CC BY
10УДК: 517.9 MSC2010: 46B25
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ФУНКЦИЯХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОДПРОСТРАНСТВ ИСЧЕЗАЮЩИХ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ФУНКЦИЙ1
© И. И. Струкова
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И МЕХАНИКИ
пл. Университетская, 1, Воронеж, 394005, Российская Федерация e-mail: [email protected]
On Periodic at Infinity Functions with Respect to Subspaces of Vanishing at Infinity Functions.
Strukova I. I.
Abstract. In the article under consideration we study periodic at infinity functions from Cb(J, X), i. e. bounded continuous functions defined on an interval J = {R+; R} with their values in a complex Banach space X. Together with an ordinary subspace Co С Cb of functions vanishing at infinity we define a subspace (L1C)o С Cb of functions vanishing at infinity upon the average. Then we introduce a range of different subspaces of functions such that Co С Co С (L1C)o and call them vanishing at infinity. So, by choosing one of those subspaces Co we introduce different types of slowly varying and periodic at infinity functions (with respect to the chosen subspace).
A function x £ Cb,u is called slowly varying at infinity with respect to the subspace Co if (S(t)x — x) £ Co for all t £ J. Respectively, for some w > 0 a function x £ Cb,u is called w-periodic at infinity with respect to the subspace Co if (S(w)x — x) £ Co.
Those functions are an extension of the class of periodic at infinity functions, which appear naturally as bounded solutions of certain classes of differential and difference equations. Our main focus is to develop the basic harmonic analysis for periodic at infinity functions (with respect to the chosen subspace Co) and an analogue of the celebrated Wiener's Lemma that deals with the absolutely convergent Fourier series.
For a periodic at infinity function (with respect to the chosen subspace) we introduce the concepts of canonical and generalized Fourier series with coefficients slowly varying at infinity (not necessarily constant and not necessarily having a limit at infinity) and study their properties. Besides, we prove the summability of the Fourier series by the method of Chesaro.
We also introduce a notion of Co-invertibility of a continuous function, in terms of which the analogue of Wiener's Lemma is derived: if a Co-invertible periodic at infinity function with
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-31-00097
respect to the subspace Co has an absolutely convergent Fourier series then each of its Co-inverse functions also has an absolutely convergent Fourier series.
Moreover, derive a spectral criterium of periodicity at infinity and a criterium of representability of periodic at infinity function with respect to the subspace Co as a sum of pure periodic and vanishing at infinity (with respect to Co) functions.
The results were received with essential use of isometric representations and Banach modules theories.
Keywords: vanishing at infinity function, slowly varying at infinity function, periodic at infinity function, Banach space, Fourier series, Banach module
1. ПОДПРОСТРАНСТВА ИСЧЕЗАЮЩИХ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ФУНКЦИЙ
Пусть X — комплексное банахово пространство, EndX — банахова алгебра линейных ограниченных операторов (эндоморфизмов), действующих в X. Пусть J — один из промежутков R+ = [0, то), R = (-то, то).
Рассматривается банахово пространство Cb = Cb(J, X) непрерывных и ограниченных на J функций со значениями в X и нормой ||x||^ = sup ||x(t)||,
teJ
Cb,u = Cb,u(J, X) — замкнутое подпространство равномерно непрерывных функций из Cb(J, X), Co (J, X) = {x 6 Cb (J, X) : lim ||x(t)|| =0} — подпространство исчезающих
|t|^oo
на бесконечности функций из Cb(J, X).
В банаховом пространстве Cb(J, X) рассмотрим (полу-)группу S : J ^ EndCb(J, X) операторов, действующих по правилу
(S(t)x)(T)= x(t + т), t, т 6 J. (1)
В статье систематически используется следующее понятие исчезающей на бесконечности в среднем функции:
Определение 1. Функция x 6 Cb(R, X) называется исчезающей на бесконечности в среднем, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:
а
1) lim || а Г x(s + t)ds|| = 0 равномерно относительно t 6 R;
а^оо а o
2) f * x 6 Co(R, X) для любой функции f из алгебры LX(M).
Множество функций из Cb(R, X), исчезающих на бесконечности в среднем, обозначим символом (LXC)o = (L1 C)o(R,X).
Лемма 1. Оба условия из определения 1 эквивалентны.
Доказательство. Рассмотрим множество функций (/а, а > 0) из алгебры LX(M) вида
1 t е [0, а],
/a(t) 1 0, t / [0, а], каждая из которых имеет преобразование Фурье вида
Та(А) = т^(1 - e-iAa), Л е R. гЛа
Первое условие определения 1 можно записать в виде /а * x е Со (R, X) для любого а е R.
Отметим, что преобразования Фурье /а функций /а, а > 0, разделяют точки из R, и потому по теореме Винера (см. [1]) их линейные комбинации плотны в алгебре L1(R). Следовательно, условие 2) определения 1 выполнено для любой функции / из алгебры L1(R). Из отмеченного следует, что условие 1) выполнено для любого а > 0.
Если выполнено свойство 2), то /а * x е C0(R, X) для любой направленности (/а, а > 0) из алгебры L1(R), т.е. выполнено свойство 1). □
Непосредственно из определения следует, что множество функций (L1C)0(R, X) образует замкнутый подмодуль из Cb(R, X).
Определение 2. Функция x е Cb(R+,X) называется исчезающей на бесконечности в среднем, если существует ее продолжение y е Cb(R, X) со следующими свойствами:
1) y(t) = x(t) для всех t е R+;
2) ||y|| < С||x||, С> 0;
3) y е Co(R-,X);
4) S(t)x е Cb(R+, X) для всех t > 0, x е Cb(R+,X);
5) для любого другого продолжения z е Cb(R, X), обладающего свойствами 1)-4), выполняется условие y — z е C0(R, X).
Пример 1. Следующие функции принадлежат пространству (L1C)0(J, C) :
1) x1 : J ^ C вида x1(t) = eit2, t е J;
2) x2 : J ^ R вида x2(t) = sinat2, t е J, a > 0;
3) x3 : J ^ R вида x3(t) = cosat2, t е J, a > 0.
Определение 3. Далее символом C0 = C0(J, X) обозначим замкнутое (с нормой из Cb,u) подпространство функций из Cb,u(J, X), обладающих свойствами:
1) S(t)x е C0 для любого t е J и любой функции x е C0;
2) C0(J,X) с C0(J,X) с (L1C)0(J,X);
3) eAx е C0 для любого Л е R, где eA(t) = eiAt, t е R. Каждое такое подпространство будем называть подпространством исчезающих на бесконечности функций.
Примерами таких подпространств являются определенные ниже подпространства C0,int(J,X) и C0,p(J, X), p е [1, то).
Функцию x из Съ,и(1, X) назовем интегрально исчезающей на бесконечности, если
а
1
lim — sup IIx(t + s)|| ds = 0.
oo a iej J
o
Множество интегрально исчезающих на бесконечности функций будем обозначать символом C0,int = C0,int(J, X). Отметим, что C0,int(J, X) является замкнутым подпространством из Cb,u(J, X). В [2] были введены почти периодические на бесконечности функции относительно подпространства C0(J, X), удовлетворяющего условию Co(J,X) с C0(J,X) с Co,int(J,X).
Рассмотрим также семейство замкнутых в Cb,u(I, X) подпространств
а
Cop = Cop(J, X) = {x е C U(J,X) : lim 1 sup / ||x(s + t)||p ds = 0},
t^o a iej J o
где p е [1, то). Таким образом, Co , i(J, X) = Co ,int(J, X) — подпространство интегрально исчезающих на бесконечности функций.
Во всех рассматриваемых подпространствах из Cb(J, X) символ X опускается, если X = C (например, C0(J, C) = C0(J)).
2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ФУНКЦИИ И ИХ РЯДЫ ФУРЬЕ
Напомним, что символом С0 = С0(1, X) обозначено произвольное подпространство исчезающих на бесконечности функций, удовлетворяющее всем условиям определения 3.
Определение 4. Функция х € Сь , и(1, X) называется медленно меняющейся на бесконечности относительно подпространства С0(1, X), если Б(а)х — х € С0(1, X) для любого а € I.
Отметим, что в работах [3, 4] давалось определение медленно меняющихся на бесконечности функций относительно подпространства С0(М, X) и изучались их свойства.
Множество медленно меняющихся на бесконечности функций относительно подпространства С0(1, X) обозначим символом ,оо(1, X; С0).
Непосредственно из определения следует
Лемма 2. Любое пространство X; C0) С Cb,u(J, X) медленно меняющих-
ся на бесконечности относительно подпространства C0(J, X) функций является замкнутым подпространством в Cb,u(I, X).
Например, функция x : J ^ X вида x(t) = c + x0(t), t G J, c G X, x0 G C0(J, X), принадлежит пространству X; C0).
При C0(J) = C0 (J) примерами медленно меняющихся на бесконечности функций из Csl^(J,X; Co) являются:
1) xi(t) = sinln(1 + |t|), t G J;
2) x3(t) = arctg t, t G J;
3) любая непрерывно дифференцируемая функция x G Cb(J) со свойством
lim x(t) = 0.
Определение 5. Пусть и > 0. Функция
x G Cb,u(J, X) называется и-периодической на бесконечности относительно подпространства C0(J, X), если (S(u)x - x) G CQ(J,X).
Таким образом, каждая и-периодическая на бесконечности (относительно подпространства C0(J,X)) функция x является решением разностного уравнения вида x(t + и) — x(t) = y(t), t G J, где y G C0(J, X), а каждая медленно меняющаяся на бесконечности (относительно C0 (J, X)) функция является периодической на бесконечности (относительно C0(J, X)) любого периода. Периодические на бесконечности функции относительно подпространства C0(R, X) изучались в [3-5]. Множество и-периодических на бесконечности функций относительно подпространства C0(J,X) = C0 (J, X) обозначим
символом = (J, X; CQ).
Пусть и > 0. Символом Cw(J, X) обозначим подпространство банахова пространства Cb,u(J, X), состоящее из и-периодических функций, т.е. функций x G Cb,u(J, X), для которых выполнено условие S (u)x = x.
Отметим,что оба множества X; C0) и X; C0) образуют линейные
замкнутые подпространства банахова пространства Cb,u (J, X). Банахово пространство Cw (J, X) образует замкнутое подпространство в X; C0). Таким образом, имеют место включения X; C0) С X; C0) С Cb,u(J, X), при этом все они инвариантны относительно операторов S(t), t G J.
Примерами периодических на бесконечности функций относительно подпространства C0(J, X) являются:
1) предельно периодические функции, т.е. функции x : J ^ X, представимые в виде x = y + yo, где y G Cw(J,X), yo G CQ(J, X);
2) функция x £ Cb , u(R, X) такая, что она совпадает с x £ Сш (R, X) на R+ и lim ||x(t)||x =0;
t^-оо
3) любая функция из Cs1 ,»(J, X; C0);
n -2nh.
4) любая функция x £ Cb,u(I, X), представимая в виде x = xk(t)eJ~, t £ J,
k=- n
n £ N, где xfc £ CSz,oo(J,X; Co), k £ Z.
Определение 6. Каноническим рядом Фурье функции x £ C^i00(J, X; C0) будем называть ряд вида
Е/ \ 2nn + „.
xn(t)eJ—*, t £ J,
ngZ
где функции xn : J ^ X, n £ Z, определяются формулами
xn(t) = 1 J x(t + т)e-i^(t+r)dr, t £ J, n £ Z, (2)
o
и называются каноническими коэффициентами Фурье функции x.
Ясно, что если x £ Сш(J, X), то xk(t) = xk = 1 J x(t)e-i~rdT, t £ J, k £ Z, —
o
обычные коэффициенты Фурье непрерывной периодической функции x.
Определение 7. Обобщенным рядом Фурье функции x £ Сш,»(J, X; C0) называется любой ряд вида
5>n(ty ^t £ J, (3)
ngZ
где yn, n £ Z, — такие функции из Cb,u(J, X), для которых yn — xn £ C0(J, X), n £ Z, а функции xn, n £ Z, определяются формулой (2).
Лемма 2. Канонические коэффициенты Фурье xn, n £ Z, (определенные формулой (2)) являются медленно меняющимися на бесконечности функциями (относительно подпространства C0(J, X)), т.е. xn £ Cs1i00(J, X; Co), n £ Z.
Утверждение леммы следует из равенств xn(t + и) — xn(t) =
1 / (S(u)x — x)(t + т)e-i^(t+T)dT, t £ J, n £ Z. 0
Непосредственно из определения 7 и леммы 2 следует, что коэффициенты любого обобщенного ряда Фурье обладают свойством: yn £ Cs1i00(J, X; C0), n £ Z.
3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Этом пункте приведены полученные результаты о свойствах рядов Фурье периодических на бесконечности функций относительно подпространства C0(J, X), аналог
теоремы Винера об абсолютно сходящихся рядах Фурье, критерий представимости такой функции в виде суммы периодической и исчезающей на бесконечности функций и спектральный критерий периодичности функции на бесконечности. Доказательства всех результатов приводятся в конце статьи.
Теорема 1. Коэффициенты любого обобщенного ряда Фурье функции x G (J, X; CQ) принадлежат пространству Csli^(J, X; C0) и удовлетворя-
ют условию lim ||yn || = 0.
n—^^o
• 2nk r
Рассмотрим функции ek, k G Z, следующего вида ek (t) = e%~ , t G J.
Определение 8. Будем говорить, что ряд Фурье (3) периодической на бесконечности функции x G (J, X; C0) суммируем на бесконечности методом Чезаро, если существует последовательность (уП , n G N) функций из C0(J, X) такая, что
lim ||x - ± Л - -+L) ykek + yr0II = 0.
n^ro ' \ — + 1 /
h——T) ^ '
k=-n
При этом каждая из функций yk, k G Z, эквивалентна функции xk, определяемой формулой (2), (т.е. yk — xk G C0(J, X), k G Z) и допускает продолжение на всю комплексную плоскость до целой функции экспоненциального типа.
Теорема 2. Ряд Фурье любой функции x G X; C0) суммируем на бесконеч-
ности методом Чезаро.
Отметим, что выбор обобщенных коэффициентов Фурье в этой теореме не имеет значения.
Определение 9. Будем говорить, что обобщенный ряд Фурье (3) периодической на бесконечности функции x G X; C0) сходится к x относительно подпростран-
ства CQ(J, X), если существует последовательность (xn, n G N) функций из CQ(J, X)
n
такая, что lim ||x — ykek + x^ = 0.
Важно отметить, что данное определение корректно, т.е. сходимость не зависит от выбора обобщенного ряда Фурье функции х. Это объясняется тем, что Уп — хп € С0(1, X), где хп, п € Z, — канонические коэффициенты Фурье функции х, определяемые по формуле (2).
Символом ||у ||~ обозначим норму класса эквивалентности, построенного по функции у € С(I,X), т.е. величину ||у||^ = ^ ||у — у0||.
уп еСп
Определение 10. Будем говорить, что функция x £ 0 (J, X; C0) имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье, если существует обобщенный ряд Фурье (3) этой функции такой, что £ ||yn||~ < то.
ngZ
Отметим также, что если функция x имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье, то ее канонический ряд Фурье сходится к x относительно подпространства C0(J, X). Однако канонический ряд Фурье функции x может не быть абсолютно сходящимся, хотя функция имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье в смысле определения 10.
Если X — банахова алгебра, то функции из CWj00(J, X; C0), имеющие абсолютно сходящийся ряд Фурье, образуют замкнутую подалгебру в 0 (J, X; C0), обозначаемую символом Ai00(J, X; C0) (символом (J), если X = C и C0 = C0).
Одним из результатов статьи является теорема 4, в которой следующая знаменитая теорема Н. Винера (см. [6]) распространяется на функции из Aj00 (J, X).
Теорема 3. Если функция f £ A (R) обладает свойством f (t) = 0 для всех t £ R, то функция 1/f также имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье.
Пусть X — банахова алгебра с единицей e.
Определение 11. Функцию x £ Cb,u(J, X) назовем обратимой относительно подпространства CO (J, X) (или обратимой на бесконечности), если существует функция y £ Cb,u (J, X) такая, что xy — e, yx — e £ C0(J, X), где e(t) = e, t £ J. Функцию y будем называть обратной к x относительно подпространства CO (J, X).
Если yi,y2 — обратные к x £ Cb,u(J,X) относительно подпространства C0(J,X) функции, то yi — y2 £ C0(J, X).
Основным результатом данной работы является следующая
Теорема 4. Пусть X — банахова алгебра с единицей. Если функция a £ C^i00(J, X; CO) обратима относительно подпространства C0(J, X) и имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье, то любая обратная к ней относительно подпространства C0(J, X) функция имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье.
Рассмотрим последовательность (AN, N £ N) операторов из EndCb,u(J, X) сле-
N-1
дующего вида AN = N S S(ku), N > 1, причем ||AN|| = 1, N > 1.
k=0
В данной статье получен критерий представимости периодической на бесконечности функции в виде суммы периодической и исчезающей на бесконечности функций.
Теорема 5. Для того, чтобы функция x £ CWi00 (J, X; CO) была представима в виде x = x1 + x0, где x1 £ Cw(J,X), x0 £ C0(J,X), необходимо и достаточно, чтобы в Cbu(J, X) существовал lim ANx.
' N ^ 00
Также получен следующий спектральный критерий периодичности на бесконечности функции:
Теорема 6. Для того, чтобы функция ж € Сь,и(1, X) принадлежала пространству СШ100(1, X; Со), необходимо и достаточно, чтобы имело место включение
Левв(ж) С 2.
Символом ЛевДж) обозначен существенный спектр функции ж € Сь,и(1, X) (см. [5]). Аналогичные результаты для случая С0 = С0 были получены в [4, 5].
4. Банаховы Ь1(М)-модули и СПЕКТР Берлинга
В данном разделе будут приведены некоторые определения и факты из теории банаховых модулей, существенно используемые в дальнейшем.
Пусть X — комплексное банахово пространство и End X — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X. Пусть L1(R) — банахова алгебра определенных на R измеримых по Лебегу и суммируемых комплекснознач-ных (классов) функций со сверткой (f * g)(t) = / f (t — s)g(s)ds, t e R, f,g e L1(R),
R
в качестве умножения.
Будем считать, что X является невырожденным банаховым Ь1(К)-модулем (см. [7, 8]), структура которого ассоциирована с некоторым ограниченным изометрическим представлением T : R ^ End X. Это означает, что выполняются два свойства следующего предложения:
Предложение 1. Для банахова ^^^модуля X выполняются следующие условия:
1) из равенства fx = 0, справедливого для любой функции f e L1(R), следует, что вектор x e X — нулевой (свойство невырожденности банахова модуля X);
2) для всех x e X имеют место равенства (свойство ассоциированности модульной структуры на X с представлением T : R ^ End X):
T(t)(fx) = (T(t)f)x = f (T(t)x), t e R, f e L1(R).
Если T : R ^ End X — сильно непрерывное ограниченное представление, то формула
T(f)x = fx = у f (t)T(—t)xdt, f e L1(R), x e X, (4)
R
определяет на X структуру банахова ^^^модуля, удовлетворяющего условиям предположения 2, причем эта модульная структура будет ассоциирована с представлением T.
Замечание 1. С каждым невырожденным банаховым L^R)-модулем X ассоциировано единственное представление T : R ^ End X (см. [7]). Чтобы это подчеркнуть, иногда будет использоваться обозначение (X, T).
Теория банаховых Ь1(К)-модулей изложена в [7-9].
Определение 12. Вектор из банахова Ь1(К)-модуля X назовем непрерывным (относительно представления T) или T-непрерывным, если функция (fx : R ^ X, <£>x(t) = T(t)x, t £ R, непрерывна в нуле (и, значит, непрерывна на R).
Совокупность всех T-непрерывных векторов из банахова ^^^модуля X обозначим через Xc или (X, T)c. Оно образует замкнутый подмодуль из X, т.е. Xc — замкнутое линейное подпространство из X, инвариантное относительно всех опера-
функции / € Ь1 (К).
Определение 13. Спектром Берлинга вектора х € X называется множество чисел Л(х) из К вида
Л(х) = (Л0 € К : /х = 0 для любой функции / € Ь1(К) с /(Л0) = 0}.
Из определения следует, что Л(х) = К\{^0 € К : существует функция / € Ь1(К) такая, что /(^0) =0 и /х = 0}.
Справедливы следующие свойства спектра Берлинга векторов из банахова пространства X (см. [7, 9]):
Лемма 3. Для любых / € Ь1(К) и х € X справедливы свойства:
1) из условия /х = 0 для любой функции / € Ь1(К) следует, что х = 0 (т.е. Ь1 (К)-модуль X невырожден);
2) Л(х) — замкнутое подмножество из К, причем Л(х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
4) /х = 0, если (ямрр/) П Л(х) = 0, и /х = х, если множество Л(х) компактно и / = 1 в некоторой его окрестности;
торов T(f), T(t), f £ L1(R), t £ R.
Далее через f : R ^ C обозначается преобразование Фурье
3) A(fx) С (suppf) П Л(х);
5) Л (ж) = (Л0) — одноточечное множество тогда и только тогда, когда вектор ж = 0 удовлетворяет равенствам Т(Ь)ж = егА°*ж, Ь € К, т.е. ж — собственный вектор банахова Ь1 (К) -модуля (X, Т);
6) если вектор х € X имеет компактный спектр Берлинга Л (ж) со спектральным радиусом г (ж) = тах |Л|, то функция <£>х : К ^ X вида <£>х(Ь) = Т (Ь)ж, Ь € К,
АеЛ(х)
допускает расширение на С до целой функции экспоненциального типа, равного г (ж) (т.е. ИтМ^Ш = г(ж)).
5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ И ОПЕРАТОРЫ И ИХ РЯДЫ ФУРЬЕ
Определение 14. Пусть и > 0. Вектор ж0 € (X, Т) называется и-периодическим (относительно представления Т), если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:
1) ж0 € X и Т(и)ж0 = ж0;
2) ж0 € АР(X) и Т(и)ж0 = ж0.
Множество и-периодических векторов обозначим через Xш = Xш (Т). Оно образует замкнутое подпространство в X, инвариантное относительно операторов Т(Ь), Ь € К.
Ряд Фурье любого вектора ж € Xш имеет вид
(5)
x ~ X,
ngZ
где
xn = ж(-) = — T(т)xe ^ dr, n G Z.
о
Если ряд Фурье вектора x G XL абсолютно сходится, т.е. выполнено условие
N
£ ||xn|| < то, то справедливо равенство x = £ xn = lim £ xn.
ngZ ngZ N^ 00 n=-N
В [5] были получены следующие результаты:
Теорема 7. Для того, чтобы вектор x0 G X был и-периодическим (т.е. x0 G XL), необходимо и достаточно, чтобы имело место включение Л^о) С Z.
Теорема 8. Для любого вектора x G XL с рядом Фурье вида (5) выполняются условия:
1) lim ||xnII =0;
n
n
2) lim ||x - £ (1 - J+L) xfcII =0. 00 fc=_n V J
Наряду с изометрическим (не обязательно периодическим) представлением T : R ^ End X рассмотрим представление T : R ^ End (End X), T(t)B = T(t)BT(—t), t e R, B e EndX.
Определение 15. Пусть и > 0. Оператор B e End X назовем и-периодическим (относительно представления T), если
T (u)B = T (-w)BT (и) = B,
(т.е. оператор B перестановочен с оператором T (и)) и функция t ^ T(t)BT(—t) : R ^ End X непрерывна в равномерной операторной топологии.
Множество и-периодических операторов образует замкнутую подалгебру Endw X = (End X)ш из алгебры End X.
В соответствии с определением 14 рассмотрим ряд Фурье
B - Y.Bn (6)
nez
оператора A относительно представления T, т.е. Bn = 1 J T(т)BT(—т)ег~rdr, n e Z.
о
Концепция рядов Фурье периодических операторов рассматривалась, например, в [9, 10].
В [10] была установлена
Теорема 9. Пусть B e Endw X — и-периодический непрерывно обратимый оператор с абсолютно сходящимся рядом Фурье (6). Тогда ряд Фурье C ~ Cn обрат-
nez
ного оператора C = B-1 также абсолютно сходится.
6. Доказательства теорем 1, 2, 4, 5 и 6
Далее через X обозначается банахова алгебра с единицей.
Рассмотрим фактор-пространство X(J) = Cb(J,X)/C0(J,X), J e {R+, R},
которое является банаховым пространством с нормой IIжII = inf II у II, где
Х = x+C0(J, X) — класс эквивалентности, содержащий функцию x e Cb,u(J, X). Символом XC(J) обозначим подпространство Cb,u(J, X)/C0(J, X) фактор-пространства X(J), а символом X(J) — подпространство X; C0)/C0(J, X).
Отметим, что банахово пространство X (J) становится банаховой алгеброй, если умножение вводится следующим образом
Ху = Ху, ж,у e X(J).
В пространстве X (R) действует сильно непрерывная изометрическая группа операторов S : R ^ End X (R), действующая по правилу
S(t)£ = S(ffx, x е С(R,X), t е R.
Фактор-пространство X(R) наделяется структурой банахова ^^^модуля с помощью формулы
/ж = 77, / е L1(R), x е Cb(R,X).
Ясно, что подпространства Cb,u(R, X), CWi00 (R, X; С0), C0(R, X) являются замкнутыми подмодулями из ^^^модуля Cb(R, X), в которых действует группа S сдвигов вида (1) и модульная структура определяется сверткой функций (4). Однако, формула (4) не позволяет корректно задать структуру ^^^модуля в С(R+,X). Тем не менее, такой структурой наделяются фактор-пространства X (J), X(J) и XL (J). Случай J = R очевиден: в этом случае X(R) и XL (R) являются замкнутыми подмодулями фактор-модуля X (R).
Пусть J = R+. В фактор-пространстве X (R+) корректно определяется сильно непрерывная группа изометрий S : R ^ End X (R+), действующая по правилу
ЗДж = SijtjX, t е R, ж е X(R+),
где S(t)x — сдвиг функции x влево (см. формулу (1)) для t > 0, а для t < 0 символ S(t)x обозначает класс эквивалентности, содержащий непрерывную функцию xt е Cb(R+, X) вида
x(s + t) , s + t> 0, —t-1x(0)s , s + t < 0, s > 0.
Структура банахова ^^^модуля на X(J) ( X(J), XLi00(J) в частности) наделяется формулой
fx = J /(r)S?(—■r)sdr, / е L1(R), г е Cb,u(J, X)/C0(J, X),
R
где J = {R+, R}.
Непосредственно из определения представления S : R ^ End X(J) следует, что S(и)ж = ж, ж е X(J). Таким образом, функция t ^ S(t)i : R ^ XL,«)(J) является непрерывной и-периодической функцией, т.е. она принадлежит банахову пространству CL (R, XL, сю (J)). Следовательно, имеет место
Лемма 4. Функция x е Cb,u(J, X) является и-периодической на бесконечности относительно подпространства C0(J, X) (x е CL, ю(J, X; С0)) тогда и только тогда,
xt(s) =
когда класс эквивалентности x = x + C0(J, X) является и-периодическим вектором относительно представления S e End XC(J).
Доказательства теорем 1,2 и 6 следуют из леммы 4 и теоремы 8, где в качестве пространства X взято пространство X,œ(J) = Cw,œ(J, X; C0)/C0(J, X). Доказательство теоремы 4- Пусть функция a G C,,œ(J, X; C0) обратима на бесконечности и b G CL,œ(J, X; C0) — одна из обратных к a (относительно подпространства C0(J, X)) функций. Следовательно, ab = bê = ê — единица алгебры XC(J) = (J, X)/C0(J, X). Рассмотрим оператор A G End XC(J) вида Aê = êê, ê G XC(J). Этот оператор является w-периодическим относительно представления S G End XC(J), и коэффициенты An, n G Z, его ряда Фурье A ~ An относительно представления S имеют вид Anê = a^ê, ê G XC(J), где
ngZ
an G Cs1,œ(J, X; C0), n G Z, — канонические коэффициенты Фурье функции a. Поскольку 11 an I = inf ||an + x0||, то ряд ||An|| = 11 an I абсолютно сходится.
x0gC0 ngZ ngZ
Оператор A непрерывно обратим, и обратный к нему оператор B = A-1 G End XC(J) имеет вид Bê = bê. В силу теоремы 9 оператор B является w-периодическим относительно представления S и его ряд Фурье B ~ ^ Bn также абсолютно сходится.
ngZ
Поскольку Bn ê - b n*ê, ê G eX^
(J), где bn, n G Z, — коэффициенты Фурье класса b , и ||Bn|| = ||bn||, то £ ||Bn|| = ||bn|| < то. Откуда получаем абсолютную сходимость
ng Z n g Z
ряда Фурье функции b. Теорема доказана.
□
Доказательство теоремы 5- Необходимость. Пусть функция x G Cw,œ(J, X; C0) представима в виде x = x1 + x0, где x1 G Cw,œ(J, X; C0), x0 G C0(J, X). Тогда AN(x1 + x0) = x1 + ANx0, N > 1. Поскольку x0 G C0(J, X), то lim ANx0 = 0, и,
N ^œ
следовательно, lim ANx = x1.
N ^œ
Достаточность. Пусть для некоторой функции x G (J, X; C0) существует предел lim Anx = y. Покажем, что x представима в виде x = x1 + x0, где x1 G Сш (J, X),
N ^œ
x0 G C0(J, X). В силу равенств
N
Л N-1 1N-1 N
SMy - y = Jim N S S((k + 1)w)x - N ^ S(kw)x ) = \ fc=0 k=0 /
=Nlïsœ ( i<S (N w)x - x)) =0
«Таврический вестник информатики и математики», № 3 (40)' 2018
функция y является периодической, т.е. y G CL (J, X), откуда вытекает, что ANy = y для любого N > 1. Обозначив x — y = x0 G CL, oo(J, X; C0), получим следующую цепочку равенств:
lim ANx0 = lim AN(x — y) = lim (ANx — y) = y — y = 0. (7)
N ^oo N^oo N^oo
По функции x0 построим класс x G XL, ^(J), который в силу леммы 4 является w-периодическим вектором в пространстве XC(J). Наряду с операторами AN, N > 1, рассмотрим последовательность операторов (AN), N > 1, из End X(J) следующего
N-1 _ _
вида An = -N £ S (few). Тогда AN x0 = x0 для любого N > 1. С другой стороны, из (7) fc=0 ^
следует справедливость равенства lim ANx0 = 0, откуда непосредственно получаем,
N ^ oo
что x0 = 0. А значит, x0 G C0(J, X), т.е. функция x представима в виде x = y + x0, где y G CL (J, X), x0 G C0(J, X). Теорема доказана.
□
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гельфанд, И. М., Райков, Д. А., Шилов, Г. Е. Коммутативные нормированные кольца // УМН. - 1946. - Т. 1 - № 2(12). - C. 48-146.
GELFAND, I. M., RAYKOV, D. A., SHILOV, G. E. (1997) Commutative rated rings. UMN. 1 (2). p. 48-146.
2. Баскаков, А. Г., Струкова, И. И., Тришина, И. А. Почти периодические на бесконечности решения дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами // Сиб. матем. журн. — 2018. — Т. 59 — № 2. — C. 293-308.
BASKAKOV, A. G., STRUKOVA, I. I., TRISHINA, I. A. (2018) Solutions almost periodic at infinity to differential equations with unbounded operator coefficients. Siberian Math. J. 57 (1). p. 145-154.
3. Струкова, И. И. Спектры алгебр медленно меняющихся и периодических на бесконечности функций и банаховы пределы // Вестн. ВГУ. Серия: Физика. Математика. - 2015. - № 3. - C. 161-165.
STRUKOVA, I. I. (2015) Spectra of algebras of slowly varying and periodic at infinity functions and Banach limits. Vestnik VSU. Ser. Physica. Matematika. 3. p. 186-198.
4. Струкова, И. И. О теореме Винера для периодических на бесконечности функ-ци // Сиб. матем. журн. - 2016. - Т. 57 - № 1. - C. 186-198.
STRUKOVA, I. I. (2016) About Wiener theorem for periodic at infinity functions. Siberian Math. J. 57 (1). p. 145-154.
5. BASKAKOV, A., STRUKOVA, I. (2016) Harmonic analysis of functions periodic at infinity. Eurasian Math. J. 7 (4). p. 9-29.
6. Винер, Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения / Н. Винер. — M.: Физ-матлит, 1963. — 256 с.
WIENER, N. (1988) The Fourier Integral and Certain of its Applications. Cambridge Univ. Press, reprint by Dover, CUP Archive.
7. Баскаков, А. Г., Криштал, И. А. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства // Изв. РАН. Серия матем. — 2005. — Т. 69 — № 3.. — C. 3-54.
BASKAKOV, A. G., KRISHTAL, I. A. (2005) Harmonic analysis of causal operators and their spectral properties. Izv. Math. 69 (3). p. 439-486.
8. Росс, К. Абстрактный гармонический анализ. Том 2 / К. Росс, Э. Хьюитт. — M.: Мир, 1975. — 899 c.
ROSS, K. A., HEWITT, E. (1970) Abstract Harmonic Analysis. Volume II. SpringerVerlag, New York.
9. Баскаков, А. Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов // СМФН. — 2004. — Т. 9. — C. 3-151.
BASKAKOV, A. G. (2006) Theory of representations of Banach algebras, and abelian groups and semigroups in the spectral analysis of linear operators. J. Math. Sci. (N. Y.). 137 (4). p. 4885-5036.
10. Баскаков, А. Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический анализ // Сиб. матем. журн. — 1997. — Т. 38 — № 1. — C. 14-28.
BASKAKOV, A. G. (1997) Asymptotic estimates of inverse operators matrix elements and harmonic analysis. Siberian Math. J. 38 (1). p. 10-22.
