CC BY
18
УДК 519.174.7
А. В. Бобу. А. Э. Куприянов
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
О нижних оценках хроматического числа пространства с запрещенными одноцветными треугольниками
Настоящая работа посвящена оценкам хроматического числа пространства с запрещенными одноцветными треугольниками. В работе приводятся новые нижние оценки исследуемой величины, улучшающие все известные на настоящий момент границы.
Библиография: 37 названий.
Ключевые слова: проблема Нельсона Эрдеша Хадвигера. хроматическое число пространства с запрещенными одноцветными треугольниками, линейно-алгебраический метод.
А. V. Bobu, А.Е. Kupriianov Moscow State University
On lower bounds for the chromatic number of a space without monochromatic triangles
The present paper is devoted to the bounds for the chromatic number of a space without monochromatic triangles. New bounds that improve all previous results are presented.
Key words: Nelson Erdos Hadwiger problem, chromatic number of space without monochromatic triangles, linear-algebraic method.
1. Введение
В комбинаторной геометрии большой популярностью пользуется задача Нельсона Эрдеша Хадвигера, ставшая широко известной в 50-е х'оды XX столетия (см. [1 4|). Суть этой задачи состоит в отыскании величины %(Мп), которая носит названия хроматического числа пространства и равна минимальному числу цветов, в которые можно так покрасить все точки Мп, чтобы любые две точки на расстоянии 1 были разных цветов. Описанная проблема все еще является открытой даже для евклидовой плоскости: на настоящий момент известно лишь, что 5 ^ %(М2) ^ 7, причем оценка сверху довольно тривиальна. О малых значениях п можно подробнее прочитать в обзорах и исследованиях [3], [4], [5-13], однако наиболее интересным представляется случай п ^ ж. Наилучшая верхняя оценка при п
Х(Ю < (3 + о(1))п, п ^ж.
Что касается нижних оценок, то при помощи линейно-алгебраического метода в классической работе [16] в 1981 году была получена оценка:
Х(Мп) ^ (1.207 ... + о(1))п, п ^ж.
© Бобу A.B., Куприянов А.Э., 2018
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2018
Наилучшая же нижняя оценка при п — ж была не так доказана в работе [17]:
Исходная задача обросла большим количеством обобщений, в частности, указанная проблема имеет смысл для произвольных метрических пространств (см. [18 23]). Упомянем также задачу о хроматическом числе сферы х($п), которая формулируется ровно так же, как проблема Нельсона Эрдеша Хадвш'ера, но вместо вемх) пространства раеематривают-п
чему равно минимальное количество цветов х(^п; ¡1,... ¡т)> в которые можно так покрасить точки пространства, чтобы расстояние между любыми двумя точками одного цвета не лежало во множестве {¡I,..., 1т} (см. [4], [6], [29-31])?
Наша основная задача будет близка к описанной выше. А именно, для 0 < а < 1 < Ь < \[2 определим величину х«,ь(^п) как минимальное количество цветов, в которые можно так покрасить точки пространства, чтобы никакие три точки не образовывали равнобедренный треух'ольник с длинами боковых сторон 1 и длиной
аЬ
пространства с запрещенными одноцветными треух'ольниками. Она изучалась в недавних работах [32 35] и частично освещалась в нашем предыдущем исследовании [36]. Нас будут интересовать в основном нижние оценки величины Ха,ь(^п)-
В следующем разделе мы укажем имеющиеся результаты касательно исследуемой величины и приведем формулировки полученных нами результатов, а также общий план их доказательства. В разделе 3 мы покажем, как соотносятся наши результатами с наилучшими известными на настоящий момент 1'раницами.
2. Формулировки основных результатов
Итак, приведем наилучшие имеющиеся на текущий момент оценки и обсудим основные идеи их доказательства.
Теорема 8. Пусть 0 < а < 1 <Ь < л/2, 0 < к < 1/2, 0 <7 < к.
С\(а) = (а + 2т)а+2г(а + г)-а-гт-г(1 - а - 2т)1-а-2г х х(к - а - т)-к+а+г(1 - к - т)-1+к+г, С\(х, а) = (а + т)а+гх-х(а + т - х)2(-а-г+х)тг(х - а)-х+а, С3(х, а, в) = (к - а - т)к-а-г(в - х)-в+х х х(к + х - а - в - т)2(-к-х+»+в+г) х х (1 - к - т)1-к-г(1 + а + в - х - 2к)-1-а-13+х+2к, Х(а,в) = тах С2(х,а) ■ С3(х,а, в).
Х(МП) ^ (1.239... + о(1))п, п -ж.
а = к - Ь2(к - ч), в = к - а2(к - 7), т
а(к - а)
1 + 2(а - к)'
При а > 0 и х е [в - к + а + т,а + т] положим
х
Тогда
Теорема 9. Пусть 0 < а < 1 <Ь < л/2, 0 < к < 1/2, 0 <7 < к,
а = к - Ь2(к - 7), в = к - а2(к - 7), т
а(к - а)
1 + 2(а - к)'
Пусть также а > 0 и х е [в - к + а + т,а + т]. Положим,
к - 7
6 =
Допустим, р > в - Тогда,
7 - а
к - 7 Р = .
хлщ >( С:1{а,р:{1т р)1-+о(1)
V А(а,в)
где функции С1(а) и Х(а,в) определены в формулировке предыдущей теоремы. Теорема 10. Пусть 0 <а < 1 <Ь < у/2, 0 < к < 1/2, 0 < 7 < к, к - <1 < к,
а = к - Ь2(к - 7), в = к - а2(к - 7).
Положил1,
6 =
Зафиксируем г е{ 1 ,...,6} и рассмотрим
к - 7 1-1
к - 7 . а'(к - а')
р = —:—, а =шах{а,7 - р}, т =
г ' 1 ' ' '" 1 + 2(а' - к)'
Пусть у е [в, к], х е [у - к + а + т,а' + т]. Тогда
'С\(а')рР(1 - р)1-р
х-<"п> П АКу) +0(1)
где функции С1(а') и Х(а',у) определены в формулировке теоремы 8.
Обратимся к первой из представленных теорем. Общая идея ее доказательства заключается в следующем. При помощи явных построений получают совокупность М(0,1), со-(0, 1)
попарные скалярные произведения лежат в заданном отрезке. Пусть М(0,1) = |М(0,1)|. На следующем шаге линейно-алгебраическим методом оценивается максимальный размер
0(0,1) подсовокупности Р(0,1) С М(0,1), в которой запрещено ровно одно скалярное про-р
еоображений выводится, что
х ь(Нп) > М(0, 1) ) > ЗОМ).
Следующие теоремы представляют собой некоторое усложнение исходной техники.
Наша основная идея заключается в том, чтобы на первом и втором этапах исполь-(0, 1) (-1, 0, 1) ства {-1, 0,1} Аналогично определениям 0(0,1) и М(0,1) вводятся определения величин 0(-1, 0,1) и М(-1, 0,1). При этом оказывается, что
х ь(Нп) > М(-1, 0 1) т
Ха'ь{Ш ) > 30(-1, 0,1). (1)
Конечно, почти всегда М(-1, 0,1) > М(0,1), остается добиться того, чтобы величина 0(-1, 0,1) была не тишком большой по сравнению с 0(0,1) Идея введения (-1, 0,1)-векторов была впервые успешно применена в работе [17] для усиления нижней оценки хроматического числа пространства х(^п)5 именно это послужило мотивацией для применения данных векторов в нашей задаче.
Доказанный нами результат звучит следующим образом.
Теорема 11. Пусть натуральные числа, к1,к_1,1 удовлетворяют, условию 0 < I < к1 + к_1 < п/2 и пусть разность д = к\ + к_1 — I является простым числом.
Введем, следующие обозначения:
7 = 1/п, к1 = к1/п, к_1 = к-1 /п; а = к1 + к_1 — Ь2 (к1 + к_1 — 7), в = К1 + к_1 — а2(к1 + к_1 — 7); а = \ап\, в = [вп\.
Пусть, наконец, целые неотрицательные числа
г,г1,го,г_1,в,в1, во,в_1,г,г1,го, _
удовлетворяют, соотношениям
Г + 8 + I = п, Г1 + Го + Г_1 = Г, 81 + 8о + 8_1 = tl + ¿о + t_l = ¿; Г1 + 81 + ¿1 = к1, г_1 + в_1 + Р_1 = к_1; тах(—2г1, —2г_1) + тах(0, г1 — Г_1 — г0) + тах(0, г_1 — г0 — Г1) + тах(—2в1, — 2в_1) + тах(0, 81 — 8_1 — 80) + тах(0, 8_1 — 80 — 81) + тах(—2Р1, —2Р_1) + тах(0, Р1 — Р_1 — Ро)+ тах(0, Р_1 — Ро — Р1) ^ а.
Тогда
ха,ьт >
1
(ш1, т2)ЕВ
{
Г1тц~1 г0 (~Л1(~1 to
1
1 + + \ А г=_ 1 )
где область суммирования А задается условиями
Гг> 0; 8г ,3 ^ 0; ,3 ^ 0; г,3 е {—1, 0,1}; >з = г3, 3 е{ — 1, 0,1}; ^ п ,3 = п, г е{ —1, 0,1};
г 3
,3 = 83, 3 е{ —1, 0,1}; 8г,3 = 8г, г е{—1, 0,1}; г 3
^2^,3 = ¿3, 3 е{—1, 0,1}; ^2 ¿г,3 = Рг, г е{—1, 0,1};
Г1,1 — Г1,_1 — Г_1,1 + Г_ 1,_1 + в1,1 — Й1,_1 — в_1,1 + в_1,_1 +
+ ¿1,1 — ¿1,_1 — ¿_1,1 + ¿_1,_1 >
а область В определяется следующим, образом:
В = {(т1,т2): т1,т2 е N и {0}, т1 + т2 ^ п, т1 + 2т2 ^ д — 1}.
Предложим небольшое пояснение относительно формулировки данной теоремы. На самом деле величина
Ее т-1 Ст2
Сп Сп-т1
т1,т2^В
представляет собой оценку величины 0(-1, 0,1), а выражение в скобках является оценкой
М(-1, 0, 1) по сути, и представляет наша оценка.
3. Численные результаты
Покажем, как соотносится оценка теоремы 11 с известными на настоящий момент результатами.
Ниже приведены две таблицы с оценками исследуемой величины ха,ь (^п)• По вертикали откладывается параметр а с шагом 0.02, по горизонтали — параметр Ь с шагом 0.05, в ячейке таблицы записана константа с в основании экспоненты в правой части оценки вида ха,ь(^п) > (с + о(1))п,п ^ ж. Прочерк означает, что полученная оценка не является экспоненциальной, то есть с ^ 1.
Т а б л и ц а 1
Максимум из оценок теорем 8-10
1.10 1.15 1.2 1.25 1.30 1.35 1.40
0.02 1.053 1.079 1.104 1.129 1.153 1.177 1.200
0.04 1.049 1.075 1.100 1.125 1.149 1.173 1.196
0.06 1.044 1.070 1.095 1.120 1.144 1.168 1.191
0.08 1.038 1.064 1.089 1.114 1.138 1.162 1.185
0.10 1.032 1.057 1.082 1.107 1.131 1.155 1.177
0.12 1.025 1.050 1.075 1.099 1.123 1.147 1.170
0.14 1.020 1.043 1.067 1.091 1.115 1.138 1.161
0.16 1.015 1.036 1.059 1.083 1.106 1.130 1.153
0.18 1.010 1.029 1.051 1.074 1.098 1.121 1.143
0.20 1.006 1.023 1.044 1.066 1.089 1.111 1.134
0.22 1.002 1.018 1.037 1.058 1.080 1.103 1.125
0.24 1.013 1.030 1.051 1.072 1.094 1.115
0.26 1.009 1.025 1.043 1.064 1.085 1.106
0.28 1.004 1.019 1.037 1.056 1.076 1.097
0.30 1.001 1.015 1.030 1.049 1.068 1.088
0.32 1.010 1.025 1.042 1.060 1.080
0.34 1.005 1.020 1.035 1.053 1.072
0.36 1.002 1.014 1.030 1.046 1.064
0.38 1.002 1.009 1.024 1.040 1.057
0.40 1.002 1.005 1.018 1.034 1.050
0.42 1.002 1.005 1.013 1.028 1.043
0.44 1.002 1.005 1.007 1.022 1.037
0.46 1.002 1.005 1.005 1.016 1.031
0.48 1.002 1.005 1.005 1.010 1.025
0.50 1.002 1.005 1.005 1.005 1.019
0.52 1.002 1.005 1.005 1.005 1.012
0.54 1.002 1.005 1.005 1.005 1.006
0.56 1.002 1.005 1.005 1.005 1.005
0.58 1.002 1.005 1.005 1.005 1.005
0.60 1.002 1.005 1.005 1.005 1.005
В таблице 1 продемонстрирован максимум из оценок теорем 8 10.
В таблице 2 мы привели численные результаты теоремы 11. Жирным шрифтом выделены участки, где новая оценка экспоненциально превосходит результаты теорем 8 10.
а
Ь
ки к 1. Отметим, что имеется большая область значений параметров, при которых новая теорема значительно проигрывает: оценка величины 0(—1, 0,1) при помощи линейно-алгебраического метода оказалась слишком плохой, и выгоднее в данном случае работать (0, 1)
Т а б л и ц а 2
Оценка теоремы 11
1.10 1.15 1.2 1.25 1.30 1.35 1.40
0.02 1.036 1.062 1.088 1.113 1.149 1.186 1.216
0.04 1.034 1.059 1.085 1.110 1.143 1.181 1.211
0.06 1.030 1.056 1.081 1.106 1.133 1.175 1.204
0.08 1.027 1.051 1.077 1.101 1.126 1.166 1.195
0.10 1.023 1.045 1.070 1.096 1.120 1.156 1.185
0.12 1.019 1.040 1.064 1.088 1.113 1.145 1.173
0.14 1.015 1.034 1.057 1.082 1.105 1.133 1.160
0.16 1.012 1.029 1.051 1.074 1.098 1.121 1.146
0.18 1.008 1.025 1.044 1.067 1.090 1.113 1.136
0.20 1.005 1.020 1.038 1.059 1.082 1.105 1.127
0.22 1.001 1.016 1.032 1.052 1.074 1.094 1.118
0.24 1.011 1.027 1.046 1.066 1.089 1.110
0.26 1.006 1.022 1.039 1.058 1.081 1.103
0.28 1.003 1.017 1.033 1.053 1.071 1.093
0.30 1.001 1.014 1.028 1.044 1.066 1.088
0.32 1.011 1.023 1.038 1.058 1.076
0.34 1.008 1.019 1.033 1.053 1.067
0.36 1.005 1.016 1.027 1.043 1.061
0.38 1.003 1.013 1.023 1.037 1.055
0.40 1.002 1.010 1.018 1.032 1.047
0.42 1.007 1.016 1.028 1.042
0.44 1.003 1.013 1.025 1.035
0.46 1.001 1.007 1.021 1.030
0.48 1.006 1.017 1.026
0.50 1.004 1.013 1.022
0.52 1.003 1.010 1.017
0.54 1.001 1.006 1.013
0.56 1.003 1.011
0.58 1.001 1.008
0.60 1.007
0.62 1.005
0.64 1.003
0.66 1.002
Литература
1. Hadwiger Н. Ein Überdeckungssatz für den Euklidischen Raum /7 Portugaliae Math. 1944. V. 4. P. 140 144.
2. Soifer A. The Mathematical Coloring Book. Springer, 2009.
3. Brass P., Mose.r W., Pack J. Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer, 2005.
4. Райгородский A.M. Проблема Борсука и хроматические числа метрических пространств /7 Успехи математических наук. 2001. Т. 56, № 1. С. 107 146.
5. Székely L.A. Erdós on unit distances and the Szemeredi Trotter theorems /7 Paul Erdos and his Mathematics, Bolvai Series Budapest /7 .J. Bolvai Math. Soe. 2002. V. 11. P. 649 666.
6. Raigorodskii, A. M. Coloring Distance Graphs and Graphs of Diameters /7 Thirty Essays on Geometric Graph Theory. .J. Pach ed. Springer, 2013. P. 429 460.
7. Raigorodskii A.M. Combinatorial Geometry and Coding Theory /7 Fundamenta Informaticae. 2016. V. 145, N 3. P. 359 369.
8. Frankl P., Kupavskii A. Erdos-Ko-Rado theorem for {0, ±1}-vectors // Journal of Combinatorial Theory, Series A. 2018. V. 155. P. 157 179.
9. Frankl P., Kupavskii A. Intersection theorems for {0, ±1}-vectors and s-cross-intersecting families /7 Moscow .Journal of Combinatorics and Number Theory. 2017. V. 7, N 2. P. 91 109.
10. Frankl P., Kupavskii A. A size-sensitive inequality for cross-intersecting families /7 European Journal of Combinatorics. 2017. V. 62. P. 263 271.
11. К an,ель-Белов А.Я., Воронов В.А.. т1еркалиин Д.Д. О хроматическом числе плоскости /7 Л. п сора и анализ. 2017. Т. 29, № 5. С. 68 89.
12. Черкашии Д.Д., Райгородский A.M. О хроматических числах пространств малой размерности /7 Доклады РАН. 2017. Т. 472, № 1. С. 11 12.
13. Райгородский, A.M., Шаба,нов Л.Э. Турановские оценки для дистанционных графов /7 Доклады РАН. 2017. Т. 475, № 3. С. 254 257.
14. barman D.G., Rogers С.A. The realization of distances within sets in Euclidean space /7 Mathematika. 1972. V. 19. P. 1 24.
15. Просанов P.M., Райгородский, A.M., Сагдеев А.А. Улучшения теоремы Франкла Редля и х-сомегричсскис следствия /7 Доклады РАН. 2017. Т. 475, № 2. С. 137 139.
16. Frankl, P., Wilson R. Intersection theorems with geometric consequences /7 Combinatorica. 1981. V. 1. P. 357 368.
17. Райгородский, A.M. О хроматическом числе пространства /7 Успехи математических наук. Т. 55, № 2. 2000. С. 147 148.
18. Benda М., Pedes М. Colorings of metric spaces /7 Geombinatorics. 2000. V. 9. P. 113 126.
19. Kang J.-H., Füredi Z. Distance graphs on Zn with ¿i-norm // Theoretical computer science. 2004. V. 319, N 1 3. P. 357 366.
20. Kupavskiy A. On the chromatic number of Rn with an arbitrary norm // Discrete Mathematics. 2011. V. 311, N 6. P. 437 440.
21. Поно.маренко Е.И., Райгородский, A.M. Новая нижняя оценка хроматических) числа рациональнохч) пространства /7 Успехи математических наук. 2013. Т. 68, № 5. С. 183 184.
22. Поно.маренко Е.И., Райгородский, A.M. Новая нижняя оценка хроматическохх) числа рациональнохх) пространства с одним и двумя запрещенными расстояниями /7 Математические заметки. 2015. Т. 97, № 2. С. 84 89.
23. Пономаренко Е.И., Райгородский A.M. О хроматическом числе пространства Qn // Труды МФТИ. 2012. Т. 4, № 1. С. 127 130.
24. Lovasz L. Self-dual polvtopes and the chromatic number of distance graphs on the sphere. /7 Acta Sri. Math. 1983. V. 45. P. 317 323.
25. Raigorodskii A.M. On the chromatic numbers of spheres in Rn // Combinatorica. 2012. V. 32, N 1. P. Ill 123.
26. KynaecKuu А.Б. О раскрасках сфер, вложенных в Rn. // Математический сборник. 2011. Т. 202, № 6. С. 83 110.
27. Костина О.А., Райгородский A.M. О нижних оценках хроматических) числа сферы /7 Доклады РАН. 2015. Т. 463, № 6. С. 639.
28. Kocmima О.А., Райгородский A.M. О новых нижних оценках хроматических) числа сферы /7 Труды МФТИ. 2015. Т. 7, № 2. С. 20 26.
29. Бердников А.В., Райгородский A.M. О хроматическом числе евклидова пространства с двумя запрещенными расстояниями /7 Математические заметки. 2014. Т. 96, № 5. С. 790 793.
30. Бердников А.В. Оценка хроматических) числа евклидова пространства с несколькими запрещенными расстояниями /7 Математические заметки. 2016. Т. 99, № 5. С. 783 787.
31. Berdnikov А. 17 Chromatic Number with Several Forbidden Distances in the Space with the ^-Metric // Journal of Mathematical Sciences. 2017. V. 227, N 4. P. 395-401.
32. Салтров Д.В., Райгородский A.M. Хроматические числа пространств с запрещенными одноцветными треу1Х).льниками /7 Математические заметки. 2013. Т. 93, № 1. С. 134 143.
33. Самиров Д.В., Райгородский A.M. Новые нижние оценки хроматических) числа пространства с запрещенными равнобедренными треугольниками /7 Итоги науки и техники, Современная математика и ее приложения. 2013. Т. 125. С. 252 268.
34. Салтров Д.В., Райгородский A.M. Новые оценки в задаче о хроматическом числе пространства с запрещенными равнобедренными треугольниками /7 Доклады РАН. 2014. Т. 456, № 3. С. 280 283.
35. Салтров Д.В., Райгородский A.M. Об одной задаче, связанной с оптимальной раскраской пространства без одноцветных равнобедренных треугольников /7 Труды МФТИ. 2015. Т. 7, № 2. С. 39 50.
36. Бобу А.В., Куприянов А.Э., Райгородский A.M. О максимальном числе ребер однородного гиперграфа с одним запрещенным пересечением /7 Доклады РАН. 2015. Т. 473, № 1. С. 11.
37. Райгородский A.M. Харламова, А.А. О совокупностях (—1, 0,1)-векторов с запретами па величины попарных скалярных произведений /7 Труды по векторному и тензорному анализу 2013. Т. 29. С. 130 146.
References
1. Hadwiger H. Ein Überdeckungssatz für den Euklidischen Raum. Portugaliae Math. 1944. V. 4. P. 140 144.
2. Soife.r A. The Mathematical Coloring Book. Springer, 2009.
3. Brass P., Moser W., Fach J. Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer, 2005.
4. Raigorodskii A.M. Borsuk's problem and the chromatic numbers of some metric spaces. Russian Mathematical Surveys. 2001. V. 56, N 1. P. 103 139.
5. Szekely L.A. Erdos on unit distances and the Szemeredi Trotter theorems. Paul Erdos and his Mathematics, Bolvai Series Budapest. .J. Bolvai Math. Soc. 2002. V. 11. P. 649 666.
6. Raigorodskii A. M. Coloring Distance Graphs and Graphs of Diameters. Thirty Essays on Geometric Graph Theory. .J. Pach ed. Springer. 2013. P. 429 460.
7. Raigorodskii A.M. Combinatorial Geometry and Coding Theory. Fundamenta Informaticae. 2016. V. 145, N 3. P. 359 369.
8. Frankl P., Kupavskii A. Erdos-Ko-Rado theorem for {0, ±1}-vectors. Journal of Combinatorial Theory, Series A. 2018. V. 155. P. 157 179.
9. Frankl P., Kupavskii A. Intersection theorems for {0, ±1}-vectors and s-cross-intersecting families. Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory. 2017. V. 7, N 2. P. 91 109.
10. Frankl P., Kupavskii A. A size-sensitive inequality for cross-intersecting families. European Journal of Combinatorics. 2017. V. 62. P. 263-271.
11. Kanel-Belov A.Ya., Voronov V.A., Cherkashin D.D. On the chromatic number of plane layer. St. Petersburg Math. J. 2018. V. 29., N 5. P. 761 775.
12. Cherkashin D.D., Raigorodskii A.M. On the chromatic numbers of low-dimensional spaces. Dokladv Mathematics. 2017. V. 95, N 1. P. 5 6.
13. Shabanov L.E., Raigorodskii A.M. Turan-tvpe bounds for distance graphs. Dokladv Mathematics. 2017. V. 96, N 1. P. 351 353.
14. Larman D.G., Rogers C'.A. The realization of distances within sets in Euclidean space. Mathematika. 1972. V. 19. P. 1 24.
15. Prosanov R.I., Raigorodskii A.M., Sagdee.v A.A. Improvements of the Frankl Rodl theorem and geometric consequences. Dokladv Mathematics. 2017. V. 96, N 1. P. 336 338.
16. Frankl P., Wilson R. Intersection theorems with geometric consequences. Combinatorica. 1981. V. 1. P. 357 368.
17. Raigorodskii A.M. On the chromatic number of a space. Russian Mathematical Surveys. 2000. V. 55, N 2. P. 351 352.
18. Benda M., Pe.rl.es M. Colorings of metric spaces. Geombinatorics. 2000. V. 9. P. 113 126.
19. Kang J.-H., Furedi Z. Distance graphs on Zn with ¿i-norm. Theoretical computer science. V. 319, N 1 3. 2004. P. 357 366.
20. Kupavskiy A. On the chromatic number of Rn with an arbitrary norm. Discrete Mathematics. V. 311, N 6. 2011. P. 437 440.
21. Ponomarenko E.I., Raigorodskii A.M. A new lower bound for the chromatic number of the rational space. Russian Mathematical Surveys. 2013. V. 68, N 5. P. 960 962.
22. Ponomarenko E.I., Raigorodskii A.M. New lower bound for the chromatic number of a rational space with one and two forbidden distances. Mathematical Notes. 2015. V. 97, N 1 2. P. 249 254.
23. Ponomarenko E.I., Raigorodskii A.M. On the chromatic number of the space Qn. Trudy Mosk. Fiz. Tekhn. Inst. 2012. V. 4, N 1. P. 127 130. (in Russian)
24. Lovasz L. Self-dual polvtopes and the chromatic number of distance graphs on the sphere. Acta Sri. Math. 1983. V. 45. P. 317 323.
25. Raigorodskii A.M. On the chromatic numbers of spheres in Rn. Combinatorica. 2012. V. 32, N 1. P. Ill 123.
26. Kupavskii A.B. On the colouring of spheres embedded in Rn. Sbornik: Mathematics. 2011. V. 202, N 6. P. 859 886.
27. Kostina O.A., Raigorodskii A.M. On lower bounds for the chromatic number of sphere. Dokladv Mathematics. 2015. V. 92, N 6. P. 500 502.
28. Kostina O.A., Raigorodskii A.M. On the new lower bounds of the chromatic number of sphere. Trudy Mosk. Fiz. Tekhn. Inst. 2015. V. 7, N 2. P. 20 26. (in Russian)
29. Be.rdnikov A. Raigorodskii A.M. On the chromatic number of Euclidean space with two forbidden distances. Mathematical Notes. V. 96, N 5 6. 2014. P. 827 830.
30. Be.rdnikov A.V. Estimate for the chromatic number of Euclidean space with several forbidden distances. Mathematical Notes. V. 99, N 5 6. 2016. P. 774 778.
31. Be.rdnikov A. V. Chromatic number with several forbidden distances in the space with the lq-metric. Journal of Mathematical Sciences. 2017. V. 227, N 4. P. 395-401.
32. Samirov D.V., Raigorodskii A.M. Chromatic numbers of spaces with forbidden monochromatic triangles. Mathematical Notes. 2013. V. 93, N 1 2. P. 163 171.
33. Samirov D.V., Raigorodskii A.M. New lower bounds for the chromatic Number of a space with forbidden isosceles triangles. Itogi nauki i tekhniki. 2013. V. 125. P. 252 268. (in Russian)
34. Samirov D.V., Raigorodskii A.M. New bounds for the chromatic number of a space with forbidden isosceles triangles. Dokladv Mathematics. 2014. V. 89, N 3. P. 313 316.
35. Samirov D.V., Raigorodskii A.M. On colorings with forbidden isosceles triangles in Euclidean spaces. Trudy Mosk. Fiz. Tekhn. Inst. 2015. V. 7, N 2. P. 39 50. (in Russian)
36. Bobu A. V., Kupriianov A.E., Raigorodskii A.M. On the maximal number of edges in a uniform hvpergraph with one forbidden intersection. Dokladv Mathematics. 2015. V. 92, N 1. P. 401 403.
37. Raigorodskii A.M., Kharlamova A.A. On sets of (—1, 0,1)-vectors with forbidden pairwise scalar products. Trudy po vektornomu i tenzornomu analizu. 2013. V. 29. P. 130 146. (in Russian)
IIocmynu,n,a e pedamipuo 29.11.2018
