О ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛАХ ГАМИЛЬТОННЫХ СИСТЕМ В СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98 - 519.21

Абдусаломова Н.М. ассистент кафедры «Высшая математика» Наманганский инженерно-технологический институт

Узбекистан, Наманган

О ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛАХ ГАМИЛЬТОННЫХ СИСТЕМ В СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Аннотации: В работе изучается гамилътоновы системы и их первые интегралы.

Ключевые слова: скобка пуассона, пуассоновое многообразие, пуассоновая структура, симплектическое многообразие, гамилътоновая система, первый интеграл гамилътоновой системы.

Abdusalomova N.M. assistent of the department «Advanced mathematics» Namangan institute of engineering and technology

Uzbekistan, Namangan

ON THE FIRST INTEGRALS OF HAMILTONIAN SYSTEMS IN

SYMPLECTIC GEOMETRY

Annotations: The paper studies Hamiltonian systems and their first integrals.

Key words: Poisson bracket, Poisson manifold, Poisson structure, symplectic manifold, Hamiltonian system, first integral of a Hamiltonian system.

Пусть дано гладкое многообразие M . Скобка Пуассона на M сопоставляет каждой паре гладких вещественнозначных функций новую гладкую вещественнозначную функцию, которую мы будем обозначать

через ' Н} Чтобы называться скобкой Пуассона, такая скобочная операция должна обладать определенными свойствами. Мы сформулируем эти свойства сначала в простом бескоординатном виде. Впоследствии мы перепишем их в локальных координатах, и в таком виде их также можно взять в качестве определяющих свойств скобки Пуассона, особенно если M - открытое подмножество некоторого евклидова пространства.

Определение. Скобка Пуассона на гладком многообразии M — это операция, сопоставляющая каждой паре F, Н гладких вещественнозначных

функций гладкую вещественнозначную функцию ' Н} на M и обладающая следующими свойствами:

(а) билинейность:

{ + с'Р, Н} = с {, Н)+ с'{Р, Н}, {Г, сН + с' Р} = с{^, Н} + с' {^, Р}

с С' £

для любых ' '

(b) кососимметричность:

{Г, Н} = -{И,

(c) тождество Якоби:

{{Г, Н},Р} + {(Р, Б},И} + {(И, Р},Г} = 0;

(6) правило Лейбница:

{Г, И ■ Р} = {Г, И}• Р + И ■ {Г,Р}.

(Здесь ■ обозначает обычное умножение функций.) Во всех этих равенствах ^ Н и Р — произвольные гладкие вещественнозначные функции на М.

Многообразие М со скобкой Пуассона называется пуассоновым многообразием, а скобка определяет пуассонову структуру на М. Понятие пуассонова многообразия является несколько более общим, чем понятие симплектического многообразия или многообразия с гамильтоновой структурой; в частности, многообразие не обязано быть четномерным.

Пусть М - четномерное евклидово пространство Я координами

(АЯ) = (pl,...,Рп,ql,...,Цп) . Мы определяем Скобку Пуассона двух

гладких функций Г(Р, И(Р, я) формулой (канонической скобкой пуассона)

Гд¥ дИ дГ дИ

{Г, Н} = Х

г=1

дЯ дРг дРг дЯ

(1)

Гамильтоново векторное поле:

Определение. Пусть М — пуассоново многообразие и И: М ^ Я — гладкая функция. Гамильтоновым векторным полем, соответствующим

функции И, называется единственное гладкое векторное поле уи на М,

удовлетворяющее условию

Уи (Г) = {Г, И} = -{И, Г}

для каждой гладкой функции Б:М^Я . Уравнения потока векторного поля уи называются уравнениями Гамильтона для «гамильтониана» И. Пример:

В случае канонической скобки Пуассона (1) на ят , т = 2п +1 гамильтоново векторное поле, соответствующее функции Н(р, д, 2) ,

гдИ д дИ дл

очевидно, имеет вид

n

И j—[dp' dq1 dq1 dp1

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в гамильтоновой форме

^ = J ( x )УИ ( x, t) (2)

где И (x, t)—гамильтониан, a J (x)—структурная матрица, задающая скобку Пуассона.

Пример. На плоскости гамильтоновым векторным полем, соответствующим функции И(x,y) = — (X + y2) имеет вид ^ =-y— + x— .

2 dx dy

Соответствующая гамильтонова система дифференциальных уравнений x' = - y

' y, (3)

y = x

Определение. Функция

P( x, t) называется первым интегралом системы (2), если для решения x (t) имеет место P( x (t), t) = const для всех t.

Для системы (3) функция И(x,y) = —(x2 + y2) является первым

интегралом. Первые интегралы легко описываются с помощью скобки Пуассона. Известна следующая теорема о первых интегралах системы (2).

Теорема-1. Функция

P( x, t) является первым интегралом гамиль-тоновой системы (2), если и только если

дР

— + {Р, И} = 0 (4)

дt

для всех x, t. В частности, не зависящая от времени функция P(x) является первым интегралом в том и только в том случае, если {Р, И} = 0 всюду.

Из этой теоремы вытекает следующее следствие.

Следствие-1. Если гамильтониан И(x) гамильтоновой системы (1) не зависит от времени, то он сам автоматически является первым интегралом.

В самом деле функция И (х, у) = 1( х2 + у2) также является первым

интегралом системы (3).

Следствие-2. Любая отмеченная относительно скобки Пуассона, заданной матрицей J , функция ОД является первым интегралом гамильтоновой системы (1).

Мы доказываем следующую теорему.

Теорема-2. Предположим, что функция Р( х, X) является первым интегралом не зависящей от времени гамильтоновой системы. Докажите что

дР д^Р

Использованные источники:

1.Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1989, 644 стр.

2.Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М-Л,Главная редакция технико-теоретической литературы. 1937, 14 стр.

3.А.М.Переломов. Интегрируемые системы классической механики и алгебры М.: Наука, 1990, 237 стр.

ее производные —, —- и т.д. также является первыми интегралами.