О паракомпактности бесконечномерных многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.16 + 515.122.254

О ПАРАКОМПАКТНОСТИ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

© 2014 г. Аль Нафие Захир Добееас, С.Б. Климентов

Аль Нафие Захир Добееас - аспирант, кафедра геометрии, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчако-ва, 8а, г. Ростов н/Д, 344090.

Климентов Сергей Борисович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой геометрии, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090; главный научный сотрудник, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, e-mail: [email protected].

Al Nafie Zakhir Dobeeas - Post-Graduate Student, Department of Geometry, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia.

Klimentov Sergey Borisovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of Geometry, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Main Scientific Researcher, Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, Russia, e-mail: [email protected].

Доказывается критерий паракомпактности бесконечномерного многообразия M со счётной базой, моделируемого в линейном топологическом пространстве L. Установлено, что для паракомпактности необходимо и достаточно, чтобы пространство моделей L было регулярно. Доказывается достаточное условие существования гладкого разбиения единицы на гладком банаховом многообразии со счётной базой. Демонстрируется, что это условие выполнено не всегда.

Ключевые слова: бесконечномерное многообразие, паракомпактность, разбиение единицы.

In the article the criterion ofparacompactness of the infinite dimensional manifold M modeled in linear topological space L is proved. It is found that for paracompactness is necessary and sufficient to model space L has been regularly. The sufficient condition of existence of the smooth partition of unity on a smooth Banach manifold is established. It is demonstrated that this condition is not always the case.

Keywords: infinite dimensional manifold, paracompactness, partition of unity.

Пусть X - топологическое пространство. Покрытие пространства X называется локально конечным, если у каждой точки имеется окрестность, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов покрытия. Измельчение покрытия пространства X -это другое покрытие, каждый элемент которого содержится в элементе первого. Топологическое пространство называется паракомпактным, если оно ха-усдорфово и для каждого его открытого покрытия существует локально конечное измельчение [1, с. 43].

Наличие у многообразия свойства паракомпактности весьма важно как с точки зрения существования на многообразии разбиения единицы, так и для построения других конструкций, см. например [1, гл. 2], также [2, 3].

В настоящей заметке приводятся результаты по паракомпактности бесконечномерного многообразия, анонсированные ранее в [4, 5], а также некоторые их следствия.

Напомним необходимые определения.

Многообразием М будем называть хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, каждая точка х е М которого обладает открытой окрестностью и , гомеоморфной открытому множеству в топологическом векторном пространстве Ь . Соответствующий гомеоморфизм р: и ^ р(и) с Ь вместе с

областью его определения U, как обычно, будем называть картой (и, р) многообразия М в окрестности точки х [1, с. 31]. Множество карт {р, и)}е/ такое, что и и = М будем называть атласом многообразия

/е/

М (или ¿-атласом). При этом будем говорить, что многообразие М моделируется в Ь , а Ь называем пространством моделей.

Топологическое пространство М называется регулярным, или Т3 -пространством, если любое его одноточечное множество замкнуто, а также любое замкнутое подмножество Е с М и любая точка х £ Е обладают непересекающимися окрестностями [6, с. 71].

Топологическое пространство М называется нормальным, или Т4 -пространством, если любое его одноточечное множество замкнуто, а также для каждой пары непересекающихся замкнутых подмножеств А, В с М существуют открытые множества и, V такие, что А с и, В с V и и п V = 0 (т.е. А и В обладают непересекающимися окрестностями) [6, с. 74].

Основной результат статьи составляет следующая

Теорема 1. Многообразие М паракомпактно тогда и только тогда, когда пространство моделей Ь регулярно (т.е. является Т3 -пространством).

Прежде чем перейти к доказательству теоремы 1, установим одно вспомогательное утверждение.

Лемма 1. Топологическое Т1 - пространство X регулярно тогда и только тогда, когда у каждой точки х е X существует база замкнутых окрестностей.

Доказательство леммы 1. Имеет место следующее утверждение [6, с. 71-72]:

Предложение 1. Т1 - пространство X регулярно тогда и только тогда, когда у каждой точки х е X и любой её окрестности V из некоторой фиксированной предбазы Р существует окрестность и точки х такая, что и с V.

Пусть пространство X регулярно. Зафиксируем некоторую предбазу Р. Как известно [6, с. 34], всевозможные конечные пересечения множеств из Р образуют базу В топологии пространства X. Зафиксируем произвольную точку х е X и пусть Вх - локальная база в точке х , состоящая из окрестностей базы В. Если Вх - произвольная окрестность точки х

п

из Вх, то Вх = IV , где Vi - элементы предбазы Р.

г =1

Согласно предложению, существуют окрестности иг точки х такие, что иг с Vi, г = 1,...,п . Очевидно, что

_ п _

при этом их с || и с В - замкнутая окрестность

г=1

точки х и все такие окрестности, соответствующие элементам Вх из Вх, образуют базу замкнутых окрестностей топологии пространства X в точке х.

Пусть теперь {иг - база замкнутых окрестностей в произвольной зафиксированной точке х . Тогда для любой её окрестности V из фиксированной предбазы Р существует окрестность и е {иг }е1Ч такая,

что иго = иго с V, и, согласно предложению 1, пространство X регулярно.

Лемма 1 доказана.

Доказательство теоремы 1. Если многообразие М паракомпактно, то оно нормально (является Т4 -пространством) [6, с. 445].

Поскольку нормальное пространство регулярно [6, с. 74], по лемме 1 каждая точка х еМ обладает базой замкнутых окрестностей, а следовательно, и каждая точка пространства моделей Ь также обладает базой замкнутых окрестностей. Таким образом, по лемме 1 пространство Ь регулярно.

Тогда каждая точка х многообразия М обладает базой замкнутых окрестностей - прообразом в соответствующей карте р базы замкнутых окрестностей

точки р(х) е М. Таким образом, М - регулярное топологическое пространство со счётной базой. По известной метризационной теореме П.С. Урысона -А.Н. Тихонова [6, с. 387], М метризуемо, а следовательно, паракомпактно [6, с. 444].

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть М - дифференцируемое многообразие класса Сп, п = 1,2,...,да, моделируемое в

банаховом пространстве В с нормой || • ||. Если существует строго монотонная биективная вещественная функция / : [0, + + такая, что суперпози-

ция / о || Ц есть вещественнозначная функция класса С п на В , то на М существует разбиение единицы

Сп

.

В частности, если М - гильбертово многообразие класса Сп, то на нём существует разбиение единицы класса С .

Доказательство теоремы 2 следует схеме рассуждений из [1, с. 47-50]. Новизна состоит в первую очередь не в переходе к банахову пространству моделей от гильбертова, используемого в [1], а в снятии априорного требования паракомпактности многообразия (см. [1, с. 49]).

Воспроизведём определения нескольких понятий, необходимых нам далее при доказательстве теоремы 2.

Через СА будем обозначать дополнение множества А . Пусть Б - метрическое пространство с метрикой < .

В Б можно говорить о шарах и в дальнейшем множество Ва (х) = {у е Б : <(у, х) < а} будем называть открытым шаром радиуса а с центром в точке х, а множество Ва (х) = {у е

Б : < (у, х) < а} - замкнутым шаром радиуса а с центром в точке х . Открытое подмножество V с Б назовём зубчатым, если для некоторых открытых шаров и,иъ..,ит имеем

V = игСй1 п...пСит .

Лемма 2 [1, с. 47]. Пусть Б - метрическое пространство и {и }, г = 1,2,... - счётное покрытие подмножества W открытыми шарами. Тогда существует такое открытое локально конечное покрытие {V}, г = 1,2,... подмножества W , что V с и\ для всех г и множества Vi являются зубчатыми.

Лемма 3. В условиях теоремы 2 существует такая вещественная функция у : В ^ Я класса Сп, что у(х) = 1 при х е В:(о) и у(х) = 0 при ||х|| > 1 + 5, где 3 > 0 мало.

Доказательство леммы 3. Положим

«(t )=

-1/12

t > О, t < О.

Тогда 77 е C°

Функция

у{1 + Si -11)

^(l + S1 - t)+^(t -1)

С да

равна нулю при

t > 1+ 5Х, 5Х > 0 , и единице - при t < 1.

Без ограничения общности в формулировке теоремы 2 можем считать / (1) = 1 (в противном случае перейдём к функции ущ ).

Функция у : В ^ Я, где у(х) = g о у(х||), удовлетворяет условиям леммы 3 при достаточно малом 51.

Следствие 1. В условиях теоремы 2 существует такая вещественная функция р : В ^ Я класса Сп,

что р(х) = 1 при х е Вг (у), г > 0 , и р(х) = 0 при ||х -у|| > г + д2, где д2 > 0 мало.

Доказательство следствия 1. Очевидно,

I х -

P(x)=v{K].

Лемма 4. Пусть и - открытый шар в банаховом пространстве В и V = ипси1 п...псит - зубчатое открытое подмножество. Тогда, в условиях теоремы 2, существует такая вещественная функция а: В ^ Я

класса С", что а(х) > 0 при х е V и а(х) = 0 при х £ V .

Доказательство леммы 4 (обобщает рассуждения из [1, с. 49]). Для каждого и/ обозначим рi е С", построенную в следствии 1 функцию такую, что

0 <р1 (х)< 1 при хе°и, Pi (х) = 1 при х еиi. Через р(х) обозначим функцию класса С" на В такую, что р(х) > 0 при х е и и р(х) = 0 при х £ и (существование такой функции с очевидностью вытекает из следствия 1).

Обозначим а(х) = р(х)п (1 -Р{ (х)). Тогда а(х)

/=1

удовлетворяет требованиям леммы 4.

Лемма 5. Пусть А1 и А2 - непустые замкнутые

непересекающиеся подмножества банахова пространства В . Тогда, в условиях теоремы 2, существует такая функция ^ : В ^Я класса С", что 0 <у(х)< 1, у(х) = 0 при х е А1 и \у(х) = 1 при х е А2 .

Доказательство леммы 5 (обобщает рассуждения из [1, с. 49]). Поскольку многообразие М имеет счётную базу, пространство моделей В также обладает счётной базой, поэтому будет линделёфовым пространством [6, с. 291]. В связи с этим можно покрыть А2 счётным набором открытых шаров {7/},

1 = 1, 2... таких, что каждый шар и/ содержится в дополнении к множеству А1. Обозначим Ш = и и,-. По

лемме 2 построим локально конечное измельчение этого покрытия V}. Используя лемму 4, построим функции а, которые положительны на V и равны нулю вне V . Положим а = (сумма конечна в

каждой точке множества Ж). Имеем а(х)> 0 при х е А2 и а(х) = 0 при х е А1.

Рассмотрим открытую окрестность и множества А2, в которой а > 0. Тогда А2 и си - замкнутые непересекающиеся множества, и мы можем, применяя лемму 3, построить функцию класса С" а : В ^ Я , положительную на си и равную нулю на А2. Функ-

ция у = -

а + m

удовлетворяет требованиям леммы 5.

Перейдём непосредственно к доказательству теоремы 2. Пусть {(Оа,уа)} - некоторый атлас на M.

Поскольку, в силу теоремы 1, многообразие M па-ракомпактно, можно найти локально конечное измельчение {Uj} покрытия {Оа}. Каждое Ui содержится в некотором Ga(j), и мы обозначим через р сужение отображения уа^ ) на Ui. В силу наличия на M счётной базы можем считать семейство {U¡} счётным. Отметим, что всегда можно считать, что i = а [1, с. 43].

Учитывая последнее замечание, найдём локально конечные измельчения {V} и {W¡} такие, что

W с V с V с Ui, где черта означает замыкание в M (в силу паракомпактности M они всегда существуют [6, с. 446]). Очевидно, множества pV) и p(¡) замкнуты в B , поэтому p(w ) и B \ pi (Vi ) - непересекающиеся замкнутые множества в B . По лемме 5 существует функция fi e G" такая, что fi =l на p(W ) и f = О на B \ p(V ). Положим у i (x) = fi ° Pi (x) при x eUi и у (x) = О при x e M \ Ui. Тогда у e G" на M, у (x) = l при x eWi и у (x) = О при x e M \ Vi.

Положим у = и 0i =щ /у. Тогда семейство функций {ei} образует требуемое разбиение единицы. Теорема 2 доказана.

Замечание 1. Как показывают результаты из [3], функция f , удовлетворяющая условию теоремы 2, не всегда существует. Так, из [3, теорема 4] следует, что если B = ip, где p > l не является чётным числом, а " > p , то такой функции f нет, поскольку при этом нет разбиения единицы соответствующей гладкости.

Литература

1. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. М., 1967. 203 с.

2. Bonic R., Frampton J. Differentiable functions on certain Banach spaces // Bull. of the Amer. Math. Soc. 1965. Vol. 71, № 2. P. 393-395.

3. Bonic R., Frampton J. Smooth functions on Banach manifolds // J. of Math. and Mech. 1966. № 5. P. 877-898.

4. Климентов С.Б. Замечание о топологии дифференцируемых многообразий // Всесоюзное совещание молодых учёных по дифференциальной геометрии, посвящённое 80-летию Н.В. Ефимова : тез. докл. 29.09 - 05.10.1990. Абрау-Дюрсо; Ростов н/Д, 1990. С. 44.

5. Klimentov S.B. The remark on paracompactness of the infinite dimensional manifolds // 2nd Gauss Univesität München Symposium : Abstract Book. August 2-7. München, 1993. Р. 46.

6. ЭнгелькингР. Общая топология. М., 1986. 751 с.

Поступила в редакцию

11 февраля 2014 г.

m