О одном классе неосциллирующих однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК: 517.9

Саакян Г.Г.

Армения, г. Степанакерт ter_saak_george@mail .т

О ОДНОМ КЛАССЕ НЕОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ключевые слова

Система дифференциальных уравнений, неосцилляция, вырожденные матрицы. Рассматривается следующая однородная линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений порядкап (см., например, [4])

У' = A(t) y,

(1)

где

A(t) =

fan(t) ai2(t) a21(t) a22(t)

Van1(t) an2 (t)

ai„(t)^

a2n (t)

a (t)

nn

y(t) =

^i(t) ^ y 2 (t)

V Уп (t) у

aij(1) (I,/ = 1,2,...,п) - определенные на отрезке [а,Ь] действительные, непрерывные функции. Обозначим через а, (1) (А'(/)г.), i = 1,2,...,п i -ый столбец (i -ую строку) матрицы. Тогда матрицу А(/) можно записать и в виде

А(0 = [ А(), А2(/),..., Ап (1)]

или

А(0 = [ А[(1); А2(1);..., А'п (1)].

Определение 1. Квадратная матрица А называется вырожденной (см., например, [5]), если ее определитель равен нулю (det А = 0) .

Определение 2. Нетривиальное решение системы (1) называется осциллирующим (см., например, [2]), если каждая из его компонент имеет последовательность нулей, стремящейся к бесконечности; в противном случае называется неосциллирующим.

Определение 3. Система (1) называется осциллирующей, если ее каждое решение является осциллирующим.

Лемма 1. Квадратная матрица А п-ого порядка (п > 2), в которой элементы по крайней мере 2-х каких-то строк (столбцов) являются последовательными членами геометрических прогрессий с равными знаменателями, является вырожденной.

Действительно, предположим, что в матрице А(1) указанным в лемме 1 свойством обладают столбцы

Ai (1) и А/ (1), / Ф i, и, следовательно, их можно записать в виде

А1 (1) = (аг (1) о, Шг)... о, (1 ^(о) AJ (1) = (а} (1) а] (1Ш ... а] (1 )).

Тогда, вынося из I -ого столбца о, (1), а из / -ого столбца aj (1) , мы получим определитель, у которого совпадут два столбца I -ый и / -ый, и, следовательно, его определитель, а, значит и определитель матрицы А(1) окажется тождественно равным нулю.

х можно записать

Теорема 1. Если каждую строку матрицы А(1) можно представить в виде

12

№6/2015

международный научный журнал «символ науки»_

А,(0 = (а,(0 а,(0?(0 ...а,(О^ЧО) * = 1,2,...,п,

issn 2410-700х

а,(*Ж)...а,

то множетсво собственных значений матрицы А(/0) (/0 е [а, ¿]) содержит нуль кратности

п — 1 и одно вещественное число.

Доказательство. Рассмотрим прежде всего правильность утверждения при п = 3. Непосредственным вычислением найдем, что характеристическое уравнение матрицы А(/0 ) при этом значении будет иметь вид

ФСсД) =

aM -Л a1(t 0)q(t0) a1(t 0)q 2(i0) a2 (t0 ) a2(t0)q(t0) -Л a2(t0)q 2(t0)

2 0 0 a3(t0)q a3(t0)q 2(t0)

: -Л3 + (a1 (t0) + a2 (t 0 )#0) + a3 (^ )q2 (^ ))л2 ,

и, следовательно, кратность собственного значения Л = 0 матрицы А(/0 ) больше или равна двух. Xарактеристическое уравнение матрицы А(/0 ) в общем случае будет иметь вид

0(t 0,Л) = det (A(t 0) -ЛЕ ) =

a1(t0)-Л a1(t0)q(t0) a1(t0)q2(t0) ... a1(t0)qn-1(t0) a2(t 0) a 2 (t 0)q(t 0) -Л a 2 (t 0)q 2(t 0) ... a 2 (t 0)q"-1(t 0) a3(t0) a3(t0)q(t0) a3(t0)q2(t0)-Л ... a3(t0)qn-1(t0)

a(t0) an(t0)q(t0) an(t0)q2(t0) ... an(t0)qn-1(t0)-Л

Заметим прежде всего, что Л = 0 является корнем характеристического уравнения матрицы А(/0 ), поскольку, согласно следствию из леммы 1, Ф(/0,0) = det А(/0) = 0 . Далее, очевидно, что коэффициентом при Лп окажется число (—1)п ,а коэффициент при Лп—1 будет равен

(—1)п—1 [а^ 0) + (а 2 („МО) +... + (а„ (¿с)^1(0)] = (—1)п—1 (^—(¿с).

к=1

Покажем теперь, что Л = 0 является нулем характеристического уравнения матрицы А(/0 ) кратности не меньше п — 1. Воспользовавшись формулой для определения производной определителя, будем иметь

<Р'(Л) =

-1

0

0

a2(t0) a2(t0)q(t0) -Л a2(t0)q2(t0) a3(t 0) a3(t 0)q(t0) a3(t 0)q2(t 0) -Л

0

a2(t 0)qn-1(t 0) a3(t 0)qn-1(t 0)

an(t0) an(t0)q(t0) an(t0)q2(t0) ... an(t0)qn-1(t0)-Л

+

+

a1(t0) a1(t0)q(t0) a1(t0)q2(ta) 0 -1 0

«1(0^(0 0

a3(t0) a3(t0)q(t0) a3(t0)q2(ta)-Л ... a3(t0)qn-1(t0)

a(t0) a(t0)q(t0) an(t0)q2(ta) ... a(t0)qn-1(t0)-Л

+... +

+

ai(t о) ai(to)q(t о) ai(t o)q2(t o)

a2(t0) a2(t0)q(t0) -А

a3(t0) a3(t0)q(t 0)

a2 q

a3 q2 " А

ax(t0)qn~l(t 0)

a2(t 0)qn-1(0

аз (t o)qn1 (t 0)

0

0

0

Подставив в соотношения (3) Л = 0 , будем иметь

Ф' (t 0, А) =

-1

0

-1

0

(3)

0

а 2 (t 0 ) а 2(t 0)q(t 0) а 2(t 0)q (t 0) ... a2(t0)q"" (t0)

a3(t0) a3(t0)q(t0) a3(t0)q2(t0) ... a3(t0)qn-1(t0)

a»(t0) a„(t0)q(t0) a„(t0)q2(t0) ... a„(t0)qn-1(t0)

+

ai(t0) ai(t0)q(t0) ai(t0)q2(t0) 0 -1 0

ai(t 0)qn-1(t 0) 0

a3(t0) a3(t0)q(t0) a3(t0)q2(t0) ... a3(0q"-1(0

a«(t0) a„(t0)q(t0) a„(t0)q (t0) ... a(t0)qn- (t0)

+

0

,и-1

+ ... +

ai(t0) ai(t0)q(t0) ai(t0)q (t0) ... ai(t0)qn-(t0)

a2(t 0) a2(t 0)q(t 0) a2(t 0)q 2(t 0) ... a2(t0)q"-1(t 0)

a3(t0) a3(t0)q(t0) a3(t0)q2(t0) ... a3(t0)qn-1(t0)

0

0

0

-1

откуда будет следовать, что Ф'(¿0,0) = 0, так как во всех определителях справа при п > 3 окажется как минимум два таких столбца (предположим I -ый и / -ый), что при вынесении qг—1 ^0) из I -ого столбца и qJ ) из / -ого, мы получим два одинаковых, и, вследствии чего эти определители окажутся равными нулю.

Далее, заметим также, что в соотношении (3) каждый из определителей справа содержит по одной строке с постоянными числами. Отсюда, и из правилы дифференцирования определителя, будет следовать, что Ф '' (¿0,Л) будет содержать определители, у которых одна из строк нулевая

(и, следовательно, они равны нулю), или две строки которых состоят из п — 2 нулей и одной -1. При подстановке Л = 0 , справа окажутся определители, в которых как минимум два столбца будут содержать по два нуля. Тогда, повторив вышеизложенную процедуру с этими столбцами, , мы получим определители с двумя совпадающими столбцами, и, следовательно, они также будут равны нулю. Продолжив рассуждения вышеизложенным способом, мы придем к заключению, что Ф(п—2)(^0,Л) также будет равно нулю. И

следовательно, кратность собственного значения Л = 0 матрицы А будет больше или равна п — 1, что и требовалось показать.

В силу проведенных рассуждений характеристическое уравнение матрицы А будет иметь вид

п

det (A -АЕ )= (-1)" А"-1 (А aKqk-1)

(4)

k=1

Следствие. Если элементы матрицы А , считая от первого элемента первой строки до последнего элемента последней (двигаясь по строкам ), являются последовательными членами некоторой

+

геометрической прогрессии, то множество собственных значений матрицы А содержит нуль кратности

п—1.

Действительно, в рассматриваемом случае ах(/0) = а, и, следовательно, ак= адкп—1. Тогда,

согласно соотношению (4), харатктеристическое уравнение

Заметим, что в этом случае характеристическое уравнение матрицы А будет иметь вид

п

det (A — ЛЕ ) = (—1)n Än—1 (Л — а^ qk—1 ) = (—1)n Än—1

k=1

Л — a

qn — 1

q — 1

Л

Теорема 1. Если элементы каждой строки матрицы А , являются последовательными членами некоторых геометрических прогрессий с равными знаменателями, то система (1) является неосциллирующей.

Доказательство. Воспользовавшись формулой (2), а также, учитывая утверждение леммы 4, получим, что, что общее решение системы (1) можно представить в виде

ф(0 = среЛ + ),

где Л - отличное от нуля собственное значения матрицы А, с - произвольная постоянная, р - собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению Л, а координаты вектор-функции ^(^) являются многочленами степени не выше п — 2 . Очевидно, что при ? ^ компоненты ф^) по модулю будут стремиться к бесконечности, и, следовательно, система не может иметь

осциллирующее решение.

Ниже, на рисунке 2, приводится построенная в среде MathCad графическая интерпретация

' у0 = Ус + 2 у + 4 у 2,

у1 = 1.5 у0 + 3 у1 + 6 у 2, с начальным условием

у 2 ^Х!3^^!^^?9)^)

утверждения теоремы 2 для

d

y2(t)

D(t, Y) : =

t0 := 0 tl := 10 Y0 : =

N := 1000

= Rkadapt(Y0, t0, tl, N, D)

„<о>

y0 := S

,< 1>

y1 := S

,<2>

y2 := S

,<з>

y0

yl

y2

Déñ . 1

1

1

1

V 1 У

S

t

Уо(0) = yi(0) = y2(0) = 1.

Список использованной литературы:

1. Butler G. J. Oscillation theorems for a non-linear analogue of Hill's equation, Quart. J. Math., 1976, 27, N106, 159-171.

_международный научный журнал «символ науки» №6/2015 issn 2410-700х_

2. Kinguradze I.T. On the oscillatory and monotone solutions of ordinary differential equations. Archivum Mathematicum, vol. 14 (1978), № 1, 21-44.

3. Chantladze T., Kandelaki N. and Lomtatidze A. Oscillation and nonoscillation criteria for a second order linear equation. Georgian Math. J. 6 (1999), № 5, 401-404.

4. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. M.: Едиториал УРСС, 2007.

5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Мир, 1970.

© Г.Г. Саакян, 2015

_международный научный журнал «символ науки» №6/2015 issn 2410-700х_

ХИМИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 54.057, 547.775

Ветштейн Виктория Олеговна

студентка Оренбургского государственного университета

Строганова Елена Алексеевна старший преподаватель кафедры химии Оренбургского государственного университета Шимук Анна Петровна студентка Оренбургского государственного университета

г.Оренбург, РФ Email: joe60063549@gmail.com

СИНТЕЗ ПАВ НА ОСНОВЕ ТОЛУОЛ-ФОРМАЛЬДЕГИДНЫХ СМОЛ И АНТИПИРИНА

Аннотация

В статье представлена разработанная методика синтеза поверхностно-активных олигомеров на основе реакции поликонденсации толуола, формальдегида и антипирина. Изучен состав вещества по данным ИК-спектроскопии, а также предложены схемы наиболее вероятно протекающих реакций.

Ключевые слова

поверхностно-активное вещество, антипирин, толуол, формальдегид, синтез, конденсация, ИК-

спектроскопия

Поверхностно-активные вещества - группа органических соединений, адсорбция которых на межфазных поверхностях резко снижает поверхностное натяжение на границах раздела раствора с газом, жидкостью или твердым телом [4, с. 663]. Такое свойство ПАВ является следствием их дифильного строения, т.е. содержания в молекуле гидрофильного и липофильного или олеофильного участков. Области применения ПАВ многочисленны и обширны. ПАВ используются в качестве стабилизаторов дисперсных систем (пен, эмульсий, суспензий), моющих агентов, флотационных агентов, средств, снижающих прочность обрабатываемых материалов, для покрытия поверхностей (например, с целью гидрофобизации или защиты от испарения) и т.д [1, с. 3]. Подобная востребованность и многообразие путей использования служат причиной детального изучения и синтеза новых веществ, удовлетворяющих различным потребностям всех областей промышленности. Этим объясняется актуальность данной работы.

Применение ПАВ основывается на их адсорбционной способности и поверхностной активности. ПАВ по действию могут быть разделены на диспергаторы, пленкообразователи и стабилизаторы [1, с. 290].

Диспергирующее действие основано на том, что с понижением поверхностного натяжения облегчается диспергируемость гетерогенной системы. Наиболее эффективным ПАВ будет то, которое сильнее понижает поверхностное натяжение при более низкой концентрации.

Защитное действие ПАВ основано на образовании слоя, инертного по отношению к разным воздействиям. Оно оценивается по прочности удержания монослоя на поверхности раздела фаз и по изменению гидрофильно-гидрофобных свойств поверхности.

Стабилизирующее действие ПАВ оценивается по тому, насколько устойчива дисперсная система (эмульсия, пена, суспензия), стабилизированная данным ПАВ, по максимальному числу стабилизированных частиц и условиям стабилизации. Показателями этих свойств являются: время существования гетерогенной системы, поверхность, которую может стабилизировать ПАВ данной концентрации и концентрационные пределы, в которых ПАВ является стабилизатором.

В рамках данного исследования проведен экспериментальный синтез неописанного ранее в литературе соединения. На рисунке 1 представлена теоретическая разработка синтеза ПАВ, в котором роль липофильного участка выполняет продукт поликонденсации толуола с формальдегидом, а гидрофильного -молекула антипирина. Т.о. процесс синтеза ПАВ осуществляется постадийно: получение полимерной ароматической цепи, конденсация её с молекулой антипирина и обработка продукта натриевой щелочью с