О первых интегралах и точных решениях одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений со степенными нелинейностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика» 2017. Т. 20. С. 45-60

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvest.ia.

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского государственного ■университета

УДК 517.946 MSG ЗВ

DOI https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.20.45 О первых интегралах и точных решениях одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений со степенными нелинейностями*

А. А. Косов

Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН

Э. И. Семенов

Институт динамики систем и теории управления им. В.М. Матросова СО РАН

С. П. Голышева

Иркутским государственный аграрный университет им. А. А. Ежевского

Аннотация. Рассматривается система, обыкновенных дифференциальных уравнений со степенными нелинейностями. Системы такого вида, возникают в качестве систем сравнения в задачах анализа, устойчивости по нелинейному приближению и при применении метода, редукции к системам с переключениями. Такого же вида, уравнения встречаются также при построении методом редукции точных решений систем реакции-диффузии, моделируемых системами уравнений в частных производных параболического типа, со степенными нелинейностями, характеризующими реагирование компонент смеси. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений со степенными нелинейностями используются в математической биологии как модели взаимодействующих биологических видов. Получены условия на. параметры системы, при выполнении которых она. имеет явные точные решения, предста.вимые степенными либо экспоненциальными функциями времени. Найдены условия существования первых интегралов системы, задаваемых комбинациями степенных и логарифмических функций от фазовых переменных. Приводится целый ряд примеров, иллюстрирующих полученные результаты.

Ключевые слова: нелинейная система. ОДУ, задача. Коши, точные решения, первый интеграл, редукция.

* Работа, выполнена, при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-08-06680) и Совета, по грантам Президента. Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (НШ-8081.2016.9).

1. Введение и постановка задачи

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) со степенными нелинейностями

Хк = skxxkk + х^кк akj > xk = xk(t), = k = l~ñ, (1.1)

з^к

Здесь коэффициенты Sk, akj являются вещественными числами, а показатели степеней Хк, Цк, ^к считаются рациональными числами с нечетными знаменателями, если система (1.1) рассматривается в полном фазовом пространстве х = col (х\, Х2, ■ ■ ■, хп) € Кга и произвольными вещественными числами, если система (1.1) рассматривается в неотрицательном ортанте R™. Системы вида (1.1) возникают в качестве систем сравнения в задачах анализа устойчивости по нелинейному приближению [1] и при применении метода редукции к системам с переключениями [6]. Уравнения вида (1.1) появляются также при построении методом редукции аналогично [2; 3] точных решений систем реакции-диффузии, моделируемых системами уравнений в частных производных параболического типа со степенными нелинейностями, характеризующими реагирование компонент смеси. Поэтому изучение системы (1.1) и выявление качественных свойств ее решений имеет значение для более широкого класса дифференциальных уравнений и может быть распространено на существенно более общие и сложные системы, редуцируемые к (1.1).

Система ОДУ вида (1.1) имеет и самостоятельное значение, поскольку встречается в математической биологии как модель взаимодействующих биологических видов, составляющих биоценоз или искусственно культивируемых человеком в сельскохозяйственном производстве [4; 5]. При такой интерпретации системы (1.1) коэффициенты Sk обычно трактуются как коэффициенты воспроизводства (например, рождаемости жертв в отсутствии хищников) когда они положительны или как коэффициенты вымирания (например, смертности хищников при полном отсутствии жертв), когда они отрицательны. Коэффициенты же akj характеризуют трофические цепи, показывая, например, эффективность различных кормов для продуктивности сельскохозяйственных животных, либо влияние обилия определенного типа жертв на скорость размножения хищников в естественном биоценозе. Показатели степени А&, fik, Vk ПРИ этом могут отражать скорости и типы взаимодействия в трофических цепочках. В простейших экологических моделях все показатели считаются обычно равными единице, при этом система (1.1) все равно остается нелинейной.

Начиная с первых простейших двумерных экологических моделей Лотки - Вольтерры изучение свойств решений нацеливалось на построение первых интегралов и нахождение периодических решений, траектории которых в двумерном случае совпадают с линиями уровня

первого интеграла. Первая модель Лотки и строилась с целью объяснить периодические колебания уловов рыбы в Адриатическом море [4]. Основная цель данной статьи — получение точных решений и построение первых интегралов нелинейной многомерной системы (1.1), в которой не все показатели степеней являются единичными. Получены условия на параметры системы (1.1), при выполнении которых она имеет явные точные решения, представимые степенными либо экспоненциальными функциями времени. Найдены условия существования первых интегралов системы (1.1), задаваемых комбинациями степенных и логарифмических функций от фазовых переменных. Приводится целый ряд примеров, иллюстрирующих полученные результаты.

2. Точные решения системы (1.1)

Исследование автономной системы ОДУ (1.1) начнем с построения некоторых ее частных решений. Докажем, что справедливы утверждения.

Утверждение 1. Если параметры системы (1.1) таковы, что выполняются условия: 1) \к < 1 для всех к = 1,п;

2)

Vk

1-А к

= р = const для всех к = 1, п;

3) вектор h = col ^(1 — Ai)p S\,..., (1 — \n)p Snj является решением

системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Ah = 0, где матрица А имеет вид

А =

О аi2 ai3 OL 21 О СК23

а ы

«2 п

ап2 апз ... О то система (1.1) имеет точное решение

(2.1)

xk(t) =

(1 - Afc) Sk (t - t0)

к = 1,п, удовлетворяющее начальным условиям xj.itо) = 0, к = 1,п.

Доказательство. С учетом условия 2 перепишем систему (1.1) в следующем виде:

Xk^k [xk - SkXkj = ^ OLkj

p(l-^k)

k = 1, n, n > 2.

(2.2)

При выполнении условия 1 ОДУ стоящие в круглых скобках, с началь-

ными условиями Хк(Ьо) = 0, имеют частные решения Хк(Ь) = [<£>(£)]1_л,г, где = (1 — Хк) вк (£ — ¿о)- На указанных частных решениях левая

часть (2.2) обращается в нуль и равенства (2.2) примут вид

к

которые эквивалентны СЛАУ АЪ = 0, где вектор Ь определен в условии 3, а матрица А задается формулой (2.1). Утверждение доказано. □

Замечание 1. Если сверх того условие 2 выполняется для р = 1 то система (1.1) имеет семейство точных решений =

хк0 <

(1 - Afc) Sk (t - to)

, к = 1 ,n, удовлетворяющее начальным услови-

ям Xk(to) = Хко, к = 1 ,п, которые следует брать так, чтобы вектор ho = col (ж}оЛ\ ... ,XnQXn^J был решением следующей СЛАУ: Aho = О, где матрица А задается формулой (2.1).

Замечание 2. При выполнении условия 2 в усиленном виде с р = 1 и условия 3, первое условие на А к становится ненужным.

Утверждение 2. Пусть в системе (1.1) для всех к = 1,п выполнены следующие условия: Хк = А, А ф 1, = и, ¡л^ = Ц, А = ц, + v и начальные условия имеют вид Хк{0) = Хко■ Кроме того, параметры Sk7 Oíj.j и начальные данные Хко удовлетворяют системе нелинейных алгебраических уравнений

7^fco = Skxk0 + ^ akjXuj0. (2.3)

j^k

Тогда система (1.1) имеет частные решения Xk{t) = ж&о(1 + t)1, где 1

В справедливости этого утверждения можно убедиться непосредственной подстановкой функций Xk(t) = Xko(l + í)7 в систему (1.1).

Утверждение 3. Пусть в системе (1.1) для всех k = 1,п, п > 2 выполнены следующие условия: Хк = 1, Vk = v, Sk = S. Кроме того, параметры o¿kj и начальные данные Хк{0) = Хко > 0 удовлетворяют следующей СЛАУ: Ag = 0, где вектор g = col ((^щ)" , (Х20У ,..., (хпо)и), а матрица А имеет вид (2.1). Тогда система (1.1) имеет частные решения Xk{t) = Хко exp (St).

Доказательство. С учетом условий утверждения Хк = 1, и^ = и, в к = ¿> для всех к = 1,п, п > 2 перепишем систему (14) в следующем виде:

(хк - вхк) = к = 1,п, п> 2. (2.4)

З^к

ОДУ, стоящие в круглых скобках, с начальными условиями Хк(0) = Хко > 0 имеют частные решения Хк(Ь) = Хко^р (вЬ). Следовательно, на указанных частных решениях левая часть (2.4) обращается в нуль и равенства (2.4) примут вид

0 = ■ ^ ак3 (хзоУ , к = Т~п, п> 2,

которые эквивалентны СЛАУ Ag = 0, где вектор § определен в условиях утверждения, а матрица А задается формулой (2.1). Утверждение доказано. □

Утверждение 4. Пусть в системе (1.1) для всех к = 1,п выполнены следующие условия: \к = 1, Цк = Ук = V, ц + и = 1 и начальные условия имеют вид Хк{0) = Хко■ Кроме того, параметры Бк, (Щ и начальные данные Хко удовлетворяют системе нелинейных алгебраических уравнений

зфк

Тогда система (1.1) имеет частные решения Хк{= Хкое7*, где 7 ф 0 — произвольная постоянная.

В справедливости этого утверждения можно убедиться непосредственной подстановкой функций Хк(Ь) = Хкое <г в систему (1.1).

3. Первые интегралы системы (1.1)

Покажем, что автономная система ОДУ (1.1) при определенных соотношениях на параметры допускает первые интегралы.

Утверждение 5. Пусть параметры системы (1.1) удовлетворяют условиям:

1. Хк = 1, к = т + 1, п, т < п;

2. и к = ~ 1, к = т + 1, п; 3- 1Ук = А к, к = 1,т

и следующая система алгебраических уравнений:

п

АкБк = 0, + А^к = 0, к = 1~п, 3 = 1, к - 1 (3.1)

к= 1

имеет нетривиальное решение (А\,..., Ап). Тогда система (1.1) имеет первый интеграл

•/ = Е

Ак

к=1

1-А к

х

1-А к

(3.2)

к=т-\-1

Доказательство. Производная от выражения (3.2) в силу системы (1.1) имеет вид

7 т т

¿¡=1

З^к

+

-1

З^к

С учетом условий 1-3 последнее равенство перепишется как

<и

X

+

З^к

п

п

+ ^ АкЗк+ ^ Л^* 1Е акз

х

к=т-\-1 А:=т+1

п т

„1^3 ~хз Ь3

к=1

+ Е

к=т-\-1

Е ^^ + Е + А,^)

к= 1

к=1,п, ]=1,к—1

Таким образом, если постоянные Ад., к = 1,п удовлетворяют системе

алгебраических уравнений (3.1), то —— = 0. Что и требовалось доказать.

М п

Замечание 3. Утверждение 5 останется справедливым и для случаев, когда Хк ф 1 для всех к = 1,п и Ад = 1 для всех к = 1,п. В первом случае выражение для первого интеграла (3.2) не будет содержать логарифмические члены, а во-втором — степенные.

Замечание 4. Система (34) есть линейная однородная система N =

п(п — 1) лт , . . . ----Ь 1 уравнений относительно п < N неизвестных (Л1,..., Ап).

Для существования нетривиальных решений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы г был меньше п. При г = п — 1 выражение (3.2) дает лишь единственный первый интеграл, коэффициенты которого Ак, к = 1 ,п определены с точностью до произвольного отличного от нуля множителя. При г < п — 1 выражение (3.2) дает семейство первых интегралов, коэффициенты которого Ак, к = 1,п зависят от п — г > 2 произвольных параметров.

Пример 1. Пусть п = 3 и выполнены условия \кф 1 для всех к = 1,3. В этом случае следующая автономная система ОДУ:

¿1 = Б^1 + а12х^1х^~Х2 + аих^х^3"Аз,

¿2 = в2хХ2 + а21Х$1~Х1х%2 + а23х^х^~Хз, (3.3)

¿з = S3xXs + aaizf ~Ala#3 + а32х%2~Х2х%3,

Ai

l-A k

по утверждению 5 имеет первый интеграл вида J = > -—— хк

¡л 1 — Afc

к=1

При этом неизвестные А\, А2, А3 удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений

A1S1 + A2S2 + A3S3 = 0, Аха12 + А2а21 = О,

Aiaiz + A3a3i = 0, А2а 23 + А3а32 = 0. (3.4)

Ранг матрицы этой системы равен 3. Поэтому для существования нетривиальных решений потребуем, например, равенство нулю всех миноров третьего порядка, что приводит к следующим соотношениям на параметры системы:

ai2a23a3i + 0:130:32021 = 0, a23a3iSi + 01303262 - ^i3a23S3 = 0. (3.5)

При выполнении этих равенств ранг матрицы системы (3.4) будет равен

о л

2 и следовательно она имеет нетривиальное решение: А\ =--а,

013

О32

А2 =--а, А3 = а, где а ф 0 — произвольная постоянная. Таким

023

образом, система (3.3), параметры которой удовлетворяют равенствам (3.5) имеет следующий первый интеграл:

т _ ОЗ! 1-А1 , a32 1-Л2 _ 1 1—Лз _ ,

J1 — . . Хл , . Хъ Хо — const.

(1-Ai)ai3 1 (1-A2)a23 2 1 — A3

Пример 2. Рассмотрим систему (1.1) для п = 2, которая в этом случае примет вид

х\ = Бгх^1 + а^х^х^2, Х2 = ^ж^2 + аэгх^х1^1. (3.6)

Применяя утверждение 5, покажем, что существуют 4 различных варианта условий на параметры 5г, Аг, г^, (г = 1, 2), ск12, скгъ при которых система (3.6) имеет первые интегралы.

1. Пусть параметры системы (3.6) удовлетворяют следующим условиям:

А1 ф 1, А2/1, = /II — и2 = ц2-А2, а^б*! - а^г = О, тогда система (3.6) имеет первый интеграл

Л = (1 - А2) а21ж}"Л1 - (1 - АО а12х1~Х2 = Съ

где С\ — произвольная вещественная постоянная.

2. Пусть параметры системы (3.6) удовлетворяют следующим условиям:

А1 = А2 = 1, VI = - 1, V2 = - 1, скг^! - ск^бг = О, тогда система (3.6) имеет первый интеграл

-Ъ = а21 \пхг - «12 1пж2 = С2,

где Сг — произвольная вещественная постоянная.

3. Пусть параметры системы (3.6) удовлетворяют следующим условиям:

А1 = 1, А2/1, VI = /II — 1, V2=|Л2-\2, СКг^! - «1252 = О,

тогда система (3.6) имеет первый интеграл

= (1 - А2) «211пж1 - а12Ж2_Л2 = С3,

где Сз — произвольная вещественная постоянная.

4. Пусть параметры системы (3.6) удовлетворяют следующим условиям:

А1 ф 1, А2 = 1, г/1=/Х1-Аь и2 = Ц2-1, скг^! - «1252 = О,

тогда система (3.6) имеет первый интеграл

74 = а:21ж}~Л1 - (1 - А1) «12 1пж2 = С4, где С4 — произвольная вещественная постоянная.

вещественная

Кроме первого интеграла (3.2) автономная система (1.1) обладает и другими первыми интегралами. Так нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений.

Утверждение 6. Пусть п = 2 и выполнены равенства A¿ = 1, щ = Hí — 1, (г = 1,2). Кроме того, пусть параметры системы удовле-

S i 5*2

творяют условию det А = 0, где А =

|_ai2 а21

матрица. Тогда соответствующая система имеет первый интеграл J = ж^ж^2, где h\, /г2 есть компоненты вектора h = col (h\, h2) являющегося нетривиальным решением уравнения Ah = 0.

Утверждение 7. Пусть п = 3 и выполнены равенства A¿ = 1, щ = Hí — 1, (г = 1,3). Кроме того, параметры системы удовлетворяют условиям

(рг - 1) Si + (ji2 - 1 )S2 = 0, (pi - 1) Si + (цз - 1) S3 = 0, (/X2 - 1) S2 + (ju3 - 1) S3 = 0,

(¿ti - 1) a 12 + (H2 - 1) CK21 = o, (m - 1) a13 + (¿Í3 - 1) a3i = 0,

(H2 - 1) a23 + (цз - 1) a32 = 0,

det A = det

«13 «12 0

«23 0 a2\ 0 a32 a3i

0.

Тогда соответствующая система имеет первый интеграл

J = Ъ\хi

/Í1-1 Й-1

+ Ь2х^

jUl-1 ц3-1

Ж'

3

+ Ь3Хг)

Ж'

3

где &i, есть компоненты вектора b = col (Ъ\, Ъ2, Ъ3), являющегося

нетривиальным решением уравнения АЪ = 0.

Утверждение 8. Пусть п = 4 и выполнены равенства A¿ = 1, щ = — 1, (г = 1,4). Кроме того, параметры системы удовлетворяют условиям

(/Л - 1) Si + (Ц2 -l)S2 = О,

(¡11 - 1) Si + (¿Í4 - 1) s4 = О, (р2 - 1) 5*2 + (¿Í4 - 1) S4 = О,

(ni - 1) а 12 + (ц2 - 1) а21 = 0,

(/XI - 1) СК14 + (/Х4 - 1) СК41 = 0, (¡¿2 ~ 1) СК24 + (l¿4 - 1) «42 = 0,

(/Л - 1) Si + (/ХЗ - 1) S3 = 0, (Р2 - 1) S2 + (JJL3 - 1) S3 = 0,

(jtí3 - 1) s3 + (М4 -1) s4 = о,

(Mi - !) «13 + (Мз - 1) a3i = 0, (Ц2 ~ 1) СК23 + (МЗ - 1) «32 = 0, (р3 - 1) а34 + (pi4 - 1) СК43 = 0,

A12CK13 + А13СХ12 = 0, А12а14 + Ai4o;i2 = 0, А^ац + Аиагз = О,

^12023 + ^23021 = 0, ^12 024 + ^24021 = 0, А23а24 + ^24 023 = О, ^13032 + ^23031 = 0, ^13034 + А34031 = 0, А2зОз4 + ^34032 = О, ^14 042 + ^24041 = 0, ^14043 + ^34041 = 0, ^24043 + ^34042 = 0.

Тогда соответствующая система имеет первый интеграл Т = Апх^-'х^-1 + Агзх^х^-1 + Аих^х^1 + А23х^~1х^"Ч

Пример 3. Для случая 1 из примера 2 система (3.6) запишется в следующем виде:

¿1 = З^1 + а12х^х%2"Ч х2 = — Б1ХХ2 + о21^2 (3.7)

012

Эта система имеет первый интеграл С учетом значения интеграла ■]\ уравнения системы (3.7) разделяются. Так уравнение для функции х2(Ь) примет следующий вид:

х2 = —^Хп2 + а2\Ху2 012

1 - Л2 у о21

1-А

которое сводится с квадратуре Ф (х2,х2о) = 021 (£ — ¿о), где

Х2

®(Х2,Х20)= !-^-ШЕЕ. (3.8)

Интеграл (3.8) в элементарных функциях вычисляется только при определенных значениях параметров Л^ ф 1, (г = 1,2), 5*1, 012, 021 и постоянной С\. Например, при ¡л,\ = 1 подынтегральное выражение значительно упростится и интеграл (3.8) запишется как

Х2

Ф (х2,х20) = ( —Т-——п-^—) (3-9)

Х20

5*1 / 1 — А] \ о 12

где а =-, о =

а 12 \ 1 — Л2 / 021

Покажем, что с использованием первого интеграла ^ легко построить решение задачи Коши для системы (3.7).

Пример 4. Интеграл (3.9) при //2 = 1 запишется как

Х2

<л 2 + 6£2-А2

(3.10)

Ж20

Он легко вычисляется в элементарных функциях, при этом возможны следующие случаи:

1. А 2 ф 1 и 4а6 — >0. В этом случае получим, что задача Коши для системы ОДУ:

Х\ = ¿чж^1 + 012^1^2 Л2, Xi(to) = Х\о,

СХ21 \ 1_\

¿2 = -S\X22 + a2lX2X1 \ X2(to) = Х20,

012

(3.11)

где А1 ф 1, Л2 Ф 1, 5*1 ф 0, 012 ф 0, 021 ф 0 — произвольные вещественные параметры, имеет общее решение

Xi(t) =

— + — tg Q 2 2 6

a;2(í) =

Здесь для удобства введены следующие обозначения:

П = ^ (1 - Л2) ^о21 (* - ¿о) + arctg (2Ьх20 +с

С = х

1—Ai 10

— bx

1-Л2 20 '

Si , 1 - Al Oi2 , „2 a=-, b =-— •-, q = Aab — С .

О! 12 1 — ^2 а 21

Отметим, что условие 4аЬ — С\ > 0 при котором вычислялся интеграл (3.10) накладывает ограничение на параметры и выбор начальных данных задачи Коши (3.11) в виде следующего неравенства:

2. А2 Ф 1 и С\ — 4аЬ > 0. В этом случае задача Коши для системы ОДУ (3.11) имеет общее решение

xi(t) =\С-Ь

Q (ж20 + Pxx2i) ет - Р (х20 + Qxxi)

x2(t) = -

Х20 + РхХ2%) еТ - (х20 + QxX

Q [х20 + Pxx2i) ет - Р (ж20 + QX22O) Х20 + Pxx2i) ет - (х20 + Qxxl

Здесь для удобства введены следующие обозначения:

С — /а С +

Т = (1-Х2)л/да21(1-Ь), Р = —Я =

26 26

С = х\йЛ1 ~Ъх^л\ а=—, 6=^—^-—, д = С2 — 4аЬ.

<у,\2 1 — л2 а2\

Отметим, что условие 4а6 — С2 > 0 при котором вычислялся интеграл (3.10) накладывает ограничение на параметры и выбор начальных данных задачи Коши (3.11) в виде следующего неравенства:

Ж10 0Х20 ) 1 _ Л2 а21 > 0.

Пусть /ик = 1 и ик = 1 — \к для всех к = 1 ,п. Тогда по утверждению 5 следующая система ОДУ:

Хк = Якххкк +хк^2 акз х1~Х], (3.12)

офк

имеет первый интеграл ■] = -%— х1~Хк = С, где С — постоянная.

¡л 1 — Ад к=1

Из соотношения первого интеграла выразим неизвестную хп, которая будет выражаться формулой

1-Л„'^-! А

к 1

Ап ^ 1 — \к

(3.13)

Подставим эту функцию в первые п — 1 уравнений системы (3.12), которая после некоторой перегруппировки слагаемых примет следующий вид:

Хк = Зкх1к - акп ■ \—^ • х2~Хк + акпСхк+ I — лк Ап

Е( 1 - Ага ЛЛ 1—л, , -Л-т

-акп- ' а )хз ' к = 1,п-1.

к=1,п— 1, у = 1 ,к— 1

Можно заметить, что если потребовать равенство нулю всех выражений стоящих в круглых скобках под знаком суммы, то выписанная система распадается на п — 1 уравнение, относительно неизвестных хк, к = 1,п — 1. Таким образом, можно сформулировать следующий результат:

Утверждение 9. Если параметры Бк, О/у и неизвестные Ак, к — 1 ,п удовлетворяют -п(п — 1) + 1 алгебраическим уравнениям (3.1) и (п — 2){п — 1) соотношениям

01к]~01кп---^ • ф-= 0, к = 1,п-1, ] = 1,к — 1, (3.14)

^ ~~ Л? Лп

то система (3.12) распадается на п — 1 уравнение с разделяющимися переменными

хк = Зкх^к -акп-~—^ • ^х2~Хк +акпСхк, к = 1,п-1, (3.15)

I — лк Ап

при этом хп определяется формулой (3.13).

Пример 5. Пусть п = 3. В примере 1 было показано, что при выполнении условий (3.5) неизвестные Ак, к = 1,3 определяются формулами

Оз1 О32 А\ =--а, А2 =--а, Аз = а, где а ф 0 — произвольная по-

013 023

стоянная. По утверждению 9, чтобы соответствующая этому случаю система (3.12) сводилась к двум независимым уравнениям на функции Х\(1), х2(Ь) мы должны потребовать выполнение дополнительных соотношений следующего вида:

1-А3 А2 1 — Аз А\

012 - --Г- • -7- ■ «13 = о, о21 - --— • — • а23 = 0,

1 — Л2 Аз 1 — Л\ Аз

Подставляя сюда найденные выше значения А\, А2, Аз, получим, что параметры к ф к = 1,3, ,] = 1,к — 1 помимо условий (3.5) должны удовлетворять равенствам

1 - А3 013032 1 - А3 023 031

«12 + -:---= 0, о21 + ------= 0. (3.16)

1 - А2 023 1 - Л1 013

Таким образом, заключаем, что система ОДУ

х\ = БгхХ1 + х\ (а\2х1~Х2 + 01зЖз_Аз^,

Х2 = Б2Х22 + х2 (о21ж}"Л1 + а23Жз"Лз),

Хз = взхХз + Хз (о31ж}-Л1 + а32х1~Х2^ ,

параметры которой удовлетворяют условиям (3.5), (3.16) сводится к двум независимым уравнениям

х\ = БгхХ1 + \—^ • оз1Ж2_Л1 + а\зСх\, 1 — м

¿2 = S2X^ + ^

1-А2

а функция Xs(t) определяется по формуле

«32^2 2+а2зСж2,

ж3 (t) =

С +

1 - Х\ а\з 1 - Л2 а2з

Отсюда, с учетом начальных условий Ж1^о) = Хю, ж2(£о) = ж2о, Жз(£о) =

Жзо находим

С = х

1—Аз

1 — Аз СК31 !_Л 1 — Аз СК32 1_

1-А1"а1зЛ10 +1-А2 «2З"20 • Уравнения на функции ж 1(0, ж2(0 сводятся к квадратурам

Г ^

а2

(3.17)

= (t-to), Xio=Xi(to), г = 1,2, (3.18)

xío

где введены обозначения

bi = 7—т^-азь Ь2 = т—Ci = оцзС, С2 = а23С.

1 — Ai

1-А2

Здесь постоянная С определяется формулой (3.17). Пусть ^ = — С2 > 0, тогда из формулы (3.18) находим

где

а. =

Xí(t) =

(1 - A¿) Jq¡

, Q _ Cj

2Ъг g г~2Ьг

(t - to) + arctg

i

1-Л,-

¿ = 1,2,

, i = 1,2.

Пусть р^ = С\ — АБфг > 0, тогда из формулы (3.18) получим

„а1

ж ¿(0 =

где

Qí ( хм + PiхЩ eTi - Pi [хм + QíX^

Xío + PiX¿¿j eTi - (xi0 + QiX^jj

С i \fP~i

1

1-Л,-

Ti = ( 1 - A¿) y/p¡(t- t0), Pi =

Яг =

, i = 1,2,

Ci +

2 h 2bi Пусть ASA - Cf = 0, тогда из формулы (3.18) имеем

2 Ы

Xi(t) =

n 2 bí

i

1-А,-

Ti =

2biX^ g + Si

— (1 — Ai) bi (t — to), i = 1,2.

Список литературы

1. Косов А. А. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению / А. А. Косов // Дифференд. уравнения. - 1997. - Т. 33, № 10. -С. 1432-1434.

2. Рудых Г. А. Построение точных решений многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности / Г. А. Рудых, Э. И. Семенов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1993. - Т.ЗЗ, № 8. - С. 1228-1239.

3. Рудых Г. А. Точные неотрицательные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии / Г. А. Рудых, Э. И. Семенов // Сиб. мат. журн. - 1998. -Т.39, № 5. - С. 1131-11140.

4. Свирежев Ю. М. Устойчивость биологических сообществ / Ю. М. Свирежев, Д. О. Логофет. - М. : Наука, 1978. - 352 с.

5. Murray J. D. Mathematical biology. I. An Introduction / J. D. Murray. - Springer, 2002. - 552 p.

6. Vassilyev S. N. Stability Analysis of Nonlinear Switched Systems via Reduction Method / S. N. Vassilyev, A. A. Kosov, A. I. Malikov // Proceedings of the 18th IFAC World Congress (Milano, Italy, August 28-September 2, 2011). Milano, 2011. -P. 5718-5723.

Косов Александр Аркадьевич, кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952) 427100 (e-mail: [email protected]) Семенов Эдуард Иванович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952) 453099 (e-mail: [email protected])

Голышева Светлана Павловна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, Иркутский государственный аграрный университет им. А. А. Ежевского, 664038, Иркутская обл., Иркутский р-он, пос. Молодежный (e-mail: [email protected])

A. A. Kosov, E. I. Semenov, S. P. Golyscheva First Integrals and Exact Solutions of a System of Ordinary Differential Equations with Power Nonlinearity

Abstract. The system of ordinary differential equations with degree nonlinearities is considered. Systems of such kind arise as comparison systems at stability analysis by means non-linear approximation and at application of reduction method to switched systems. This same kind the equations meet also at construction by reduction method of exact solutions the systems of reaction diffusion modeled by sets of equations in partial derivatives of parabolic type with the degree nonlinearities characterizing reactions of components of mixture. Systems of ordinary differential equations with degree nonlinearities are used in mathematical biology as models of the interacting biological species. We obtain the conditions on parameters of system under which it has explicit exact solutions

representable by combination of degree or exponential functions of time. The existence conditions of presented by combinations of degree and logarithmic functions with respect to state variables the first integrals of system are obtained. A number of examples is given, illustrating the received results.

Keywords: nonlinear ODE system, Cauchy problem, exact solutions, first integral, reduction.

References

1. Kosov A.A. On the stability of complex systems by the nonlinear approximation. Differential Equations, 1997, vol. 33, no 10, pp. 1440-1442.

2. Rudykh G.A., Semenov E.I. Construction of exact solutions of the multidimensional quasilinear heat equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1993, vol. 33, no 8, pp. 1087-1097.

3. Rudykh G.A., Semenov E.I. Exact nonnegative solutions to the multidimensional nonlinear diffusion equation. Siberian Mathematical Journal, 1998, vol. 39, Issue 5, pp. 977-985. https://doi.org/10.1007/BF02672920

4. Svirezhev Y.M. Ustoychivost' biologicheskikh soobscshestv [The stability of biological communities]. M., Nauka Publ., 1978. 352 p. (in Russian)

5. Murray J.D. Mathematical biology. I. An Introduction. Springer, 2002. 552 p.

6. Vassilyev S.N. Stability Analysis of Nonlinear Switched Systems via Reduction Method. Proceedings of the 18th IFAC World Congress, Milano, Italy, August 28 -September 2, 2011. Milano, 2011, pp. 5718-5723. https://doi.org/10.3182/20110828-6-IT-1002.01936

Kosov Alexander Arkadievich, Leading Researcher, Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory SB RAS, Post Box 292, 134, Lermontov st., Irkutsk, 664033, tel.: (3952) 427100 (e-mail: [email protected])

Semenov Edward Ivanovich, Senior Researcher, Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory SB RAS, Post Box 292, 134, Lermontov st., Irkutsk, 664033, tel.: (3952) 453099 (e-mail: [email protected])

Golysheva Svetlana Pavlovna, Candidate of Science (Pedagogy), Assistant Professor, Department of Mathematics, A. A. Ezhevsky Irkutsk State Agrarian University, (e-mail: [email protected])