О паранормальности произведений и их подмножеств Текст научной статьи по специальности «Математика»

54

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4

Краткие сообщения

УДК 515.12

О ПАРАНОРМАЛЬНОСТИ ПРОИЗВЕДЕНИЙ И ИХ ПОДМНОЖЕСТВ

А. В. Богомолов1

Топологическое пространство называется паранормальным, если любая счетная дискретная система замкнутых множеств {Dn:n = 1, 2, 3,...} может быть расширена до локально конечной системы открытых множеств {Un:n = 1, 2, 3,...}, т.е. Dn содержится в Un при всех n, и при этом Dm П Un = 0 в том и только в том случае, когда Dm = Dn. Доказывается, что если X — счетно-компактное пространство, куб которого наследственно паранормален, то пространство X метризуемо.

Ключевые слова: наследственная паранормальность, метризуемость, произведение, куб, счетная паракомпактность.

A topological space is called paranormal if any countable discrete system of closed sets {Dn:n = 1, 2,3,...} can be expanded to a locally finite system of open sets {Un:n = 1, 2,3,...}, i.e., Dn is contained in Un for all n and Dm ПUn = 0 if and only if Dm = Dn. It is proved that if X is a countably compact space whose cube is hereditarily paranormal, then X is a metrizable space.

Key words: hereditarily paranormality, metrizability, Cartesian product, Cartesian cube, countable paracompactness.

Известно [1], что из наследственной паранормальности куба компакта X следует метризуемость X. Этот результат является обобщением классической теоремы Катетова о метризуемости компакта, куб которого наследственно нормален [2]. Американский тополог Ф. Зенор доказал теорему, представляющую собой аналог теоремы Катетова о кубе с заменой свойства нормальности на свойство счетной паракомпактности [3]. Затем польский математик Ю. Хабер распространил теорему Катетова на случай счетно-компактного пространства X [4]. Одним из основных результатов настоящей работы является теорема 1, из которой все вышеперечисленные теоремы следуют.

Теорема 1. Если X — счетно-компактное пространство, куб которого наследственно паранормален, то пространство X метризуемо.

Все топологические пространства предполагаются регулярными. Терминология и обозначения, не разъясняемые ниже, следуют книге [5]. Топологическое пространство называется паранормальным [6], если любая счетная дискретная система замкнутых множеств {Dn :n = 1, 2, 3,...} может быть расширена до локально конечной системы открытых множеств {Un:n = 1, 2, 3,...}, т.е. Dn содержится в Un при всех n, и при этом пересечение Dm и Un не является пустым множеством в том и только в том случае, когда Dm = Dn. Нетрудно заметить, что паранормальность в смысле Никоша является одновременным обобщением классических понятий нормальности и счетной паракомпактности. Используя операцию суммы [5, с.123] и примеры [5, с. 468; 7], легко построить паранормальное пространство, не являющееся ни нормальным, ни счетно-паракомпактным.

Теорема 1 является следствием более общей теоремы 2, в формулировке которой А = {(x,x,x) : x € X} — диагональ куба пространства X.

Теорема 2. Если X — такое счетно-компактное пространство, что пространство X3 \ А наследственно паранормально, то пространство X метризуемо.

Доказательство. Если все точки счетно-компактного пространства X изолированы, то, очевидно, X — метризуемый компакт. Если X содержит только одну неизолированную точку у € X, то счетно-компактное пространство X гомеоморфно александровской компактификации a(X \ {у}) = {y}U(X\{у}) пространства X\{у}. Нетрудно заметить, что X3\А D X2\{(у,у)}. Пусть M — бесконечное счетное подмножество пространства X\{у}. Тогда {у}иМ — сходящаяся последовательность с пределом у. Пусть Z = (X х M)U((X\{у}) х {у}). Тогда Z С X2\{(у, у)}, и Z по условию паранормально. По лемме 3.6 из [8] точка у является -точкой в X, что возможно только тогда, когда X

хБогомолов Алексей Владимирович — асп. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4

55

счетно, следовательно, и в этом случае X — метризуемый компакт. Пусть теперь счетно-компактное пространство X содержит две различные неизолированные точки х\ и Х2• Выберем открытые множества 11\ и С/2, У\ и так, чтобы Х\ € У\ С У\ С СД, Х2 € У2 С У2 С С/2 и 11\ П С/2 = 0- Пусть = X \ и и ^2 = X \ и2. Множества и ^2 замкнуты в X, следовательно, счетно-компактны, как и множества У\ и У2- Очевидно, У\ х (-С^)2 гомеоморфно подпространству X3, \ А, поскольку У\ = 0. Из леммы 2 работы [1] следует, что всякое замкнутое подмножество пространства (-С^)2 является -множеством. По теореме Хабера [4] счетно-компактное с -диагональю пространство является компактом, а компакт с -диагональю метризуем [5, теорема 4.2. В]. Аналогично доказывается, что и ^2 является метризуемым компактом. Но X = и ^2, поэтому X также метризуемый компакт, что следует из работы [5, теоремы 3.1.19, 4.2.8]. Теорема 2 доказана.

Известно [9], что произведение секвенциального (соответственно счетной тесноты) паракомпак-та и нормального счетно-компактного (соответственно ^-ограниченного) пространства нормально. Напомним, что пространство называется ^-ограниченным, если замыкание любого счетного подмножества компактно. Известна также классическая теорема Даукера о том, что топологическое пространство X нормально и счетно-паракомпактно в том и только в том случае, когда произведение X х I пространства X на отрезок I нормально [5, теорема 5.2.8].

По аналогии с этими теоремами получаются следующие характеристики счетно-паракомпактных пространств.

Теорема 3. Секвенциальное пространство X счетно-паракомпактно в том и только в том случае, когда произведение X х У пространства X на любое счетно-компактное пространство У паранормально.

Теорема 4. Счетной тесноты пространство X счетно-паракомпактно в том и только в том случае, когда произведение X х У пространства X на любое и-ограниченное пространство У паранормально.

Теорема 5. Пространство X счетно-паракомпактно в том и только в том случае, когда произведение X х I пространства X на отрезок I паранормально.

Лемма 1 [5, теорема 3.10.7]. Пусть X — секвенциальное пространство, а пространство У счетно-компактно. Тогда проекция р : X х У ^ X является замкнутым отображением.

Лемма 2 [10, лемма 3]. Пусть теснота пространства X счетна, а пространство У и-ограничено. Тогда проекция р : X х У ^ X является замкнутым отображением.

Лемма 3 [5, теорема Куратовского 3.1.16]. Пусть пространство У компактно. Тогда проекция р : X х У ^ X является замкнутым отображением.

Лемма 4. Если произведение X х I пространства X на отрезок I паранормально, то X является счетно-паракомпактным пространством.

Доказательство. Возьмем произвольную убывающую последовательность Э ^2 Э ... замкнутых в X множеств, такую, что Г^{Fi : г = 1, 2,...} = 0. Пусть = Е^х для всех г = 1,2,.... Докажем, что счетная система } замкнутых в произведении X х I множеств дискретна в X х I. Очевидно, достаточно проверить дискретность в точках вида (х, 0). Зафиксируем такое число п, для которого х Еп. Выберем окрестность С/ точки х, такую, что 17 П Еп = 0, и пусть е < —. Легко проверяется, что окрестность и х [0; е) точки (х, 0) не пересекается ни с одним из множеств ^. Поскольку произведение X х I паранормально, система (^} может быть расширена до локально конечной системы открытых множеств (и1 : г = 1, 2,...}, т.е. ^ содержится в и при всех г, и при этом пересечение От и Щ не является пустым множеством в том и только в том случае, когда От = Иг. Заметим, что система замыканий {Щ : г = 1,2,...} также локально конечна. Определим открытые в X множества = {х £ X : (х, А) € Щ}. Ясно, что Шг х {А} С Щ при всех г, и поэтому система {И^ х {А}} локально конечна в X х /. Очевидно, что ^ С С Докажем, что П{И/г : % = 1, 2,...} = 0. Выберем произвольную точку х € X и окрестность точки (ж,0) вида Ох х [0; = У, пересекающуюся с конечным числом множеств Щ. Положим ¿о = тах{г : УПЩ ф 0}, и пусть п > тах{го, к}. Тогда х ^ \УП. Поэтому Г^{Wi : г = 1, 2,...} = 0. Следовательно, пространство X счетно-паракомпактно по теореме 5.2.1 из книги [5]. Лемма 4 доказана.

Доказательство теоремы 3. Пусть секвенциальное пространство X счетно-паракомпактно, а пространство У счетно-компактно. По лемме 1 проекция р : X х У ^ X является замкнутым отображением. Но счетная паракомпактность сохраняется в обе стороны замкнутыми отображениями со счетно-компактными прообразами точек [5, теорема 5.2.0]. Поэтому произведение X х У счетно-паракомпактно и, следовательно, паранормально. Умножим теперь секвенциальное пространство X

56

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2018. №4

на отрезок I. По условию произведение X х I паранормально. По лемме 4 пространство X счетно-паракомпактно. Теорема 3 доказана.

Теоремы 4 и 5 доказываются совершенно аналогично с заменой леммы 1 на леммы 2 и 3 соответственно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Комбаров Л.П. Об одной слабой форме нормальности // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 5. 48-51.

2. Katetov M. Complete normality of Cartesian products // Fund. math. 1948. 35. 271-274.

3. Zenor P. Countable paracompactness in product spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. 30. 199-201.

4. Chaber J. Conditions which imply compactness in countably compact spaces // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. math. astronom. et phys. 1976. 24. 993-998.

5. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Наука, 1986.

6. Nyikos P. Problem Section: Problem B // Topol. Proc. 1984. 9. 367.

7. Комбаров Л.П. О ^-произведениях топологических пространств // Докл. АН СССР. 1971. 199. 526-528.

8. Kombarov Л.Р. On expandable discrete collections // Topol. and Appl. 1996. 69. 283-292.

9. Комбаров А.П. Об одной теореме А. Стоуна // Докл. АН СССР. 1983. 270. 38-40.

10. Комбаров А.П. О произведении нормальных пространств. Равномерности на S-произведениях // Докл. АН СССР. 1972. 205. 1033-1035.

Поступила в редакцию 31.05.2017

УДК 512.761.5

ЭКВИВАРИАНТНАЯ ДОСТАТОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ

И. А. Проскурнин1

Доказывается эквивариантный аналог теоремы Тужрона о степени определенности ростка с изолированной особой точкой, а также критерий устойчивости инвариантного ростка при инвариантных деформациях.

Ключевые слова: теория особенностей, инвариантные функции, устойчивые особенности, теорема Тужрона.

An equivariant version of Tougerone's finite determinacy theorem, along with a criterion for the stability of an invariant germ are proved.

Key words: singularity theory, invariant functions, stable singularities, Tougeron's theorem.

Эквивариантные задачи теории особенностей естественно возникают в ряде ситуаций, например при изучении особенностей ростков функций на многообразиях с краем [1] и с углами [2]. Они исследовались в ряде работ, в частности в [3, 4]. Имеется естественная аналогия между утверждениями "обычной" теории особенностей и ее эквивариантного аналога, однако есть и существенные отличия. В настоящей работе формулируется и доказывается эквивариантный (по отношению к действию конечной группы) аналог теоремы Тужрона о степени конечной определенности ростка функции. Он может рассматриваться как вариант теоремы Тужрона на соответствующем фактор-пространстве. Его формулировка дается не в терминах струй ростков (определяемых степенной градуировкой), а в терминах их эквивариантных аналогов, определяемых степенями идеала обращающихся в нуль инвариантных функций.

При этом в ряде случаев, а именно если действие группы не содержит тривиальных слагаемых, степень определенности оказывается отличной от той, которая подсказывается неэквивари-антной версией. Работа содержит также критерий устойчивости инвариантного ростка. В отличие от неэквивариантного случая, когда устойчивыми ростками являются невырожденные, устойчивые инвариантные ростки не всегда существуют.

1Проскурнин Иван Андреевич — асп. каф. высшей геометрии и топологии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].