О новом подходе к решению краевой задачи Римана с условием на луче в случае бесконечного индекса Текст научной статьи по специальности «Математика»

References

1. Steklov V. A. Osnovnye zadachi matematicheskoi fiziki [The main tasks of mathematical physics]. Moscow, Nauka, 1983, 432 p. (in Russian).

2. Krylov A. N. O nekotorykh differentsial'nykh uravneniiakh matematicheskoi fiziki, imeiush-chikh prilozheniia v tekhnicheskikh voprosakh [On some differential equations of mathematical physics with applications in technical matters]. Leningrad, GITTL, 1950, 368 p. (in Russian).

3. Chernyatin V. A. Obosnovanie metoda Fur'e v smeshannoi zadache dlya uravnenii v chastnykh proizvodnykh [Justification of the Fourier method in a mixed problem for partial differential equations]. Moscow, Moscow Univ. Press, 1991, 112 p. (in Russian).

4. Burlutskaya M. Sh., Khromov A. P. The resolvent approach for the wave equation. Comput. Math. Math. Phys., 2015, vol. 55, iss. 2, pp. 227-239. DOI: 10.1134/S0965542515020050.

5. Kornev V. V., Khromov A. P. Resolvent approach to the Fourier method in a mixed problem for the wave equation. Comput. Math. Math. Phys., 2015, vol. 55, iss. 4, pp. 618-627. DOI: 10.1134/S0965542515040077.

6. Kornev V. V., Khromov A. P. A resolvent ap-

yflK 517.54

proach in the Fourier method for the wave equation: The non-selfadjoint case. Comput. Math. Math. Phys., 2015, vol. 55, iss. 7, pp. 1138-1149. DOI: 10.1134/S0965542515070088.

7. Burlutskaya M. Sh., Khromov A. P. Initial-boundary value problems for first-order hyperbolic equations with involution. Doklady Math., 2011, vol. 84, no. 3, pp. 783-786.

8. Kamke E. Spravochnik po obyknovennym dif-ferentsial'nym uravneniiam [Handbook of Ordinary Differential Equations]. Moscow, Nauka, 1971, 538 p. (in Russian).

9. Naimark M. A. Linear Differential Operators. New York, Ungar, 1967; Moscow, Nauka, 1969, 828 p.

10. Rasulov M. L. Metod konturnogo integrala [The method of the contour integral]. Moscow, Nauka, 1964, 462 p. (in Russian).

11. Vagabov A. I. Vvedenie v spektral'nuiu teoriiu differentsial'nykh operatorov [Introduction to the spectral theory of differential operators]. Rostov-on-Don, Rostov Univ. Press, 1994, 106 p. (in Russian).

12. Marchenko V. A. Sturm - Liouville Operators and Applications. Kiev, Naukova Dumka, 1977, 332 p. (in Russian).

О НОВОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА С УСЛОВИЕМ НА ЛУЧЕ В СЛУЧАЕ БЕСКОНЕЧНОГО ИНДЕКСА

Р. Б. Салимов

Салимов Расих Бахтигареевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, Казанский государственный архитектурно-строительный университет, [email protected]

Для решения однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом и условием на луче предлагается новый подход, основанный на приведении рассматриваемой задачи к соответствующей задаче с условием на действительной оси и конечным индексом. Требуется определить функцию Ф(^), аналитическую и ограниченную в комплексной плоскости z, разрезанной по положительной действительной полуоси L+, если выполняется краевое условие Ф+(£) = G(t^-(t),t е L+, где Ф+(£), Ф-(£) - предельные значения функции Ф(з), при z ^ t соответственно слева и справа, коэффициент G(t) - заданная функция, для аргумента которой справедливо представление argG(t) = v-tp + v(t), t е L+, здесь v-, p — заданные числа, v- > 0, 1/2 < p < 1, причём ln|G(t)|, v(t) — функции, удовлетворяющие условию Гёльдера. Принимается, что G(t) = 1 при t е (-то,0). Для устранения бесконечного разрыва arg G(t) используются функции E + (z) = eSa+iß)zP, 0 < arg z < п, E-(z) = = e(a-tß)z, —п ^ arg z < 0, путём соответствующего подбора действительных чисел а, ß.

Ключевые слова: краевая задача Римана, аналитическая функция, бесконечный индекс. DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-1 -29-33

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть D — область в плоскости комплексного переменного, границей которой служит L+ — положительная часть действительной оси. Требуется определить функцию Ф(з), аналитическую и

© Салимов Р. Б., 2016

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 1

ограниченную в области D, если её граничные значения удовлетворяют условию

Ф+ (t) = G(t^-(t), t е L+, (1)

где Ф+^) и Ф-(t) — предельные значения функции Ф(г) при z ^ t слева и справа, когда Im(z) > 0 и Im(z) < 0 соответственно, коэффициент G(t) — заданная функция, удовлетворяющая условиям

1) ln|G(t)| удовлетворяет условию Гёльдера на L+ — условию HL+ (ln|G(t)| е HL+);

2) для arg G(t) справедливо представление

argG(t) = v-tp + v(t), t е L+, (2)

где v-, p — заданные числа, v- > 0, 1/2 <p< 1, v (t) - заданная функция, v (t) е HL+.

Рассматриваемая задача является задачей с бесконечным индексом, так как arg G(t) ^ + ж при t ^ + ж.

Аналогичная задача рассмотрена в статье [1], в которой краевое условие задавалось на всей действительной оси L = L- U L+, где L- — отрицательная часть действительной оси L.

Значения искомой функции Ф(г) будем обозначать Ф+(з) = Ф(г) при Im(z) > 0, Ф-(z) = Ф(г) при Im(z) < 0.

Тогда для предельных значений этих функций при z ^ t < 0 будем иметь

Ф+ (t) = Ф-(t),

следовательно, как и в [2, с. 440], приходим к заключению, что искомые функции Ф+ (z), Ф-(z), удовлетворяют краевому условию:

Ф+ф = Go(t)Ф-(t), t е L, (3)

где

ÍGo(t) = G(t), t е L+, (4)

[Go(t) = l, t е L-.

Таким образом, решение задачи (1) приводится к решению задачи (3), рассмотренной в статье [1]. В настоящей работе используются сведения, приведённые в последней статье [1], и её результаты. Там же указаны основные этапы развития изучаемого научного направления. Будем считать, что

arg G0(t) = 0 при t е L-. (5)

Для простоты предположим, что слагаемое v(t) формулы (2) удовлетворяет условиям

v (0) = v (0 + 0) = 0, v (+ж)=0, (6)

кроме того,

G(0) = |G(0 + 0)| = 1, |G(+rc)| = 1. (7)

2. ВЫВОД ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИЙ

Считая а, ß действительными числами, введем в рассмотрение функции

j E + (z) = e(a+iß)zP, 0 ^ arg z ^ п, \e-(z) = e(a-zß)zP, —п ^ argz ^ 0,

аналитические и однозначные в полуплоскостях соответственно D+, D-, понимая под arg z ветвь, непрерывную в соответствующей полуплоскости. Для точки z = reiö, r > 0, 0 ^ 9 ^ п, области D+ (когда z = re-iö е D-) имеем:

|E+(rei0 )| = |E- (re-i0 )| = e(a cos pe-ß sin pe)rP, (9)

arg E + (reiö) = — arg E -(re-iö) = (a sin p9 + ß cos p9)rp.

Отсюда при в = 0, когда z = t > 0, получим:

E + (t)

= e2i¡3tP, t> 0, (10)

E - (t)

при в = п, когда z = t < 0, будем иметь:

E + (t)

_ 62i(a sin рп+в cos pn)|t|p t < 0 (11)

E-(t) =6 ' t< 0" (11)

Краевое условие (3) запишем так:

Ф+^E + (t) = Gi(t)Ф-(t)E-(t),t G L, (12)

где

Gi (t) = |Go(t)|ei arg G0(t) E-H - (13)

Принимая во внимание (2), (4), (5), (10), (11), постоянные а, в формул (8) выберем так, чтобы

2в = -V-, 2(а sin рп + в cos рп) = 0. (14)

Тогда будем иметь

V - V - cos рп

в = —, а = ^---(15)

2 2 sin рп

При этом формула (13) примет вид

Gi í»«, о 0,

[1, t< 0В силу условий (6) и (7) функция G1 (t) непрерывна в точках t = 0, t = и удовлетворяет условию HL. Далее находим аналитическую в области D функцию [2, с. 119]:

1 Л „ , , dT

r(z) = У1П °i(T)

Tz

(здесь 1пGl(т) =0 на Х-) и определяем аналитическую в области Б функцию = ег(г), отличную от нуля всюду в области Б, включая Х+. Обозначая ) = Г(з) при ^ £ Б+, Г-(z) = Г(з) при ^ £ Б-, здесь имеем х±(z) = ег (г).

Найденные функции х+ (z), х- (z) удовлетворяют краевому условию х+ = G1(Ь)х-(Ь), Ь £ Б Поэтому краевое условие (12) можно представить в виде

Ф+(Ь)Е + (Ь) = Ф-(Ь)Е- (Ь) Х

х+(ь) х- (Ь) ' '

Ф+ЫЕ+Ы Ф-ЫЕ-(z) ^ ,

Отсюда видно, что функции -——--, -—- образуют целую функцию Б (z), причем

х+(z) X-(z)

Ф+х)Е+(£) = б (z), ед. (16)

X+(z) х- ^

где соответственно 1т z ^ 0, 1т z ^ 0.

Поступая, как и в статье [1], покажем, что порядок рр вышеуказанной целой функции Бне превышает р: рр ^ р. С учетом (15) соотношение (9) запишем так

|Е+(гег0)| = |Е-(ге-г0)| = егР"- с°8р(п-0)/(2^прп), г> о, 0 ^ в ^ п. (17)

Из последней формулы при в = 0, когда г = Ь > 0, будем иметь |Е + (Ь)| = |Е-(Ь)| = = е^- с°врп/(281прп), ь > 0, при в = п, когда гет = -|Ь| = Ь < 0, получим

|Е+ (Ь)| = |Е-(Ь)| = е1*1^-/(2в1прп), Ь < 0.

Математика

31

(Щ^^ЩрёЬ Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 1

Учитывая эти два соотношения на основании формул (16), в которых Ф±(z), 1/x±(z) — функции, ограниченные в области D±, включая её границу L±, придем к неравенствам

|F(t)| < CetPv- cospn/(2sin, t > 0, (18)

|F(t)| <Ce|t|Pv-/(2sint< 0, (19)

где C = const > 0, которым должна удовлетворять целая функция F(z) формул (16).

Так как 1/2 <р< 1 ив интервале 0 < 9 < п функция cos р(п — 9) возрастает от cos рп < 0 до 1, то найдётся значение 9 = 9Р, для которого cos р(п — 9Р) = 0 и 9Р = п — 2р; при этом согласно формуле (17) имеем

|E + (rei0p )| = |E -(re-i0p )| = 1. Следовательно, на основании (16) получим неравенства

|F(rei0p)| < C, |F(re-i0p)| < C, r > 0, (20)

где C — вышеуказанная постоянная, которым также должна удовлетворять функция F(z). В силу второго соотношения (14) и формулы (11) имеем:

E + (t) = E- (t) при t< 0,

в то время как при t > 0 функции E+ (t), E-(t) связаны соотношением (10), в котором в = —v-/2. Это означает, что функции E + (z), E-(z) формулы (8), в которой постоянные а, в определены соотношениями (15), образуют функцию E(z), аналитическую в области D.

Учитывая это и принимая во внимание равенства (16), придём к заключению, что искомая функция Ф^) определяется формулой

Ф^) = Ez) F (z), (21)

в которой F(z) — произвольная целая функция порядка рР ^ р, удовлетворяющая условиям (18)-(20).

Если рР < р, то содержащий отрицательную часть действительной оси угол между лучами 9 = 9Р, 9 = —9Р, равный п/р, будет меньше п/рр: п/р < п/рр.

Так как на сторонах этого угла имеют места неравенства (20), то согласно теореме Фрагмена-Линделёфа [3, с. 255] модуль |F(z)| ограничен той же постоянной C и внутри угла:

|F(z)| < C, z e Dp,

где Dp — вышеуказанный угол.

Ясно, что аналогичное неравенство будет справедливо для содержащего положительную часть действительной оси угла между вышеуказанными лучами, раствор которого меньше п < п/р.

Таким образом, во всей плоскости z выполняется неравенство |F(z)| < C, поэтому F(z) = const. Но согласно (18) |F(z)| ^ 0 при t ^ Следовательно, F(z) = 0 всюду на плоскости z, когда рр < р, и формула (21) даёт не нулевое решение рассматриваемой задачи, когда в ней F(z) означает произвольную целую функцию порядка р.

Нетрудно убедиться в том, что такие ненулевые решения существуют. Для этого достаточно показать, что существуют целые функции порядка р (1/2 < р < 1), удовлетворяющие неравенствам (18)-(20).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом мы доказали следующее утверждение.

Теорема 1. Если краевая задача (1) имеет ограниченное решение Ф^), то оно представляется формулой (21), в которой F(z) есть произвольная целая функция порядка р, удовлетворяющая условиям (18)—(20).

Имеет место и обратное утверждение.

Теорема 2. Если Б— любая целая функция порядка р, удовлетворяющая условиям (18)-(20), то ограниченное решение краевой задачи (1) определяется формулой (21).

Последняя теорема доказывается аналогично тому, как это сделано для соответствующей теоремы работы [1].

Замечание. Условия (6), (7) не ограничивают общности решения задачи. При их невыполнении решение задачи (1) с помощью методов, аналогичных указанным в книге [2, с. 428-436], можно привести к рассмотренному в данной статье случаю с новой искомой функцией, для которой точка z = 0 может оказаться особой и в ней функция может обращаться в бесконечность степенного порядка при «неудачном» задании г>(Ь) в окрестности точки Ь = 0 [4, с. 114, условие —1 < ^(Ь0) ^ 0].

В случае, когда для точки Ь = 0 условия (6), (7) не выполняются, решение (21) остается в силе, его поведение вблизи точки z = 0 легко установить непосредственно, учитывая, что функция х^) = ег(г) выражается через интеграл типа Коши, плотность которого 1п G1 (Ь) в точке Ь = 0 имеет разрыв первого рода, и для указанного интеграла справедливо известное представление вблизи точки z = 0 [2, с. 68].

Библиографический список

1. Салимов Р. Б., Карабашева Э. Н. Новый подход к решению краевой задачи Римана с бесконечным индексом // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 2. С. 155-164.

2. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М. : Наука, 1977. 640 с.

3. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций : в 2 т. Т. 2 М. : Наука, 1968. 624 с.

4. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М. : Наука, 1986. 239 с.

About New Approach to Solution of Riemann's Boundary Value Problem with Condition on the Half-line in Case of Infinite Index

R. B. Salimov

Salimov Rasikh Bakhtigareevich, Kazan State University of Architecture and Engineering, 1, Zelenaya st., Kazan, Russia, 420043, [email protected]

To solve a homogeneous Riemann boundary value problem with infinite index and condition on the half-line we propose a new approach based on the reduction of the considered problem to the corresponding task with the condition on the real axis and finite index. It is required to define a function $(z), analytic and bounded in the complex plane z, cut down on positive real semi-axis L+, if the edge condition (t) = G(t)$-(t), t e L+ is fulfilled, where $+(t), (t) are limit values of the function $(z), as z ^ t correspondingly on the left and on the right, G(t) is a given function, for which argument arg G(t) = v-tp + v(t), t e L+ holds, here v-, p are given numbers, v- > 0, 2 < p < 1, and ln |G(t)|, v(t) are functions which satisfy the Holder condition. It is admitted that G(t) = 1 at t e (-œ, 0). The functions E + (z) = e(a+i3)zP, 0 < arg z < n, E- (z) = e(a-i3)zP, -n < arg z < 0 are used to avoid infinite gap of the arg G(t), by the selection of real numbers a, ^.

Key words: Riemann boundary value problem, analytic functions, infinite index.

References

1. Salimov R. B. , Karabasheva E. N. The new approach to solving the Riemann boundary value problem with infinite index. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2014, vol. 14, iss. 2, pp. 155-165 (in Russian).

2. Gakhov F. D. Boundary value problems. Moscow, Nauka, 1977, 640 p. (in Russian).

3. Markushevich A. I. The theory of analytic functions, in 2 vol. Vol. 2. Moscow, Nauka, 1968, 624 p. (in Russian).

4. Govorov N. V. Riemann's boundary problem with infinite index. Moscow, Nauka, 1986, 239 p. (in Russian).