5 с использованием теоремы 2 дадим определение почти периодического на бесконечности гармоничного распределения и построим его ряд Фурье.

Определение 9. Распределение Ф € Ес(К, X) называется почти периодическим на бесконечности, если для любого £ > 0 можно указать числа Л1,..., Лт € К и медленно меняющиеся на бесконечности распределения Ф1,..., Фт € ^^(К, X) такие, что

т

||Ф — ^ Фкек|| < £, где функции ек, 1 < к < ш, имеют вид ек(£) = егАк*, £ € К. к=1

Множество почти периодических на бесконечности распределений АР^Е(К, X) из гармоничного пространства распределений Е(К, X) образует замкнутое подпространство Е(К, X).

Из теоремы 2 следует

Теорема 5. Пространства АР^Е(К, X) и АР^Р(К, X) изоморфны, т.е. распределение Ф € Е(К, X) является почти периодическим на бесконечности тогда и только тогда, когда функция у = О-пФ € Р(К, X) является почти периодической на бесконечности.

Из теоремы 5 следует, что

АР^Е(К,X) = {Ф € Е(К,X) : Ф = Опу, у € АР^Р(К^)}.

Таким образом, все результаты, справедливые для почти периодических на бесконечности функций из однородных пространств, справедливы также и для почти периодических на бесконечности гармоничных распределений.

Другие определения почти периодических на бесконечности гармоничных распределений строятся аналогично соответствующим определениям для функций из однородных пространств. В частности, приведем определение, основанное на понятии £-периода на бесконечности. Оно соотвествует определению 3 почти периодической на бесконечности функции из однородного пространства.

Определение 10. Пусть £ > 0. Число и € К называется £-периодом на бесконечности распределения Ф € Е(К, X), если существует распределение Ф0 € Е0(К, X) такое, что ||Б(и)Ф — Ф — Ф0|| < £.

Множество £-периодов на бесконечности распределения Ф € Е(К, X) обозначим тем же символом Ф).

Определение 11. Распределение Ф € Ес(К, X) называется почти периодическим на бесконечности, если для любого £ > 0 множество ^^ (£, Ф) ее £-периодов на бесконечности относительно плотно на К.

Из теоремы 5 следует, что так же, как и для функций из однородных пространств, приведенные определения почти периодических на бесконечности гармоничных распределений будут эквивалентны.

Рассмотрим функции ek, k > 1, следующего вида ek (t) = eiAkt G R.

Определение 12. Рядом Фурье распределения Ф G AP^F(R, X) будем называть ряд вида £ Фкek, где Фк, k > 1, — такие распределения из Fc(R, X), что fc>i

функции yk = 0-пФк G F(R, X) являются коэффициентами Фурье функции y = 0-пф g AP^F(R, X) (см. определение 6). Такие распределения Фк, k > 1, будем называть коэффициентами Фурье распределения Ф.

Так же, как и для функций из AP^F(R, X), отметим неединственность ряда Фурье распределения Ф G AP^F(R, X).

Из приведенных рассуждений и теоремы 1 следует

Теорема 6. Коэффициенты любого ряда Фурье распределения Ф G AP^F(R, X) принадлежат пространству Fs1,^(R, X).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Струкова, И. И. Гармонический анализ периодических на бесконечности функций в однородных пространствах // Вестник ВолГУ. Сер. 1. Математика. Физика. — 2017. — Т. 39. — № 2. — C. 29-38.

STRUKOVA, I. I. (2017) Harmonic analysis of periodic at infinity functions from homogeneous spaces. Vestnik VolGU. Ser. 1. Matematika. Fizika. 39 (2). p. 29-38.

2. Струков, В. Е., Струкова, И. И. О четырех определениях почти периодической на бесконечности функции из однородного пространства // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. — 2018. — Т. 50. — № 3. — C. 254-264. STRUKOV, V. E. & STRUKOVA, I. I. (2018) About four definitions of an almost periodic at infinity function from a homogeneous space. Nauchnye vedomosti BelGU. Ser. Matematika. Fizika. 50 (3). p. 254-264.

3. Росс, К. Абстрактный гармонический анализ. Том 2 / К. Росс, Э. Хьюитт. — M.: Мир, 1975. — 899 c.

ROSS, K. A., HEWITT, E. (1970) Abstract Harmonic Analysis. Volume II. SpringerVerlag, New York.

4. Баскаков, А. Г., Криштал, И. А. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства // Изв. РАН. Серия матем. — 2005. — Т. 69 — № 3. — C. 3-54.

BASKAKOV, A. G. & KRISHTAL, I. A. (2005) Harmonic analysis of causal operators and their spectral properties. Izv. Math. 69 (3). p. 439-486.

5. Баскаков, А. Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов // СМФН. — 2004. — Т. 9. — C. 3-151.

BASKAKOV, A. G. (2006) Theory of representations of Banach algebras, and abelian groups and semigroups in the spectral analysis of linear operators. J. Math. Sci. (N. Y.). 137 (4). p. 4885-5036.

6. Струкова, И. И. Спектры алгебр медленно меняющихся и периодических на бесконечности функций и банаховы пределы // Вестн. ВГУ. Серия: Физика. Математика. — 2015. — № 3. — C. 161-165.

STRUKOVA, I. I. (2015) Spectra of algebras of slowly varying and periodic at infinity functions and Banach limits. Vestnik VSU. Ser. Physica. Matematika. (3). p. 186-198.

7. Струкова, И. И. О теореме Винера для периодических на бесконечности функ-ци // Сиб. матем. журн. — 2016. — Т. 57. — № 1. — C. 186-198.

STRUKOVA, I. I. (2016) About Wiener theorem for periodic at infinity functions. Siberian Math. J. 57 (1). p. 145-154.

8. BASKAKOV, A., STRUKOVA, I. (2016) Harmonic analysis of functions periodic at infinity. Eurasian Math. J. 7 (4). p. 9-29.

9. Баскаков, А. Г., Струкова, И. И., Тришина, И. А. Почти периодические на бесконечности решения дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами // Сиб. матем. журн. — 2018. — Т. 59. — № 2. — C. 293-308.

BASKAKOV, A. G. & STRUKOVA, I. I. & TRISHINA, I. A. (2018) Solutions almost periodic at infinity to differential equations with unbounded operator coefficients. Siberian Math. J. 57 (1). p. 145-154.

10. Баскаков, А. Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений // УМН. — 2013. — Т. 68. — № 1 (409). — C. 77-128.

BASKAKOV, A. G. (2013) Analysis of linear differential equations by methods of the spectral theory of difference operators and linear relations. Russian Math. Surveys. 68 (1). p. 69-116.

11. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. — M.: Наука, 1981. — 250 c.

VLADIMIROV, V. S. (1981) Uravneniya matematicheskoj fiziki. M.: Nauka.