CC BY
38
УДК 519.673
В. Х. Федотов, Н. И. Кольцов
О НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЯХ ЭВОЛЮЦИИ
Ключевые слова: динамические системы, непрерывные и дискретные модели, равновесия, устойчивость.
Исследована связь между непрерывными и дискретными моделями эволюции. Описаны алгоритмы дискретизации непрерывных моделей динамических систем. Рассмотрены их равновесные и неравновесные характеристики. Сформулирован критерий устойчивости дискретных нелинейных аналогов второго порядка для непрерывных систем. Рассмотрено влияние алгоритма и шага дискретизации на особенности описания дискретными моделями свойств непрерывных систем.
Keywords: dynamic systems, continuous and discrete models, equilibriums, stability.
The relationship between the continuous and discrete models of evolution was investigated. Described algorithms for discretization of continuous models of dynamic systems. Stability criterion of nonlinear second-order discrete analogues for continuous systems was formulated. Influence of the algorithm and discretization step on describe the features of the properties of discrete models of continuous systems were considered.
Введение
В естественных науках (физика, химия, биология и др.) доминируют дискретные (атомы, молекулы, гены и др.), но используются и непрерывные (электромагнитные поля, волновая теория и др.) представления об объектах природы (И. Ньютон, А. Эйнштейн, Н. Бор, М. Планк, Н. Тесла, Д.И. Менделеев и др.). Классическая математика (дифференциальное и интегральное исчисление, теория непрерывных функций и др.) основана на представлениях о непрерывности и пределе (функции, ряда), которые трудно применимы на практике. Конкретные расчеты происходят по законам дискретной математики, которая сформировалась под влиянием конструктивистских взглядов (признание только математических конструкций из конечного числа процедур над конечными объектами) (А. Пуанкаре, Д. Гильберт, Дж. фон Нейман, Э.Л. Пост, А.М.Тьюринг, А.А. Ляпунов и др.). Из «всеобщих» законов диалектики (единство и борьба противоположностей, переход количества в качество и др.) следует динамический синтез непрерывного и дискретного. Но, как известно «практика - критерий истины» и в реальной жизни дискретные конструкции все-таки преобладают над непрерывными абстракциями. Авторам ближе конструктивный подход.
Обратимся к мнению известных ученых по этому вопросу. Физик Я.Б. Зельдович «не строго» определял производную как «отношение приращения функции к приращению аргумента, в предположении, что последнее достаточно мало» [1]. Понятие предела он не использовал, так как считал, что «...приращения меньшие 10-10 нет смысла рассматривать: ведь структура и пространства, и времени в столь тесной близости не описывается математическим континуумом. Физиков интересует именно
отношение конечных приращений, а производные математиков - это просто приближённые формулы для вычисления этих отношений». Математик В.И. Арнольд пишет «. томография - это приложение рядов Фурье в медицине. Даже такой тонкий факт
этой теории, как «явление Гиббса» (отличие предела графиков частичных сумм ряда от графика предела этих сумм) виден на томограмме в качестве артефакта: внутри изображения органа появляются дополнительные линии, которых в реальном органе нет (прямые, касающиеся границ изображений костей либо в двух точках, либо в одной точке перегиба границы изображения, где выпуклость сменяется вогнутостью). Не зная явления Гиббса, можно начать лечить несуществующую болезнь» [2]. Механик М.Л. Лидов считает, что «. математические теоремы, типа теоремы единственности в теории дифференциальных уравнений, противоречат физической реальности. Например, две интегральные кривые уравнения к' = —к (с разными начальными условиями к(0)=0 и x(0)=1) практически пересекаются при /=10 или 20. Из-за этого корабль не может плавно пристать к пристани, управляя двигателем: произойдёт удар или потребуется бесконечное время. По этой же причине при посадке космических кораблей . они должны попрыгать на упруго демпфирующих . ногах» [2].
Модели эволюции представляют собой непрерывные (НДС) и дискретные (ДДС) динамические системы. НДС описываются системами дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных) и применяются в физике, химии и биологии: (гидродинамика, химическая кинетика,
ферментативный катализ и др.) ДДС описываются системами разностных уравнений (отображения, временные ряды) и чаще применяются в технике, социально-экономических науках (теория автоматического регулирования, теория роста Мальтуса и др.). Коллекции наиболее интересных динамических систем и демонстрации их эволюционных закономерностей можно найти, например, на сайтах [3-7]. Независимо от области приложения между НДС и ДДС должна существовать определенная связь. В связи с этим представляет интерес сравнить свойства непрерывных моделей и их дискретных аналогов, а также определить условия их перехода друг в друга.
Результаты и их обсуждение
Отметим вначале, что непрерывные модели и их дискретные аналоги, вообще говоря, обладают разными свойствами. Например, «правило смены знака», утверждающее, что знакопеременность непрерывной функции влечет наличие корня, не выполняется для разрывных, а значит и дискретных функций. В то же время дискретные модели, при определенных условиях, могут сохранять свойства аналогичных им непрерывных моделей. В работе [8] показано, что даже такое экзотическое свойство как «2-хаос» может сохраняться при переходе от непрерывных моделей к их линейным дискретным аналогам. Рассмотрим этот вопрос шире, исследуя связь между НДС и ДДС для различных моделей эволюции и нелинейных алгоритмов дискретизации. Пусть модель НДС задана системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
X ' , = Пх(П,п), (1)
где х=(х/=1,2.....к - вектор фазовых переменных
размерности к; х(^)=х0 - начальные условия (н.у.);
- вектор законов эволюции; t - время, w -матрица эволюции (параметры). В одномерном и двумерном случаях соответственно будем использовать сокращенные обозначения
х ' = Ях,^/), (1.1)
х ' = Г(х,м/), у' = д(х,^), (1.2) Этим непрерывным моделям эволюции можно поставить в соответствие множество дискретных образов - линейных или нелинейных, с сохранением или изменением размерности и др. Свойства получаемых образов зависят от алгоритмов дискретизации и, вообще говоря, различны (неоднозначность обратных задач). Рассмотрим, например дискретный образ системы (1), полученный разложением ее неизвестного решения х(Т) в ряд вблизи н.у. х(^+е) и х0+Х у0)е+1/2х"Ц0)е2+..., где е>0 - шаг дискретизации. Перепишем это соотношение в рекуррентной форме с учетом (1) и получим дискретный нелинейный аналог ДДС второго порядка с сохранением размерности
х„+1 =Хп+ПХп,и/)е+1/2 ПХп,и/)е2+0(е3)^. (2) где п=0,1,2,...,Ы - моменты дискретного времени, f't - полная производная, О - малая величина порядка е3. В общем многомерном случае детализация этих соотношений достаточно громоздка. В частных случаях для одномерных и двумерных систем они соответственно упрощаются хп+1 и хп+^е(1+1Ш'пе) (2.1)
хп+1 ихп+^е+У'хп!+ 'уПдп)е2/2=1=, Ул+1«Ул+дле+(д 'ш^п+д 'упдп)е2/2=в, (2.2) здесь двойной нижний индекс обозначает соответствующие частные производные. Отметим, что соотношения (2.1) и (2.2) совпадают с алгоритмами метода Эйлера второго порядка для численного решения одного ОДУ и системы из двух ОДУ соответственно [9,10]. Подчеркнем еще раз, что соотношение (2) - это только один пример из бесконечного множества возможных алгоритмов дискретизации НДС. Другие алгоритмы можно найти в справочниках по численным методам
вычислений, а также в наших работах [11,12]. Сравним равновесные и неравновесные свойства моделей (1) и (2) с учетом устранимых и неустранимых погрешностей цифровых
компьютерных вычислений, которые, как правило, используются при анализе моделей эволюции. Критерием оценки погрешностей дискретизации выберем среднеквадратичное отклонение
Д = ЕДП = Z(x*n-xnf/N, (3) где х*- точное (или принятое за эталон в случае отсутствия точного) решение.
Равновесия. «Истинные» равновесия НДС (1) описываются алгебраическими уравнениями кратности
f = 0. (4)
Система (4) в общем случае может иметь любое число решений - нуль (неравновес-ность), одно (моноравновесность), два и более (мультиравновесность). Неподвижные точки (н.т.) ДДС (2), соответствующие равновесиям (4), находятся из условий xn+1=xn=x и описываются алгебро-дифференциальными уравнениями
кратности (индексы опущены)
s(f+1/2f't е) и 0. (5)
Связь между (4) и (5) определяется видом функций f и величиной шага дискретизации е. При этом возможны следующие случаи: 1) 0<е<<1 - тогда ДДС мгновенно становится равновесной, т.е. число и координаты н.т. ДДС и равновесий НДС могут отличаться (квазиравновесие); 2) 0<<е<1 - тогда число и координаты н.т. ДДС определяются уравнениями f+1/2f'tE&0 и близки к равновесиям НДС при малых е, но начинают «отходить» от них с ростом е (истинные и ложные равновесия); 3) е>1 -тогда число и координаты н. т. ДДС значительно отличаются от равновесий НДС (только ложные равновесия). Реализация того или иного случая на цифровых компьютерах зависит от погрешностей метода дискретизации, алгоритма, программной реализации, архитектуры процессора и др. Для малой размерности эти случаи сводятся к утверждению.
Критерий ложной мультиравновесности. Одномерные и двумерные ДДС вида (2), соответствующие НДС вида (1), обладают ложными н.т. тогда и только тогда, когда
f X = -2/е, 0<<е<<1 (5.1)
f+1/2(f ffx+g f У)е=0,
g+1/2(f g X+g g У)е=0, (5.2) Отсюда следует, что линейные ДДС не допускают ложных н.т., а нелинейные ДДС могут иметь любое число ложных н.т. Могут ли они быть устойчивыми?
Устойчивость. В общем случае устойчивость НДС (1) в первом приближении определяется к комплексными корнями (собственными числами) ее характеристического уравнения XD-a1Xk-^ + .+(-1)kak=0, где ст-i^Zdet-i \dfj/dxj \, a2=Zdet2 \df/dxk \, ..., ak=detk\dfj/dxk\; det/ - определитель порядка /=1,...,к. Критерием устойчивости НДС (1) являются условия [10]
ReA < 0, (6)
где ЯеА, - вещественные части. Бифуркационное значение Яе^=0 определяет гиперповерхность нейтральности НДС. Для одномерного и двумерного случаев (6) соответственно примут вид
а-, < 0. (6.1)
(ст1+0)/2<0 (при С>0), а,<0 (при С<0), где 0=а12-4а2. (6.2)
В общем случае устойчивость ДДС (2) определяется комплексными корнями (мультипликаторами) уравнения цк-у1цк-1 + ...+(-1)кук=0, где
\dFJdXj\, у2=Zdet2 \дР/дхк\, ..., ук ^е^ \дFj/дxk \. Критерием устойчивости ДДС (2) являются условия [13]
\ц\< 1, (7)
где \ ц \ 2=Яец+1шц, 1шц - мнимые части комплексных корней. Бифуркационное значение \ ц \ =1 определяет гиперповерхность нейтральности ДДС. Для одномерного и двумерного случаев случая соотношения (7) соответственно запишутся -1< у- < 1. (7.1)
-1<(у1±Е)/2<1 при Е=(у12-4у2)1/2>0,
-1 <(у-2+Е2)1/2/2<1 при Е<0. (7.2) Связь между (6) и (7) определяется видом функций f и F в моделях (1) и (2) и в общем многомерном случае описывается громоздкими выражениями. Конкретизируем эту связь для частных случаев маломерных моделей эволюции в виде следующего утверждения.
Критерий устойчивости. Одномерные и двумерные ДДС вида (2), соответствующие НДС вида (1), устойчивы тогда и только тогда, когда соответственно
о о
(8.1)
-2< f'е +1/2(/п"/п+/ 'п2)е2 < 0,
-1< \ (FХп+в'yn)±(FХпвУп-УпвХп)/2 \ <1.(8.2) Из этих соотношений следует, что ДДС может быть устойчивой не только для устойчивых, но и для неустойчивых НДС. Вблизи истинных равновесий условия (8.1) примут вид -2</'е(1+1/2/'пе)<0, т.е. устойчивость н.т. ДДС и равновесий НДС различна. Вблизи ложных н.т. условия (8.1) примут вид 0</п"/п+4/е <0, что невыполнимо, т.е. ложные равновесия одномерных ДДС - неустойчивы. Для многомерных случаев этот вопрос будет рассмотрен ниже на примерах. Отметим также, что этот критерий позволяет правильно оценить «границу» между НДС и ДДС только в грубом (линейном) приближении. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Простейшая НДС вида (1) с линейной правой частью и н.у. х(0)=1,
X'=wx = /, (9)
имеет точное решение х(/)=ехр(^ и одно равновесие Хм=0. Ее ДДС-аналог (2) имеет вид
хп+1 = xn+wxn6(1+1/2w6). (10) Уравнение (5) для н.т. ДДС (10) принимает вид wxе(1+1/2wе)«0 и разрешимо при: 1) 0<е<<1 -тогда ДДС быстро становится равновесной, т. е. число и координаты н. т. ДДС и равновесий НДС могут отличаться (квазиравновесие); 2) 0<<е - тогда число и координаты н.т. ДДС совпадают с равновесиями НДС и имеют вырожденную ложную н.т. при w*«-2/е*. Критерий устойчивости (6.1) для
НДС (9) запишется w<0, откуда следует, что НДС теоретически должна быть устойчива независимо от е. Однако, на практике наблюдаемая устойчивость определяется свойствами ДДС (10), для которой критерий (8.1) дает —2<W6(1+1/2w6)<0. Например, при w=-10 получим, что ДДС (10) устойчива при е<е*=0.2, см. рис. 1.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1) е=0.1, Д=0.004
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
2) е=0.15, Д=0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
3) е=0.2, Д=0.4 4) 6=0.3^1, Д=4^4000
Рис. 1 - Зависимости х(1) для ДДС (10) при -10 (сплошная - точное решение, пунктир -дискретный аналог)
Численный анализ показал, что при е<«0.1 дискретная модель ведет себя аналогично непрерывной. С ростом е>0.1 ее свойства изменяются настолько существенно, что не только полностью перестают соответствовать свойствам оригинала, но становятся прямо противоположным им. Критическое значение е*=0.2 соответствует верхнему моменту бифуркации «непрерывное-дискретное», т.е. точке потери соответствия между непрерывным источником и его дискретным аналогом. Уменьшение шага дискретизации до некоторых пор также сохраняет свойства модели-оригинала, но затем (при е<10-18) вновь ведет к росту погрешности вычислений из-за архитектурных ограничений цифровых машин [9]. ДДС (10) сохраняет свойства НДС-оригинала (9) только в «узкой» области ее (0,0.1], вне которой они качественно различны. Отметим, что расчеты выполнялись непосредственно по формуле (10), т. к. стандартные программы, например МАТЬЛБ, плохо работают при малых и больших шагах.
Пример 2. Нелинейное ОДУ с параболической правой частью и н.у. х(0)=0
X'=х2-1 = /, (11)
имеет точное решение х(/)=-ш(/) и два равновесия Хм=±1. Его ДДС-аналог (2) имеет вид
Хп+1 = Хп+(Хп -1)е(1+Хпб).
(12)
Уравнение (5) для н.т. этой ДДС е(х2-1)(1+хе)и0 разрешимо при: 1) 0<е<<1 - тогда ДДС быстро становится равновесной, т. е. число и координаты н.т. ДДС и равновесий НДС могут отличаться (квазиравновесие); 2) 0<<е<1 - тогда число и координаты н.т. ДДС совпадают с равновесиями ДДС при малых е; с ростом е начинает проявляться ложное равновесие хложн=-1/е. Критерий устойчивости НДС (11) примет вид 2х<0 и означает, что равновесие хм=-1 - устойчиво, а Хм=1 -
неустойчиво. Наблюдаемая устойчивость определятся свойствами ДДС (12) по критерию (8.1), который принимает вид -2<2x+(3x2-1)e<0. Отсюда следует, что в устойчивом равновесии XM=-1 ДДС (12) устойчива при е<е*=1 и неустойчива в противном случае. В неустойчивом равновесии xM=1 эта ДДС неустойчива, т.к. условие устойчивости принимает вид е<е*=-1 и нереализуемо. При этом ложное равновесие ХлОжн=-1/е устойчиво при 1<е<1 +V2. Численный анализ показал, что при малых шагах е<1, дискретная модель ОДУ ведет себя аналогично непрерывной. Ложное равновесие даже в области устойчивости не оказывало заметного влияния на поведение ДДС. Критическое значение е*=1 соответствует верхнему моменту бифуркации «НДС-ДДС». С ростом е>1 ее свойства быстро изменяются и уменьшается соответствие между НДС и ДДС, см. рис. 2. Уменьшение е вначале также сохраняет свойства НДС, но при очень малых значениях ведет к росту погрешности вычислений, но уже не из-за специфики алгоритма дискретизации, а из-за архитектурных ограничений цифровых компьютеров (типа IBM PC).
1) е=0.5, Д=0.0004
2) е=1, Д=0.01
3) е=1.1, Д=0.07
4) е=2, Д=103.5
Рис. 2 - Зависимости х(1) для ДДС (12) (сплошная - точное решение, пунктир - дискретный аналог, штрих-пунктир - ложные равновесия)
ДДС (12) сохраняет свойства НДС-оригинала (11) только в «узкой» области ее (0,1], вне которой они качественно различаются.
Пример 3. Нелинейное ОДУ с гиперболической правой частью и сингулярностью в нуле
х'=1/х = ^ х(0)=1, (13)
имеет точное решение х(^=^+1У12 и не имеет истинных равновесий. ДДС-аналог (2) запишется
хп+1 = хп+(е/хп)[1-е/(2хп2)]. (14) Уравнение (5) для н.т. ДДС (14) принимает вид (е/х^-е/^ )]и0 и разрешимо при: 1) 0<е<<1 -тогда ДДС быстро становится равновесной, т.е. число и координаты н.т. ДДС и равновесий НДС могут отличаться (квазиравновесие); 2) 0<<е<1 -тогда число и координаты н.т. ДДС совпадают с равновесиями ДДС при малых е; с ростом е появляется два ложных равновесия хложн=+(е/2)1/2. Критерий устойчивости НДС (13) примет вид -1/х2<0
и выполняется для любых вещественных х., т.е. теоретически НДС должна быть всегда
устойчива.. Наблюдаемая устойчивость определятся свойствами ДДС (14) по критерию (8.1), из которого следует, что ДДС (14) устойчива при 1 -2x2/е<3е/(2x2)<1 (выполнимо при любых е) и неустойчива в противном случае. Отсюда следует, что оба ложных равновесия неустойчивы. Численный анализ показал, что при е<1, дискретная модель ведет себя аналогично непрерывной. При 1<е<2 начинается заметное проявление различий между ДДС и НДС. Критическое значение е*и2 соответствует моменту бифуркации и потере соответствия между НДС и ДДС. Ложные равновесия оказывали влияние на поведение ДДС только при этом критическом значении - в этом случае ДДС оставалась в ложном, причем неустойчивом, равновесии. Дальнейший рост е>2 ведет к существенному изменению свойств ДДС, которая сохраняет устойчивость на малых временах, но быстро теряет ее на больших временах (рис. 3).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
1) е=0.5, Д=0.008
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
2) е=1.5, Д=0.38
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
3) е=2, Д=1.6 4) е=2.5, Д=115
Рис. 3 - Зависимости х(1) для ДДС (14)
Отметим, что при уменьшении е вначале ДДС также сохраняет свойства НДС, но при очень малых е погрешности вычислений растут из-за ограничений архитектуры цифровых машин. ДДС-модель сохраняет свойства НДС-оригинала только в «узкой» области ее(0,1], за исключением ложных равновесий, а вне этой области они качественно различаются.
Пример 4. Двумерная НДС, описываемая системой двух линейных ОДУ
х' = -х-у^ у =х-у=д, х(0)=х0, у(0)=у0, (15) имеет периодическое решение x(t)=exp(-t) (x0cost-У^т/), y(t)=exp(-t)(xosint+y0cost) и одно истинное равновесие x=y=0. Собственные числа НДС Х=-1+/, т.е. критерий устойчивости (6.2) всегда выполняяется и равновесие является устойчивым фокусом. ДДС находится с помощью (2.1) хп+1 = хп-(хп+уп)е+упе ,
уп+1 = уп+(хп-уп)е-хпе . (16)
Мультипликаторы ДДС ц=(е-1)(-1+е/), т.е. критерий устойчивости (8.2) не всегда выполняется и н.т. не всегда является дискретным аналогом устойчивого фокуса. Условия (5.2) для н.т. ДДС (16) дают систему двух уравнений е(х+у+уе)=0, е(х-у^е)=0, которая разрешима при: 1) 0<е<<1 -
тогда ДДС мгновенно становится равновесной, т.е. число и координаты н.т. ДДС и равновесий НДС могут отличаться (квазиравновесие); 2) 0<<е<1 -тогда число и координаты н.т. ДДС совпадают с равновесиями НДС при малых е; с ростом е при е=21/2 появляется вырожденная особая точка, но ложных равновесий нет. Численный анализ показал, что в данном случае возможны следующие отличия ДДС от НДС: 1) при е=1 н.т. вырождается в узел; 2) при е>1 ДДС меняет знак на противоположный -зеркально отображается относительно горизонта; 3) при е>1.5 н.т. меняет устойчивость на противоположную - неустойчивый фокус; 4) при очень малых е линейный анализ устойчивости может оказаться недостаточным, см. рис. 4.
0123456789 10
1) 6=0.9, Д= 8.4e-4
01 23456789 10
2) 6=1, Д= 0.004
VrV
20 з: 40 50 а:
0 1o;olз:4:9:eo70E09:
3) е=1.5, Д= 0.03 4) е=1.6, Д= 1.9е+5
Рис. 4 - Зависимости х(И) для системы ДДС (18)
Уменьшение е вначале также сохраняет свойства НДС, но при очень малых значениях ведет к росту погрешности вычислений из-за архитектурных ограничений цифровых компьютеров. ДДС (16) сохраняет свойства НДС-оригинала (15) только в «узкой» области ее(0,1], вне которой они качественно различаются.
Таким образом, исследована взаимосвязь между непрерывными и дискретными моделями эволюции. Проведен сравнительный анализ их равновесных и неравновесных свойств. Сформулированы критерии ложной
мультравновесности и устойчивости дискретных нелинейных аналогов второго порядка для одно- и двумерных непрерывных систем. На примере маломерных динамических систем показано, что дискретные модели эволюции сохраняют основные
свойства соответствующих непрерывных моделей только при малых шагах дискретизации 6<6*~1. При этом могут появляться ложные устойчивые и неустойчивые равновесия, отсутствующие в исходной непрерывной системе. С ростом шага дискретизации дискретная модель становится все более неустойчивой, затем качественно изменяется и, наконец, полностью перестает соответствовать непрерывному источнику. Бифуркационное значение, соответствующее моменту перехода непрерывной модели в дискретную (и обратно), можно считать 6*«2. В зависимости от используемых алгоритмов дискретизации и их параметров истинные и ложные равновесия могут менять устойчивость и искажать истинные свойства исследуемых непрерывных моделей. Аналогично и дискретным моделям можно поставить в соответствие непрерывные аналоги, которые будут сохранять свойства оригиналов в некоторой области параметров. Пересечение этих областей является зоной их взаимозаменяемости без потери существенных свойств.
Литература
1. Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике, ГИФМЛ, Москва, 1963. 560 с.
2. В.И. Арнольд. Истории давние и недавние. ФАЗИС, Москва, 2002. 96 с.
3. www. scholarpedia. org/article/Encyclopedia_of_dynami-ca l_systems
4. demonstrations.wolfram.com/
5. sgtnd.narod.ru/science/atlas/rus/index.htm
6. sprott.physics.wisc.edu/
7. ww.math.uu.nl/people/kuznet
8. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Модели хаотической динамики. Часть 5. Дискретные инварианты. Вестник Казан. технол. ун-та (2014), в печати.
9. Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. Машинные методы математических вычислений, Мир, Москва, 1980. 280 с.
10. Г.Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, Наука, Москва, 1974.
11. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Вестник Казан. технол. ун-та, 2014, т. 17, № 6, с. 23-26
12. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Модели хаотической динамики. Часть 4. Одномерные инварианты. Вестник Казан. технол. ун-та (2014), в печати.
13. Кузнецов А.П., Савин А.В., Седова Ю.В., Тюрюкина Л.В. Бифуркации отображений. Саратов: Издательский центр «Наука», 2012. 196 с.
© В. Х. Федотов - канд. хим. наук, доц. каф. информационных систем ЧувГУ, fvh@inbox.ru; Н. И. Кольцов - д-р хим. наук, проф. каф. физической химии и ВМС ЧувГУ, koltsovni@mail.ru.
© V. Kh. Fedotov - Ph.D., associate professor of information systems department, Chuvash State University, fvh@inbox.ru; N. I. Koltsov - doctor of chemistry, professor, managing chair of physical chemistry and macromolecular compounds department, Chuvash State University, koltsovni@mail.ru.
