О почти нормальных матрицах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

Х.Д. Икрамов1

О ПОЧТИ НОРМАЛЬНЫХ МАТРИЦАХ

Принято определение почти нормальной матрицы как п х n-матрицы, имеющей п — 1 попарно ортогональных собственных векторов. Показано, что свойства таких матриц промежуточны между свойствами обычных нормальных матриц и матриц общего вида. В частности, почти нормальная матрица имеет форму Шура, которая в известном смысле является канонической.

Ключевые слова: нормальная матрица, форма Шура, число обусловленности собственного значения, функция от матрицы, декартово разложение.

1. Введение. Пусть матрица А е Мп(С) нормальна, т.е.

АА* = А* А. (1)

Основное свойство такой матрицы — наличие ортогонального базиса из собственных векторов. Прочие свойства нормальных матриц либо являются переформулировками этого характеристического свойства, либо могут быть выведены из него. Перечислим некоторые из них.

1. Унитарным преобразованием подобия

А —г D U*AU (2)

матрица А может быть преобразована к диагональной форме D. (Это всего лишь иная формулировка требования о существовании ортогонального базиса из собственных векторов.)

2. Пусть f(z) — функция, аналитическая в окрестности спектра матрицы А. Тогда из (2) следует

f(A) = Uf(D)U*. (3)

Если Ai,..., Ап — собственные значения матрицы А, то

/(D) = diag(/(A1),...,/(An)).

Итак, (аналитические) функции от D вычисляются тривиально, а знание спектрального разложения (2) позволяет почти столь же просто вычислять функции от самой матрицы А.

3. Матрица U, составленная из ортонормированных собственных векторов для А, имеет (наименьшее возможное) спектральное число обусловленности единица. Простые собственные значения матрицы А имеют наименьшие возможные индивидуальные числа обусловленности, также равные единице.

4. Рассмотрим декартово разложение матрицы А:

A = B + iC, В = 1(А + А*), С=^(А-А*). (4)

2 2/

Тогда нормальность матрицы А равносильна соотношению перестановочности

ВС = СВ. (5)

5. Собственные значения матрицы В (С) в (4) суть вещественные (мнимые) части собственных значений матрицы А.

6. Если А имеет только простые собственные значения, то всякая матрица Б, перестановочная с А, сама является нормальной.

В алгебраической литературе исследовались различные варианты "приближенной нормальности". Можно, например, потребовать, чтобы две матрицы в (1), пусть не совпадая точно, имели разность, не превосходящую по норме заданного числа е > 0. Вариант, который мы хотим предложить, по-видимому, никем ранее не рассматривался.

1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: ikramovQcs.msu.su 3 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1

Определение. Назовем матрицу А € Мп(С) почти нормальной, если А имеет ортогональную систему из п — 1 собственных векторов х\,..., жп_1 (которые будем считать нормированными). Соответствующие им собственные значения А1,...,АП_1 будем называть нормальными. Оставшееся собственное значение /х назовем особым. В общем случае /х может совпасть с одним из нормальных собственных значений.

Наша цель — выяснить, в какой мере это небольшое ослабление стандартного требования нормальности сохраняет привычные свойства нормальных матриц. Ответ вкратце таков: лишь в незначительной мере. Вместе с тем класс почти нормальных матриц обладает рядом интересных свойств, отличающих его от матриц общего вида. Данная статья дает обзор этих свойств.

2. Каноническая форма Шура почти нормальной матрицы. Согласно классической теореме Шура, всякая матрица А € Мп(С) может быть унитарным подобием преобразована в треугольную матрицу, называемую формой Шура для А. Для определенности будем говорить о верхней форме Шура.

Разным упорядочениям собственных значений отвечают различные формы Шура матрицы А. Но и при фиксированном упорядочении форма Шура не единственна. Поэтому, в отличие, например, от формы Жордана, форма Шура не считается канонической.

Пусть А € Мп(С) — почти нормальная матрица. Примем для ее собственных значений расположение А1,..., Ап_1, /х. Обозначим через у нормированный вектор, ортогональный к собственным векторам х\,... , жп_1. Нетрудно видеть, что у есть левый собственный вектор для А, относящийся к особому собственному значению /х. Переход от первоначального (координатного) базиса к ортонор-мированному базису Ж1,...,ЖП_1 ,у преобразует А в треугольную матрицу

S =

/А! /?! \

Аз Д

An-l ßn-l \ » )

(6)

Полученная форма Шура (6) содержит лишь (самое большее) п — 1 ненулевых внедиагональных элементов ßi,..., ßn-\.

Аргументы чисел ßi,..., ßn-i могут быть любыми: от S можно перейти к матрице DSD, где D — произвольная диагональная унитарная матрица. При таком переходе нормальные собственные векторы х\,... ,xn-i заменяются коллинеарными векторами, и это же верно для вектора у.

В то же время модули чисел ßi однозначно определены матрицей А. Действительно, согласно (6), имеем

\ßi\ = \(Ay,Xi)\, i = 1,2,... ,n - 1, (7)

и эти выражения инвариантны относительно переходов типа S —> DSD. В этом смысле форму Шура (6) почти нормальной матрицы А можно считать канонической.

Предположим, что /х не совпадает ни с одним из нормальных собственных значений. В базисе х\,... ,xn-i,у нормированный правый собственный вектор хп, отвечающий /х, имеет координаты

( Л ßn-1 ЛТ iQ\

Xn=T\ -г-,...,-г-, 1 • (В)

\/х- Ai /х- Ап_1 /

Число г есть нормирующий множитель:

т~2 = 1

-2 , , \ßlf , , \ßn-l\2

Im — Ai|2 - A„_i|2

Последняя компонента г вектора (8) имеет геометрический смысл длины перпендикуляра, опущенного из хп на линейную оболочку нормальных собственных векторов. Построим матрицу из собственных векторов для А:

Р — (х\ . . . Xn—i xnJ

Поскольку все векторы нормированы, имеем \\Р\\р = у/п. Можно показать, что

1/2

I'' Х- +

Таким образом, во фробениусовой (иначе, евклидовой) норме число обусловленности матрицы из собственных векторов равно

1/2

сопс1^ Р = п1п — 2

Напомним, что это число участвует в качестве множителя в теореме Бауэра-Файка (см. [1, § 4]), оценивающей изменения в собственных значениях матрицы вследствие возмущений, внесенных в ее элементы. (Более точным множителем было бы труднее вычисляемое спектральное число обусловленности сопсЬ Р.)

Предположим теперь, что не только /х ф (г = 1, 2,..., п — 1), но и сами числа А^ попарно различны. Тогда каждое А^ можно снабдить индивидуальным числом обусловленности к{\%) (см. [1, §6]). Если у г — нормированный левый собственный вектор для А ¿, то

1

л(Аг) = -г, гт, Ъ = 1, 2, . . . , П — 1.

|(®г,Уг)|

В базисе Ж1,...,ЖП_1, у вектор у^ имеет координаты

ж Г

Уг = сГ; | 0,..., 0, 1 ,0,..., 0, г _ , г = 1,2,... ,п - 1.

Аг - Ц I

Нормирующий множитель определяется соотношением

-2 _ -I , \Рг\ • _ -I о _ -I

СТ • — х I » % — .1» » . . . » ТЪ х.

г I л I 2 ' ! ! !

щ -

Отсюда следует

|2

1/2

к(Хг) = о1 1 = ( 1 Н--——з) , I = 1,2, . . . ,71 - 1.

\ I — ^г | /

Это равенство дает еще одно (наряду с (7)) геометрическое истолкование числа в канонической форме (6):

Как и следовало ожидать, при Д = 0 собственное значение А* обусловлено идеально: к(А*) = 1.

3. Функции от почти нормальной матрицы. Пусть А — почти нормальная матрица и пусть

5 = Г'ЛГ (9)

есть каноническая форма Шура (6) матрицы А. Тогда

¡(А) = и/(8)и*. (10)

Представим Б в блочном виде:

(ср. с (3)). Тогда и /(Б) имеет блочную форму

/ю=(/(вГ0 л'"))' <12)

Поскольку /(!)„_ 1) — это диагональная матрица

/(£>„-!) = сНаё(/(А1),...,/(Ап_1)),

то определению подлежит лишь (п — 1)-мерный вектор д. Покажем, что если матрица /(!)„- 1) уже известна, то этот вектор может быть вычислен за 0(п) арифметических операций.

Аналитическая функция /(5) есть в сущности многочлен от 5 и потому коммутирует с 5. Подставляя в соотношение перестановочности

5/(5) = /(5)5

представления (11) и (12) и приравнивая блоки (1,2), находим

(Д»-1 - ц1п-1)д = [/(А1-1) - ЯмКп-ф. Отсюда получаем для компонент д^ вектора д формулы

. ./(Аг)~/М„ ,_19

д% — , % — I, . . . , п I.

Аг - Ц

Определив матрицу /(5), вычисляем /(А) с помощью равенства (10).

4. Декартово разложение. Определение нормальности (1) можно интерпретировать как требование, чтобы для матрицы А коммутатор

[А, А*} = АА* - А* А

был нулевой матрицей. Пусть теперь А почти нормальна, не будучи нормальной. Из равенства (9) вытекает, что

[Л. А*} = Г[5.5"]Г".

Посмотрим, что можно сказать о коммутаторе [5,5*]. Представим 5 в виде

5 = В + Д,

где

В = (^(Аь ..., Ап_1,/х),

а в матрице Д отличны от нуля лишь наддиагональные элементы /?!,..., /Зп_1 последнего столбца. Тогда

[5,5*] = (КБ - ВЩ + (В Я* - Я* В) - Д* Д + ДД*.

В матрице Т\ = Д В — 1)Д, как и в Д, отличны от нуля лишь наддиагональные элементы последнего столбца, матрица Т2 = В В* - III) сопряжена с единственный ненулевой элемент матрицы Т3 = ^Д*Д находится в позиции (п,п). Таким образом, ранг суммы Т\ +Т2 +Т3 не превосходит двух. Наконец, Т4 = ДД* есть матрица ранга 1. Итак, ранг коммутатора [5, 5*] не может быть больше трех, и то же верно для коммутатора почти нормальной матрицы А.

Рассмотрим теперь декартово разложение (4) матрицы А. Если А нормальна, то имеет место (5), т.е. коммутатор

[В, С} = ВС - С В равен нулю. В общем случае справедливо тождество

[А, А*] = ^2ъ[В,С\.

Поэтому для почти нормальной матрицы А ранг коммутатора [В, С] не превосходит трех.

Обсудим теперь связь между собственными значениями матриц А, В и С. В случае нормальной матрицы А эта связь описывается свойством 5 из введения. Для матрицы А общего вида можно сказать лишь следующее: пусть ^ х-} ^ ... ^ хп — собственные значения эрмитовой матрицы В, а £1 £2 ^ • • • ^ Си — упорядоченная по убыванию последовательность вещественных частей собственных значений самой матрицы А. Тогда выполняются соотношения мажорирования

6 + • • • + 6 < + • • • + 1 < А; < п - 1,

£1 + • • • + Сп = + • • • + Кп- (13)

Аналогичные неравенства справедливы для собственных значений 71 ^72 ^ • • • ^7п матрицы С и упорядоченной последовательности щ ^ щ ^ ■ ■ ■ ^ г]п мнимых частей собственных значений матрицы А.

Пусть теперь А — почти нормальная матрица. Информация о связях между числами ^ и будет получена из изучения формы Шура (6). Полагая

1

^ = о +

имеем

51 =

( 6 А/2 \

6 /За/2

Сп-1 Рп-1/2

4/51/2 /32/2 ••• Рп-г/2 £п /

Здесь ^ (1 ^ '1 ^ п — 1) — вещественные части нормальных собственных значений, а = Ые/х. Без ограничения общности можно считать, что С1 ^ С2 ^ • • • ^ Сп-1- (Этого можно достигнуть симметричной перестановкой строк и столбцов в матрицах Б и 51.) Тогда имеют место разделительные неравенства

^ £1 ^ ^ 6 ^ • • • ^ Сп-1 > и, разумеется, равенство (13). Аналогичные неравенства справедливы для чисел г] 1,..., 1 и 71,... ... ,7„. Обоснование этих утверждений можно найти в [2, гл. 2, раздел 39].

5. Перестановочные матрицы. Как мы видели выше, свойства 1-5, сформулированные во введении, существенно изменяются при переходе от нормальной к почти нормальной матрице. Напротив, свойство 6 сохраняется, а именно: если А — почти нормальная матрица и ее собственные значения А1,..., Ап_1,/х попарно различны, то всякая матрица В, перестановочная с А, сама является почти нормальной.

Доказательство этого утверждения то же, что в нормальном случае. Пусть х$ — собственный вектор матрицы А, отвечающий числу АИспользуя условие перестановочности, получаем

Л Иг, = В Ах % = \iBxi. (14)

Если Вх,г ф 0, то (14) означает: Вхц есть собственный вектор для А, относящийся к числу А¿. Ввиду простоты собственных значений векторы х^ и Вх$ должны быть коллинеарны, т. е. х^ есть собственный вектор и для В. То же верно, если Вхц = 0. В этом случае х* соответствует нулевому собственному значению матрицы В.

Итак, попарно ортогональные собственные векторы х\,..., жп_1 матрицы А остаются собственными векторами и для В. Тем самым В — почти нормальная матрица.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Икрам о в X. Д. Несимметричная проблема собственных значений. М.: Наука, 1991.

2. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

Поступила в редакцию 21.12.09

ALMOST NORMAL MATRICES

Ikramov Kh. D.

An almost normal matrix is defined as an n x n matrix having n — 1 pairwise orthogonal eigenvectors. The properties of such matrices are shown to be intermediate between those of conventional normal matrices and general matrices. In particular, an almost normal matrix has a Schur form that, in a certain sense, can be regarded as canonical.

Keywords: normal matrix, Schur form, condition number of eigenvalue, function of matrix, Cartesian decomposition.