CC BY
17Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 8. №10. 2022
https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/83
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ/PHYSICAL & MATHEMATICAL SCIENCES
УДК 519.211 https://doi.org/10.33619/2414-2948/83/01
MSC 2020: 60B12; 62H05; 81P16
О ПАРАДОКСЕ ДВУХ КОНВЕРТОВ
©Палий И. А., ORCID: 0000-0002-0541-7046, SPIN-код: 6773-1064, Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет, г. Омск, Россия, [email protected]
ON THE TWO-ENVELOPE PARADOX
©Palii I., ORCID: 0000-0002-0541-7046, SPIN-code: 6773-1064, Siberian State Automobile and Highway University, Omsk, Russia, [email protected]
Аннотация. Парадокс двух конвертов объясняется с позиции аксиоматического построения вероятностных пространств. Вычислять вероятности событий и числовые характеристики случайных величин следует после построения вероятностного пространства. Если корректно определить пространство элементарных исходов Q, корректно задать вероятности элементарных исходов в случае, если Q конечное или счетное множество, корректно определить законы распределения рассматриваемых случайных величин, если Q является множеством мощности континуума, парадокс исчезает. Для каждого вероятностного пространства получается свой ответ на вопрос, кому из игроков выгоден обмен конвертами, или же этот обмен никому из игроков выгоды не приносит.
Abstract. The two-envelope paradox is explained from the standpoint of the axiomatic construction of probability spaces. The probabilities of events and the numerical characteristics of random variables should be calculated after constructing the probability space. If we correctly define the space of elementary outcomes Q, correctly set the probabilities of elementary outcomes if Q is a finite or countable set, correctly determine the distribution laws of the random variables under consideration, if Q is a set of continuum, the paradox disappears. For each probabilistic space, a different answer is obtained to the question of which of the players benefits from the exchange of envelopes, or whether this exchange does not bring benefits to any of the players.
Ключевые слова: парадокс двух конвертов, вероятностные пространства, законы распределения, числовые характеристики случайных величин.
Keywords: two-envelope paradox, probabilistic space, distribution laws, numerical characteristics of random variables.
Подробный рассказ о парадоксе двух конвертов можно найти в https://clck.ru/32EUo5. Там же приводится полный список источников, начиная с 1943 года, и кончая 2021 годом, посвященных этой проблеме — https://clck.ru/32EUpG. Различные формулировки этого парадокса известны математикам более 70 лет. Современная формулировка этого парадокса такова: имеются два неразличимых по виду конверта, содержащие денежные суммы, одна из которых в два раза больше другой. Один из конвертов можно открыть, после чего нужно принять решение, стоит ли обменять этот конверт на другой.
Рассуждение, приводящее к парадоксу
Пусть сумма денег в открытом конверте равна X. Тогда денежная сумма в другом конверте с вероятностью 0,5 равна 2X, и с вероятностью 0,5 равна 0,5Х. Следовательно, математическое ожидание выплаты в случае замены конвертов равно 0,5*2Х+0,5*0,5Х=1,25Х > X. Поэтому обмен выгоден всегда. Но это же рассуждение применимо и ко второму конверту, чего не может быть. Где же ошибка в рассуждениях?
Разные математики предлагали разные решения и разные формулировки парадокса [ 19]. Свои решения предлагали математики-сторонники байесовского подхода к понятию вероятности, философы, логики, специалисты по математической экономике.
Наша точка зрения на парадокс двух конвертов заключается в следующем. Парадокс устраняется, если следовать аксиоматическому построению вероятностных пространств. Аксиоматика теории вероятностей была разработана А. Н. Колмогоровым и является общепринятой в настоящее время.
С позиций аксиоматического подхода вычислять вероятности событий и числовые характеристики случайных величин корректно, если
- корректно описано пространство элементарных исходов й;
- корректно заданы вероятности элементарных исходов, когда й конечно или счетно;
- корректно заданы законы распределения рассматриваемых случайных величин, если й имеет мощность континуума.
Для каждой интерпретации условий парадокса получается свое вероятностное пространство и свой ответ на вопрос парадокса. Все ответы правильны, так как относятся к конкретной интерпретации.
В дальнейшем на многочисленных примерах показывается, как разрешается парадокс двух конвертов, если следовать этому подходу.
Конечное число элементарных исходов
Вариант 1. Равновозможные исходы.
Положим, что минимальная из денежных сумм в двух конвертах (в дальнейшем — МДС) может принимать значения 1, 2, 4,..., 2 , всего к +1 разных значений, к > 1.
Элементарным исходом назовем упорядоченную пару (х, у), где х — МДС, у — сумма денег в конверте игрока А.
Всего элементарных исходов 2к + 2, пространство элементарных исходов й содержит 2к + 2 элементов, которые будем считать равновозможными.
Г2 = { (1,1), (1,2), (2,2), (2,4),...,(2А",2А), (2к,2к+1)} . Тогда вероятность каждого элементарного 1
исхода равна-.
2к + 2
Положим:
Хk — случайная величина, равная МДС. Она принимает к +1 разных значений — 1, 2,
2 к
с вероятностями
1
к +1
каждое.
У — случайная величина, равная сумме денег в конверте игрока А. Она принимает
значения 1, 2, 4,....
k r\k + 1
2 , 2 с вероятностями
1
1
1
1
соответственно.
2к + 2 к + \ к + \ 2к + 2
Обозначим эти вероятности pQ,pl,p2,...,pk,рк+]
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 8. №10. 2022
https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/83
^ — случайная величина, равная выгоде игрока А (изменению выплаты в сравнении со значением Ук ) в случае обмена конвертов. Условные законы распределения случайной величины ^ при условии, что значение ^ известно, таковы (Таблица 1):
Таблица 1
Yk = 1 Y = 2k+1 Yk = 2, i = 1,..., k
z 1 z -2k Zi -2i-1 2i
P 1 P 1 Pi 0,5 0,5
Условные математические ожидания случайной величины при условии, что значение Ук известно, приведены в Таблице 2.
Таблица 2
1 Y = 2k+1 Yk = 2', i = 1,..., k
M (Zk / Yk = 1) = 1 M(Zk / Yk = 2k+1) = -2k M(Z / Y = 2') = 0,5 • 2' -0,5 • 2'-1 = = 2i-2
Тогда полное математическое ожидание случайной величины Zk равно
k+1 1 1 1 к о 1
M(Zk) = £pM(Z /\ =2>—— Л + -.0,5 + —k2 -——2k =
i=о 2k + 2 k +1 к +1 1=2 2k + 2
. (2k-1 - 2k -1) = 0.
к +1
Таким образом, (Vk e N): M(Zk) = 0 . В соответствии с определением предела lim M (Zk) = 0
Вариант 2. Неравновозможные исходы.
В условиях предыдущего варианта положим, что равновозможны только пары вида
(х,х), (х,2х). Положим р(2',2') = р(2',2'+1) = 0,5д; / = 0,1,..„к; Zр1 = 1.
/=0
Случайная величина Yk — сумма денег в конверте игрока А — принимает значения 1, 2, 4,..., 2k, 2k + 1 с вероятностями
p(Yk = 1) = 0,5р0; p(Yk = 2к+1) = 0,5pk; p(Yk =2') = 0,5(+ р,); / = 1,...,к . Снова составим условные законы распределения случайной величины Z — выгоды игрока А в случае обмена конвертов - при условии, что значение Y известно (Таблица 3).
Таблица 3
Yk = 1 Yk = 2k+1 Yk = 2', i = 1,..., k
z 1 z -2k zi -2i-1 2i
P 1 P 1 Pi Pi-1 p,
p-1 + p, pi-1 + p
В самом деле,p(Z = 2< /у, = 2') = =--= —Ei— , / = 1,..., Ь
' Ж-= 2') 0,5(Д+РМ) д+д.,' ' '
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №10. 2022
https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/83
¡кг, =-2»/Г, =2.)=А2--.2')= 0.5р,_,
Р(Г,=2) 0,5 (р,+р,_,) р,+р,_,' ' '
Условные математические ожидания случайной величины 2к при условии, что значение У известно, приведены в Таблице 4.
Таблица 4
Tk = 1 T = 2k+1 Yk = 2', i = 1,...,k
M(Zk / Tk = 1) = 1 M(Zk / Tk = 2k+1) = = -2k M(Zk /Tk = 2') = 2 - Pi-1 + Рг Pi-1 oi-1 Pi-1 + Pi
Тогда полное математическое ожидание случайной величины 2к равно
м(2к) = IРМ(2к / Ук = 2') = 0,5р0 -1 + ¿0,5(р+ Р,)(—2'--р—- 2'—1) —
«=о ,=1 р._ х + р1 р._ х + р1
—0,5рк - 2* = 0,5! (рг — р) - 2'= 0.
'=0
Таким образом, (Ук е N): М(2к) = 0. В соответствии с определением предела НтМ(2 ) = 0. Расчеты можно выполнить по-другому.
Составим закон распределения случайной величины Хк (Таблица 5) и найдем математические ожидания м (Хк ), М (Ук )
Таблица 5
Xi 1 2 2' 2k
Pi P0 Pi Pi Pk
М (Хк) Лхрг = £ 2' - р1.
'=0 '=0
к 1 л к к
М(Ук) = кур = 0,5р0 -1 + 0,5рк -2к+1 + к0,5(р.—! + р,) -2' = к 1,5р -2' =
'=0 '=1 '=0
= 1,5М (Хк).
Случайная величина 3Х^ — У — выплата игроку В — имеет математическое ожидание
М (3Хк — Ук) = 3М( Хк) — М (Ук) = 1,5М (Хк) = М (Ук).
Поэтому замена конвертов не меняет среднего дохода игрока А.
Легко видеть, что закон распределения случайной величины 3 Хк —Ук — выплаты игроку В - совпадает с законом распределения случайной величины Ук . Вариант 3.
Снова положим, что МДС может принимать значения 1, 2, 4,., 2^ всего к +1 разных значений, к > 1.
Элементарным исходом назовем упорядоченную пару (х, у), где х - сумма денег в
конверте игрока А, у - сумма денег в конверте игрока В. Всего 2к + 2 равновозможных элементарных исходов,
О = { (1,2), (2,1), (2,4), (4,2),..., (2\2к+1Х(2к+\2к)} .
1
Вероятность каждого элементарного исхода равна
2к + 2
Пусть снова 2 — случайная величина, равная выгоде игрока А после выбора другого
конверта. Zk принимает значения +1 + 7.+ 4 ,.. +?к с вероятностями
1
2к + 2
каждое.
Поэтому снова (Vk е N): M(Zk) = 0. В соответствии с определением предела limM(Zk) = 0.
к -^ад
Этот же результат получается, если исходы неравновозможны, но равны вероятности пар вида (2' ,2'+1);(2'+1,2'').
Счетное множество элементарных исходов
МДС может принимать значения 1, 2, 4,., 2^...
Элементарный исход — упорядоченная пара (х, у), где х — МДС, у — сумма денег в конверте игрока А.
0 = { (Щ (1,2), (2,2), (2,4),...,(2*, 2*), (2*,2*+1),...} , множество элементарных исходов счетно.
Исходы вида (х, х), (х,2х) полагаем равновозможными. Положим
^(2',2') = Д2',2'+1) = 0,5р;/ = 0,1,...;Ер=1-
/=0
Случайная величина Х, равная МДС, может иметь конечное математическое ожидание М (Х),
если сходится бесконечный ряд £ х.р. = £ 2' - р , а может и не иметь его, если ряд
1
i=0 i=0
£ 2' • p. расходится.
i=0
Случайная величина У - сумма денег в конверте игрока А - принимает значения 1, 2, 4,..., 2к\... с вероятностями р(У = 1) = 0,5р0; р(У = 2') = 0,5(р._х + д.); 7 = 1,....
Случайная величина У имеет конечное математическое ожидание М(У) = 1,5М(Х) , если существует конечное математическое ожидание М(Х) , и не имеет конечного
да
математического ожидания, если ряд £ 2' - р расходится.
'=0 '
Пусть снова 2 — случайная величина, равная выгоде игрока А в случае обмена конвертов. Полное математическое ожидание случайной величины 2 равно
да да p
M(Z) = Z pM(Z / Y = 2') = 0,5p0 • 1 + Z 0,5(p,,- + p,)( P' 2'
P—2'-1)
i=0
i=1
P'-l + Рг P'-l + Рг
рассмотрим частичные суммы бесконечного ряда
£ 0,5( p,._1 + p )( — 2'--p—2—
'=1 p_ 1 + p p_ 1 + p
Sn = £0,5(p'_1 + p)(—^2--2-1) = -0,5p + 0,5p„ • 2n.
(1) (2)
'=1
p-1 + p, P- i + P'
Чтобы ряд (1) сходился необходимо и достаточно существование конечного предела lim S = S. Тогда ряд (1) сходится к числу S.
и^ад
В свою очередь для сходимости частичных сумм достаточно положить
^ СО
рп=-, «>0, и = 1,2,... Тогда Нт£;? = -0,5р0, а М(г) = 0 . При этом =1, если
(2 + a)n 1
1=0
Ро =■
1 + а
В этом случае все три случайные величины, X, У, 3Х — 7 имеют конечные математические ожидания, так как ряд
21
Z 21 • Р,=Р0 + Z 21 • p = p0 + Z-
г=о i=i i=i (2 + a)
сходится как сумма бесконечной
геометрической прогрессии со знаменателем меньше 1.
Обратимся к случаю существования конечного предела Нш(0,5 р • 2п) = е> 0. В этом
да
случае ряд £ 2' • р расходится в силу нарушения необходимого условия сходимости
1=0
бесконечного ряда.
Все три случайные величины, X, У, 3Х — У имеют бесконечные математические ожидания. Поэтому высказывание "Замена конвертов увеличивает математическое ожидание выплаты игроку А (и, одновременно, игрока В) на число е" теряет смысл, так как бессмысленно рассматривать сумму бесконечности и конечного числа.
Множество элементарных исходов имеет мощность континуума Вариант 1.
Пусть МДС может быть любым числом из интервала
(0, а) . И элементарный исход -число X £ (0, а), причем исходы равновозможны. Тогда Случайная величина Х, равная МДС, равномерно распределена на интервале (0, а) с плотностью вероятности
fx (x) =
0, x g (0, a);
-1,x e (0,a). a
(3)
Поэтому случайная величина Х1 = 2Х равномерно распределена на интервале (0,2а) с плотностью вероятности
'0, х £ (0,2а); (4)
fx, (x) Ч
—, x e (0,2a). 2a
Случайную величину У — сумму денег в конверте игрока А, опишем правилом
ГХ, р = 0,5
|2 X, р = 0,5.
Отсюда плотность вероятности случайной величины У равна
(5)
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru
Т. 8. №10. 2022 https://doi.org/10.33619/2414-2948/83
fY (x) = 0,5 fx (x) + 0,5fxi (x) = <
(6)
0, x g (0,2a); 3 л
—,0 < x < a; 4a
—, a < x < 2a. 4a
Математическое ожидание случайной величины У — средняя выплата игроку А —равно
a 3 x 2a x 3 Y2
M (Y) = J ^x + J ^dx = — 0 4a a 4a 16a
x
8a
= 0,75a.
Найдем закон распределения случайной величины Z — выплаты игроку В.
fX (Y = 2X), p = 0,5 Z = 3X - Y = f v J = Y
[2 X (Y = X), p = 0,5
Законы распределения случайных величин Z и Y совпадают, M(Z) = M(Y) = 0,75a , математическое ожидание выгоды игрока А вследствие обмена конвертами (обозначим это число M (а)) равно 0.
Следовательно, (Va е (0, да)): M(а) = 0 . В соответствии с определением предела lim M (а) = 0.
а^-да
Найти математическое ожидание выгоды игрока А, если он заменит конверт, можно и по-другому.
Обозначим через Za случайную величину, равную выгоде игрока А после выбора другого конверта. Через случайную величину Y величина Z выражается так:
Z =
-Y / 2, 0 < Y < a, Y = 2X ^ -a /2 < Ze < 0;
Y, 0 < Y < a, Y = X ^ 0 < Ze < a;
-Y/2, a <Y <2a, Y = 2X^-a <Z <-0,5a.
(7)
Построим функцию распределения Fz (z) случайной величины Za
1. z<-a^FZa(z) = p(Za <z) = 0
2. z > a ^ (z) = p(Za < z) = 1
a
< z < -0,5a ^ FZa (z) = p(Z < z) = p(2|z| < Y < 2a и Y = 2X) =
3.
= p(Y = 2X)p(2|z| < Y < 2a / Y = 2X) =
1 2a - 2 z a - z
2 2a
2a
4.
-0,5a < z < 0 ^ Fa (z) = p(Z < z) = p(Z < -0,5a) + p(-0,5a < Ze < z) = 1 + p(21z| < Y < a и Y = 2X) = 1 + p(Y = 2X)p(2|z| < Y < a / Y = 2X) =
1 1 a - 2|z| 1 a - 2|z| 4 2 2a 4 4a '
0
a
5.
0 < z < a ^ FZa (z) = p(Za < z) = p(Za < 0) + p(0 < Za < z) =
=1 + p(0 < Y < z и Y = X) =1 +1 •Z =1 + —. 2 2 2 a 2 2a
Поэтому случайная величина Za равномерно распределена на интервале (—а; а) с
плотностью вероятности -1, ее математическое ожидание М) = 0 .
2а а
Следовательно, (Уае(0, да)): М(2а) = 0 . В соответствии с определением предела Нш М (2а) = 0.
Вариант 2.
Назовем элементарным исходом упорядоченную тройку вида (х, у, х), где первое число
х — МДС, 0 < X < а; у — сумма денег в конверте игрока А; г — сумма денег в конверте игрока В. Поэтому тройка (х,у, х), может быть одного из двух видов: (х,х,2х) или (х,2х,х).
Будем считать исходы равновозможными. Тогда пространство элементарных исходов О образуют точки двух отрезков в трехмерном пространстве: ОА и ОВ, где О — начало координат, А — точка с координатами (а, а, 2а), В - точка с координатами (а, 2а, а).
Во всех точках отрезка ОА у = х, х = 2х ; Во всех точках отрезка ОВ у = 2х, х = х ;
Длины отрезков одинаковы и равны \[ва , при подсчете вероятностей можно применить схему геометрических вероятностей.
На этом пространстве элементарных исходов определим три случайные величины X — первая координата элементарного исхода, 7 — вторая координата элементарного исхода, Z — третья координата элементарного исхода. Легко видеть, что случайная величина X равномерно распределена на интервале (0, а), случайные величины 7 и Z одинаково распределены с функцией плотности вероятности
fy (x) = fz (x) = 1
0, x £ (0,2a);
3 4a
4a
0 < x < a; a < x < 2a.
Поэтому замена конвертов не приводит к росту средней выплаты игроку. Вариант 3.
Снова положим, что МДС может быть любым числом из интервала (0, а) . И элементарный исход — число х е (0, а), а случайная величина Х, равная МДС, распределена на интервале (0, а) по некоторому закону с функцией распределения Гх (х) , функцией плотности вероятности /х (х) = ¥'х (х) и конечным математическим ожиданием
а
М (X) = | х/ (х^
0
Тогда случайная величина Х1 = 2Х распределена на интервале (0,2а). Найдем функцию распределения ^ (х) и функцию плотности вероятности случайной величины Х1.
FXi (x) = p(X < x) = p(2X < x) =
/х, (x) = F' (x) =
0, x < 0;
p(2X < x) = p(X < 0,5x) = Fx (0,5x), 0 < x < 2a;
1, x > 2a. 0, x g (0, 2a); 0,5/ (0,5x), 0 < x < 2a.
(8)
Случайная величина У — сумма денег в конверте игрока А, задается правилом
Г X, р = 0,5; [2 X, р = 0,5.
Отсюда плотность вероятности случайной величины У равна
0, х £ (0,2а);
/¥ (x) = 0,5/х (x) + 0,5Д (x) =
(9)
0,5 /x (x) + 0,25 /x (0,5 x),0 < x < a; 0,25/x (0,5x), a < x < 2a.
Математическое ожидание случайной величины У — средняя выплаты игроку А —
равно
2a
M(Y) = J 0,5x/x (x)dx + J 0,25x/x (0,5x)dx + J 0,25x/x (0,5x)dx =
0,5a
= 0,^M(X) + J u/x (u)du + J u/x (u)du = 1,^M(X).
0,5a
Закон распределения случайной величины Z — выплаты игроку В — таков:
ГX ^ = 2X), р = 0,5 7 = ЗХ - Y = Г 4 ' = Y
[2 X (Y = X), р = 0,5
Законы распределения случайных величин Z и У совпадают, М(7) = М(Y) = 1,5М(X), математическое ожидание выгоды игрока А вследствие обмена конвертами (обозначим это число М (а)) равно 0.
Пусть снова 7 — случайная величина, равная выгоде игрока А после выбора другого
конверта.
Z =
-Y /2, 0 < Y < a, Y = 2X ^-a/2 < Za < 0;
Y, 0 < Y < a, Y = X ^ 0 < Za < a;
-Y/2, a < Y < 2a, Y = 2 X ^-a < Z <-0,5a.
(7)
Построим функцию распределения Fz (z) случайной величины Za
1. z<-a^FZa(z) = p(Za <z) = 0
2. z > a ^ Fz (z) = p(Za < z) = 1
a
a
a
a
0
-a < z < -0,5a ^ FZa (z) = p(Za < z) = p(2|z\ < Y < 2a и Y = 2X) =
3 1 2a 1 a
. = p(Y = 2X)p(2|z| < Y < 2a / Y = 2X) =1 • J f2X(x)dx =1 • J 0,5fx(0,5x)dx -
2 2|z 2
1a
= -• J fX(u)du. 2 lzl
-0,5a < z < 0 ^ F (z) = p(Z < z) = p(Z < -0,5a) + p(-0,5a < Ze < z) =
4.
1 а 1 а
= _' I Л (и )Си + р(2| х| < У < а и 7 = 2 X) = -• I /х (и )Си +
2 0,5а 2 0,5а
+р(7 = 2X)р(2\х| < 7 < а / 7 = 2Х) = - • | / (и)Си + - • | /2Х(х)с1х =
2 0,5а 2 2 X
- а - а - а - 0,5а
= -' I /х (и )Си + "' I 0,5/х (0,5х)Сх = -' I /х (и )Си + -' I /х (и)Си =
2 0,5а 2 2|Х 2 0,5а 2 |г|
1 а
= Т'! /х (и)Си
2 XI
0 < х < а ^ ^ (х) = р(2а < х) = р(2а < 0) + р(0 < < х) =
5 1 а - 0,5а - а - г
. = - ■ I /х (и)Си + - ■ I /х (и)Си + р(0 < 7 < х и 7 = х) = --I/х (и)Си + --I/хСх =
2 0,5а 2 0 2 0 2 0
- - х
= _ + _ ' I /уСх, 2 2 0 х
Отсюда плотность вероятности случайной величины Ха равна
0, х £ (—а, а); /Ха (х) = ^ (х) = I 0,5/х (х|), — а < х < 0;
0,5/х (х),0 < х < а.
Это четная функция, математическое ожидание величины Ха равно 0. Распространим этот случай на интервал (0, да) .
Положим, что случайная величина Х имеет конечное математическое ожидание
да
М (х) = I х/ (х)Сх. Тогда плотность вероятности случайной величины Х1 = 2Х равна
fXl( x) =
'0, x £ (0, да); 0,5fx(0,5x), 0 < x < да.
Поэтому плотность вероятности случайной величины 7 равна
|0, х £ (0, да);
/7(х) = 0,5/х(х) + 0,5/ (х) = 1'х £ ( ' );
- [0,5/х (х) + 0,25/х (0,5х), 0 < х <да.
При этом случайная величина 7 имеет конечное математическое ожидание, равное
да да да
М(7) = 10,5/ (х)Сх + 10,25/ (0,5х)Сх = 0,5М(х) + I и/х(и)Си = - 5М(х). И математическое
0 0 0
ожидание выгоды игрока А вследствие обмена конвертами снова равно 0.
0
Построим закон распределения случайной величины 7Х — выгоды игрока А после выбора другого конверта.
—да < ^ < 0 ^ Fi (2) = Р(7 < 2) = р(21< Y < да и Y = 2X) =
1
1
1 = p(Y = 2X)p(2\z\ < Y <да / Y = 2X) =1 • J /2Х(x)dx =1 • J 0,5/x(0,5x)dx =
2 2|z| 2
1 да
=1 •J /г (u)du.
2 |z|
2.
0 < z < да ^ F (z) = p(Z < z) = p(Z < 0) + p(0 < Z < z) =
0,5 + p(0 < Y < z и Y = X) = 0,5 + 0,5 -J /x (x)dx.
0
Отсюда плотность вероятности случайной величины Zx равна
[0,5/х (|z|), - a < z < 0;
/ (z) = F' (z) = •
(10)
0,5/ (z),0 < z < a.
Это четная функция, математическое ожидание величины 7Х равно 0. Численный пример 1.
Пусть случайная величина Х, равная МДС, распределена на интервале (0,1) с функцией
0, х £ (0,1);
плотности вероятности /^ (x) =
2,5 2 1,5 1
0,5
[2x, x е (0,1) fX(x)
(Рисунок 1).
Рисунок 1.
Тогда случайная величина Х1 = 2Х распределена на интервале (0,2) с функцией
"0, х £ (0,2);
плотности вероятности /х (x) =
0,5x, x е (0,2)
(Рисунок 2).
z
0
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 8. №10. 2022
https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/83
Рисунок 2.
Y =
Случайная величина Y - сумма денег в конверте игрока А, задается правилом [X, р = 0,5; [2 X, р = 0,5.
Отсюда плотность вероятности случайной величины Y равна
'0, х £ (0,2);
1,25х,0 < х < 1; (РисУнок 3). 0,25х, 1 < х < 2
Л (х) = 0,5 fx (x) + 0,5fXi (x) = <
Рисунок 3.
Обозначим через ^ случайную величину, равную выгоде игрока А после выбора
другого конверта. Тогда
Z =
-Y /2, 0 < Y < 1, Y = 2X ^ —1/2 <Z < 0; Y ,0 < Y < 1, Y = X ^ 0 < Z < 1; —Y / 2,1 < Y < 2, Y = 2X ^ — 1 < Z < — 0,5.
(7)
Построим функцию распределения Fz (z) случайной величины Zx.
1. z <-1 ^FZi(z) = p(Z, < z) = 0
2. z > 1 ^ FZi (z) = p(Z, < z) = 1
3.
-1 <z <-0,5 ^F(z) = p(Z <z) = p(2|z| <Y <2 и Y = 2X) =
i i 1 2 - 2|z| , , ,
= p(Y = 2X)p(2|z| < Y < 2 / Y = 2X) =---U(1 + |z|) = 0,5(1 - z2).
-0,5 < z < 0 ^FZi(z) = p(Z < z) = p(Z < -0,5) + p(-0,5 <Z < z) = 4. = 0,375 + p(21z| < Y < 1 и Y = 2X) = 0,375 + 0,5 • 0,5 • (1 - 2|z|) • 0,5 • (1 + 2|z|) = = 0,375 + 0,125 • (1 - 4 z2).
0 < z < 1 ^ F (z) = p(Z < z) = p(Z < 0) + p(0 < Z < z) =
5. 1
=1 + р(0 < У < 7 и У = X) = 0,5 + 0,5 • 7 • 0,5 • 27 = 0,5 + 0,572.
Поэтому случайная величина 7 распределена на интервале (—а; а) с плотностью вероятности / (£) = , ее математическое ожидание М(7Х) = 0. Численный пример 2.
Положим, что закон распределения случайной величины Х - МДС — задается правилом
0, — да, х < 0;
/х (x) =
e~x, x > 0.
Тогда плотность вероятности случайной величины Х1 = 2Х такова:
|0, —да, х < 0;
х) = [0,5е ^ х, х > 0.
Отсюда плотность вероятности случайной величины У — суммы денег в конверте игрока А — равна
0, — да, х < 0;
/y (x) = ■
0,5e~x + 0,25e~°'5 x, x > 0.
Обозначим через 7 случайную величину, равную выгоде игрока А после выбора
другого конверта.
Z =
-Y / 2, 0 < Y < 1, Y = 2X ^ -1 / 2 < Z < 0;
Y ,0 < Y < 1, Y = X ^ 0 < Z < 1;
-Y / 2,1 < Y < 2, Y = 2X ^ -1 < Z < -0,5.
(7)
Построим функцию распределения Fz (z) случайной величины Zx. -да < z < 0 ^ F (z) = p(Z < z) = p(2|z| < Y < да и Y = 2X) =
1.
1
= p(Y = 2X)p(2|z| < Y < да / Y = 2X) = - • J 0,5e~0,5xdx = 0,5eHz|.
2 2zi
2.
0<z <да^F(z) = p(Z <z) = p(Z <0) + p(0<Z <z) =
1 z
0,5 + p(0 < Y < z и Y = X) = 0,5 +1 -J exdx = 0,5 + 0,5(1 - e~z).
Тогда плотность вероятности случайной величины 7 равна /2 (х) = 0,5е—'7, — да < 7 < да (Рисунок 4).
0
u доо
1 >
°т
<1.Ь
/0,4
/ 0,2 ------* —О ^----- X
Рисунок 4.
Математическое ожидание М (2Х) = 0.
Асимметричные варианты
Вариант 1.
Назовем элементарным исходом упорядоченную двойку вида (х, у),, где первое число х — МДС, 0 < х < а; у — сумма денег в конверте игрока А. Поэтому двойка (х,у), может быть одного из двух видов: (х, х) или (х,2х).
Будем считать исходы равновозможными. Тогда пространство элементарных исходов й образуют точки двух отрезков на плоскости: ОА и ОВ, где О - начало координат, А — точка с координатами (а, а), В — точка с координатами (а, 2а) (рисунок 5), на Рисунке а = 1.
2,5 y
2
1,5
0,5
B(1, 2)
y = 2x
Рисунок 5.
Длина отрезка ОА равна >/2 , Длина отрезка ОВ равна у/5 , длина пространства элементарных исходов равна >/2 + л/5 . Вероятность события А = {У = X} равна /о
р(А) = -=¥—-= « 0,387. Вероятность события В = {У = 2X} равна р(В) = —¡= « 0,613 .
■ч/2 + V5"
V2+V5"
1
0
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 8. №10. 2022
https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/83
Если значения МДС и суммы денег в конверте игрока А определяются случайным выбором точки на одном из отрезков, обмен конвертов становится невыгодным игроку А. удвоенную сумму денег он в среднем будет получать чаще, чем В
Вариант 2 (вариант Нейлбуфа, дискретное пространство элементарных исходов). Игрок А получает конверт с некоторой суммой денег х. Затем бросается правильная монета. Если выпадет орел, игрок В получает конверт с суммой 2х, если выпадет решка, игрок В получает конверт с суммой 0,5х.
Элементарным исходом назовем упорядоченную пару (х, у), где х — сумма денег в конверте игрока А, у — сумма денег в конверте игрока В.
Пусть возможные значения х — числа 2к, к € Z. Пары (2А ,2к+1) и (2к ,2к_1) считаем
да
равновозможными, положим р(2к,2к+х) = р(2к,2к_1) = 0,5рк; £ Рк = 1-
к=—да
Случайная величина Х — денежная сумма в конверте игрока А — принимает значения 2к, к € Z с вероятностями . Допустим, что существует конечное математическое ожидание
да
М(X) = £ 2к • рк.
к=—да
Случайная величина У — денежная сумма в конверте игрока В — принимает значения 2к, к е1 с вероятностями 0,5(+ рк) .
Если существует М (X) , то существует и М (У) , причем
да да да , ,
М(У) = £ 2к • 0,5(рк—! + рк+1) = £ 2к" • рк—1 + 0,25 £ 2к+1 • рк+х = 1,25М(X).
к=—да к=—да к=—да
Поэтому обмен выгоден игроку А.
Найдем еще математические ожидания выгоды игроков А и В в случае обмена конвертов.
Условное математическое ожидание выгоды игрока А при условии, что в его конверте лежит сумма, равная 2к , равно 0,5 • 2к — 0,5 • 2к—1 = 2к—2 . Тогда полное математическое
да оо
ожидание выгоды игрока А рано £ 2к—2 р^ = 0,25 £ 2к рк = 0,25М(X) > 0. Обмен выгоден
к=—да к=—да
игроку А .
Условное математическое ожидание выгоды игрока В при условии, что в его конверте лежит сумма, равная 2к, равно_Ек__2к__^к—1__2к—1.
рк—1 + р_+1 р_—1 + р_+1
Тогда полное математическое ожидание выгоды игрока В рано
да да
0,5( £ 2к • рк+! — £ 2к—1 • х) = 0,25М(X) — 0,5М(X) = — 0,25М(X) .
к=—да к=—да
Обмен невыгоден игроку В.
Вариант 3 (вариант Нейлбуфа, непрерывное пространство элементарных исходов). Элементарным исходом назовем сумму денег в конверте игрока А. Положим, что эта сумма может быть любым числом из интервала (0, а). На этом пространстве элементарных
исходов зададим функцию плотности вероятности /х (х) случайной величины Х — денежной суммы в конверте игрока А. Допустим существование конечного математического
а
ожидания случайной величины Х, М (X) = | х/х (х)оХ.
0
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 8. №10. 2022
https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/83
Случайную величину У - сумму денег в конверте игрока В, опишем правилом
^[0,5^ = 0,5; (11)
[2 X, р = 0,5.
Отсюда плотность вероятности случайной величины У равна
0, х £ (0, а); (12)
/х (2х) + 0,25/х (0,5х), 0 < х < 0,5а; 0,25/х (0,5х), 0,5а < х < 2а.
fi (x) = 0,5f0. x (x) + 0,5f2X (x) = ^
Математическое ожидание случайной величины I равно
0,5a 2a a a
M(Y) = J xfx (2x)dx + J 0,25xfx (0,5x)dx = 0,25Jufx (u)du + Jufx(u)du =
0 0 0 0
= 1,25M (X). Обмен выгоден игроку А и невыгоден игроку В.
Список литературы:
1. Albers C. J., Kooi B. P., Schaafsma W. Trying to resolve the two-envelope problem // Synthese. 2005. V. 145. P. 89-109. https://doi.org/10.1007/s11229-004-7665-5
2. Broome J. The two-envelope Paradox // Analysis. 1995. V. 55. №1. P. 6-11. https://doi .org/10.1093/analys/55.1.6
3. Castell P., Batens D. The two envelope paradox: the infinite case // Analysis. 1994. V. 54. №1. P. 46-49. https://doi.org/10.1093/analys/54.1.46
4. Clark M., Shackel N. The Two-Envelope Paradox // Mind. 2000. V. 109. P. 415-442.
5. Christensen R., Utts J. Bayesian Resolution of the "Exchange Paradox" // The American Statistician. 1992. V. 46. №4. P. 274-276. https://doi.org/10.1080/00031305.1992.10475902
6. Markosian N. A Simple Solution to the Two Envelope Problem // Logos & Episteme. 2011. V. 2. №3. P. 347-357. https://doi.org/10.5840/logos-episteme20112318
7. Nalebuff B. Puzzles: The Other Person's Envelope is Always Greener // Journal of Economic Perspectives. 1989. V. 3. P. 171-181. https://doi.org/10.1257/jep.3.1.171.
8. Nickerson R. S., Falk R. The exchange paradox: Probabilistic and cognitive analysis of a psychological conundrum // Thinking & Reasoning. 2006. V. 12. №2. P. 181-213. https://doi.org/10.1080/13576500500200049
9. Syverson P. Opening Two Envelopes // Acta Analytica. 2010. №25. P. 479-498. https://doi.org/10.1007/s12136-010-0096-7
References:
1. Albers, C. J., Kooi, B. P., & Schaafsma, W. (2005). Trying to resolve the two-envelope problem. Synthese, 145, 89-109. https://doi.org/10.1007/s11229-004-7665-5
2. Broome, J. (1995). The two-envelope Paradox. Analysis, 55(1), 6-11, https://doi .org/10.1093/analys/55.1.6
3. Castell, P., & Batens, D. (1994). The two envelope paradox: the infinite case. Analysis, 54(1), 46-49. https://doi.org/10.1093/analys/54.L46
4. Clark, M., & Shackel, N. (2000). The Two-Envelope Paradox. Mind, 109, 415-442.
5. Christensen, R., & Utts, J. (1992). Bayesian Resolution of the "Exchange Paradox". The American Statistician, 46(4), 274-276. https://doi.org/10.1080/00031305.1992.10475902
6. Markosian, N. (2011). A Simple Solution to the Two Envelope Problem. Logos & Episteme, 2(3), 347-357. https://doi.org/10.5840/logos-episteme20112318
7. Nalebuff, B. (1989). Puzzles: The Other Person's Envelope is Always Greener. Journal of Economic Perspectives, 3, 171-181. https://doi.org/10.1257/jep.3.1.171
8. Nickerson, R. S., & Falk, R. (2006). The exchange paradox: Probabilistic and cognitive analysis of a psychological conundrum. Thinking & Reasoning, 12(2), 181-213. https://doi.org/10.1080/13576500500200049
9. Syverson, P. (2010). Opening Two Envelopes. Acta Analytica, (25), 479-498. https://doi.org/10.1007/s12136-010-0096-7
Работа поступила в редакцию 13.09.2022 г.
Принята к публикации 19.09.2022 г.
Ссылка для цитирования:
Палий И. А. О парадоксе двух конвертов // Бюллетень науки и практики. 2022. Т. 8. №10. С. 10-26. https://doi.org/10.33619/2414-2948/83/01
Cite as (APA):
Palii, I. (2022). On the Two-envelope Paradox. Bulletin of Science and Practice, 5(10), 10-26. (in Russian). https://doi.org/10.33619/2414-2948/83/01
