CC BY
25
MS С 42А99
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ФУНКЦИЯХ
A.A. Рыжкова, И.А. Тришина
Воронежский государственный университет, Университетская пл.,1, Воронеж, Воронежская область, 394036, Россия, e-mail: of Fi се<Э m a i n. vsu.ru
Аннотация. Введен в рассмотрение класс ночти периодических на бесконечности функций. Необходимость рассмотрения таких функций связана с тем, что они возникают при рассмотрении разностных уравнений. Основные результаты статьи связаны с доказательством ночти периодичности на бесконечности решений разностных уравнений.
Ключевые слова: периодические на бесконечности функции,разностные уравнения, спектральная теория.
1. Введение. Пусть R — множество вещественных чисел и X — комплексное банахово пространство. Обозначим через Cb = Cb(R,X) банахово пространство ограниченных
функций х : R — X с нормой ||ж||те = sup ||ж(£)||. Через C0(R,X) обозначим (замкну-
te R
тое) подпространство функций из Cb, убывающих на бесконечности,т,е lim ||x(t)|| = 0, x G C0(R,X). В пространстве Cb(R,X) рассмотрим операторы сдвига
S(t): Cb(R, X) — Cb(R, X) , (S(t)x)(r) = x(r + i) , т G R , tG R ,
x G Cb(R,X). Используемые результаты из гармонического анализа, функции и векторов. содержаться в работах |1-7|. Следуя |1|,|6|,|7|, дадим определение медленно меняющейся па бесконечности функции.
Определение 1. Функция х G Cb(R,X) называется медленно меняющейся на бесконечности, если S(т)x — x G C0(R,X), т.е.
lim ||x(t + t) — x(t)|| =0
T ^ro
для любого t G R .
Примером медленно меняющейся па бесконечности функции является функция вида
x(t) = sin(ln(a+ | t |)) , t G R , a > 0 .
Работа поддержана грантом Российского научного фонда (проект 14-21-00066. выполняемый в Воронежском государственном университете). РФФИ (проекты 13-01-00378.14-01-31196).
Множество медленно меняющихся на бесконечности функций образуют замкнутое подпространство из Cb(R,X), которое обозначим символом Csl,^ = Csl;^(R,X),
Определение 2. Пусть е > 0. Число ш G К называется е-периодом функции x G Cb на бесконечности, если существует такое число a G К+, что sup ||x(t + ш) — x(t)|| < е.
|t|>a
Множество е-периодов функции x на бесконечности обозначим через Q^(x,e).
Определение 3. Множество Q^(x, е) называется относительно плотным на К, если существует такое l G N, что [t, t + l] П Q^(x, е) = 0, для любого t G К.
Определение 4(определение Бора). Функция x G Cb(R,X) называется почти периодической па бесконечности, если для любого е > 0 множество П^^е) относительно плотно на К.
Множество почти периодических на бесконечности функций обозначим символом AP^(R,X).
Теорема 1. Множество AP^(R,X) образует банахово пространство и банахову ал-X
Отметим, что банахово пространство AP(R,X) почти периодических функций содержится в AP^(R,X),
Определение 5 (аппроксимационное). Функция x G Cb называется почти периодической, если для любого е > 0 существуют функции xk G Csl,^ и числа Ak G К, 1 < k < N такие, что
N
||x(t) — Y^ xk (t)eiXk *|| < е. k=0
Можно доказать, что эти определения (Бора и аппроксимационное) эквивалентны. Ясно,что Csi^(R,X) с AP^(R,X).
Теорема 2. Функция вида
N
x(t) = ^2 xk(t)eiXk*, t G R , x : R м X, k=l
где Ak G К, 1 < k < m, xk G Csl;^(R,X), 0 < k < N — 1, является почти периодической па бесконечности функцией(x G AP^(R, X)).
□ Как отмечал ось Csl)^(R,X) с AP^(R,X ), а также t м- eiAk 1 < k < n, - почти периодические функции. Поскольку произведения Ykxk, 1 < k < N, также являются почти периодическими па бесконечности функциями, то их сумма также является почти периодической на бесконечности функцией. ■
2. О почти периодических на бесконечности решениях разностного уравнения. В банаховом пространстве Cb(R,X), где конечномерное банахово пространство, рассмотрим разностное уравнение
x(t + 1) = Bx(t) + y(t), t G R
(1)
где y G C0(R,X),В G EndX со свойством а0 = а(В) П Ж = {¿Ль ¿Л2..., ¿Лт} — совокупность простых собственных значений и а(В) обозначает спектр оператора В,
Теорема 3. Каждое ограниченное решение x : R ^ X уравнения (1) является почти периодической на бесконечности функцией,которое допускает представление вида
N
x(t) = £ xfc(t)eiAk4, fc=i
где xfc G 0 < Afc < 2n 0 < k < N - 1.
□ Спектр оператора В представим в виде:
а(В) = ао U aira U ,
а0 = а(В) П T = {7ь y2, ..., Ym} — совокупность собственных значений, лежащих на окружности T = {Л G C : Л =1},
= {Л G а(В) : ReA < 1} — совокупность собственных значений, лежащих внутри окружности.
aout = {Л G а(В) : Л > 1} — совокупность собственных значений, лежащих вне окружности.
В соответствии с этим разбиением спектра рассмотрим проекторы P0, ,Poat:, которые соответственно построены по спектральным множествам a0,ain,aout. Таким образом, I = P0 + + Poat, Эти проекторы индуцируют разложение X = X0 ф Xin ф Xoat пространства X, где X0 = ImP0,Xin = ImPira,Xoat = ImPoat, Эти подпространства являются инвариантными для оператора В и пусть В0 = B|X0,Bin = B|Xin,Boat = B|Xoat, Таким образом, В = В0 ф Bin ф Boat относительно построенного разложения пространства X. К обеим частям уравнения (1) применим проектор тогда получим последовательность xin = Pinx, удовлетворяющую равенству
S(1)xin(t) = Bj„xjra(i) + yin(i) , Ут = РпУ G Со , (2)
Из (2) следует, что
(I - BiraS(—1))xira = S(-1)yin . (3)
Поскольку ||S(—1)| = 1, BinS(—1)xin(t) = S(—1)Biraxira, n G Z, и спектральный радиус r(Bin) оператоpa Bin меньше единицы, то onератор I — BinS(—1) обратим и из (3) получаем, что
те
xm(t) = ((I — BmS(—1))-1S(—1)yi„)(i) = Y, BfnS(—n(t + 1))ym(t — 1).
t=0
Ясно, что xin G C0(R,X). Аналогичный результат получим при применении проектора Poat к уравнению (1):
(S (1)x0ut)(t) = В
oa txoat(t) + yoai(t) , yoat Poaty G Со . (4)
Оператор Bout обратим,и a(Bout) = (Л 1; Л G aout}, т.е. его спектральный радиус меньше единицы. Используя перестановочность оператора SN с Bout из (4), получим равенства
S(1)B0U1ixOui(t) = xoui(i) + B0u1iyo„t(i), t G R , (I - S(1)B0"1i)x0ui(t) = -B"1 yout(t), t G R.
Таким образом,
те
Xout(t) = -(I - S(1)B0-1i)-1B0-1iy0ui(t) = - £(B-utS(1))kB0"1iy0ui(t) , yout G Co .
n=0
Из этой формулы следует, что xout G C0(R,X). Проектор P0 можно представить в виде
Po = P + ... + Pn ,
где Pk — проектор, и
APfc = YfcPfc , где | 7fc |= 1, 1 < k < N.
Ввиду предполагаемой простоты собственных значений число Yk представимо в виде Yk = eiAfc, 1 < k < N. Применим проектор P0 к разностному уравнению (1) и далее применим проектор Pk
PkX0(t + 1) = PfcB0X0(t) + Pfcy0(t),
где x0(t) = P0x(t), = //,•'•..■:/;• A: = 1, N. _
Следовательно, 1) = Yfc^fc(i) + ВД(- ^fc(i) = Pk%o(t), к = 1, N, i G R. Сделав
замену xk (t) = e- iAfc4 xk (t), t G R 0 < Лк < 2п получим
Xk (t +1)= Xk (t)+ yTfc (t), t G R ,
xk-медленно меняющаяся последовательность,а xk(t) отличается от Xk(t) по формуле (1) на множитель eiAfcПоскольку yk G C0 и S(1)Xk - Xk G C0, Следовательно, Xk, где 1 < k < m — медленно меняющиеся на бесконечности поеледовательности. ■
Литература
1. Баскаков А.Г., Калужина Н.С. Теорема Берлинга для функций с существенным спектром из однородных пространств и стабилизация решений параболических уравнений /7 Матем. заметки. 2012. 92:5. С.643 661.
2. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алх'ебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов /7 Функциональный анализ. 2004. С'МФН. 9, МАИ, M. С.З 151.
3. Баскаков А.Г., Криштал И.А. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства /7 Изв. РАН. Сер. матем. 2005. 69:3. С.З 54.
4. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / Воронеж: Издательство Воронежскохх) гос. ун-та, 1987.
5. Дуплищева А.Ю. О периодических на бесконечности решениях разностных уравнений /7 Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2012. №1. С.110-117.
6. Баскаков А.Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений /7 УМН. 2013. 68:1(409). С.77 128.
7. Баскаков А.Г., Калужина Н.С., Поляков Д.М. Медленно меняющиеся на бесконечности нолухрухшы операторов /7 Известия вузов. Математика. 2014. №7. С.З 14.
ABOUT PERIODIC FUNCTIONS AT INFINITY A.A. Ryzhkova, I.A. Trishina
Voronezh State University, Universitetskaja Sq., 1, Voronezh, 394036, Russia,e-mail: [email protected]
Abstract. The class of almost periodic functions at infinity is introduced. Necessity of such functions related to the fact that they arise when studying difference equations. Main results of the article are related to the proof of almost periodicity at infinity of difference equations solutions.
Key words: periodicity at infinity, difference equations, spectral theory.
