О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ L1 ПЛОСКОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ФОТОГРАВИТАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. 2022. № 126 Trudy MAI, 2022, no. 126

Научная статья

УДК 521.135; 531.352

DOI: 10.34759/Ы-2022-126-03

О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ Ьг ПЛОСКОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ФОТОГРАВИТАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

Андрей Николаевич Авдюшкин

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Москва, Россия avdyushkin.a.n@ya.ru

Аннотация. Рассматривается плоская эллиптическая ограниченная фотогравитационная задача трёх тел, т.е. исследуется движение тела малой массы под влиянием как гравитационных сил, так и сил светового давления, действующих со стороны двух массивных тел, которые движутся по известным кеплеровским орбитам. Предполагается, что движение всех трех тел происходит в одной плоскости. В данной задаче существует частное решение, описывающее движение тела малой массы, при котором оно находится на отрезке между притягивающими центрами в так называемой коллинеарной точке либрации

В данной работе исследуется задача об устойчивости коллинеарной точки либрации в случае малого эксцентриситета орбит массивных тел. Система уравнений

возмущенного движения записана в гамильтоновой форме. Установлено, что в данной системе возможны как основной, так и комбинационный параметрические резонансы, приводящие к неустойчивости

Методом малого параметра в явном виде получена нормальная форма квадратичной части функции Гамильтона уравнений возмущенного движения. Это позволило свести линейную задачу об устойчивости к эквивалентной задаче об устойчивости линейной автономной системы с нормализованным гамильтонианом. На основе этой автономной системы были найдены явные выражения, определяющие границы областей параметрического резонанса и получены условия устойчивости в линейном приближении.

Ключевые слова: гамильтоновы системы, устойчивость положения равновесия, коллинеарные точки либрации, методы нормализации гамильтониана Благодарности: втор выражает благодарность своему научному руководителю -доктору физико-математических наук Бардину Борису Сабировичу за постановку интересной задачи и обсуждение полученных результатов.

Финансирование: Исследование выполнено в Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете) при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №20-31-90064). Для цитирования. Авдюшкин А.Н. О параметрическом резонансе в окрестности точки либрации плоской ограниченной фотогравитационной задачи трех тел // Труды МАИ. 2022. № 126. БОТ: 10.34759/^-2022-126-03

Original article

ON PARAMETRIC RESONANCE NEAR THE LIBRATION POINT L± OF A PLANAR RESTRICTED PHOTOGRAVITATIONAL THREE-

BODY PROBLEM

Andrey N. Avdyushkin

Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russia, avdyushkin.a.n@ya.ru

Abstract. A planar elliptic restricted photogravitational three-body problem is considered, i.e. it is investigated the motion of a low-mass body under the influence of both gravitational forces and light pressure forces acting from two massive bodies that move along known Keplerian orbits. It is assumed that the all three bodies move in the same plane. There is a particular solution in this problem describing the motion, which the low-mass body is located on the segment between the attracting centers at the so-called collinear libration point L1.

In this paper, we study the problem of the collinear libration point L± stability in the case of small eccentricity of the massive bodies' orbits. The system of perturbed motion equations is written in Hamiltonian form. It is established that in this system there are possible both basic and combinational parametric resonances leading to instability L1.

The normal form of the Hamiltonian quadratic part of the perturbed motion equations is obtained in explicit form by the method of a small parameter. This made it possible to reduce the linear stability problem L± to the equivalent stability problem of a linear autonomous system with a normalized Hamiltonian. The explicit expressions defining the boundaries of the parametric resonance regions were found on the basis of

this autonomous system and it was obtained the stability conditions L± in the linear approximation. Previously, the regions of stability and instability were obtained numerically in [12]. Carried out in that work the numerical analysis results are in good agreement with the results obtained analytically for small values of eccentricity in this article.

Keywords: Hamiltonian systems, stability of equilibrium position, collinear libration points, methods of Hamiltonian normalization

Acknowledgements: The author expresses gratitude to his scientific adviser Boris Sabirovich Bardin, Doctor of Physics and Mathematics, for setting the interesting problem statement and discussing the obtained results.

Funding: The reported study was performed at the Moscow Aviation Institute (National Research University) and funded by RFBR, project number №20-31-90064. For citation: Avdyushkin A. N. On parametric resonance near the libration point L± of planar restricted photogravitational three-body problem. Trudy MAI, 2022, no. 126. DOI: 10.34759/trd-2022-126-03

1. Введение

Ограниченная фотогравитационная задача трех тел представляет собой естественное обобщение классической ограниченной задачи. В ней исследуется движение небольшого тела (частицы) в ньютоновском гравитационном поле двух тел. Частица рассматривается как пассивная гравитирующая точка, которая не влияет на движение массивных тел. Помимо гравитационного притяжения,

массивные тела воздействуют на частицу репульсивными силами светового давления. Если массивные тела движутся по круговым копланарным орбитам вокруг своего центра масс, а частица лежит в плоскости их движения, то задача называется плоской круговой ограниченной фотогравитационной задачей трех тел [1]. Уравнения движения частицы допускают три замечательных решения (так называемые прямолинейные решения), описывающие стационарные движения, в которых частица расположена на прямой, соединяющей массивные тела. Вышеуказанные стационарные движения соответствуют положениям равновесия в системе координат, вращающейся вместе с массивными телами. Эти положения равновесия обычно называются эйлеровыми (или коллинеарными) точками либрации. Они существуют как в классической, так и в фотогравитационной задаче трех тел [2]. Положение равновесия, расположенное между массивными телами, обозначается Анализ движения в окрестности коллинеарных точек либрации имеет как теоретическое, так и прикладное значение. В частности, периодические орбиты в их окрестности могут быть использованы для проведения астрономических наблюдений. В связи этим, появляется все больше исследований по организации космических миссий и их окрестности [3,4,5,6,7].

Исследование устойчивости коллинеарной точки либрации выполнялось ранее в различных постановках задачи. В [8,9,10] исследовалась устойчивость в рамках плоской ограниченной круговой фотогравитационной задачи трёх тел, когда эксцентриситет е орбит притягивающих центров равен нулю, а возмущения движения не выводят частицу из плоскости их вращения. В [11,12] рассматривалась линейная задача об устойчивости в фотогравитационной эллиптической задаче

трёх при различных значениях масс и коэффициентов редукции притягивающих центров. Численно были построены диаграммы устойчивости в линейном приближении для произвольных значений эксцентриситетов. Частный случай нелинейной задачи об устойчивости коллинеарной точки был рассмотрен в связи с исследованием устойчивости положения равновесия в фотогравитационной задаче Ситникова [13].

2. Постановка задачи

Для описания движения тела Р малой массы введем подвижную систему координат Оху с началом в центре масс массивных тел Р± и Р2. Ось Ох направим по прямой Р1Р2 в сторону Р2. Кратчайший поворот от оси Ох к оси Оу совпадает с направлением вращения тела Р2 по орбите (см. рис. 1).

Рис. 1 Подвижная система координат

Введём безразмерные координаты Нехвила ц, которые связаны с

координатами х, у тела Р в системе Оху формулами

х = у = тц, г =

V

1 + е cos V

(1)

где р и е - параметр и эксцентриситет эллиптических орбит тел Р1 и Р2, г -расстояние между массивными телами. Уравнения движения частицы Р могут быть записаны в следующей канонической форме

дН &ц дН ¿.щ дН йр7] дН

& др^ & дрц & ' № дц

а функция Гамильтона данной системы будет иметь вид

Н = ) + РЯ-М+ 2(1+ е ежу) —

(2)

1 +

(3)

1 + е cos у\г± г2

где Qt и Q2 - коэффициенты редукции масс, характеризующие силы светового давления тел Рг и Р2. Коэффициенты Qi (i = 1,2) могут принимать значения (-го; 1]. Если Qi < 0, то силы светового давления превосходят гравитационные силы. В случае Qi = 1 получается классическая задача трёх тел. Величины rt и г2 -расстояния частицы Р до тел Pt и Р2 соответственно

m-i

= + г2 = ^(^ + ^-1)2+Г]2, р =---. (4)

т1 + т2

Уравнения движения допускают следующее частное решение

% = 4 = 0, р^ = 0, рл = (5)

которое соответствует положению равновесия тела Р в коллинеарной точке либрации Ь1, где (0 - решение уравнения

(^о + Ю3 ($о+ V - 1)3 расположенное в интервале (—^, 1 — ц.).

В линейном приближении возмущенное движение, т.е. движение вблизи данного положения равновесия, описывается канонической системой с гамильтонианом

1, _ ecosv — 2a _ ecosv + a

И2 = 1 № + Р„2) + т - ^ +2(1 + ес02„}е + 2(11 + ^со^ V) (7)

где коэффициент а - обобщённый параметр, позволяющий исследовать задачу независимо от конкретных значений параметров д, , Q1, Q2

Целью данной работы является построение границ областей параметрического резонанса в окрестности Ь1 при малых значениях эксцентриситета и получение условий линейной устойчивости и неустойчивости в явной аналитической форме. Частный случай этой задачи при положительных Q1 = Q2 > 0 был рассмотрен ранее в [14].

3. Аналитическое исследование при малых значениях эксцентриситета

Пусть орбиты притягивающих тел Р1 и Р2 являются слабоэллиптическими, т.е. эксцентриситет е « 1. В этом случае, полагая е в качестве малого параметра задачи, разложим гамильтониан (7) в ряд по степеням е

Н2 = Н(0) + еН(1) + е2н(2) + (9)

где

1 СХ-

н20) = + Рч2) + - Рт,* - (10)

н(1} = (1+а) ^(у) + ^(у) Г]2, (11)

н(2) = -(1+а) ^(у)2 е - ^(у)2 Г]2. (12)

Характеристическое уравнение линейной канонической системы с гамильтонианом (10) имеет вид

Л4 - аЛ2 + 2Л2 - 2а2 + а + 1 = 0. (13)

Если а £

2

и

8;1

9

, то уравнение (13) имеет корни с отличными от нуля

вещественными частями, и положение неустойчиво по Ляпунову. Если же а 6

(- 1;0)и(8;1), то уравнение (13) имеет два чисто мнимых корня, поэтому

положение равновесия тела Р в линейном приближении устойчиво по отношению к плоским возмущениям. В случае достаточно малых е исследование устойчивости

при а 6 (-1; о) и (8; 1) можно выполнить аналитически. С этой целью выполним

ряд канонических замен переменных, приводящих функцию Гамильтона (9) к удобной для исследования устойчивости (нормальной) форме. Линейной канонической заменой переменных

к1(ш12 - а + 1) к2(ш22 - а + 1)

* = -^-Ч1+-^-Ч2,

Шл Шп

■Ц = 2К1Р1 - 2К2Р2, р^ = К1(Ш12 -а- 1)р1 - к2(ш22 -а- 1)р2,

к1(-ш12 - а + 1) к2(-ш2 - а + 1) рц =---Ц1 +---q2,

Шл Шп

(14)

где

Ш-V72 1 = (15)

к. = (_ш_у'2

' \ш14 - 2аШ12 + а2 + 2Ш12 + 2а - 3/ '

/11,-\1/2 ( 1 1 I-\1/2

ш1 = (1--а + -^9а2 -8а) , ш2 = (1 --а - ~^9а2 - 8а) , (16) гамильтониан (5) можно привести к виду

11

И2 = ^i(4i2 + Р12) -^2(Я22 + V22) + еН™ + е2н22) + 0(е3), (17)

Если выполнено хотя бы одно из резонансных соотношений: 2ш1 = п1, 2ш2 = п2 или ш1 — ш2 = к (где п1, п2, к - некоторые целые числа), то при е Ф 0 в системе с гамильтонианом (7) возможно явление параметрического резонанса, приводящее к неустойчивости. Указанные резонансные соотношения выполняются в одной

внутренней точке интервала (8; 1), в трёх внутренних точках интервала (—1; 0) и

5+497 5-497

на их границах. В точках а = и а = —имеет место равенство 2ш2 = 1, в

13-3441 1 точке а = ——--равенство 2ш1 = 3, в точке а = -- - равенство ш1 — ш2 = 1. На

1 8 границах а = 1 и а = -1 имеет место равенство ш2 = 0, а на границах а = 8 и а = 0

- равенство ш1 = ш2.

В плоскости параметров а, е из точек с координатами (1,0), • 0), (8,0),

(0,0), (—1,0), ,0), (—1,0) исходят области неустойчивости.

Если значение эксцентриситета мало, то границы указанных областей можно получить аналитически в виде сходящихся рядов по степеням е

а = а0 + еа1 + е2а2 + •••, (18)

где в качестве а0 следует положить одно из указанных выше резонансных значений:

. 5+497 8 _ 5-497 1 13-3441 1

1,-, -, 0,-, —,-или —.

' 16 ' 9' ' 16 ' 3 16 2

Вид нормализованной функции Гамильтона зависит от типа резонанса, поэтому каждый резонансный случай необходимо рассмотреть отдельно. Рассмотрим сначала так называемые резонансы основного типа, когда выполнены равенства 2ш2 = 1. В этом случае линейной аналитической по е заменой переменных q1,q2,p1,p2 ^ х1,х2,у1,у2 функцию Гамильтона можно привести к следующей нормальной форме 1

К2 = п(ш1 + 2кю)(Х1 + У12) + к20х22 + к22х2У2 + к02У2 2, (19)

где к10, к20, к22, к02 - не зависят от V и представляют собой ряды по степеням эксцентриситета , коэффициенты которых выражаются через коэффициенты разложения (18). Линейная замена переменных, приводящая исходный гамильтониан к виду (19) может быть построена при помощи метода Депри-Хори [15].

Задача об устойчивости исходной линейной системы с гамильтонианом (9) и нормализованной линейной системы с гамильтонианом (19) эквивалентны. Поэтому далее будем рассматривать нормализованную систему. На границах области неустойчивости (параметрического резонанса) характеристическое уравнение этой системы имеет два нулевых корня, что возможно только при выполнении условия

кЬ = 4к20к02 (20)

Из данного условия можно получить аналитические выражения для границ областей параметрического резонанса основного типа. Покажем, как это сделать для параметрических резонансов, встречающихся в данной задаче.

При выполнении соотношения 2ш2 = 1, области параметрического резонанса исходят из точек (~+^97,о) и (~^~,о). В случае а = коэффициенты

нормальной формы принимают вид

97 + 19^97, к20 = (3104а1 + 291 + 15^97)е +

20 409728 К ;

59803 + 14701^97,, __ч 0

+ .........((41295616 + 561920^97)а2 - 30964736а2 -

4451118870528 } 2 1

- (67725504 + 7128000^97)а1 - 35280555 + 1888989^97) е2 + + 0(е3),

к22 = 0(е3), (21)

97 + 19^97, к02 = (3104а1 - 291 - 15^97)е +

02 409728 К ;

+

59803 + 14701^97 4451118870528

((41295616 + 561920^97)а2 - 30964736а2 +

+ (67725504 + 7128000^97)аг - 35280555 + 1888989^97) е2 + + 0(е3).

Подставляя выражения (21) в условие (20) и приравнивая в полученном равенстве коэффициенты при равных степенях эксцентриситета, получим уравнения для последовательного определения коэффициентов а (j = 1,2,...) ряда (18). Вычисления показали, что уравнения границ области параметрического резонанса,

(5+^97 \

исходящих из точки ( , 0) имеют вид

_5 + 497 9(8+497) 27(444341497 — 9550369) 2

а+= 16 4(97 + 19497)е 32(97+ 19497)2 (97+ 107497)6

+ 0(е3),

_5 + 497 9(8+497) 27(444341497 — 9550369) 2

а-= 16 4(97 + 19497)6 32(97+ 19497)2 (97+ 107497)е

+ 0(е3).

Аналогично определяются границы области параметрического резонанса, исходящие из точки 0). Здесь коэффициенты нормальной формы (19) имеют

следующий вид

к22 = 0(е3),

97 — 19497, ,_ч

к20 = (3104а1 + 291 — 15497)е +

20 409728 1

1 (97 — 107497 12259 + 29291497

+ 22 + 497( 44 а2 + 15972 632

836307 — 81657497 3995634 + 727923497\ 0 а

-а1 +-) е2 + 0(е3),

21296 1 340736 ) К У (23)

97 — 19497 , .—ч

к02 = (3104а1 — 291 + 15497)е +

02 409728 1

1 (97 — 107497 12259 + 29291497

+ 22 + 497\ 44 а2 + 15972 ^ +

836307 — 81657497 3995634 + 727923497\ 0 а

+-а1 +-) е2 + 0(е3).

21296 1 340736

После, подставив выражения (23) в условие (20) и вычислив коэффициенты ряда (18), получаем следующие уравнения границ области неустойчивости,

исходящих из точки ( , 0

_5-497 9(497-8) 27(444341497 + 9550369) 2

а+_ 16 4(19497 - 97)е 32(19^97 - 97)2(107^97 - 97)е

+ 0(е3),

5-497 9(497 - 8) 27(444341497 + 9550369)

----6 +--

16 4(19497-97) 32(19497-97)2(107497-97)

(24)

+ 0(е3).

При резонансе 2ш1 = 3 нормальная форма принимает следующий вид 1

К2 = ~(Ы2 + 2к20)(х2 + У22) + к10х12 + кцх1У1 + к01у1 2, (25)

где к20, к10, к11, к01 - также не зависят от V и являются рядами по степеням эксцентриситета , коэффициенты которых выражаются через коэффициенты ряда (18). Линейная замена переменных Ц1,Ц2,р1,р2^х1,х2,у1,у2, приводящая исходный гамильтониан к виду (25), может быть построена при помощи метода Депри-Хори [15].

Условие, когда на границах области параметрического резонанса характеристическое уравнение системы (25) имеет два нулевых корня, принимает вид

к21 = 4кюк01. (26)

При выполнении соотношения 2ш1 = 3, область параметрического резонанса исходит из точки ,0). В этом случае коэффициенты нормальной формы

принимают вид

кц = 0(е4), 48765441 — 312315 а „

кю = ко +-ТЩё-^ + °(б4),

48765441 — 312315 а „

к01 = ко--^-^ + °(е4),

123 + 53441

к0 =--^ттг-а1е +

0 1220 1

1 (39441 — 287 9631779 — 2218151441 2

+ 441— 6 ( 244 а2 68094300 а1 +

64485441 —656910\ „ (27)

-)е2 +

1155584 )

1 [21604441 — 138334

~61

+ 1997441 — 12787 ( 61 а3 +

(491447578 — 76752602441 680943

+ (--а2 +

25712263006566441 — 164783276157101\

+-) а1 +

68094300 1

4440095377202441 — 28431991117658 Л а „

+-а3 ) е3 + 0(е4).

190034167725 1) К )

Подставляя выражения (27) в условие (26) и вычисляя коэффициенты ряда (18) и приходим к следующим уравнениям границ области неустойчивости,

(13-34441 \ исходящих из точки (———, 0).

13 - 3441 45(14598 - 1433441) 0

а+ =-77-+ — —7-F=-Т~е +

16 4736(39441 - 287)

915(3251441-20821) Q „

+-----—е3 + 0(е4)

8192(10802441- 69167) '

13 - 3441 45(14598 - 1433441) 16 4736(39441- 287)

915(3251441- 20821) Q „ V J e3 + 0(e4).

8192(10802441 — 69167) При комбинационном резонансе функция Гамильтона (9) уже не приводится к виду (19), но использованная выше методика построения границ областей неустойчивости в виде рядов по степеням малого параметра е, применима и в этих случаях.

Для построения границ области неустойчивости, исходящих из точки (—0) выполним линейную замену переменных (14) и перейдем к каноническим полярным

координатам q1 = ^2r1 sin <р±, q2 = ^2r2 sin <$2, P1 = ^2r1 cos , р2 = ^2r2 cos <$2. В результате таких замен функция Гамильтона (9) принимает вид

Й2 = 433+1Г1 - + eft™ + е2н(2) + 0(е3). (29)

Далее при помощи линейной близкой к тождественной 2тс-периодической по v канонической замены переменных , которую можно построить при

помощи метода Депри-Хори [15], приведем гамильтониан (29) к следующей нормальной форме

к2 = &iPi - П2Р2 + к cos(6i + 62-V) ^PiP2, (30)

где П1, П2, к представляют собой ряды по степеням эксцентриситета е, коэффициенты которых выражаются через коэффициенты ряда (18), и не зависят от V. С точностью до е2 имеем следующие выражения

433+3 5433-99

(5433- 99 9801-2823433 0 433 - 462\ 0 Q

+ (-a7 +-a2 +-) е2 + 0(е3)

( 88 2 15488 1 968 ) V J

433-3 5433 + 99 =-----—-a^e -

2 6 88 1

(5433 + 99 9801 + 2823 433 0 433 + 462\ 0 Q a2--„ r ,oo-a\ +-——-) e2 + 0(e3)

( 88 "2 15488 "1 ' 968

466 699466

(31)

(32)

к = а1е2 + 0(е3) (33)

11 1936 1

Далее, выполнив замену переменных

п

Ql = ф1,02 = ^2+V--,Pi = ri,p2 = R2, приходим к системе со следующим независящим от v гамильтонианом

К2 = Д+ №2 + к sm(^фl + 1Р2) 4^~2> (34)

где Д1 = П1 и Д2 = -й2 - 1.

В декартовых канонических переменных, которые вводятся по формулам и1 =

^2R1 sin^1, и2 = ^2R2 sin^2, v1 = ^2R1 cos ■ф1, v2 = ^2R2 cos^2, гамильтониан

(34) принимает вид

111 K2 =-&1(u4 + V2) +-^2(и\ + Vi) +-K(U1V2 + U2V1), (35)

Область неустойчивости системы с гамильтонианом (35), т.е. область исследуемого параметрического резонанса исходной системы определяется неравенством [15]

1*1+Ь21<К. (36)

Уравнения границ области неустойчивости можно определить, приравняв левую и правую части неравенства (36) и раскрыв модуль со знаком «+» и знаком «—». Далее, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях эксцентриситета, последовательно вычисляются коэффициенты ряда (1 8)

1 4466 70 _ _ + 3 99 1089

(37)

1 4466 70 _ _ а- = + + 0(е3).

- 3 99 1089

Для построения границы области неустойчивости, исходящей из точки (8; 0) выполним линейную замену переменных

4Г5 43 4Г5 г~

f = -Р1-—Ч2, л = -Ч1-43р2, 243 7415 743 2415

Ъ=-р2-—Ч1, Рп = 1Г 42 -—Р1, которая приводит функцию Гамильтона (9) к виду

1 45

Ъ = ~(Ч12 + Ч22)+^т(Ч1Р2 - Ч2Р1) + ей™ + еЩ2 + 0(е3).

(38)

(39)

При помощи линейной близкой к тождественной 2я-периодической по V канонической замены переменных и^у^^х^у^, которую можно построить с

помощью метода Депри-Хори [15], гамильтониан (39) приводится к следующей нормальной форме

1 45

К2 = -(1 + 2ki0)(xi2 +Х22) + k0i(yi2 + у22) + — &1У2 - Х2У1) + К1Х1У1 +

2 3 (40) + к21Х2у1.

где к10, к01, к11, к21 - независящие от v ряды по степеням эксцентриситета е, коэффициенты которых выражаются через коэффициенты ряда (18),

9 1(9 7047 _ 6766\ _ ^ .

ктг, =-ае +—I —а9--ai--) е2 + 0(е3),

10 100 1 2\50 2 10000 1 6655/ К Л

9 1( 9 6237 14 \ _

к01 = —а-^е + -\тт:а2 + пппп а2 + ——\е2 + 0(е3), 01 20 1 2 10 2 2000 1 121

2145 45(84 19683 14992\

(41)

кц = 0(е3).

Граница области устойчивости определяется условием, которое через

коэффициенты (41) записывается в виде равенства [15]

к21(4ы2 - 4шкц - к20 к01 8(1 + 2кю)(2ш - кц)2' ( )

Приравняв в левой и правой частях этого равенства члены при одинаковых

степенях е, получим систему уравнений для искомых коэффициентов а (j = 1,2,...)

разложения (18), задающего уравнение границы области неустойчивости

а' = 1-Ш9е2 + 0(е3)- (43)

Отметим, что использованная в данной статье методика построения областей параметрического резонанса применялась ранее в ряде задач динамики спутников (см., например, [16,17]).

Заметим еще, что в данной задаче возможны и комбинационные резонансы и более высоких порядков. Для их исследования может быть применена методика работ [18,19,20].

Заключение

Было выполнено аналитическое исследование устойчивости в линейном приближении коллинеарной точки либрации Ь1 плоской слабоэллиптической ограниченной фотогравитационной задаче трех тел. Исследовано явление параметрического резонанса, приводящее к неустойчивости. Были подробно рассмотрены резонансы как основного, так и комбинационного типа. При малых значениях эксцентриситета орбит массивных тел для каждого из резонансов аналитически вычислены коэффициенты нормальной формы функции Гамильтона задачи. Используя полученную нормальную форму, были построены границы областей параметрического резонанса в виде рядов по степеням эксцентриситета орбит массивных тел. Ранее области устойчивости и неустойчивости были получены числено в работе [12]. При малых значениях эксцентриситета результаты проведенного в указанной работе численного анализа хорошо согласуются с результатами, полученными в данной статье аналитически.

Список источников

1. Радзиевский В.В. Ограниченная задача трех тел с учетом светового давления // Астрономический журнал. 1950. Т. 27. № 4. С. 249-256.

2. Куницын А.Л., Турешбаев А.Т. О коллинеарных точках либрации фотогравитационной задачи трёх тел // Письма в Астрономический журнал. 1983. Т. 9. № 7. С. 432-435.

3. Conley C. Low Energy Transit Orbits in the Restricted Three-Body Problems // SIAM Journal on Applied Mathematics, 1968, vol. 16, no. 4, pp. 732-746.

4. Ross S.D. Cylindrical manifolds and tube dynamics in the restricted three-body problem. PhD Thesis, California Institute of Technology, Pasadena, California, USA. 2004.

5. Koon W.S., Lo M.W., Marsden J.E. et al. Dynamical Systems, the Three-body Problem and Space Mission Design, 2008, Springer, pp. 26-34.

6. Kakoi M., Howell K., Folta D. Access to Mars from Earth-Moon libration point orbits: manifold and direct options // Acta Astronautica, 2014, vol. 102, pp. 269-286.

7. Асланов В.С., Нерядовская Д.В. Тросовая система в коллинеарных точках либрации L1, L2 системы Марс-Фобос // Труды МАИ. 2022. № 122. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=163923. DOI: 10.34759/trd-2022-122-02

8. Kunitsyn A.L., Tureshbaev A.T. On the collinear libration points in the photogravitational three-body problem // Celestial mechanics, 1985, vol. 35, pp. 105-112. DOI: 10.1007/BF01227664

9. Bardin B.S., Avdyushkin A.N. Nonlinear stability analysis of a collinear libration point in the planar circular restricted photogravitational three-body problem // Journal of Physics: Conference Series, 2021, vol. 1925. DOI: 10.1088/1742-6596/1925/1/12018

10. Bardin B.S., Avdyushkin A.N. On stability of a collinear libration point in the planar circular restricted photogravitational three-body problem in the cases of first and second order resonances // Journal of Physics: Conference Series, 2021, vol. 1959. DOI: 10.1088/1742-6596/1959/1/012004

11. Тхай В.Н., Зимовщиков А.С. О возможности существования облачных скоплений микрочастиц в точках либрации двойной звезды // Астрономический журнал. 2009. Т. 86. № 6. С. 598-606.

12. Зимовщиков А.С., Тхай В.Н. Диаграммы устойчивости для гетерогенного амбля частиц в коллинеарных точках либрации фотогравитационной задачи трех тел // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74. № 2. С. 221-229.

13. Бардин Б.С., Авдюшкин А.Н. Исследование устойчивости коллинеарной точки либрации в одном частном случае ограниченной фотогравитационной задачи трёх тел // LIV Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники: тезисы докладов (Москва, 14-18 мая 2018). - М.: РУДН, 2018, С. 151-155.

14. Bardin B.S., Avdyushkin A.N. Stability of the collinear point L1 in the planar restricted photogravitational three-body problem in the case of equal masses of primaries // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2020, vol. 927. DOI: 10.1088/1757-899x/927/1/012015

15. Маркеев А.П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. - 396 с.

16. Бардин Б.С., Чекина Е.А. Об устойчивости резонансного вращения динамически симметричного спутника в плоскости эллиптической орбиты // Труды МАИ. 2016. № 89. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=72568

17. Бардин Б.С., Савин А.А. Исследование орбитальной устойчивости плоских колебаний симметричного намагниченного спутника на круговой орбите // Труды МАИ. 2016. № 85. URL: https ://trudymai.ru/published.php?ID=65212

18. Холостова О.В. О взаимодействии резонансов третьего и четвертого порядков в гамильтоновой системе с двумя степенями свободы // Нелинейная динамика. 2015. Т. 11. № 4. С. 671-683.

19. Холостова О.В., Сафонов А.И. О бифуркациях положений равновесия гамильтоновой системы в случаях двойного комбинационного резонанса третьего порядка // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=93297

20. Сафонов А.И., Холостова О.В. О периодических движениях симметричного спутника на слабоэллиптической орбите в одном случае кратного комбинационного резонанса третьего и четвертого порядков // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2018. T. 28. № 3. С. 373-394.

References

1. Radzievskii V.V. Astronomicheskii zhurnal, 1950, vol. 27, no. 4, pp. 249-256.

2. Kunitsyn A.L., Tureshbaev A.T. Pis'ma v Astronomicheskii zhurnal, 1983, vol. 9, no. 7, pp. 432-435.

3. Conley C. Low Energy Transit Orbits in the Restricted Three-Body Problems, SIAM Journal on Applied Mathematics, 1968, vol. 16, no. 4, pp. 732-746.

4. Ross S.D. Cylindrical manifolds and tube dynamics in the restricted three-body problem. PhD Thesis, California Institute of Technology, Pasadena, California, USA. 2004.

5. Koon W.S., Lo M.W., Marsden J.E. et al. Dynamical Systems, the Three-body Problem and Space Mission Design, 2008, Springer, pp. 26-34.

6. Kakoi M., Howell K., Folta D. Access to Mars from Earth-Moon libration point orbits: manifold and direct options, Acta Astronautica, 2014, vol. 102, pp. 269-286.

7. Aslanov V.S., Neryadovskaya D.V. Trudy MAI, 2022, no. 122. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=163923. DOI: 10.34759/trd-2022-122-02

8. Kunitsyn A.L., Tureshbaev A.T. On the collinear libration points in the photogravitational three-body problem, Celestial mechanics, 1985, vol. 35, pp. 105-112. DOI: 10.1007/BF01227664

9. Bardin B.S., Avdyushkin A.N. Nonlinear stability analysis of a collinear libration point in the planar circular restricted photogravitational three-body problem, Journal of Physics: Conference Series, 2021, vol. 1925. DOI: 10.1088/1742-6596/1925/1/12018

10. Bardin B.S., Avdyushkin A.N. On stability of a collinear libration point in the planar circular restricted photogravitational three-body problem in the cases of first and second order resonances, Journal of Physics: Conference Series, 2021, vol. 1959. DOI: 10.1088/1742-6596/1959/1/012004

11. Tkhai V.N., Zimovshchikov A.S. Astronomicheskii zhurnal, 2009, vol. 86, no. 6, pp. 598-606.

12. Zimovshchikov A.S., Tkhai V.N. Prikladnaya matematika i mekhanika, 2010, vol. 74, no. 2, pp. 221-229.

13. Bardin B.S., Avdyushkin A.N. LIV Vserossiiskaya konferentsiya po problemam dinamiki, fiziki chastits, fiziki plazmy i optoelektroniki: tezisy dokladov, Moscow, RUDN, 2018, pp. 151-155.

14. Bardin B.S., Avdyushkin A.N. Stability of the collinear point L1 in the planar restricted photogravitational three-body problem in the case of equal masses of primaries,

IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2020, vol. 927. DOI: 10.1088/1757-899x/927/1/012015

15. Markeev A.P. Lineinye gamil'tonovy sistemy i nekotorye zadachi ob ustoichivosti dvizheniya sputnika otnositel'no tsentra mass (The Linear Hamiltonian systems and some problems of the motion stability of the satellite with respect to its center of mass), Moskow-Izhevsk, NITs «Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika», 2009, 396 p.

16. Bardin B.S., Chekina E.A. Trudy MAI, 2016, no. 89. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=72568

17. Bardin B.S., Savin A.A. Trudy MAI, 2016, no. 85. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=65212

18. Kholostova O.V. Nelineinaya dinamika, 2015, vol. 11, no. 4, pp. 671-683.

19. Kholostova O.V., Safonov A.I. Trudy MAI, 2018, no. 100. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=93297

20. Safonov A.I., Kholostova O.V. Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye nauki, 2018, vol. 28, no. 3, pp. 373-394.

Статья поступила в редакцию 03.10.2022 Статья после доработки 04.10.2022 Одобрена после рецензирования 06.10.2022 Принята к публикации 12.10.2022

The article was submitted on 03.10.2022; approved after reviewing on 06.10.2022; accepted for publication on 12.10.2022