CC BY
13Нелинейная динамика. 2017. Т. 13. № 4. С. 543-556. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru Б01: 10.20537/па1704007
УДК: 521.13
М8С 2010: 70Е07, 70К42, 53А04
Кривые Хилла и точки либрации в ограниченной круговой задаче трех тел с малым ускорением
П. С. Красильников
Исследуется задача построения однопараметрического семейства кривых Хилла в плоской круговой ограниченной задаче трех тел, когда на пассивно гравитирующую точку воздействует постоянное по модулю реактивное ускорение w. Предполагается, что во все время движения вектор ускорения направлен вдоль оси Ох, соединяющей основные тела. Получены условия существования треугольных и коллинеарных точек либрации в зависимости от w, исследовано поведение измененной силовой функции задачи в точках либрации. Описано шесть топологически разных типов однопараметрических семейств кривых нулевой скорости в зависимости от значений ускорения w. Показано, что типы семейств отличаются числом критических значений постоянной интеграла Якоби, а также упорядочением этих значений. Для системы Земля-Луна построено однопараметрическое семейство кривых Хилла для каждого из шести типов.
Ключевые слова: ограниченная задача трех тел, кривые Хилла, точки либрации, постоянное ускорение
Получено 01 ноября 2017 года После доработки 08 декабря 2017 года
Исследования выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-21-00068) в Московском авиационном институте.
Красильников Павел Сергеевич кгаБИОбйгашЫег .ги
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет) 125993, Россия, Москва А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4
Введение
В последние годы возродился интерес к задаче межпланетных перелетов с двигателями малой тяги, что обусловлено значительным прогрессом в разработке таких двигателей, увеличением ресурса надежности космических аппаратов, совершенствованием методов управления полетом космических аппаратов. Пионерские работы [1—5], посвященные в основном проблемам оптимизации, получили развитие во многих исследованиях.
В этой статье мы исследуем области возможных движений ЛА в задаче трех тел с электродвигательной установкой (ЭРДУ) на борту, при условии, что ЭРДУ создает постоянное по модулю реактивное ускорение, направленное параллельно оси, соединяющей основные притягивающие тела с массами Ш\, Ш2 соответственно. Эта проблема тесно связана с проблемой существования искусственных положений равновесия во вращающейся системе координат (точек либрации), так как изменение топологии семейства кривых Хилла происходит при значениях константы обобщенного интеграла энергии, отвечающей точкам либрации.
Хорошо известно, что точки либрации имеют широкое применение в космодинамике. К примеру, точка либрации Ь\ системы Солнце-Земля активно используется в проектах НАСА (NASA — National Aeronautics and Space Administration ) и ЕКА (ESA — European Space Agency) для изучения взаимодействия между магнитным полем Земли и солнечным ветром, запущены аппараты ISEE-3, SOHO, ACE, WIND, DSCOVR в окрестность этой точки. Точка L2 в системе Солнце-Земля является удобным местом для строительства орбитальных космических обсерваторий и телескопов. В этой точке уже находятся аппараты американского и европейского космических агентств — WMAP, «Планк», «Гершель» и Gaia. Эта точка расположена дальше земной тени; известно, что солнечная радиация оказывает свое негативное воздействие на работу приборов.
Применение двигателей малой тяги ведет к смещению коллинеарных точек либрации в зону земной тени. В работе [10] впервые описано использование таких двигателей для создания искусственных смещенных точек либрации и движений в окрестности этих точек. В работе [11] показано, что с помощью малой тяги можно разместить спутник в равнобедренных точках либрации. Используя двигатели малой тяги, можно также стабилизировать смещенные коллинеарные точки либрации в первом приближении [15]. В работе [8] исследована устойчивость компланарных точек либрации в ограниченной задаче трех тел в линейной и нелинейной постановках, в работе [19] получены условия существования и устойчивости в первом приближении точек либрации, расположенных в пространстве.
В статьях [18, 22, 23] исследованы положения равновесия и устойчивость точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел при условии, что одно из тел является излучающим и оказывает световое давление на пассивно гравитирующую точку. Статьи [20, 21, 25] посвящены изучению влияния светового давления на движение спутника с солнечным парусом, в частности, исследуются вопросы существования искусственных положений равновесия спутника, зависящих от величины светового давления.
В работах [6, 7] рассмотрена модель гибридного солнечного паруса. Исследованы вопросы существования и устойчивости в первом приближении искусственных положений равновесия спутника с таким парусом. Исследованию искусственных точек либрации спутника с реактивным двигателем в гравитационном поле двух массивных тел, одно из которых представляет собой сплюснутый сфероид, посвящена статья [17]. В более ранних исследованиях [12-14] приводится анализ существования и устойчивости точек либрации в гравитационном поле однородного (и неоднородного) трехосного эллипсоида в отсутствии каких-либо систем управления.
Поверхности Хилла, ограничивающие области возможных движений спутника в круговой ограниченной задаче трех тел с дополнительным управляющим воздействием от реактивного двигателя либо солнечного паруса, практически не изучены. Можно указать на статью [9], в которой используются поверхности Хилла для анализа движения спутника по квазипериодической орбите, соединяющей окрестность точки Ь\(Ь2) с окрестностью Земли. В известной монографии [24] поверхности Хилла построены для классической плоской круговой ограниченной задачи трех тел.
Уравнения движения
Рассмотрим движение спутника в гравитационном поле двух притягивающих небесных тел с массой Ш\ и т2 (предполагаем, что т2 ^ т\). Предположим, что притягивающие тела движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс О с постоянной угловой скоростью вращения п, третье тело (спутник), имеющее бесконечно малую массу, принадлежит во все время движения плоскости вращения основных тел. Считаем также, что на спутник установлен двигатель малой тяги, создающий постоянное по модулю ускорение w, ориентированное вдоль оси, соединяющей основные тела.
Пусть Охуг — синодическая система координат с началом в точке О. Считаем (см. рис. 1), что плоскости (х,у) принадлежат круговые орбиты основных тел, ось х проходит через притягивающие массы т\,т2, ось г перпендикулярна плоскости (х,у) (на рис. 1 она не показана).
Предположим, что реактивное ускорение w параллельно оси Ох во все время движения и постоянно по модулю. Пусть а — расстояние между основными телами, Т — период движения основных тел по орбите. Введем следующие единицы измерения: а = 1, Ш\ + Ш2 = 1, Т = 2п. Отсюда следует, что п = 1.
Уравнения движения имеют следующий вид:
У
и1 ГПя
О
х
Рис. 1. Координатная система.
(1)
(2)
Здесь
Г1 = \/(X + /Л,)2 + у'2, 1'2 = (х + ц - I)2 + у2, ц
Ш2
ш\ + т2'
Стационарные положения равновесия находятся из уравнений
дУ дх
= х —
1 — л
(х + ¡л) — — 1 + ¡л) + и> = О,
_ ( 1 — /л /л
ду ^ \ г? 13
Эти уравнения отличаются от классических наличием параметра w.
Треугольные точки либрации
Уравнения равновесия при у = 0 имеют вид
w
(1 — л)л
/л = 1
о о -1- •
(3)
Рассматривая w и ¡л как параметры, имеем следующее параметрическое представление решений уравнений (3):
У ' 2 Л 2 VI -р + из) 2 \fi-wj
\ 2/3
у» = ( У7" 1
у у ' 1 1 - II + V))
1 +
1 — л
1 — Ц + Ь)
2/3
л
Л — w
\ 2/3
(4)
Из второго уравнения системы (4) следует, что треугольные точки либрации существуют только в том случае, когда
1 — ¡л 1 — Ц + Ь)
2/3
1 +
1 — ¡л 1 — Ц + Ь)
2/3
л
Л — w
2/3
> 0.
(5)
Если параметры w и л достаточно малы, то легко показать, что граница области (5) описывается линейной функцией л = kw, где к — решение уравнения
2 -
к
к1
2/3
0.
Очевидно, к = 0, к = 8/7, поэтому в малой окрестности точки w = л = 0 имеем две граничные кривые л = 0, л = 8/7w. Для произвольных значений w и л область (5) представлена на рисунке 1 (область (5) заштрихована).
Для системы Земля-Луна (л = 0.01215067) это неравенство накладывает ограничения на область изменения ускорения w:
-0.52072411 < w ^ 0.010623698.
(6)
На рисунке 3 изображена кривая (4) для системы Земля-Луна, представляющая собой геометрическое место треугольных точек либрации £4^), £5^) для разных значений ускорения w. Они располагаются парами, симметрично относительно оси Ох. Классические
1
2
1
1
3
3
г
г
г
г
2
1
1
2
2
2
2
у' 0.8 ,2/
0.4 т\ ш2 1 х
1 0.5 0.4 -0.8 0.5 1
Рис. 3. Кривая треугольных точек либрации
треугольные точки либрации представлены белыми ромбами. Крайние значения и> из области существования (6) отвечают нулевым значениям координаты у (треугольные точки сливаются с коллинеарными):
у = 0, х(—0.52072411) = 1.27141807; у = 0, х(0.010623698) = -1.00859137.
Часть кривой, лежащая справа от вертикальной оси, проходящей через классические треугольные точки либрации, отвечает отрицательным значениям w, так как на этой кривой центробежная сила инерции имеет положительную проекцию на ось Ох. Положительные значения w формируют кривую, лежащую слева от указанной вертикали.
Как известно, поведение функции V в экстремальных точках w) опре-
деляется знаком второго дифференциала
а((х)2 + 2Ъ(1хйу + с((у)2, а = (Ь4,5), Ъ = VXy (Ь4,5), с = Vyy (Ь4,5). (7)
Вычисления показывают, что эта квадратичная форма положительно определена для системы Земля-Луна при всех значениях ускорения ь из интервала существования треугольных точек либрации, так как
а > 0, ас — Ь2 > 0.
Поэтому, как и в классическом случае, функция V принимает минимальное значение в точках Ь4(ь), Ь5(ь), когда л = 0.01215067, однако это значение зависит от положения точки на кривой (4). Случай л = 0.01215067 не рассматривался.
Для произвольных значений л и ь из области (5) существования треугольных точек либрации можно показать, что значение функции V в точках Ь4(ь), Ь^(ь) задается формулой
/ _ N / / -1 _ , х 1/3
^(¿4.5) = [3(м - 1)/5 - З/га + гу(2М - 1)], а = , ■
Для системы Земля-Луна функция V (Ь4,5) является монотонной функцией ь:
0.9647033585 4 V (Ь^ь)) 4 1.501397518, -0.52072411 4 ь 4 0.010623698. В классическом случае (ь = 0) мы имеем V(Ь^) = 1.5.
Коллинеарные точки либрации
В случае у = 0 уравнение равновесия имеет вид
-Р = ж----^т (х + /л)--—-т (х — 1 + /л) + и> = 0.
\х + л\ \х + л — 1|
Из рисунка 4 следует, что при ь = 0 уравнение Г = 0 также имеет три вещественных корня, являющихся координатами смещенных коллинеарных точек либрации Ь\(л,ь), Ь2(л,ь), Ьз(л,ь).
5- Я ¿1
|0 I5" / 2 3 х
Рис. 4. График функции Г при ь = 0.
Рассмотрим точку ^(л^). Координату х этой точки представим в виде х = 1 — л — р1, р1 > 0. Тогда уравнение относительно р1 примет вид
Аналогично, для Ьз(л^) координату х вычисляем по формуле х = —л — Рз, тогда рз — положительный корень уравнения
р5 + р4 (2 + ß - w) + р3 (2ß + 1 - 2w)+ р2 (ß - 1 - w) + 2p3 (ß - 1) + ß - 1 = 0. (10)
Исследуем вопрос о поведении силовой функции V в коллинеарных точках либрации. Вычисления показывают, что для системы Земля - Луна коэффициент a квадратичной формы (7) больше нуля для всех трех коллинеарных точек либрации независимо от w.
Однако поведение гессиана Hess V = ac - b2 более сложное. Для внутренней точки либрации Li, координата которой pi может меняться в пределах (0,1), имеем HessV < 0, поэтому Li — седловая точка силовой функции.
Внешняя точка L2, для которой p2 может меняться в пределах от 0 до то, отвечает неравенству Hess V < 0 только в том случае, когда существуют треугольные точки либрации. Действительно, вычисления показывают, что Hess V < 0 при p2 Е (0, р|), p2 = 0.2835687403, при этом р\ соответствует, в силу уравнения (9), ускорению w = -0.52072411, при котором треугольная точка либрации сливается с коллинеарной (крайняя правая точка кривой на рис. 3). Если треугольные точки либрации не существуют, то есть p2 Е (р2, +то), то Hess V > 0. Гессиан обращается в нуль при p2 = р|. Заметим, что интервалу p2 Е (0, p2) отвечает интервал w Е (-0.52072411, +то).
Таким образом, L2 является седловой точкой функции V, когда существуют треугольные точки либрации; если треугольных точек либрации нет, то V принимает минимальные значения в L2. Случай p2 = p2 требует отдельного рассмотрения.
Для внешней точки либрации L3 имеем подобный результат. Гессиан Hess V < 0, когда рз Е (0, p3); Hess V > 0 для рз е (р*3, +то) и Hess V(p3) = 0 при р*3 = 0.9964406980. Из уравнения (10) следует, что р3 отвечает ускорению w = 0.01062369831, когда треугольная точка либрации сливается с коллинеарной (крайняя левая точка на рис. 3). Интервал р3 Е (0,р?|) отвечает интервалу w Е (-то, 0.010623698).
Поэтому L3 является седловой точкой функции V, когда w < 0.010623698, что отвечает условию существования треугольных точек либрации. Функция V достигает минимума в L3, когда w > 0.010623698 (отсутствуют треугольные точки либрации).
Кривые Хилла в плоской задаче трех тел с ускорением
Исследуем кривые Хилла (кривые нулевой скорости) в плоской круговой задаче трех тел с постоянным ускорением w, ограничивающие области возможных движений точки с массой m3. Из обобщенного интеграла энергии
Pi - Pi (3 - ß + w)+ pi (3 - 2ß + 2w) - pj (ß + w) + 2p1 ß - ß = 0.
(8)
Для точки L2(ß,w) положим x =1 - ß + p2, p2 > 0, имеем уравнение
P2 + P2 (3 - ß + w)+ p3 (3 - 2ß + 2w) + p2 (-ß + w) - 2p2ß - ß = 0. (9)
следует, что область возможных движений V2 ^ 0 имеет вид
Рс = {х,у: 2V ^ С}, С = -2Н + р(1 - р),
поэтому уравнение однопараметрических кривых Хилла приводится к классическому виду 2У = С при условии, что силовая функция V вычисляется по формуле (2). Семейство кривых имеет особенность, когда
<»>
поэтому топологический тип семейства кривых Хилла меняется в точках либрации.
Выясним прежде всего, как соотносятся между собой значения силовой функции в разных точках либрации. Заметим, что при фиксированном ц = 0.01215067 кривая 2У = С параметризована величиной и> неявным образом. Можем получить явную параметризацию для одной из точек либрации — Ь\. С этой целью вместо декартовой координаты х точки Ь\ введем параметр р\ £ (0,1) по формуле х = 1 — ц — р\. Тогда и> определяется как функция р1 в силу уравнения (8):
Р1 — Р41(3 — + р3 (3 — 2р) — р2ф + 2Р1Ц — р
и] =-л-5-о-• (12)
р\-2р\+р2
Эта функция задает взаимно-однозначное отображение р1 ^ w, при этом интервалу Р1 € (0,1) отвечает область изменения w £ (—ж, +ж). Очевидно, что V, вычисленная в точке либрации £1, есть функция р1.
Аналогично параметризуем (но неявным образом) кривую 2У = С с помощью р1, когда V вычисляется в точках £2, £3. Для этого вместо декартовой координаты х указанных точек либрации вводим параметры р2, рз по формулам х = 1 — ц + р2, х = —р — рз соответственно. Используя равенства (9), (10), (12), находим р2, рз как функции р1, после чего вычисляем V(£2), V(£3) как функции р1. Очевидно, что описанная параметризация эквивалентна параметризации с помощью w.
Положим VI равным значению V в точке либрации В силу сказанного выше, VI = Vi(рl). Заметим, что область изменения параметра р1, отвечающая условию (6) существования треугольных точек либрации в системе Земля-Луна, имеет вид
0.1154881778 < р1 < 0.1518802318.
Пусть Сг(р1) = 2^(р1). Поскольку в точках либрации функция V имеет критические значения (см. (11)), то множество £(р1) = {С: С = Сг(р{), г = 1,...,5} принято называть бифуркационным множеством силовой функции V или множеством ее критических значений. Перестройка кривых Хилла идет через бифуркационное множество. Расчеты, проведенные для системы Земля -Луна, показывают, что существует шесть топологически разных типов критического множества £(р1):
Х1Ы = С (р1 ),3 = Т73: С2 <С1 < Сз, 0 < р1 < 0.11549},
= {Сз (р1 ),Э = Т75: С 5 = С4 < С2 < С1 < Сз, 0.11549 < р1 < 0.14679},
ХзЫ = {Сз (р1 ),3 = 175: С 5 = С4 < С2 < Сз < С1, 0.14679 <р1 < 0.14771},
= {Сз (р1 ),Э = 175: С 5 = С4 < Сз <С2 < С1, 0.14771 <р1 < 0.15188},
= {Сз (р1 ),Э = Т73: С3 < С2 С1, 0.15188 < р1 < 0.15321},
^бЫ = {Сз (р1 ),Э = Т73: С3 <С1 < С2, 0.15321 < р1 < 1}.
(13)
Разница между разными типами множества Е(р1) основана на различии в числе критических значений С и их упорядочении. Граничным точкам интервалов изменения переменной р1 соответствуют появление (исчезновение) треугольных точек либрации (случаи Р1 = 0.11549, 0.15188) либо пересечение кривых С (р1) для разных г. Из формул (13) следует, что значениям р1 = 0.14679, 0.14771, 0.15321 отвечают точки пересечения кривых, сгруппированных в пары
(С1(Р1), Сз(Р1)), С2(Р1), Сз(р1)), (С1(Р1), С2(Р1)).
В таблице 1 представлено соответствие между множествами Е^ и областями изменения параметра т.
Таблица 1. Области изменения параметра т для разных типов множества Е
£3
-ж <т < -0.52069 —0.520689 4 т 4 -0.04797 —0.04797 <т 4 —0.03712
£4 £5 Ее
-0.03712 <т 4 0.0106 0.01062 <т 4 0.02537 0.02537 <т < ж
Рис. 5. Однопараметрическое семейство кривых Хилла для первых двух типов критического множества.
Первый интервал изменения р1 (0 < Р1 < 0.11549) отвечает семейству кривых Хилла, изображенному слева на рисунке 5. Вычисления проводились для р1 = 0.09. Ускорение т и критические значения С представлены в таблице:
Р\ т с2 Сг Сз
0.09 — 1.205021371 -0.019057543 1.0953935052 5.070597256
Рассматриваемый случай характеризуется отсутствием треугольных точек либрации. Для больших, но конечных значений С ^ Сз(р1) имеем кривые, близкие к окружностям, окружающие притягивающие центры по отдельности и в совокупности (красные0 кривые).
аДля читателя печатной версии: здесь и далее полноцветные версии рисунков см. в эл. версии статьи — http://nd.ics.org.ru/nd1704007/
Уменьшение значения С ведет к деформации кривых, но топологический характер кривых Хилла не меняется, пока С > Сэ(р1). При С = Сз имеем слияние двух кривых в точке Ьз (внешняя черная кривая, состоящая из двух связных частей). Последующее уменьшение С (С1(р1) < С < Сз(р1)) ведет к разрыву кривых в Ьз и появлению замкнутых кривых, окружающих притягивающий центр вместе с Ь1, Ь2, либо только один центр (см. две ветви зеленой кривой). При С = С1 замкнутые зеленые кривые соединяются в точке Ь (внутренняя черная кривая, состоящая из двух связных частей). Уменьшение С ведет к разрыву кривых в Ь и появлению семейства кривых, окружающих только точку Ь2. При дальнейшем уменьшении С кривые деформируются, уменьшаясь в размерах так, что при С = С2 стягиваются в точку Ь2 и пропадают при С 4 С2(р1).
Отметим, что если С ^ С1(р1) и при этом начальные условия по координатам принадлежат овалам, окружающим Ш1 или Ш2, траектории будут устойчивы по Хиллу.
Второму интервалу изменения р1 (0.11549 4 Р1 4 0.14679) отвечает более сложная картина кривых Хилла, так как появляются треугольные точки либрации Ь4, Ь$. Расчет кривых проводился для р1 = 0.13. Соответствующие критические значения приведены в следующей таблице:
Р1 ю С5 = С4
0.13 -0.2716986 2.50136432 2.544343336 2.739606966 3.54727804
Семейство кривых Хилла представлено справа на рисунке 5. Качественное описание кривых Хилла при С > С2(р\) повторяет описание предыдущего случая. Однако при С = С2 замкнутые кривые, окружающие точку либрации Ь2 (см. синие кривые), деформируются в «восьмерку с центром в Ь2». При С4(р1) < С < С2(р1) имеет место разрыв в точке Ь2 с появлением двух ветвей кривой Хилла, окружающих точки Ь4, Ь$. Дальнейшее уменьшение С ведет к стягиванию кривых в точки Ь4, Ь$.
Как и в предыдущем случае, мы имеем устойчивость по Хиллу, когда С ^ С1Р).
Третьему интервалу изменения р1 (0.14679 < Р1 4 0.14771) отвечает картина, представленная на рисунке 6 слева.
Полагаем р1 = 0.147. Критические значения константы С приводятся в следующей таблице:
Р1 ю С5 = С4 сч С\
0.147 -0.04548098 2.9342205 3.078753164 3.11489499 3.124037188
Этот случай подобен «классическому» ('ю = 0), но с одним исключением: разрыв кривых Хилла, отвечающих критическим значениям константы С, происходит сначала в точках либрации Ь1, Ьз и только потом — в точке Ь2.
Устойчивость по Хиллу имеет место при С ^ Сз(р1).
Рассмотрим четвертый интервал изменения р1 (0.14771 < Р1 4 0.15188). Кривые Хилла изображены на рисунке 6 справа. Расчеты проводились при р1 = 0.149. Критические значения константы С представлены ниже:
Р1 ю С5 = С4 Сз Со С1
0.149 -0.0220980726 2.97121359 3.068409334 3.133020426 3.163313614
Рис. 6. Однопараметрическое семейство кривых Хилла для 3-го и 4-го типов критического множества.
Рис. 7. Однопараметрическое семейство кривых Хилла для 5-го и 6-го типов критического множества.
Этот случай полностью отвечает классическому случаю ^ = 0 [24]). Изменение топологии семейства кривых Хилла происходит через распад кривых в точках £1, £2, £з, отвечающих критическим значениям С1, С2, Сз. Неравенство С ^ С2(р1) задает устойчивость по Хиллу. Заметим, что некоторые периодические орбиты спутника в областях Хилла описаны в работе [16].
Семейство кривых пятого случая (0.15188 < р1 ^ 0.15321) изображено на рисунке 7 слева. Здесь нет треугольных точек либрации. Кривые Хилла отвечают случаю р1 = 0.1525. Значения соответствующих критических значений константы С представлены в таблице:
р\ w Сз с2 Сг
0.1525 0.01752552505 2.98881971 3.22463085 3.229652316
При больших значениях С кривые Хилла замкнуты, окружают центры притяжения по отдельности и в совокупности (красные кривые). При уменьшении С кривые деформируются, при этом внутренние кривые увеличиваются в размерах, касаясь внешних кривых в точке Ь1 при С = С1. Последующий разрыв в Ь1 (С2(р1) < С < С1(р\)) меняет топологию кривых Хилла, образуя замкнутые кривые, окружающие притягивающие точки Ш1, Ш2 и Ь1. При С = С2 появляется общая точка в Ь2 у замкнутых кривых. Далее следует разрыв в Ь2 (Сз(р1) < С < С2(р1)) и появляются замкнутые кривые, окружающие точку либрации Ьз. При уменьшении С кривые постепенно стягиваются к Ьз, при С = Сз схлопываются в Ьз и исчезают при С < Сз(Р1). В случае С ^ С2(р1) имеем устойчивость по Хиллу.
В заключение рассмотрим шестой вариант изменения переменной р1 (0.15321 < Р1 < 1). Предположим, что р1 = 0.2. Тогда имеем следующие критические значения константы С:
Р1 ю Сл Со
0.2 0.4518984980 2.040872856 3.93589548 4.206810938
Кривые Хилла изображены на рисунке 7 справа. Этот случай подобен предыдущему, но есть отличия. Первый разрыв кривых происходит в точке Ь2 (С = С2Р)), потом кривые разрываются в Ь (С = С1(р1)), и мы имеем замкнутые кривые, окружающие Ьз (Сз(р1) < С < С 1(р1)). При уменьшении С кривые постепенно стягиваются к Ьз и при С = Сз схлопываются в Ьз, исчезают при С < Сз(р1). Устойчивость по Хиллу имеет место при С ^ С1 (Р1).
Заключение
Описано шесть топологически разных типов однопараметрических семейств кривых нулевой скорости в зависимости от значений ускорения ю (таблица 1). Показано, что типы семейств отличаются числом критических значений постоянной интеграла Якоби, а также упорядочением этих значений. Для системы Земля-Луна построено однопараметрическое семейство кривых Хилла для каждого из шести типов.
Поскольку качественное изменение отдельных кривых внутри однопараметрического семейства происходит в точках либрации, подробно описаны условия существования треугольных и коллинеарных точек либрации. Показано, что исчезновение треугольных точек либрации Ь4, Ь5 под действием ускорения ю ведет к перестройке всего семейства кривых нулевой скорости.
Практически важный случай малых ускорений ю отвечает четвертому типу семейств кривых Хилла, когда ускорение ю удовлетворяет условию
-0.03711534452 <ю < 0.010623698.
Устойчивость по Хиллу имеет место при С > С2(р1). Таким образом, при малых значениях ускорения области возможных движений мало меняются, сохраняется устойчивость по Хиллу. Однако при ю > 0.010623698 либо при ю < -0.03711534452 наблюдается перестройка областей возможных движений, меняются условия устойчивости по Хиллу.
References
[1] Melbourne W. G., Sauer C.G. Optimum interplanetary rendezvous with power limited vehicles, AIAA J, 1963, vol. 1, no. 1, pp. 54-60.
[2] Lawden D. F. Optimal trajectories for space navigation, London: Butterworths, 1963.
[3] Beletsky V. V., Egorov V. A. Interplanetary flights with the constant output engines, Kosmicheskie Issledovaniya, 1964, vol.2, no. 3, pp. 303-330 (Russian).
[4] Gobitz F. W. Optimal variable thrust transfer of a power limited rocket between neighboring circular orbits, AIAA J., 1964, vol. 2, no. 2, pp. 339-343.
[5] Johnson D.P., Stumpf L.W. Perturbation solutions for low thrust rocket trajectories, AIAA J., 1965, vol. 3, no. 10, pp. 1934-1936.
[6] Aliasi G., Mengali G., Quarta A. A. Artificial equilibrium points for a generalized sail in the circular restricted three-body problem, Celestial Mech. Dynam. Astronom, 2011, vol. 110, no. 4, pp. 343-368.
[7] Baig S., McInnes C.R. Artificial three-body equilibria for hybrid low-thrust propulsion, J. Guid. Control Dyn, 2008, vol. 31, no. 6, pp. 1644-1654.
[8] Bombardelli C., Pelaez J. On the stability of artificial equilibrium points in the circular restricted three-body problem, Celestial Mech. Dynam. Astronom., 2010, vol. 109, no. 1, pp. 13-26.
[9] Bookless J., McInnes C.R. Control of Lagrange point orbits using solar sail propulsion, Acta Astronaut, 2008, vol.62, nos. 2-3, pp. 159-176.
[10] Dusek H. M. Motion in the vicinity of libration points of a generalized restricted three-body model, in Prog. Astronaut. Aeronaut.: Methods in Astrodynamics and Celestial Mechanics: Vol. 17. A Selection of Technical Papers Based Mainly on the American Institute of Aeronautics and Astronautics and Institute of Navigation Astrodynamics Specialist Conference (Monterey, Calif., Sept 16-17, 1965), R. L. Duncombe, V. G. Szebehely (Eds.), New York: Acad. Press, 1966, pp. 37-54.
[11] Farquhar R. W. The control and use of libration-point satellites: Technical Report NASA-TR-R-346, Washington, D.C.: Goddard Space Flight Center Greenbelt, 1970.
[12] Kosenko I.I. On libration points near a gravitating and rotating triaxial ellipsoid, J. Appl. Math. Mech., 1981, vol.45, no. 1, pp. 18-23; see also: Prikl. Mat. Mekh, 1981, vol.45, no. 1, pp. 26-33.
[13] Kosenko 1.1. Non-linear analysis of the stability of the libration points of a triaxial ellipsoid, J. Appl. Math. Mech., 1985, vol. 49, no. 1, pp. 17-24; see also: Prikl. Mat. Mekh., 1985, vol. 49, no. 1, pp. 16-24.
[14] Kosenko I.I. On the stability of points of libration of an inhomogeneous triaxial ellipsoid, J. Appl. Math. Mech., 1987, vol. 51, no. 1, pp. 1-5; see also: Prikl. Mat. Mekh., 1987, vol. 51, no. 1, pp. 3-8.
[15] Krasil'nikov P. S., Kunitsyn A. L. On the stabilization of the collinear libration points of the restricted circular three-body problem, Celestial Mech., 1977, vol. 15, no. 1, pp. 41-51.
[16] Krasilnikov P. S., Saraeva A. G. Poincare periodic orbits of the first kind in the planar circular restricted problem of three bodies with small acceleration, Cosmic Research, 2015, vol. 53, no. 6, pp. 469-475; see also: Kosmicheskie Issledovaniya, 2015, vol. 53, no. 6, pp. 509-515.
[17] Ranjana K., Kumar V. On the artificial equilibrium points in a generalized restricted problem of three bodies, IJAA, 2013, vol. 3, no. 4, pp. 508-516.
[18] Kunitsyn A. L., Perezhogin A. A. On the stability of triangular libration points of the photogravitational restricted circular three-body problem, Celestial Mech., 1978, vol. 18, no. 4, pp. 395-408.
[19] Morimoto M. Y., Yamakawa H., Uesugi K. Artificial equilibrium points in the low-thrust restricted three-body problem, J. Guid. Control Dyn., 2007, vol. 30, no. 5, pp. 1563-1567.
[20] McInnes C. R. Artificial Lagrange points for a partially reflecting flat solar sail, J. Guid. Control Dyn., 1999, vol. 22, no. 1, pp. 185-187.
[21] McInnes C. R., McDonald A. J. C., Simmons J. F. L., MacDonald E. W. Solar sail parking in restricted three-body systems, J. Guid. Control Dyn., 1994, vol. 17, no. 2, pp. 399-406.
[22] Perezhogin A. A. Stability of the sixth and seventh libration points in the photogravitational restricted circular three-body problem, Pis'ma v Astron. Zh., 1976, vol.2, pp.174-175 (Russian).
[23] Perezhogin A. A., Tureshbaev A. T. Stability of coplanar libration points in the photo-gravitational restricted three-body problem, Sov. Astron., 1989, vol.33, no. 4, pp. 445-448; see also: Astron. Zh., 1989, vol. 66, no. 4, pp. 859-865.
[24] Szebehely V. Theory of orbits: The restricted problem of three bodies, New York: Acad. Press, 1967.
[25] Waters T.J., McInnes C.R. Solar sail dynamics in the three-body problem: Homoclinic paths of points and orbits, Int. J. Non Linear Mech., 2008, vol. 43, no. 6, pp. 490-496.
Hill's curves and libration points in the low-thrust restricted circular three-body problem
Pavel S. Krasilnikov
Moscow Aviation Institute (National Research University) Volokolamskoe sh. 4, GSP-3, A-80, Moscow, 125993, Russia krasil06@rambler.ru
The plane circular restricted three-body problem is considered, where the massless body is a constant low-thrust spacecraft. It is assumed that the vector of low-thrust is directed along the Ox axis connecting the main bodies. The problem of plotting a family of one-parameter Hill's curves is investigated. The existence conditions of artificial triangular-type and collinear-type libration points are obtained. The values of the effective force function at libration points are investigated also. Six different topological types of the family of one-parameter Hill's curves are described. It is shown that these types differ in the number of critical values of the constant Jacobi integral and in the ordering of these values. For the Earth-Moon system, a family of one-parameter Hill's curves is plotted for each of the six types.
MSC 2010: 70F07, 70K42, 53A04
Keywords: restricted three-body problem, Hill's curves, libration points, constant low-thrust spacecraft
Received November 01, 2017, accepted December 08, 2017
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2017, vol. 13, no. 4, pp. 543-556 (Russian)
