CC BY
17
УДК 512
О НИЖНИХ ЛИНЕЙНЫХ ОЦЕНКАХ СПЕКТРАЛЬНОГО РАДИУСА НОРМАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ
© В.И. Фомин
Fomin V.I. On the lower linear bound of the spectral radius for a normal matrix. There are lower bounds of the spectral radius of a normal matrix.
В данной работе предлагается несколько оценок снизу спектрального радиуса нормальной матрицы, полученных с помощью известного неравенства ([1])
1
ХЫ
/=1
1-е"
1-е
2п
2Ьк-'Ы-к= 1
(О
где c = yl2—1; {|£ }£_| - такая перестановка индексов 12,...,п , что 1*^ | > |х,2| > ... > |x/jf |.
Пусть С - поле комплексных чисел, С” - комплексное п -мерное арифмигическое пространство
векторов z — [fj ) , || • I - евклидова норма на С п ,
Спхп - множество всех мафиц А = (а¡j ) порядка п с элементами из С, ||• ||^- спектральная норма на
СПХП „/ \ - пхп пхп
, р(;) - спектральный радиус на С , С N -
s~>nxn
множество всех нормальных матриц из С Известно ([2]), что для А е С^п
РЙ)=|И1- Р)
Отсутствие явного выражения для ||^|| оставляет
актуальным вопрос о нахождении границ для р(А).
Для получения верхних границ можно использовать известное неравенство р(/1 )< |4|| , где ||-|| -
произвольная матричная норма ([2, с. 359]).
Укажем некоторые нижние границы дня р{А ).
Пусть А е С$п . Положим
Si = '£aij,l<i<n-,
J=1
т]='£аи,\<]<п.
/=1
Теорема 1. Для спектрального радиуса произвольной матрицы А е Ссправедливы оценки:
рСФ
1-е
1-е2”
V У
і •
к=\
РЙ)^-Т=
( 1-е2 1-е2"
2 П ; .1 I
&=1
(3)
(4)
где с = 4т. -1; {¡к }£ ., }^=] - такие перестанов-
ки индексов 12,...,«, чго |л’;11 >|Л'/Ч | >... > |Л’,^|,
Доказательство. Спектральная матричная норма | • индуцирована евклидовой векгорной нормой
|| • || ([2, с. 358]). Следовательно ([2 , с. 354]),
1
(
= max||/lz|| = max
zeCn zeC"
►H
» I ,2
і Ы =1 j=1
;=1
y=i
(5)
♦ pj ♦ 1
Возьмем z є С таким, чго z. = —¡=, 1 < j < п .
yjn
Тогда z = 1 и в силу (5)
I
/=1
5>*-Г
/=1 ып
Л2
1
Л
( п 2
ХМ
/=1
(6)
В силу (1) 1
( п /=1
1-С
2 п
к= 1
(7)
где с = -\/2-1; {/¿, }^=1 - такая перестановка индексов 1, 2, п, что |Л';) | > |б',2| > ... > |. Из (2), (6),
(7) следует оценка (3).
Так как А є С%п , то А * є С$п , где А * = И? .
Записывая доказанную оценку (3) для р(і*) и используя равенства р(л')=рй).
/=1
1«,
/=1
получаем оценку (4).
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Для спектрального радиуса произвольной матрицы А е С^хп справедливы оценки 1
1-е* '
рС4)>
р(л)>
( . \2
1-е
2п
1-е
1-е
2п
^kJ ’
(8)
(9)
где с = >¡2-1; {/¿- }£=|, {/к }^=1 - такие перестановки индексов 1, 2, И, ЧТО ^ | > | > ... > |бГуи |,
К 1 I - \а'и | - ••• - \alnJ | •
Доказательство. Пусть т - произвольное фиксированное целое число, удовлетворяющее условию
* п *
1 < т < п . Возьмем 2 е С таким, что г„. = 1,
г. = 0 при всех у Ф т . Тогда
= 1и в силу (5), (1)
( 2 ^
п п
I 5>'А
/=1 ;=1
V
(10)
ІК
/=1
V1-2",
2 Л
2,с Iа-¿=1
'к'»
где с — {¡к }^=1 - такая перестановка индек-
сов 1,2,..., И, ЧТО |я1)/я | — |^/2 /771 — - - • — \аіпт | •
В силу (2), (10)
р(4)>
1-С
2 п
¿-11
(П)
¿=1
В силу произвольности выбора т из (11) следует оценка (9).
Оценка (8) получается из оценки (9) аналогично тому, как была получена оценка (4) из оценки (3).
Теорема 2 доказана.
Данная работа продолжает исследования из [3], где для произвольной матрицы А е СЦхп найдены оценки вида:
рСФ-іЕИ.рСФ-ЖІ,
"/=I "/=1 1
1 п 1 ” І I
рСФ-г шах X\аи» р(а)-~г 1Пах Xк •
V/? 1</<Иу=1| • у/п 1<]<П'=1'
ЛИТЕРАТУРА
1. Фомин В.П. Об оптимальных вложениях гельдерова и весовых пространств числовых последовательностей //Доклады Академии наук 1998. Т 362 №2. С. 168-169
2. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М : Мир. 1989. С 397.
3. О нижней границе спектрального радиуса нормальной матрицы / Фомин В.И. Тамбов, ин-т хим. машиностр. № 2176 - 85 ДЕП.
Поступила в редакцию 4 марта 2001 г.
