О ПЕРЕМЕННЫХ ДАРБУ-НИЙЕНХЁЙСА НА ПУАССОНОВОМ МНОГООБРАЗИИ $so^*(4)$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.5

О переменных Дарбу-Нийенхёйса на пуассоновом многообразии so*(4)

А. В. Вершилов, А. В. Цыганов

С.-Петербургский государственный университет, Россия 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7—9 E-mail: alexander.vershilov@gmail.com, andrey.tsiganov@gmail.com

Получено 19 июля 2007 г.

Проведена полная классификация квадратичных бивекторов Пуассона на многообразиях so*(4) и e*(3), имеющих общее слоение на симплектические листы с каноническим бивектором Ли—Пуассона. Найдены переменные разделения для нескольких соответствующих би-интегрируемых систем.

Ключевые слова: интегрируемые системы, би-гамильтонова геометрия, разделение переменных.

A. V. Vershilov, A. V. Tsiganov On the Darboux—Nijenhuis Variables on the Poisson Manifold so*(4)

We classify quadratic Poisson structures on so*(4) and e*(3), which have the same foliations by symplectic leaves as canonical Lie-Poisson tensors. The separated variables for some of the corresponding bi-integrable systems are constructed.

Keywords: integrable system, bi-hamiltonian geometry, separation of variables.

Mathematical Subject Classifications: 70H20, 70H06, 37K10.

1. Введение

Рассмотрим пуассоново многообразие (М, Ро), где Ро — бивектор Пуассона, который удовлетворяет условию Якоби

[Ро, Ро] = 0.

Здесь [.,.] — скобка Схоутена на алгебре мультивекторных полей на многообразии М. Скобка Схоутена [Р, ф] двух бивекторов Р и Q является тривектором или контравариантным кососимметричным тензором третьего ранга, компоненты которого в локальных координатах г = = (г1,..., гп) имеют вид

dim М , „р ] ВСУ'Э \

{р.агк = - V ^л^+гт^+тми.к)).

т=1 ' '

Би-гамильтоновым многообразием М называется гладкое многообразие, снабженное двумя совместными бивекторами Пуассона Р0 и Р1, которые удовлетворяют следующей системе уравнений:

[Ро, Ро] = [Ро, Р1] = [Pi.Pi] = 0. (1.1)

Классификация совместных бивекторов Пуассона и соответствующих им би-интегрируемых систем с интегралами движения

{Нг, Н] }о = {Нг, Н] }1 = 0, 2, ] = 1, . . . , И,

является объектом интенсивных исследований в последние годы. Естественно, что непосредственно решить уравнения (1.1) в общем случае достаточно сложно. Поэтому мы можем попытаться упростить задачу классификации, используя топологические и геометрические свойства многообразия (М, Р0).

Бивектор Р1, удовлетворяющий условию совместности [Ро, Р1 ] =0, называется 2-коциклом в когомологии Пуассона—Лихнеровича, определяемой бивектором Р0 на многообразии М [6]. Производная Ли от бивектора Р0 вдоль какого-либо векторного поля X на многообразии М

Р1 = Сх (Ро) (1.2)

называется 2-кограницей, которая является 2-коциклом, задаваемым векторным полем Лиувил-ля X. Для таких бивекторов Р1 система уравнений (1.1) редуцируется до единственного уравнения второго порядка для векторного поля X

[Сх (Ро), Сх (Ро)] = 0, ^ [СХ (Ро),Ро ] = 0. (1.3)

Напомним, что производная Ли бивектора Р вдоль векторного поля X выглядит следующим образом:

(адрг = е" - р-‘Щ.

т=1 ' '

Вторая группа в когомологии Пуассона—Лихнеровича Нро (М) на многообразии М совпадает с множеством бивекторов Р1, которые являются решением уравнения [Ро,Р1] = 0, но не являются решениями вида Р1 = Сх(Ро). Мы можем считать Нро(М) пространством нетривиальных инфинитезимальных деформаций данной пуассоновой структуры на многообразии М.

Для регулярных пуассоновых многообразий вторая и третья группы в когомологии Пуассона— Лихнеровича тесно связаны с топологией симплектических листов и изменением симплектиче-ской структуры при переходе с одного листа на другой [12].

Если группа когомологий Нро (М) тривиальна, то все решения системы уравнений (1.1) можно построить с помощью решений уравнения (1.3).

В данной работе мы опишем некоторые частные решения уравнения (1.3) и обсудим разделение переменных для соответствующих этим решениям би-интегрируемых систем на пуассоновом многообразии во* (4).

2. Бивекторы Ли—Пуассона на зо*(4).

Алгебра во(4) является полупростой алгеброй Ли, и, следовательно, открытое плотное подмногообразие дуального пространства во*(4) является регулярным и трансверсально постоянным пуассоновым многообразием [12].

Напомним, что конечномерное пуассоново многообразие М является регулярным, если симплектическое слоение, определяемое бивектором Пуассона Р, имеет постоянный ранг. Пусть к обозначает коранг симплектического слоения, тогда в окрестности каждой точки регулярного многообразия существует к независимых функций Казимира Сг, которые являются постоянными на каждом из симплектических листов. Мы также напомним, что пуассоново многообразие называется трансверсально постоянным, если существует к векторных полей 2], которые транс-версальны к симплектическим листам и являются симметриями бивектора Р, т. е. Сz■ (Ро) = 0. Любое регулярное, трансверсально постоянное пуассоново многообразие локально представимо в виде произведения симплектических листов и абелевой группы, порождаемой векторными полями 2 [12].

На многообразии М = во*(4) = во*(3) ф во*(3) введем локальные координаты г = (в, 4), где в = (в^ в2, в3) и 4 = (41,, 4з) — два вектора из Ж3. Как обычно, мы отождествляем (Ж3, Л) и (во(3), [.,.]), используя хорошо известный изоморфизм алгебр Ли

/о гз —Х2 \

г = (гьг2,гз) ^ гм = -гз о г1 , (2.1)

у Х2 -г1 о у

где Л — векторное произведение на К3 и [.,.] — коммутатор матриц в во(3). В этих координатах канонический бивектор Ли—Пуассона на во*(4) принимает вид

Р° = ( 7 £)■ (22)

Симплектические листы общего положения являются аффинными плоскостями коразмерности два и являются поверхностями уровней двух глобально определённых функций Казимира

з

С = (в,в) = |в|2 = £ в2, С2 = (4,4), Ро^ = 0. (2.3)

г=1

В работе [10] переопределенная система уравнений (1.1) на многообразии во*(4) была явно разрешена в классе линейных бивекторов Ли—Пуассона Р1, порождающих нетривиальные

би-интегрируемые системы. Конечно, в этом случае все 2-коциклы являются 2-кограницами и группа Нро тривиальна.

Согласно [10] системы Фрама—Шоттки, Стеклова и Пуанкаре являются би-интегрируемы-ми, а соответствующие им бивекторы Пуассона Р1 = Сх(Ро) порождаются векторными полями Xj = ^ дг со следующими компонентами:

Х1 = (а141,а2^2, аз^з ,^1 в1,а2 в2,аз вз),

Х2 = (Х ,аХ2), а,а1,а2,аз £ С,

где

X3 = (0,0,at3, 0,0, -as3),

■v _<„* , ®і(«2+«з)„ , a2(aj + al)n ^ + аз(а?+а|)

Лі - (aiti Н —-------------si,a2t2 Н тгіТї^--------s2, a3t3 H -----S3),

aia3

ai a9

a" + al «1 + al af + a" , .

Л2 — (—агаз^і----------2—— aia3S2--------------^—t2, —aia2ss-------------^—із)-

2

2

Оставшиеся четыре решения системы (1.1) связаны со следующими векторными полями Х4 = ((аз + а2)в1, (аз + а1)в2, (а1 + а2)вз, (62 + 6з)£ь (61 + 6з^2, (61 + 62)^), = (—§—§52 + ^2^2, ЬзЬз, 61^1 — ^1, Ь2,в2 — ^2, (63 — а)^з — а£3),

Хб — (a2si, aiS2, (ai + a2)s3 — Ы3, cti, ct2,0),

X7 — (asi, as2,0, ci S3 + bti, C2 S3 + bt2,0),

где bi — ±b2 для векторного поля X5. Соответствующие би-интегрируемые системы с квадратичными интегралами движения были полностью описаны в [10].

Основная проблема при классификации данных пуассоновых структур состоит в том, что векторные поля Xk и соответствующие им бивекторы Pi — Lxk P0 определены с точностью до канонических преобразований векторов s и t, сохраняющих канонический бивектор P0.

3. Квадратичные бивекторы Пуассона на зо*(4) и е*(3)

После изучения линейных пуассоновых структур естественно перейти к рассмотрению квадратичных пуассоновых структур. Однако непосредственно решить систему переопределенных алгебраических уравнений (1.1) в квадратичном случае достаточно непросто, даже используя современные компьютеры с соответствующим программным обеспечением.

Поэтому всюду далее мы будем предполагать, что

^1^1,2 = 0. (3.1)

Это означает, что мы будем искать бивекторы Пуассона Р1, которые определяют такое же сим-плектическое слоение, как и канонический бивектор Р0. Дополнительное ограничение на бивектор Р1 = Сх (р0) является линейным уравнением для векторного поля X, которое позволяет нам найти все решения следующей системы уравнений:

Сх (Ро)^ = —Ро^Х (01,2 ) = 0 и [СХ (Ро), Ро] = 0. (3.2)

Любое решение X этой системы порождает бивектор Пуассона Р1 = Сх (Р0), удовлетворяющий уравнениям (1.1) и (3.1).

Как и ранее, основной проблемой является классификация решений относительно канонических преобразований. Мы решим эту проблему с помощью переменных Дарбу—Нийенхёйса, которые однозначно определяются парой бивекторов Пуассона Р0 и Р1.

3.1. Переменные Дарбу—Нийенхёйса

Рассмотрим би-гамильтоново многообразие М, снабженное невырожденным бивектором Пуассона Р0. Переменные (Чг,рг) называются координатами Дарбу—Нийенхёйса, если они являются каноническими относительно симплектической формы

П

Ш = Р0-1 = ^ Фг Л %

г=1

и приводят оператор рекурсии N = Р1Р0-1 к диагональной форме:

п' / д д \ м ^ \jjcf ® ^ + Ър- ®

Это означает, что скобки Пуассона имеют вид:

{&,Р]}о = 6ц, {<?г,Р]>1 = , {Чг, Ч] }о,1 = {Рг,Р] }о,1 = 0 . (3.4)

Мы можем принять уравнения (3.4) за определение переменных Дарбу—Нийенхейса на би-гамильтоновом многообразии М с вырожденными бивекторами Пуассона Р0 и Р1.

В соответствии с определением (3.3) координаты являются собственными числами оператора рекурсии N, т. е. они являются корнями минимального характеристического полинома N, который в нашем случае достаточно легко построить. Для того чтобы найти соответствующие им импульсы р1,2, мы можем попытаться решить уравнения (3.4) относительно функций р 1,2(5,4). Стандартная вычислительная проблема заключается в том, что импульсы р 1,2 определены с точностью до канонических преобразований рг ^ рг + /(ч), где / произвольная функция от дг.

3.2. Аналог переменных Андуайе на во*(4)

Для того чтобы построить оператор рекурсии N на симплектических листах общего положения алгебры во* (4), мы будем использовать следующий аналог переменных Андуайе [1,2]:

-1 I + Ів1 + І2 + Ні \ р>

пі=«з + ^з, VI = -гіп = (3.5)

11,2 — ,

^3С1 — в3С2 + (^3 — в3)(в1^1 + ^2^2 + ^3^3)

«2 = агееоя

у/ (і\ + 5і)2 + («2 + Іг)2 ^/C^C2^-Js^tї+~sїt2^-~S^tз)^

(3.6)

и

Обратное преобразование в координатах

= ві + Іі, Хі = к(ві — Іі), к Є С .

выглядит следующим образом:

J\ = \ju\- и2 віп г»і,

^2 =

«2 — «2 еоя «1,

/3 = «1

(3.7)

I «1 I О 2 с1

Сі < 1--------г- +141 л / Сг —«2----------------о со® ^2

Х1

«2

■ віїї г>і + л /С2 — -------\ віїї г»2 соя г»і,

Х2 =

-----+ «і-і/Сг — ^2«2----------------тгсоэг^

V «2 V «2 / 2 2 с2 .

--------------------соя г>і + д / С2 — ^«2----------------------г вт г»2 вт г»і,

«2

ж3 = Сі^| - ^/1 - ^/с2 - >^2из - шзг>2.

Здесь

С1 = Х1 /1 + Х2 ^2 + Х3/3 = к(С1 — С2),

С2 — Х]_ + Х2 + Х2 + К (/ + ^2 + /3 ) — 2к (С1 + С2).

(3.8)

В координатах (ж,/) исходный канонический бивектор Р0 (2.2) на многообразии во*(4) имеет вид:

к2/м жм А

жм /

Р

о =

(3.9)

При к ^ 0 этот бивектор переходит в канонический бивектор Р0 на многообразии е*(3), которое является двойственным пространством к алгебре Ли е(3) евклидовой группы Е(3). После контракции к ^ 0 наши переменные и, V (3.5—3.6) совпадают с переменными Андуайе на многообразии е*(3) [1,2].

Проекция канонического бивектора Р0 (3.9) на любой из симплектических листов общего положения многообразия М = во*(4) или М = е(3) в координатах (и, V) (3.5—3.6) имеет вид:

Ро

( 0 0 10\

0 0 0 1

—1 0 0 0

0 —1 0 0

Таким образом, используя переменные Андуайе, мы можем ввести каноническую симплектиче-скую форму ш = Р0-1 на любом из симплектических листов общего положения.

Более того, так как симплектическое слоение бивекторов Р0 и Р1 одинаково (3.1), то, используя переменные Андуайе, мы можем также легко построить и проекцию бивектора Р1, и оператор рекурсии N = Р1Р0-1, и переменные Дарбу-Нийенхёйса на любом из симплектических листов общего положения.

и

и

и

2

2

и

2

2

2

2

3.3. Первый бивектор

Мы решали систему уравнений (3.2) в классе квадратичных векторных полей X, используя одну из современных компьютерных систем символьных вычислений, и получили три решения.

Пусть а и Ь — вещественные векторы, а, в — произвольные параметры. Векторное поле X = (Л1, Х2) с компонентами

Х1 = а (в Л (а Л 5))+ в (Ь,£)(« Л а), Х2 = а (4 Л (Ь Л ■£)) (3.10)

определяет первый бивектор Пуассона, удовлетворяющий уравнениям (1.1) и (3.1):

(1) = / 2а(а, в)вм в [(а Л в) 0 (Ь Л *)Л

1 \ в [(а Л в) 0 (Ь Л ■£)]Т 2а(Ь,4)4м у .

Используя ортогональные преобразования векторов

5 ^ = и15, и 4 ^ = и2(3.12)

где и1,2 — ортогональные матрицы, мы всегда можем привести а и Ь к виду:

а = (0,0,аз), Ь = (0,0, Ьз).

Построив проекцию бивектора Р1(1) и соответствующий оператор рекурсии N(1), мы получим следующие координаты Дарбу-Нийенхёйса:

Ч1 = 2аазвз, = 2аЬз4з (3.13)

и импульсы

И = 2^ аГС*М1 (|) - Ш, 1,1(0383 “ 63*3)' к = агс‘“ (I)+1,1(0383 ~,,згз)-

которые удовлетворяют условиям (3.4). Используя преобразование сдвига

Р1(1) ^ АР1(1), А е Ж, (3.15)

мы всегда можем положить а = 1 или в = 1.

3.4. Второй бивектор

Пусть а и Ь два комплексных вектора удовлетворяющих условию

(а, Ь) = (Ь, Ь) = 0. (3.16)

Векторное поле X = (Л1, Х2) с компонентами

(3.14)

Х\ = | з Л (а Л з),

Лг = —^ £ Л (а Л £) + г|а|-1(а, «)(а Л £) — г(6, в)(6 Л £), определяет второй бивектор Пуассона, удовлетворяющий уравнениям (1.1) и (3.1):

(3.17)

„(2) [ (а,^М -г [|а| 1 (аЛ5)®(аА*)-(ЬА5)„ч-. .

Р1 = Г Т Т , (3.18)

\ г [|а| 1(аАз)®(аА'г:) —(ЬАз)(Х>(ЬА-г) —(a,^)^м

здесь |а| = л/а^ + а| + а| и (ж <8> у)ц = Хгу^.

Используя ортогональные преобразования (3.12) и сдвиг (3.15), мы всегда можем положить

а = (0,0,1), Ь = (Ь1, гЬ1, 0).

В этом случае переменные Дарбу-Нийенхёйса являются корнями минимального характеристического полинома оператора рекурсии N(2)

А(А) = (А — Ч1)(А — 92 ) = а2 + (4з — 5з)А + (41 + *^2)(в1 + *52)ь2 — 5з4з, (3.19)

в то время как соответствующие импульсы равны

Р1,2 = —2 1п В(А = Ч1,2), (3.20)

где

В (А) = (^1 — г^2 + Ь2 (41 + Й2)) А + 4з (в1 — 2^2) + Ь2 5з (^1 + Й2).

Как и ранее, эти переменные удовлетворяют условиям(3.4). Мы можем легко доказать этот факт, используя следующие соотношения:

{А(\),В(»)}к = -/Л4(А№)),

(3.21)

{Д(А)Д0«)Ь = {В(А)ВДЬ = 0, к = 0,1.

Преобразование р12) ^ р12) приводит к комплексному сопряжению координат qj• ^ д* и

Все детали вычислений могут быть найдены, например, в работе [1 Преобраз вектора Ь ^ Ь*.

3.5. Третий бивектор

Пусть а, Ь и с — комплексные векторы такие, что

(а, Ь) = (а, с) = (Ь, Ь) = (с, с) =0, Ь Л с = 0. (3.22)

Векторное поле X = (Л1, Х2) с компонентами

Лг = 2 і Л(а Лі) — г\а\ 1{а, в) (а Лі) — і(Ь, в) (с Л і)

(3.23)

определяет бивектор Пуассона, удовлетворяющий уравнениям (1.1) и (3.1):

Р(з) =( (а,^М г [М-1 \ (3 24)

1 I —г [|а|- 1(аАз)®(аА'()+(ЬАз)(Х>(сА'()] (a,^)^м )

Используя ортогональные преобразования (3.12) и сдвиг (3.15), мы всегда можем положить а = (0,0,1), Ь = (Ь1,2Ь1, 0), с = (с1, —2с1, 0).

В этом случае координаты Дарбу-Нийенхёйса являются корнями минимального характеристического полинома оператора рекурсии N(з)

А(А) = (А — ^1)(А — 92 ) = а2 — (вз + 4з)А + с1Ь1(41 — 242)(51 + 252) + 5з4з . (3.25)

Сопряженные моменты определяются следующим образом:

Р1,2 = —21п В(А = 51,2), (3.26)

где

В(А) = ((51 — 252) + С1Ь1 (41 — 242)) А + С1 Ь^1 — ^«з — («1 — Я^^з .

Легко увидеть, что полином А(А) (3.19) и полином А(А) (3.25) совпадают с точностью до следующего канонического преобразования:

42 —— —42, 4з —— —4з , если Ь2 = С1Ь1. (3.27)

Таким образом, соответствующие переменные Дарбу-Нийенхёйса и, следовательно, бивекторы

(2) (з)

Р{ (3.18) и Р{ (3.24) эквивалентны с точностью до канонического преобразования.

3.6. Квадратичные бивекторы Пуассона на е*(3)

Выпишем явно канонический бивектор Пуассона на многообразии М = в*(3)

0 жм

Р0 = (3.28)

\жм )

и отвечающие ему функции Казимира

С = |ж|2, С2 = (ж,/).

На многообразии М = в*(3) система уравнений (3.2) имеет только одно нетривиальное решение в классе квадратичных векторных полей.

Предложение 1. Если а и Ь — векторы, такие что |а| =0 и а — произвольный параметр, тогда бивектор

Р1

^ (а,ж), (жА/)С5а+(а,Т)хм + ^ ^^+а(а,Ь)^ (жСЗж—|ж|2)+а(ЬЛж)СЗ(аЛж) ^

^ *, (а,7)7м + (Ь,ж)жм + |^+а(а,Ь)^(жА7)м-а((аАж)Л(ЬЛ/))м у

(3.29)

удовлетворяет (1.1) и (3.1).

Координаты Дарбу-Нийенхёйса являются корнями следующего минимального характеристического полинома оператора рекурсии N:

А(А) = а2 -Ь ^(а, </) — (а Л Ь, х)а^ X Н--------------^^ (а, ж) (6, ж) — (а Л ж^, Ь Л ж)^

а, ^/_ * „ П 1 /_ * „ П , 1 /„ „Л 1

+ —(а, 6)(а Л ж, /) — —(а Л ж, /) Н--(ж, ж) — -(а, х)(Ь, ж). (3.30)

2 2а 4а2 2

Линейные канонические преобразования е*(3) состоят из преобразований

х ^ а и х, / ^ и(3.31)

где а — произвольный параметр и и — ортогональная матрица, и сдвига

ж — ж, / — / + Б ж, (3.32)

где Б — произвольная 3 х 3 антисимметричная постоянная матрица [5]. Используя эти преобразования векторов ж и /, мы всегда можем положить:

*4(А) = А2 + /зА + ——(ж2^1 — Ж1 ^2) Н---о(ж1 “Ь х2 жз)-

2а 4а2

Координаты Дарбу-Нийенхёйса д1;2 являются корнями данного полинома. Соответствующие импульсы р1,2 не построены, так как нам не удалось разрешить уравнения (3.4) относительно функций Р1,2(ж, /).

3.7. Бивектора Пуассона старшего порядка

Для всех обсужденных выше бивекторов Пуассона Р^к) мы можем построить согласованные с ними бивекторы старших порядков, используя соответствующие переменные Дарбу-Нийенхёйса. Действительно, если на симплектических листах общего положения предположить, что скобки Пуассона старших порядков между переменными Дарбу-Нийенхёйса имеют вид

{<?*, Ф}к = {Рг,р }к = 0, {<?г,р-} = ^ ,

то после подходящего поднятия мы получим согласованные бивекторы Пуассона к + 1 степени на всем многообразии 50*(4).

Например, кубический бивектор Пуассона

построен с помощью переменных (3.25)-(3.26) и, следовательно, согласован с квадратичным бивектором Р1(з) (3.24).

(3.33)

4. Би-интегрируемые системы

Для того чтобы получить би-интегрируемые системы на многообразии М, мы отождествим переменные Дарбу-Нийенхёйса с переменными разделения и подставим переменные дj , р в разделённые уравнения

Ф,- (^ ,р ,а1,а2)=0, ^ = 1,2, (4.1)

где Фj — функции только от р, ^ и параметров а1)2.

Исходя из теоремы Якоби, при разрешении уравнения (4.1) относительно параметров а 1;2, мы получим пару независимых интегралов движения

а1,2 = #1,2(р,д) (4.2)

как функции на фазовом пространстве М = 50*(4), которые находятся в би-инволюции

{#1,#2}0 = {#1,#2}1 =0 (4.3)

относительно скобок Пуассона, задаваемых бивекторами Р0 и Р1.

Например, подставляя переменные Дарбу-Нийенхёйса р-, д- (3.13-3.14), порождаемые первым бивектором , в выражения

ф1 = 2^1 + 2^ (Р1) — #1 — #2, ф2 = 2д2 — #1 + #2,

где V = е4*““3Р1 + е-4*““3Р1 и в = —іа, 63 = а3 = 1, мы получим

#і)2 = (<?і ±<?!) + У = 4а2(>з ±і2) + (і3 ~ ^з)ві +^2 + (із ~ а3)~іЯі , •

«1 — г«2 «1 + *«2

Используя различные разделенные уравнения Ф1>2 = 0, мы можем получить много других, более сложных би-интегрируемых систем на многообразии во*(4). Основная проблема в методе Якоби заключается в нахождении таких разделённых уравнений Ф1>2 = 0, которые приводят к квадратичным гамильтонианам #1 или #2, имеющим физический смысл.

4.1. Квадратичные интегралы движения

В этом параграфе мы будем подставлять все известные физические интегралы движения #1,2 на 50*(4) в уравнения (4.3) и тем самым попытаемся найти би-интегрируемые системы, связанные с одним из бивекторов Пуассона Р^, построенных в предыдущем параграфе. Тем самым в этой главе бы забудем о переменных Дарбу-Нийенхёйса и начнём с интегралов движения, имеющих физический смысл и перечисленных в книге [2] и обзоре [8].

Для того чтобы описать эти би-интегрируемые системы, мы будем использовать координаты (ж, /) (3.7) следуя [2, 8].

Предложение 2. Если А = — гка, |а| = 1 и В — произвольный вектор, то при

Ь Л с + 22а = 0

интегралы движения

#1 = (А, В)| /12 — 2(А, /)(В, /) + (В, / Л ж),

(4.4)

#2 = (В,/)(2(А, / Л ж) — к2(/, /) + (ж, ж))

и

#1 = (А, / Л (В Л /)) + (В, / Л ж),

/ \ (4.5)

#2 = (/ В)2 ((/ Л А, / Л А) + 2(А, / Л ж) + (ж, ж)\

находятся в би-инволюции

{#1,#2}0 = {#1,#2}1 = {#1,#2}0 = {#1,#2}0 =0 (4.6)

относительно скобок Пуассона, определяемых бивекторами Р0 (2.2) и Р^з) (3.24).

Интегрируемые системы с кубическими интегралами движения (4.4) были найдены в работе [4], в которой также построены матрицы Лакса и разделенные переменные. Интегрируемая система с интегралом четвертой степени #2 (4.5) получена в [7].

Согласно работе [3] би-инволюция интегралов движения (4.6) эквивалентна существованию невырожденных контрольных матриц Р и Р, таких что

2 2

Р^Н = Р* , Р йН = Ро^ Р* , 2 = 1,2. (4.7)

7 = 1 7=1

В нашем случае контрольные матрицы имеют вид:

(а, 7) г \ / (а,-/) г \

2к 2 4к(В, 7)

Р— -гН2 0 , Р — -гН2 (а, 7)

\2*(В,7) /

(4.8)

\*(В,7) 2 )

Все элементы матрицы Р являются полиномами на многообразии во*(4), тогда как один из вне-диагональных элементов матрицы Р является рациональной функцией.

Собственные числа матриц Р и Р совпадают между собой и являются корнями общего характеристического полинома

(7,7) 2(а, ж Л 7) (ж, ж)

А(А) — (А — 91)(А — ^2) — А — (а, 7)А +

(4.9)

4 2к 4к2

Естественно, что этот полином совпадает с минимальным характеристическим полиномом А(3) оператора рекурсии N(3) после подходящего канонического преобразования.

Используя выражения (3.21), мы можем восстановить сопряженные импульсы р 1>2. Если комплексный вектор й удовлетворяет условиям (а, й) — (й, й) — 0, то координаты д 1>2 (4.9) и импульсы

Р1,2 — -21п В(А — д1,2), В(А) = {(й,7), А(А)}о (4.10)

являются координатами Дарбу—Нийенхёйса удовлетворяющими уравнениям (3.4). Переменные р1)2 (4.10) определены с точностью до канонических преобразований рг ^ рг + /г(дг), где /г — произвольная функция, зависящая только от дг.

Предложение 3. Координаты д1)2 (4.9) и импульсы р1)2 (4.10) являются переменными разделения для интегрируемых систем с интегралами движения Я1;2 (4.4) и Я1)2 (4.5). Если

6* — с и й — с,

то соответствующие разделенные уравнения имеют вид

4к"2(а, В) д3 + дкн1 — н2 — 2к2(с, а Л В) (д2 — С1)(д2 — С2) дк е грк

+ 2к2(6, а Л В) д^ егрк (4.11)

2к(а, В) д2,2 — Н1 Ту Н2 — к(с, а Л В) (д1,2 — С1)(д2,2 — С2) е гр1’2

+ к(6, а Л В) егр1’2.

(4.12)

Разделённые уравнения (4.11) и (4.12) связаны с параболическим и декартовым вебом Штеккеля на плоскости. Матрицы Штеккеля Б и Б диагонализуют контрольные матрицы Р и Р:

Б —( 1 1 0 д2 1 ’ \ 22кд2 22кд1

Р — Б ( д1 0 ] Б-1,

и

и

91 0 \ 5-1 0 92 У ’

Правые части разделённых уравнений (4.11) и (4.12) являются обобщенными потенциалами Штеккеля.

При специально подобранных значениях А, В и к интегралы движения (4.4) и (4.5) являются вещественными функциями [4, 7]. Кроме этого, существует единственная интегрируемая система с комплексными интегралами движения

2і\ Ц2 —2і\/Н2

2

Н\ = а<7\ — ~7у~ %2<?і — X\J2^! а = і ж,

а

Н2 = а(7і Х2 — /2Жі)(к2| 712 — |ж|2) + к2(^ (/і Ж2 — /2X1 )2 + (/Зжі — /іЖз)2^

— а2 ( (/ Ж2 — /2 Жі )2 + (/2X3 — /3X2)^ ,

которые находятся в би-инволюции относительно тех же скобок Пуассона, определяемых би-

(3)

векторами Р0 (2.2) и Р{ (3.24) при аі = а2 = 0 и а3 = —1. При произвольном значении а

эта система была впервые получена в работе [9], а в работе [4] для нее были построены матрицы Лакса и соответствующие переменные разделения.

4.2. Неоднородные интегралы движения

Существует единственный нетривиальный линейный бивектор Пуассона, который совме-

(3)

стим с каноническим бивектором Ро и квадратичным бивектором Р{ (3.24):

Р1’" =( Т «!) ■ “1-2 е с-

(3)

Линейная комбинация этого бивектора и квадратичного бивектора Р{

Р® = р13) +(а1«м 0 \ (4.13)

\ 0 а2^м)

является неоднородным бивектором Пуассона на во*(4) совместным с Р0 и таким, что Р®^С1-2 = 0. Соответствующие неоднородные интегралы движения получены в [4, 8]:

Н® = Н + (к,3) + а12(В,ж), (4.14)

Н = Н2 + 2а12(В, 3)(, А, ж) — (к, А)32 — (к, 3 Л ж)

- к2а12(В, 3) — «12(к, ж),

Ц1 — + (аэА + а4А Л В, 3) + а12(В, ж),

(4.15)

Н2^ — Н2 + 2(В, 3) аэ ((А, 3)2 + к2|312 — |ж|2 — 2(А, 3 Л ж))

+ а^(В Л А, 3 Л ж) + (А, 3)(А, В Л 3)) + а12 (В, 3)(А,

ж)

+ аЭ ^2|ж|2 — (А, 3)2 + 2(А, 3 Л ж) ^ + 2а4а12 (В, 3)(А, В Л ж)

+ 2а2 ((В, В)(А, 3)2 — к2(В, 3)2 — 2(А, В)(А, 3)(В, 3))

— 4аэ а12(В,3 )(А, ж) — а12 к2(В,3)2 + 2аэа1^(А Л В, 3 Л ж) — (А, 3)(А, В Л 3)^

+ 2аэа^(аэ(А, ж) + а4(А, В Л ж) + а^к2(В,3)^,

здесь а12 — г(а1 — а2), а* — произвольные параметры и к — произвольный вещественный или комплексный вектор.

Предложение 4. Неоднородные интегралы движения (4.14) и (4.15) находятся в биинволюции относительно канонических скобок {., .}о и вторых скобок Пуассона .}1,

определяемых бивектором Р® (4.13).

Переменные разделения для этих двух би-интегрируемых систем различаются, но они все равно являются собственными числами соответствующих контрольных матриц

рэ = р + _ 2

/ а1 + а2 0 \

а1 к°2 (к>х) - Лж) “ (к,В)\3\2 0.1 + 0.2 /

Р9 —

(а, 3) + а1 + а2

\

4к((В, 3) — аз)

V

гЯ|(аэ — а4 — 0) ((В, 3)) — аэ (а, 3) + а1 + а2

к(В,3 )2

2

)

Для неоднородных интегралов движения мы должны добавить в левую часть разделенных уравнений (4.11) и (4.12) члены, соответствующим образом зависящие от д2 и . Более того, в правой части мы должны заменить коэффициенты при е±грк и подставить ((д& — га1)2 — С1)((д^ — га2)2 — — С2) вместо (^ — С1 )(д| — С2).

и

и

г

2

5. Заключение

В данной работе предложена полная классификация квадратичных бивекторов Пуассона на многообразиях М — во* (4) и М — в* (3), имеющих единое симплектическое слоение с каноническим бивектором Ли—Пуассона. Построены соответствующие переменные Дарбу—Нийенхёйса.

Две известные ранее интегрируемые системы на во* (4) являются би-интегрируемыми относительно одной из полученных пар скобок Пуассона. Доказано, что эти би-интегрируемые системы допускают разделение переменных, а соответствующие разделенные переменные являются собственными значениями контрольных матриц.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 06-01-00140 и гранта НШ 5403.2006.1.

Список литературы

[1] Andoyer, H., Cours de mecanique celeste, Paris: Gauthier-Villars et C, 1923.

[2] Борисов, А.В. и Мамаев, И.С., Динамика твердого тела: гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос, Москва-Ижевск: ИКИ, 2005.

[3] Falqui, G., Pedroni, M., Separation of variables for bi-Hamiltonian systems, Math. Phys. Anal. Geom., 2003, vol. 6, pp. 139-179.

[4] Goremykin, O.V., Tsiganov, A.V., Integrable systems on so(4) related with XXX spin chains with boundaries, J. Phys. A., 2004, vol. 37, pp. 4843-4849.

[5] Komarov, I.V., Sokolov, V.V., Tsiganov, A.V., Poisson maps and integrable deformations of Kowalevski top, J. Phys. A., 2003, vol. 36, pp. 8035-8048.

[6] Lichnerowicz, A., Les varietes de Poisson et leurs algebres de Lie associeees, J.Diff. Geom., 1977, vol. 12, pp. 253-300.

[7] Соколов, В.В., Об одном классе квадратичных гамильтонианов на so(4), Докл. акад. наук, 2004, т. 394, сс. 602-605.

[8] Sokolov, V.V., Wolf T., Integrable quadratic classical hamiltonians on so(4) and so(3,1), J. Phys. A, 2006, vol. 39, pp. 1915-1926.

[9] Tsiganov, A.V., On integrable deformation of the Poincare system, Reg. and Chaot. Dyn., 2002, vol. 7, pp. 331-337.

[10] Цыганов, А.В., Согласованные скобки Ли-Пуассона на алгебрах Ли e(3) и so(4), ТМФ, 2007, т. 151, сс. 26-43.

[11] Tsiganov, A.V., Grigoryev, Yu.A., On the Darboux-Nijenhuis variables for the open Toda lattice, SIGMA, 2007, vol. 2, Vadim Kuznetsov Memorial Issue, paper 097, nlin. SI/0701004.

[12] Vaisman, I., Lectures on the geometry of Poisson manifolds, Birkhuser Verlag, 1993.