О нётеровости операторов типа свёртки в пологих областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983

О НЁТЕРОВОСТИ ОПЕРАТОРОВ ТИПА СВЁРТКИ В ПОЛОГИХ ОБЛАСТЯХ

© 2013 г. А.В. Козак, Д.В. Позняк

Козак Анатолий Всеволодович - кандидат физико-математических наук, доцент, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8 а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: avkozak@aaanet. ru.

Позняк Денис Владимирович - соискатель, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8 а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: poznyak_denis@mail. ru.

Kozak Anatoliy Vsevolodovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Southern Federal University, Milchakov St., 8 a, Rostov-on-Don, 344090, email: avkozak@aaanet.ru.

Poznyak Denis Vladimirovich - Competitor, Southern Federal University, Milchakov St., 8 a, Rostov-on-Don, 344090, email: poznyak_denis@mail. ru.

Исследуется нётеровость интегральных операторов обобщённой свёртки в многомерных множествах, удовлетворяющих на бесконечности некоторым условиям пологости. Установлено, что нётеровость исходного оператора свёртки во всём пространстве является достаточным условием нётеровости соответствующего усечённого оператора. Результаты статьи применимы, в частности, к множествам, существенно отличающимся от конических, известный критерий нётеровости в которых принадлежит И.Б. Симоненко. Доказательство основано на явном построении регуляризаторов с помощью локального метода И.Б. Симоненко.

Ключевые слова: нётеровы операторы, теория Фредгольма, операторы типа свёртки, обобщённые свёртки, локальный метод, усечённые операторы.

In the paper we consider noetherness of generalized integral convolution operators in multidimensional sets, satisfying certain flatness conditions at infinity. It is shown that the noetherness of the original convolution operator acting in the whole space is sufficient for the noetherness of corresponding truncated operator. The results of the paper can be applied, in particular, to the sets significantly different from conical, famous criterion for which belongs to I.B. Simonenko. The proof is based on the explicit construction of regularizers using the local method of Simonenko.

Keywords: noetherian operators, Fredholm theory, convolution type operators, generalized convolutions, local method, truncated operators.

В середине 1960-х гг. И.Б. Симоненко для изучения нётеровости разработал локальный метод, применимый к достаточно широкому классу операторов, названных им операторами локального типа. Этот метод позволил существенно продвинуться в изучении свойств таких операторов, к числу которых относятся, в частности, дискретные и интегральные операторы свёртки.

Сам метод и идеи, заложенные в нём, дали толчок многочисленным обобщениям полученных результатов. Одним из таких обобщений, распространившим локальный метод на случай произвольных банаховых алгебр, стала модификация локального метода, пред-

ложенная в кандидатской диссертации А.В. Козака [1]. Эта модификация открыла путь к исследованию применимости проекционного метода к операторам локального типа через анализ обратимости их локальных представителей.

На основе методов из [1] в [2] получены достаточные условия обратимости интегральных операторов свёртки, действующих в Ьр (М) для достаточно гладких областей М евклидовых пространств Ет.

Эта совместная статья и послужила отправной точкой для настоящей работы. Здесь мы рассматриваем нётеровость интегральных операторов обобщённой

свёртки в множествах, удовлетворяющих на бесконечности условиям пологости из [2]. Построение ре-гуляризатора выполняется в целом аналогично построению обратного оператора в [2], но имеются некоторые технические особенности, поэтому приводится нами полностью.

Операторы обобщённой свёртки

Пусть а - комплексное число, a е L1(Em); Еш -да-мерное евклидово пространство. Везде далее будем ограничиваться многомерным случаем ш > 1. Рассмотрим множество операторов А , действующих в пространстве Ьр (Еш), 1 < р < да, по правилу

(А/)(х) = а/(х) + | а(х - у)/(у)ф- (х е Еш) . (1)

Е

Еш

Замыкание этого множества по операторной норме обозначим . Операторы из далее будем называть операторами канонической свёртки, или просто каноническими свёртками.

Обозначим через Еш компактификацию Еш бесконечно удалённой сферой 8да-1. Подробное описание этой компактификации можно найти, например, в [3].

Через 8р обозначим замыкание по операторной норме множества операторов в Ьр (Еш) вида

N

(2)

А = 2 Х¥]А] + К , у=1

где N - натуральное число; Ту - оператор умножения на функцию у у, допускающую непрерывное продолжение на Еш; А у - каноническая свёртка вида

(1); К - произвольный компактный оператор.

Операторы из Бр называются операторами обобщённой свёртки, или обобщёнными свёртками. Каждый является огибающим некоторого семейства канонических свёрток {Ах} ~ . Другими словами, для

хеЕш

каждой точки х е Еш существует каноническая

свёртка, называемая локальным представителем А в

точке х и обозначаемая везде в дальнейшем Ах, та-

~ х кая что Ах ~ А .

Здесь и далее эквивалентность и локальная эквивалентность понимаются в смысле Симоненко, т.е. по идеалу компактных операторов. При этом всегда используется компактификация бесконечно удалённой сферой.

Будем считать, что у у продолжены по непрерывности на Еш с сохранением прежнего обозначения.

Известно [3], что локальные представители обобщённой свёртки в бесконечно удалённых точках

"Л е ош-1 определяются однозначно, непрерывно зависят от ", и их нормы связаны с нормой исходного оператора соотношением

I iAii N |A| | . (3)

)

Для операторов A е Sp определён символ A(x) -

функция на множестве D с Em х Em, которое определяется следующим образом: D = D YD2, где

D = Smj_j х Em, D2 = Em х {да}; Em - компактифика-ция Em одноточечным множеством {да}. Отображение, ставящее в соответствие оператору его символ, является непрерывным гомоморфизмом Sp в C(D) -

алгебру непрерывных функций на D. Оператор A е Sp нётеров тогда и только тогда, когда его символ не обращается в нуль на множестве D.

Основная теорема

Для открытого шара с центром в точке x0 радиуса r0 будем использовать обозначение -S(x0, r0). Пусть r и 5 - положительные вещественные числа. Через G(r, 5) обозначим множество всех измеримых подмножеств М пространства Em, для каждого из которых существует положительное число ст , такое что для любой точки x е Em \ B(0, ст) существуют C1 -диффеоморфизм ю шара B(x, r) и полупространство П , удовлетворяющие условиям: ю(М I B(x, r)) = ПI B(x, r); | | ю'(У) _II |<5 для всех y е B(x,г) .

Через A далее будем обозначать существенную норму оператора A, т.е. норму в фактор-пространстве по идеалу компактных операторов. Сформулируем основную теорему.

Теорема 1. Пусть A е Sp и A нётеров. Тогда существуют положительные константы r, 5 , c, такие что для любого М е G(r, 5) у оператора PmAPm , действующего в пространстве Lp (М) (1 < p <да), существует двусторонний регуляризатор Rm и

| | |Rm| | |< c.

Для доказательства теоремы нам понадобятся понятие и свойства функции затухания и несколько вспомогательных утверждений, которые мы приведём в двух следующих разделах.

Функция затухания

Пусть A - линейный ограниченный оператор, действующий в Lp (Em) (1 < p <да). Определим функцию фa : [0,+да) ^ [0,+да), в дальнейшем называемую функцией затухания оператора A , следующим образом: фa(t) = sup HPuAPv ||, где u , v - произволь-

p(u,v)>t

ные измеримые подмножества Em .

Имеют место следующие свойства [4]: фА (t) < 11A ||; если ti < t2 , то фA(ti) >ФА(t2) ; фA+B(t) <ФА(t) + ФB(t) ; ФAB(t) <||A |^(Xt)+ ||B| | фa((1 _X)t) для любого X е [0,1]; для любого натурального n

„ ^ (,> < мгао+4| | л\ || | с 11 фв |_!_ 1+

+ ' AB ( -¿П )+1 Л I^BC ( -¿П тим, то для любого натурального n

-+ 4IIA_1"2 f

n

4n-1, ; если A обра-

ф <MllfMl] + 4\ \A-1| 2 фa(т~Г 1*;

A-1 n ^ 4n-1J

если

семейства операторов и {Л- 1}ге/ равномерно

ограничены по I е I, фл (О ^ 0 при I ^ равномерно по I е I, то ф .-1 (/) ^ 0 при t также

Л

равномерно по I е I.

Вспомогательные утверждения

Обозначим через ЭТ множество всех полупространств в Ет. Приводимые далее лемма 1 и следствие к ней аналогичны лемме 2 и соответствующему следствию из [2].

Лемма 1. Если Л еЖр обратим в Ьр (Ет ) , т > 1,

то для каждого ПеЭТ оператор Лп = РпЛРП обратим в Ьр (П), а семейство {ЛП1} равномерно ограничено.

Следствие. Пусть {Л,}^ - семейство обратимых операторов из Wp, непрерывно зависящее от I е I, где I - компакт. Тогда для любого е > 0 существует t, такое что для любых измеримых множеств и , V с Ет ,

для которых р(и, V) > t, \\Ри (РПЛрП )-1 Р, ||<е для всех ПеЭТ и I еI.

Пусть В - открытый шар в Ет и ю: В ^ В - С1 -диффеоморфизм, такой что производная отображений ю и ю-1 ограничена. Через Тю обозначим оператор, действующий в Ьр (Ет) по формуле

(Т АГг1-1/(ю(х))> х е В, (Тю! )(х) = |о, х е Ет \ В.

Отметим, что ТюТ^-1 = Т^-Т = Рв и для любого

измеримого и с В

Р Т =Т Р Т Р = Р т

РиТ ю 1 юРю(и), 1 ю-1 Ри Рю(и)Т ю-1 .

В этих обозначениях справедлива лемма, доказанная в [2] для канонических свёрток. В приводимой здесь формулировке утверждение легко может быть получено незначительной модификацией доказательства из [2].

Лемма 2. Пусть Л е Бр. Тогда для любого е > 0 существует 8 > 0 , такое что если \ \ ю'(у) -1 \ \ < 8 при у е В, то для любого ^ е Б^я-1 \\Тю-1 Л!,- РвЛЛлРв\\<е. При этом 8 не зависит от центра шара В . В [5] доказано следующее утверждение.

Лемма 3. Пусть X - пространство с мерой; {ui >n=i - попарно непересекающиеся измеримые подмножества X; {vi >П=1 - семейство измеримых подмножеств множества X, кратность пересечения которого равна s. Тогда

n

| IS PuiA1Pvi | |< s max I | Лг | | , i=1 i

n

IISPvAPu, Il<smaxIIA II, i=1 i i i

где Ai - линейные ограниченные операторы в Lp (X).

Для дальнейшего нам потребуется следующее элементарное обобщение теоремы Банаха.

Лемма 4. Пусть линейный ограниченный оператор Л, действующий в бесконечномерном банаховом пространстве, имеет левый (правый) регуляризатор Ra , и для другого линейного ограниченного оператора B , действующего в том же пространстве,

IIA - B||<

1 - q

где 0 < q < 1. Тогда B также имеет

\\Ял\\

левый (правый) регуляризатор Яв , такой что

Рв\1< М. q

Замечание. Утверждение леммы 4 останется в силе, если заменить в её формулировке обычные нормы на существенные.

Доказательство следующей леммы можно найти, например, в [6].

Лемма 5. Пусть оператор Л еWp и имеет вид (1),

где а = 0. Тогда для любого ограниченного измеримого подмножества М пространства Ет операторы РмЛ и ЛРм компактны.

Из непрерывной зависимости локальных представителей А от ^ е Б^—1 вытекает лемма.

Лемма 6. Пусть Л - обобщённая свёртка вида (2), у которой компактная часть К = 0. Тогда для любых е > 0 и г > 0 существует Я > 0, такое что для любого х, удовлетворяющего условию \ \ х \| > Я , выполняет-

ся

неРавенство I\Pß{x>r)(A - A)||<е , где ^е S2-1

бесконечно удалённая точка, соответствующая лучу с вершиной в нуле, проходящему через х .

Доказательство основной теоремы

Приступим к доказательству основной теоремы. Сначала докажем её для операторов Л вида

N

Л =2 ТуЛу , где Ту - оператор умножения на

у =1

функцию ф у , непрерывную на Ет; Л у - каноническая свёртка вида (1) с финитным ядром, у которой константа а равна 1. Такие операторы мы будем называть финитными обобщёнными свёртками.

n

N

Введём функцию у = £ у . и оператор ¥ умно-

j=1

Uj = Hi I M,

жения на эту функцию. Поскольку А нётеров, его

символ не обращается в нуль и значит )

ш£ | у(х) | > М | А(х) | > 0.

хеЕш хеП

Отсюда следуют обратимость оператора Т и оценка

а = 1+ ||Т-1 ||< 1 + ( | у(х)|)-1 < 1 + (шГ | А(х)|)-1.

v. = {x е M | p(x, Hi) < /}, wt = {x е M | p(x, Hi) < 21},

xeD

Не нарушая общности, будем считать, что ядра ау всех операторов А у обращаются в нуль при || х ||> го, где Го - некоторое положительное число. Обозначим

Со = 8ПР ||р\Рц) 1 ||<да .

Положим с = 4атах{1,2ш+2с0}. Хорошо известно, что из нётеровости обобщённой свёртки следует обратимость её локальных представителей. В силу следствия к лемме 1 и непрерывной

зависимости операторов А" от л е найдётся такое число /о , что для любого л е «^я-

| Р(Рп\Рп)-1 Ру 11< (2ш+5а || А ||)-1, (4)

если р(и, у) > /о . Пусть / - некоторое число, большее

Го и /о . Положим г = 21 (1 + 4ш).

Выберем 8 е (о,1) так, чтобы выполнялись условия: (1 - 8)1 > /о ; для любых х е Еш и л е и любого С1 -диффеоморфизма ю : Б(х, г) ^ Б(х, г), тако- Действительно,

Ma=Yu,

1 еЪщ . Семейства {и,}, {у,} и {м,} являются покрытиями множества Ма с М, причём и,I и у = 0 при 1 Ф у , кратности пересечения семейств {у-}, {м- } не превышают 2ш, и и1 с у с м/, с Б(х,, г). Также заметим, что множество М \ Ма ограничено.

Так как М е 0(г, 8), то для каждой точки х, найдутся С1 -диффеоморфизм ю 1: Б(х,, г) ^ Б(х,, г) и полупространство П,, такие что: ю1 (МI Б(х1, г)) = П, I Б(х1, г); ||ю-(у) -11|<8 для всех у е Б(х,,г).

Положим F = Ta>i (Pn A Pn. ГХ-i (l е Z™) ,

F = S Pu. FPv, , (7)

где л, е S^_1 - бесконечно удалённая точка, соответствующая лучу с вершиной в нуле, проходящему через x,.

В силу леммы 3 ряд (7) сходится в сильной операторной топологии и | |F||<2m sup ||F ||<2m+2c0.

Покажем, что FPmAPm = Pm + А, где || Д ||< — .

ст 2d

го что ||ю'(у) -11|<8,

||Тю-1 АТю-РбАлРБ 11< (2ш+5Соа)-1, (5)

||Тю ||<2, ||Тю-1||< 2 . (6)

Для оператора А , е = (2ш+5соа)-1 и определённого выше г найдём по лемме 6 число Я , такое что при всех х с нормой, большей Я, выполняется неравенство ||РБ( х,г)(А - А" )||<е , где "е 8да-1 - бесконечно

удалённая точка, соответствующая лучу с вершиной в нуле, проходящему через х .

Пусть М е С(г, 8) и а > Я - число, такое что для любой точки х е Еш \ Б(о, а) существуют С1 -диффеоморфизм ю шара Б(х, г) и полупространство П , удовлетворяющие условиям: ю(М I Б(х, г)) =П1 Б(х, г) ; 11ю'(у) -11|< 8 для всех у е Б(х, г).

Для целочисленной точки - = (г1,.../ш)е Ъш положим хг- = 41-, Hi = {у е Еш | -21 < ук - 4/-к < 21,к = 1,...щ} . Множество Н, является кубом со стороной длины 4/ и центром в точке х1. Семейство {Н,} ш образует разбиение пространства Еш. Обозначим гЩ = {1 е Хш | х, £ Б(о, а)} . Введём множества:

FPmAPM = S PuFIPvPMAPM = S PU/AAPM • i i

Так как р(у., M \ w.) > l > r0, то Pv APM = Pv APw ,

и следовательно,

FPmAPM =S PuF^AP^ =

= S PuF.PM i Bi APw. +Ai i

где В. = B(x., г) и Ai =-S PuF|P(

(8)

AP™ •

1 =-Spu.Flp(MI В. )\viAPWi i

Оценим норму оператора Д1:

||Д1 ||=||Zр.Тю,(рпАрп,)_1?ю_1 P(B,IM)\v,Apw, ||=

г

= | |SPu,T(B,.P(B,.(u,)(РП,.^~л,РП,- ) 1 Рю,(BtI M\vt)Тю_1 APw, 11< г '

< 2m • 411A11 sup 11 Рю, (u,) (РП,\ Pn, )_1 Pm ' (B, I M \ v,) ||.(9) i

Так как p(u,, B, I M \ v,) > l, то

р(ю,-(u,), ю,(B, I M \ v,)) > (1 _5)l > t0 . Но тогда из (4)

ЦРю,(u,)(РП'AAл'РП' )_1 Рю,(B,I m\v,) 11< (2m+5d 11A ||)_1,

и в силу (9) ||Д1||^-1.

8d

Возвращаясь к (8), будем иметь 2 PuFPM I BtAPWi +Д1 =z PUFPM i b, А~л, Pw, +А1 +Д2,

где А2 =S PuFiPMI в, (A - Alli )PW, .

В силу выбора числа R \\PMIв (A-A^. )\|<

<\\PB. (A-A^ )\|<(2m+5 • cod) 1 и для А2 справедлива

оценка \ \ А2 \ |< (2й • 4co)(2m+5c0d)-1 = -L .

8d

Далее заметим, что

S PuFiPM I Bi^!^iPwi +А1 +А2 = i

= S Pu, T», (Pn Д, Pn, )-1тю-1 PB, I M-^-^i Pw, + А1 + А2 = i

= SPuiT»i ^пД/п,. ) 1 P(Oi(в,-I M)Тю-1 ^A1iPwi +А1 +А2 = i '

= S Pu,Tco, (Pn APh, )-1 Pn, I В, (T»-1 V», )T»-1 Pw, + + АА1 +А2 =

= S PuT» (Pn,A,Pn, )-1 Pn, I Bt (Pв,A4л,Pв, )T»-1 Pw + i

+А1 + А 2 + А,

где А3 =SPUi T» (PnA.Pn,. )-1 Pn,. I в, x i

x[T -1AL T» -Pв A Pв ]T -1 Pw .

L »,. 1 ^li »i Bi л,- BiA ю,- wi

На основании (5), (6)

\\Аз\\< 2m • 4co(2m+5 cod )-1 = ±-.

8d

Так как

PBiT»-1 Pw = ^iT»-1PMI в, Pwi = = PB, P»i (MI Bi )T»-1 Pwt = = Pr Pn т « T -1 P„ = Pn T -1 P„ ,

(10)

то

FPmAPM =

= S PUi T»i (Pni \ Pni ) 1 Pni I Bt \ PniT»-1 PWi +

+ А1 + А 2 + А3 =

= S Pu, T» (Pn Aii Pn )-1 (Pn All Pn )T -1 Pw,. +

= 2 Ри Тю Т -1 Р„ +А =

, 1

= 2 РиРВРщ +А = 2 Ри,. + А = Рм„ + А,

г г

где \ \ А \ | <\ \ А1 \ \ + \ \ А2\ \ + \ \ Аз\\ + \ \ А4 \ .

2а

Поскольку множество М \Ма ограничено, можно, применив лемму 5, получить, что (р+Рм\м„ )РМЛРМ = Рм„ +А+Рм \м„ ЛРМ ~ ~ Рм„ + Рм\мпТ + А.

Оператор Рмп + Рм \мп Т обратим в Ьр (М), и

норма обратного к нему не превосходит а . Отсюда следует

(Рм„ + Рм\м,Т + А)_1(Р+Рм\ма )рмЛРм ~ Рм, и следовательно, оператор РмЛРм обладает левым регуляризатором

Ям = (Рм„ + Рм\мп Т + А)-1 (р + Рм\м„). Аналогично убеждаемся, что он обладает правым регуляризатором, но тогда Ям является двусторонним регуляризатором и

\\\Ям \\\<\\Ям \| = \\(Рмп + Рм\маТ + А)-1(^ + Рм\мп)\1<

< 2а • 2тах{1,2т+2 с0} = с .

Для финитных обобщённых свёрток теорема доказана.

Докажем теорему в общем случае. Положим

8

sup \\(PnA_ Pn )"1\\

'»i (Pn, Ai, Pni

1

+ А1 + А 2 + А3 + А 4, где

liPni )T»-1 Pwt

(11)

co = max< m+ sup \ \(P nA|P

[2 +1 J

d = 1 + 2(inf \ A(x) \)-1, c = (2m+5 + 1)c0d .

xeD

Найдём финитную обобщённую свёртку A0, такую что 1 + (inf \A0(x)\)-1 < 1 + 2(inf \A(x)\)-1 = d xeD xeD

и \\ A - A0\\< 1

(2т+5 + 1)с0а'

Пусть ПеЯ, ^еБ^-1. Покажем, что все опера-А 4 =-2 РиТю1 (РП ,л~л,РП,-) 1 Рп, \ В,Л~л,РП,Тю-1 Рщ = торы РпЛ^ Рп обратимы. Действительно,

= -2Ри, Тюг (Рюг (и, ) (РП, Л~Ц! РП,- ) РП,- \В, )А, РП,- Тю-1 РМ>1 ■ г '

Заметим, что р(ю, (и,), П, \ В,) > (1 - 8)2/ > ^ . Но тогда в силу (4) и оценки (3)

\ \ Рю,(и,)(PП'ЛЛЛ'PП' )-1 РП,\В, \ 1< (2™+5а\ \ \ \ \ )-1 .

Оценивая А4, будем иметь \\А4\|< 2т х

X(2т+5а\\ А \ \ )-1\ \ Л \ \ ^2 = 1..

8а

Положим А = А! + А2 + А3 + А4 , тогда из (10) и (11) получим, что

РРмЛРм =2 Р„.Тга. Рп. Т. Р^ + А =

\ \ Pn A|Pn - PnA|0Pn \ |<\\A-A0\|<

(2m+5 + 1)c0d

■>m+5

1-

< 1 < ' 2m+5 +1

(2m+5 + 1)co \\(Pn Ai Pn )"1\\!

следовательно, по

теореме Банаха оператор PnA| Pn обратим и jm+5 1

\\(Pn AI Pn )-1\|< co .

2

В силу доказанного для оператора Л0 существуют константы г ,8 , такие что для любого м е С(г, 8) опе-

= S Pu T» PB T -1 Pw + А =

S ui », Bi »,.1 wi

ратор PM Ao PM имеет двусторонний регуляризатор RMo и

1

<

||<||<(1 + (inf | A0(x)|)-1]x

1 ^ J

x max к 2 m+4 sup ||( Pn Pn)-1|Й

ПеЯ,

2m+5 +1

с0а.

Так как ||PMAPM -PMA0PM ||< ||A-A0||<

1

1

(2т+5 + 1)^ 2\\Е^\\ по лемме 4 оператор РмАРм имеет двусторонний ре-гуляризатор Ям и

Шм II < II Ям II < 211 Я°\ | < (2т+5 + 1)^ = с .

Теорема доказана.

Пример множества из рассматриваемых классов

Приведём пример использования полученных результатов. Определим класс множеств О , состоящий из подмножеств М пространства Ет, для каждого из которых существует положительное число Го, такое

что М е I О(г, 5) . 5>0, г >Го

При размерности пространства т = 2 к классу О относится, в частности, множество, изображённое на рисунке.

Оно ограничено двумя логарифмическими спиралями, совершает бесконечное число витков вокруг начала координат, кривизна его границы стремится к нулю при удалении от начала координат, а «ширина» витков и расстояние между ними неограниченно возрастают. В совокупности эти свойства гарантируют принадлежность изображённого множества к классу О .

Для таких множеств можно сформулировать следующее очевидное следствие к теореме 1.

Пример множества из класса О (т = 2 )

Следствие. Пусть А е Бр и А нётеров. Тогда для любого М е О оператор РмАРм, действующий в пространстве Ьр (м) (1 < р < да) , нётеров.

Литература

1. Козак А.В. Проекционные методы решений многомер-

ных уравнений типа свёртки: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 1974. 20 с.

2. Козак А.В., Симоненко И.Б. Обратимость операторов

свёртки в больших областях // Мат. исследования. 1980. № 54. С. 56-66.

3. Симоненко И.Б. Локальный метод в теории инвариант-

ных относительно сдвига операторов и их огибающих. Ростов н/Д, 2007. 120 с.

4. Козак А.В., Позняк Д.В. Оценка локальных свойств ли-

нейных операторов // Тр. науч. школы И.Б. Симоненко. Ростов н/Д, 2010. С. 106-114.

5. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования ли-

нейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений, I // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1965. Т. 29, вып. 3. С. 567-586.

6. Симоненко И.Б. Операторы типа свёртки в конусах //

Мат. сб. 1967. Т. 74(116), вып. 2. С. 298-313.

Поступила в редакцию

20 августа 2012 г.

2