О непрерывной зависимости решений алгебро-дифференциальных систем от начальных данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №9/1(59).

УДК 517.926

151

О НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЙ АЛГЕБРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ1

© 2007 А.А. Щеглова2

Рассматривается нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений F(t, x(t), x'(t)) = 0, неразрешенная относительно производной искомой функции x(t) и тождественно вырожденная (8F/8X = 0) в области определения. В предположениях, обеспечивающих разрешимость задачи Коши для этой системы, исследуется проблема поиска и описания многообразия согласования. Это многообразие представляет собой некоторую гиперплоскость в Rn, на которой лежат начальные данные, при которых имеет решение соответствующая задача Коши. Доказан аналог теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных данных при условии, что последние лежат на многообразии согласования.

1. Постановка задачи

Рассматривается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

F(t, x(t), x'(t)) = 0, t e T = (0, +~), (1.1)

где n-мерная вектор-функция F(t, x, y) определена в области

D = {(t, x,y): t e T, ||x - x|| < *0, 1У - У11 < *1К R2n+1;

x(t) — искомая n-мерная вектор-функция; x, y e Rn — фиксированные значения; *0, *1 —положительные константы. Здесь и далее использованы обозначения: ||*|| —одна из норм в евклидовом пространстве; ф'(0 = — ф(0, ф(г)(0 = (j) ф(t) Уф(0 e C!(T).

Предполагается, что F(t, x, у) имеет в D достаточное число непрерывных част-

dF(t, x, у)

ных производных по каждому из своих аргументов и det------------ = 0 в D. Систе-

му

мы такого рода называются алгебро-дифференциальными (АДС). Мерой неразре-шенности АДС относительно производной искомой вектор-функции служит целочисленная величина r : 0 ^ r ^ n, называемая индексом.

Выберем t0 e T и специфицируем начальные условия

x(t0) = x0, (1.2)

где x0 — некоторый вектор из Rn.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президиума РАН №19 (грант №2.5) и президентской программы ’’Ведущие научные школы России” (грант НШ 9508.2006.1).

2Щеглова Алла Аркадьевна ([email protected]), Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664033, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134

Одной из особенностей АДС является отсутствие в общем случае непрерывной зависимости решений от начальных данных. Даже для линейной системы сколь угодно малое возмущение начальных данных может привести к тому, что возмущенная задача будет неразрешима в пространстве С1 (Т).

Пример 1. Размерность пространства решений АДС

0 1) х'(г) + (1 °)х® = ( ) • 'е Т

равна нулю, и единственное решение этой системы имеет вид

х(г) =

т - т

Ш

Поэтому поставленная начальная задача (1.2) разрешима лишь при одном значе-ЛСо) - /'(го)

нии x0 =

f2(t0)

В то же время исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений на устойчивость в смысле Ляпунова невозможно, если непрерывная зависимость решений от начальных данных отсутствует: само определение устойчивости подразумевает, что таковая имеет место. В работах по устойчивости АДС (см., в частности, [1-5]) рассматриваются либо линейные системы, либо частные случаи нелинейных АДС, причем ограничения, накладываемые на систему, обеспечивают наличие такой зависимости.

В статье решается задача поиска и описания многообразия согласования для нелинейных АДС общего вида (1.1) и обосновывается аналог теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных данных при условии, что последние лежат на указанном многообразии. Многообразие согласования представляет собой гиперплоскость в Rn в линейном случае, а для нелинейной АДС — некоторую поверхность в пространстве Rn, описываемую набором n - j конечных уравнений g(t, x) = 0, rank dg(t, x)/dx = n-d, где d — размерность многообразия (в линейном случае пространства) решений АДС. В примере 1 функция g(t, x) = x— ( f1(t). ,f2(t)

\ f2(t)

, dg(t, x)

rank-------- = n = 2. Очевидно, что исследование непрерывной зависимости реше-

dx

ний от начальных данных (впрочем также как и устойчивости) теряет смысл в случае d = 0.

2. Определения и обозначения

Определение 1. Система конечных уравнений

Fr (t, x, У, Z1,..., Zr) =

F(t, x, y) F1(t, x, y, Z1)

Fr(t, x, y, Z1,..., Zr)

= 0,

(2.1)

в которой х,у• I] е И", а функции Е](г, х,у,ц,...,I]), ] = 1,г, обладают свойством: для любой и-мерной вектор-функции ф(г) е С](Т) такой, что (г, ф(г), ф'(г)) е Ю, Чг е Т,

Р](г, Ф(г), ф'(г), ф"(г),..., ф(]+1)(г)) = 1^\ Е(г, ф(г), ф'(г)),

называется r-продолженной системой по отношению к АДС (1.1).

Определение 2. Решением задачи (1.1), (1.2) на интервале T называется n-мерная вектор-функция x(t) e C1(T), удовлетворяющая условию (1.2) и такая, что (t, x(t), x'(t)) e D, F(t, x(t), x'(t)) = 0 Vt e T.

Поставим в соответствие функции F(t, x, y) следующие объекты: матрицу размеров n(r + 1) X nr

Г r = Г r(t, x, y, Z1,..., Zr) = ( d Fr/dZ1 ... d Fr/dZr ),

квадратную матрицу порядка n(r + 1)

Гг = ( d Fr/dy гr ) и матрицу размеров n(r + 1) X n(r + 2)

Dr = (d Fr/дx Гг ).

Допустим, что для любой точки t0 e T векторы x0,y0, Z1,0, ...,Zr,0 e Rn такие, что (t0, x0, y0) eD и

Fr(t0, x0,y0, Z1,0,..., Zr,0) = 0. (2.2)

Если при этом ранг матрицы Dr в точке а = (t0,x0,y0,Z1,0,...,Zr,0) полный, т.е.

rank Dr (а) = n(r + 1), (2.3)

то для системы конечных уравнений (2.1) выполняются все условия теоремы о неявной функции [6. С. 66], согласно которой из системы (2.1) в соответствующей области можно выразить п(г + 1) компонент вектора colon (x, y, Z1,..., Zr)3 (обозначим их буквой Ч) как функции переменной t и остальных n компонент этого вектора (будем обозначать их п)

Ч = Ш п) (2.4)

V(t, п) e w = {(t, п) : t e (t0 - т, t0 + т) с T, ||п - П01 < *п}, где т > 0, *п — некоторая константа;

Ч ' = P colon (x, y, Z1,..., Zr); ( 40 ) = P colon (x0, y0, Z1,0,..., Zr,0); (2.5)

п п0

Ч, Чо e Rn(r+1), п, п0 e Rn, P — матрица перестановок.

Поскольку матрица Dr имеет размеры n(r + 1) X n(r + 2), то в общем случае неособенный минор порядка п(г + 1) матрицы Dr(а), в соответствии с которым определяются функции (2.4), неединственен. Будем искать этот минор следующим образом. В матрице Гг(а) выберем s = rankГг(а) (s ^ п(г + 1)) линейно независимых столбцов, в состав которых должно войти максимально возможное число первых n столбцов этой матрицы. Дополним эти столбцы п(г + 1) - s линейно независимыми столбцами вычисленной в точке а матрицы д Fr /dx, которая представляет собой первые n столбцов матрицы Dr(а). Полученные п(г +1) линейно независимых столбцов составят искомый минор. При этом s ^ nr.

Определение 3. Описанный выше неособенный минор порядка п(г + 1) матрицы Dr(t0,x0,й1,...,ar+1) назовем разрешающим.

Далее функции (2.4) будем считать соответствующими разрешающему минору.

Обозначим Gr(t, п) матрицу, получающуюся при подстановке функций (2.4) в Г r (t, x, y, Z1,..., Zr).

3Здесь colon (ci, c2,..., cn) =

ci

C2

c

n

3. Многообразие согласования

Лемма 1. Пусть:

1) F(t, x,y) e Cr+1(D); ___

2) для любой точки t0 e T существуют векторы x0,y0, Zj,0 e Rn (j = 1, r) такие, что

(t0,x0,y0) eD и имеют место равенства (2.2), (2.3);

3) rank Gr(t, п) = p = const V(t, п) e W;

4) разрешающий минор матрицы Dr(а) включает в себя p столбцов матрицы Гг(а) и n первых столбцов матрицы Гг(а).

Тогда в окрестности W каждой точки (t0,п0) (см. (2.5)) определена неявная

функция, удовлетворяющая системе (2.1) и имеющая вид4

y = f(t, x2), x1 = f0(t, x2), Z1 = f1(t, x2,Z2),

(3.1)

(3.2)

(3.3)

где функции /, /0, /1 имеют непрерывные частные производные по каждому из аргументов;

' ^1

= в1 X ( ? I = в2

x1

x2

Zr

(3.4)

x1 e Rnr p, x2 e Rp n(r 1), Z1 e Rp, Z2 e Rnr p; Q1 и Q2 — матрицы перестановок строк.

Доказательство. В силу предполагаемой условием 4) структуры разрешающего минора в неявной функции (2.4), (2.5)

Ч = colon (y, x1, Z1), п = colon (x2, Z2),

где переменные x1, x2, Z1, Z2 связаны с переменными x, Z1,...,Zr соотношениями (3.4). Таким образом, функция (2.4) представлена в виде

y = f(t, x2, Z2), x1 = f0(t, x2, Z2), Z1 = f1(t, x2, Z2).

(3.5)

В соответствии с предположением 1), по теореме о неявной функции /, /о, /1 будут иметь на своей области определения непрерывные частные производные по каждому из своих аргументов.

Подставим (3.5) в Гг (г, х, у, ц,..., 1Г), тем самым получим матрицу Ог (г, п) = Ог (г, -2,72).

Найдем матрицу Якоби системы (3.5) по переменным 7ь 72

J(t, x2, Z2) =

O -дf (t, x2, Z2)/dZ2

O -df)(t, x2, Z2)/dZ2 Ep -df1(t, x2, Z2)/dZ2

(3.6)

Согласно теореме о производной неявной функции [6. С. 73] dy/dZ2

dx1/dZ2

dZ1/dZ2

= -( д F /dy д F /dx1 д Fr /7 )-^ д Fr /д72). (3.7)

4Подразумевается, что неявная функция находится в соответствии с разрешающим минором.

Умножим матрицу Г г (г, х, у, ц,---, 1г) = (д % /д71 д % /<972) 62 слева на матрицу (д % /ду д Гг /д-1 д % /д7^ . С учетом (3.7) будем иметь

(дFr /9y дFr /дxl дFr /дZlj Гr =

O -дy/дZ2

O -дxl/дZ1 Ep -дZl/дZ2

Q2.

Подставим в полученное выражение функции (3.5) и затем умножим его справа на матрицу Q-1. В результате получим представление для матрицы J

J(t, x2, Z2) = H(t, x2, Z2)Gr(t, x2, Z2) Q-1, (3.8)

где H(t, x2, Z2) — это матрица (д Fr /9y д Fr /дx1 д Fr /д7\} , в которую подставлены функции (3.5). Следовательно, матрица H будет обратимой всюду на своей области определения W.

В силу связи (3.8) предположение 3) леммы влечет за собой равенство

rank J(t, x2, Z2) = p = const V(t, x2, Z2) e W.

Ввиду последнего обстоятельства из представления (3.6) для матрицы J(t, x2,72) следует

дf(t, x2, Z2) д^, x2, Z2)

J J = O, 2 2 = O V(t, y2, Y2) eW.

д72 д72

Это означает, что в (3.5) функции f и f не зависят от переменной Z2.

Замечание 1. Наименьшее значение г (0 ^ г ^ n), при котором выполняются условия леммы 1, называется индексом неразрешенности относительно производной системы (1.1) [2].

Опираясь на лемму 1, получим достаточный критерий локальной разрешимости задачи (1.1), (1.2).

Лемма 2. Пусть:

1) F(t, x,y) e Cr+2(D); ________

2) для любой точки t0 e T существуют векторы x0, y0, Zi,0 e Rn (i = 1, r + 1) такие, что точка a = (t0,x0,y0,Z1,0,...,Zr+1,0) удовлеторяет (r + 1)-продолженной системе

Fr+1(t, x, y, Z1,..., Zr+1) = 0 (3.9)

и rank Dr (а) = n(r + 1), где а = (t0, x0, y0, Z1,0,..., Zr,0);

3) rank Gr(t, п) = p = const всюду в окрестности W точки (t0, п0), где n-мерный вектор п0 является подвектором (см. (2.5)) вектора colo^x0,y0,Z1,0,...,Zrp);

4) разрешающий минор матрицы Dr(а) включает в себя p столбцов матрицы Гг(а) и n первых столбцов матрицы Гг(а);

5) rankГг+1(а) = rankГг(а) + n .

Тогда для любого t0 e T найдется т = T(t0) > 0 такое, что на интервале

TT = (t0 - т, t0 + т) с T существует решение задачи (1.1), (1.2) x„(t) e C2(Tt), которое

также является решением системы уравнений

x2(t) = ф2(t, x2(t)), x1 (t) = f)(t, x2(t)), t e Tx, (3.10)

где colon(x1(t),x2(t)) = Q1 x(t), Q1 — матрица перестановок из (3.4).

Доказательство. В сделанных предположениях из леммы 1 вытекает существование непрерывно обратимого оператора Л такого, что

Л[Тг (t, x, y, Zl,..., Zr)] =

y - f (t, X2)

Xi - Mt, X2) Z1 - f1(t, x2, Z2)

(3.ii)

Переменные -1, -2, 71, 72 связаны с переменными х, ц,..., гг соотношениями (3.4). Очевидно, что оператор Л обладает свойством

Л[0] = 0. (3.12)

Опишем действие оператора Л с помощью нелинейной функции наиболее общей структуры

Л [%г(г, х, у, 11,..., 1г)] = (313)

= ь(г,х,у,ц,..., 1г,Е(г,х,у),Е1(г,х,у, г1),...,Ег(г,х,у,ц,..., гг)), ( . )

определенной в некоторой окрестности иа точки а = (го,хо,уо,£1,о,...,гг,о).

В предположениях леммы функция Ь имеет непрерывные частные производные по своим аргументам г, х, у, 11, ..., гг, Е, Е1, ..., Ег до второго порядка включительно. Свойство (3.12) в терминах функции Ь записывается в виде

Ь (г, х, у, г1,..., 1г, о,..., о) = о У(г, х, у, Ц,..., гг) е^а .

Обратимся к уравнению (3.1). Умножим его слева на матрицу перестановок строк 61 из (3.4). В обозначениях ( у1 | = 61у, ( 41 ^ х2) | = 61 /(г, х2) полученную

\ у2 ) \ ф2<Л х2) )

систему можно представить как

у ^ (3.14)

у2 = ф2(г, х2).

Размерности векторов у1 и у2 совпадают с рамерностями векторов х1 и х2 из (3.4). Рассмотрим п-мерную вектор-функцию

Я (г, х, у, £и..., гг, Е, Еи..., Ег) =

= ( 0„г-р Еп 0р )( 61 ЕПГ)Ь (г, х, у, ги..., гг, Е, Еи..., Ег). (3 5)

Здесь и далее нижний индекс у нулевых матриц указывает число столбцов в этих матрицах.

Из (3.11), (3.13), (3.15) следует, что У (г, х,у, ц,..., гг) е^а

Я (г, х, у, г1,..., 1г, Е(г, х, у), Е1 (г, х, у, гО,..., Ег (г, х, у, г1,..., гг)) =

у2 - Ч2(г, х2)

f (t ) Г (3.16)

x1 - f0(t, x2) 1

Так же, как и функция L, функция R обладает на своей области определения иа непрерывными частными производными второго порядка по своим аргументам и

R(t, x, y, Z1, . . . , Zr, 0,..., 0) = 0 V(t, x, y, Z1, . . ., Zr) e U . (3.17)

Пользуясь определением частной производной, нетрудно показать, что аналогичным свойством обладают и частные производные функции R по переменным

t, x, y, Z1,..., Zr, а именно в точках (t, x, y, Z1,..., Zr, 0,..., 0) при всех значениях

(t, x, y, Z1,..., Zr) e U

О О О О

-R = 0, — R = 0, — R = 0, — R = 0, j = 1,2,..., r. (3.18)

дt дx дy дzj

Введем в рассмотрение функцию

R1 (t, x, y, Z1, ..., Zr+1, F, F1,..., Fr+1) =

= дR I дR дR дR дR \

" + " дy -Z1 ". дz,

-R дR дR

-t \ -x dy -Z1 - ft, 1C0l0n(y,Z1......г'+° + (3.19)

+ O -f -f1 ••• w, lF+1(t,x,y,Z1....................Z'+1)

Функция Я1 построена по правилу: для любой п-мерной вектор-функции х(г) е Сг+2(Тт) такой, что при всех г е Тт для некоторого малого т > о значения (г, х(г), Х'(г),..., Х(г+2)(г)) принадлежат области иа,

Я (г, х(г), х'(г),..., х(г+2)(г), е (г, х(г), х'(г)),..., Ег+1(г, х(г), х'(г),..., х(г+2)(г)) =

= ^ х(г), х' (г),..., х(г+1)(г), Е(г, х(г), х'(г)),..., ег (г, х(г), х'(г),..., х(г+1)(0)).

Поэтому с учетом (3.16)

Ri(t, x, y, zi,..., Zr+i, F, Fi,..., Fr+i) =

Zl, 2

У1

дф2 <dt dfo

дt

дф2

-X2

-/о

-X2

y2

y2

(3.2О)

где colon (Z1,1, Z1,2) = Q1Z1.

Рассмотрим (r + 1)-продолженную систему (3.9). Неявная функция (3.1)—(3.3) обращает в тождества ее первые n(r +1) уравнения. Проанализируем оставшиеся n уравнений: Fr+1(t, x, y, z1,..., z,+1) = 0. Подставив сюда функцию (3.1)—(3.3), получим

Fr+1(t, x2, Z2, Zr+1) = 0. (3.21)

Предположение 5) леммы гарантирует полноту строчного ранга матрицы

1 -F r+1 -F,+1 '

—Z2 —Zr+1

(?О, X2,0, ^2,О, Zr+1,о),

где X2fi и Z2,о находятся из соотношений

Xl,0

X2,0

= Qi xо,

Zl,о

Z2,0

= Q2

Zl,0

Zr,0

Согласно предположению 2) леммы, точка (?о, Хо, Ъ2,о, іг+і,о) удовлетворяет системе (3.21). Таким образом, для этой системы выполняются все условия теоремы о неявной функции, согласно которой из (3.21) можно выразить п компонент вектора со1оп(Ъ2, гг+і) (обозначим их Ъ2д) как функции переменных Ї, Х2 и остальных компонент этого вектора (будем обозначать их Ъ2,2) в виде

Z2,1 = f2(t, x2, Z2,2).

(3.22)

Итак, получена неявная функция (3.1)—(3.3), (3.22), обращающая в тождество систему (3.9).

Поскольку у функции Я имеются свойства (3.17), ( 3.18), то из представления (3.19) следует, что функция (3.1)—(3.3), (3.22) в некоторой окрестности иа точки а обращает в тождественный ноль левые части равенств (3.16) и (3.20), а следовательно, удовлетворяет системе

У2 = ф2& X2), Xi = fo(t, X2), дф2 дф2 dfo dfo

z1,2 = -7— + Д— y2, y1 = -7- + Д— y2.

dt dx2 dt dx2

В последнее уравнение подставим выражение для У2 из (3.23)

—/о(?, X2) dfo(t, X2)

У1 =

dt

—X2

Ф2(?, X2).

(3.23)

(3.24)

(3.25)

С другой стороны, функция (3.1)—(3.3) удовлетворяет уравнению (3.14). Отсюда следует, что уравнения (3.14) и (3.25) суть одно и то же.

Положив

(yi H x2;t; )=* M xi )=( sit: )=q^ <3*>

поставим в соответствие системе конечных уравнений (3.23) систему дифференциально-алгебраических уравнений (3.10) при некотором малом т > 0.

По построению точка а = (t0,x0,y0,zi,0,...,zrfl) удовлетворяет как системе (2.1), так и системе (3.1)—(3.3). Тогда вектор начальных данных (1.2) должен удовлетворять при t = t0 уравнению (3.2). В этом случае решение x*(t) задачи (3.10),(1.2) будет определено и единственно на интервале Tx и, кроме того, x*(t) e C2(Tt).

Очевидно, что при подстановке функция x„(t) обращает уравнения (3.23), (3.24) в тождества на интервале Tt. Следовательно, она удовлетворяет и уравнению (3.25). А это означает, что x*(t) обращает в тождество и уравнение (3.14). При этом в (3.14), (3.23)—(3.25), переменные следует понимать в смысле (3.26). Ввиду того, что неявная функция (3.23), (3.14) удовлетворяет уравнению F(t, x,y) = 0, это означает, что функция x„(t) обращает уравнение (1.1) в тождество на Tt.

Следующая теорема утверждает существование многообразия согласования для АДС в форме (1.1). Из доказательства, приведенного ниже, вытекает, что функция g(t, x), описывающая это многообразие, является частью неявной функции (2.4), соответствующей разрешающему минору матрицы Dr(o). Причем размерность многообразия решений системы (1.1) равна d = p - n(r -1) и rank —) =

дx

= n - d.

Теорема 1. Пусть выполнены все предположения леммы 2.

Тогда для любого t0 e T найдется т = т(-0) > 0 такое, что на интервале Tx = (t0 - т, t0 + т) существует семейство решений системы (1.1) x(t, с), rank-x(-, с)/дс = p - n(r - 1). При этом каждое решение x(t) АДС (1.1) из этого семейства удовлетворяет для любого t e Tx системе уравнений

g(t, x(t)) = 0, (3.27)

где g(t, x) — (nr - p)-мерная вектор-функция, имеющая по своим аргументам непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности V точки (t0, x0), и V(t, x) e V

, дg(t, x)

rank —-----= nr - p. (3.28)

дx

Доказательство. Условия теоремы обеспечивают выполнение всех предположений леммы 1, согласно которой r-продолженная система (2.1) в некоторой окрестности «а точки а = (t0, x0, y0, zi,0,..., zr,0) эквивалентна системе (3.1)-(3.3).

Положим

g(t, x) = x; - f0(t, x2). (3.29)

Из доказательства леммы 1 с учетом условия 1) леммы 2 следует, что g(t, x) —

(nr - p)-мерная вектор-функция, и g(t, x) e C2(V), где V — некоторая окрестность точки (t0, x0).

Обозначим Xi = colon (y, Z;), X2 = Z2, где переменные Z; и Z2 определяются вторым из соотношений (3.4). Тогда систему (3.1)—(3.3) можно записать в виде

X =)gl(tоx, X2), (3.30)

g(t, x) = 0.

В условиях теоремы в соответствии с леммой 2 найдется интервал

Tx = (t0 - т, t0 + т), на котором определено решение x*(t) e C2(Tf) системы (1.1),

отвечающее начальному условию (1.2). При этом функция x„(t) должна удовлетворять Vt e Tf nr - p связям (3.27). В силу полноты ранга матрицы D, в некоторой окрестности точки а, в области V будет выполняться равенство (3.28). ________

Выберем векторы x0,y0,Zjy0 e Rn (j = 0,r + 1) таким образом, чтобы: 1) x0 Ф x0;

2) F,+i(t0,Ю,y0,Zi,0,...,Zr+1,0) = 0; 3) g(t0,^0) = 0; 4) точка a = (t0,^0,y0,Zi,0,...,Zr+1,0) принадлежала области Ua, в которой остается неособенным минор (г + 2)-го порядка матрицы Dr+i, в соответствии с которым при доказательстве леммы 2 находилась неявная функция (3.1)-(3.3), (3.22), удовлетворяющая системе (3.9); 5) соответствующая точка (t0, %) оставалась в области W постоянства ранга матрицы Gr(t, п). Тогда по лемме 2 на некотором интервале T% = (t0 - т, t0 + т) существует решение jc*(t) e C2(Tf) АДС (1.1), отвечающее начальному условию x(-0) = JC0. При этом x*(t) будет удовлетворять уравнению (3.27) Vt e Tf.

Можно утверждать, что найдется интервал Tt, на котором определено семейство решений системы (1.1) x(t, с). Каждое решение этого семейства обращает уравнение (3.27) в тождество на Tt. Причем в соответствующей области V имеет место равенство (3.28).

Поскольку в равенстве (3.29) векторы x1 и x2 имеют соответственно размерности nr - p и p - n(r - 1), то rank -x(-, с)/дс = n - (nr - p) = p - n(r - 1).

4. Непрерывная зависимость решений от начальных данных

Теорема 2. Пусть имеют место все предположения леммы 2. Тогда для любого t0 e T найдутся 60 > 0 и т = т(-0) > 0 такие, что для начальных данных

x(t0) = x0 (4.1)

с произвольным вектором jt0 e Rn : ||jc0 - x0|| < 60, удовлетворяющим при t =

= t0 системе конечных уравнений (3.30), в которой функция g(t, x) обладает свойством (3.28), на интервале T% = (t0 -т, t0 + т) определено решение x*(t) задачи (1.1),

(4.1). Причем вектор-функция x*(t) e C2(Tt) обращает уравнение (3.27) в тождество на Tt.

Доказательство. Пусть a = (t0, x0, y0, zi,0,..., zr+i,0) — точка, фигурирующая в формулировке леммы 2. Тогда в соответствии с доказательством этой леммы существует окрестность Ua этой точки, в которой система (3.9) эквивалентна системе уравнений (3.1)-(3.3), (3.22). Систему (3.1)-(3.3), (3.22) можно представить в следующей форме:

Zi = g2(t, x, Z2), g(t, x) = 0, (4.2)

где Zl = colon (y, Z;, ZaD , Z2 = Z2,2; colon (Z;, Z2,1, Z2,^ = Q3 colon (zi,..., Zr+i), Q3 — матрица перестановок строк.

Обозначим Zl,0 = colon (j0, Z;,0, Z2,l,^ , Z2,0 = Z2,2,0, где

colon (Z;,0, Z2,l,0, Z220) = Q3 colon (zi,0, . . ., Zr+1,^ ,

размерности векторов Z;,0, Z2,i,0, Z2,2,0 совпадают с размерностями векторов Z;, Z21, Z2,2 соответственно. По построению векторы Zl,0 и Z2,0 удовлетворяют первому из уравнений (4.2) при t = t0, x = x0.

Поскольку по теореме о неявной функции g2 (t, x, Z2) в (4.2) должна иметь непрерывные частные производные по своим аргументам, то за счет выбора Х0

и -Г2,о: ^(го,-хо) = о, ||хо - хоУ < 6о, Н^о - ^2,о У ^ §1 (§о, §1 —достаточно малые положительные числа) можно найти значение ^1,о = §2(г, .хо, ^2,о) такое, что

^1,о \ _ ( *1,о

^ . . . |, ^ §2 при любом сколь угодно малом §2 > о.

Х2,о / \ Х2,о

По построению точка (5 = (го,хо,уо,21,о,...,2г+1,о), где

О \( ^1,о

colon (y0, Zi,0,..., Zr+1,0) = O Q-1 п -7

\ O Q3 / \ Z2,0

удовлетворяет системе (4.2), а следовательно, и системе (3.9). Значения 60 и 6. можно выбрать достаточно малыми для того, чтобы a находилась в области Ua, в пределах которой минор порядка n(r + 2) матрицы Dr+i, в соответствии с которым находится неявная функция (4.2) сохраняет ненулевое значение. Это обстоятельство влечет за собой выполнение равенства rank rr+;(a) = rank Г,(а), а = (t0,JC0,y0,Zi,0,...,zrfi), а также тот факт, что разрешающий минор матрицы D,(а) включает в себя p столбцов матрицы Г,(а) и n первых столбцов матрицы г, (а).

Таким же способом можно добиться того, чтобы соответствующая точка (t0, %),

где п0 определяется из соотношения ( | = P colon (x0, y0, Zi 0,..., Z,0) (P — мат-

\ п0 I

рица перестановок из (2.5)), принадлежала области постоянства ранга матрицы Gr(t, п).

На основании изложенного выше по лемме 2 найдется интервал Tt, на котором существует решение x,(t) задачи (1.1), (4.1), причем x,(t) e C2(Tt), кроме того, функция x,(t) удовлетворяет на T% системе (3.1), (3.2), в частности, уравнению (3.27) со свойством (3.28).

Следующая теорема представлет собой аналог теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных данных. Она утверждает, что все решения АДС

(1.1) непрерывно зависят от своих начальных данных, если эти последние лежат на одном и том же многообразии согласования.

Теорема 3. Пусть выполнены все условия леммы 2. Тогда для любого t0 e T существует т = т(-0) > 0, и для любого е > 0 найдется 6 = 6(e) > 0 такое, что как только ix - x01| < 6, так ||x(t) - x,(t)|| < е Vt e Tt, где x,(t) — решение на T% системы

(1.1), отвечающее начальному условию (1.2), x(t) —решение на T% системы (1.1), удовлетворяющее начальным данным (4.1) с вектором Х0 e Rn : g(t0, x0) = 0.

Доказательство. В сделанных предположениях по лемме 2 для любого t0 e T найдется т > 0 такое, что решение x,(t) будет определено на интервале Tt. В соответствии с теоремой 2 задача (1.1),(4.1) также будет иметь на T% решение x(t) при достаточно малом 6. При этом x(t), x,(t) e C2(Tt) и функции x,(t), x(t) Vt e T% удовлетворяют системе (3.1), (3.2), в которой следует считать y = x'(t), colon(x., x2) = = Q1 x(t). В частности, эти функции удовлетворяют уравнению

x'(t) - f(t, x2(t)) = 0, t e Tx, (4.3)

где f(t, x2) имеет на своей области определения непрерывные частные производные второго порядка по своим аргументам.

По теореме о непрерывной зависимости решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4.3) от начальных данных [8. C. 68] для любого е > 0 найдется 6 = 6(e) > 0 такое, что как только ||x0 -x0|| < 6, так ||x(t)-x,(t)|| < е Vt e T%.

5. Иллюстративный пример

Изложенную выше теорию проиллюстрируем на модельном примере. Пример 2. Рассмотрим однородную АДС

№ xW, ,W)=( ^ X2,r )=o, t є (О,

. +от),

(5.1)

Xi(t)

где X(t) = X2(t) . Построим для нее 2-продолженную систему

F2(t, X, y, Zl, Z2) =

X2yi + Xi

X22 - X2 У2 У1 + X2 Zl,1 + У1 2X2y2 - y2 Zl,2yi + 2y2Zl,1 + X2Z2,1 + Zl,1 2y2 + 2x2Zi,2 - z1,2

= О,

(5.2)

где X = вид

Xl

X2

y=

У1

y2

Zj =

= 1 Zji = Zj,2

, j = 1,2. Матрица D2 = D2(t, x, y, z1, z2) имеет

( 1 yi (

О 2 X2 - 1

D2 = О О Zl,1 2y2 Г2 , Г2 =

0 Z2,1

1 0 2Zi,2 / V

X2 О 0 О 0 О

О О 0 О 0 О

i + y 2 yi X2 О 0 О

О 2X2 - i 0 О 0 О

Zl,2 2zi,i 2y2 + 1 yi X2 О

О 4y2 0 2X2 - i 0 О

Пусть 1о € (0, +«>), поставим для системы (5.1) задачу Коши

Х1(?о) = 2, х2(^) = 1.

Найдем многообразие согласования, на котором располагаются заданные начальные значения.

Одним из решений а = (х1; х2, уь у2, г1у1,г1,2, щ,12,2) системы конечных уравнений (5.2) при х1 = 2, х2 = 1 является точка а = (2,1, -2,0,2,0, -2,0). В точке а = (2,1, -2,0,2,0) матрица

Di(a) =

\

i -2 1 О 0 0

0 1 0 О 0 0

0 2 1 -2 1 0

О 0 L 0 i 0 J 0

имеет полный ранг по строкам и rank ri(a) = 1. Разрешающий минор матрицы Di(a) выделен пунктиром. Из 1-продолженной системы (т.е. из первых 4-х уравнений системы (5.2)) найдем неявную функцию, соответствующую разрешающему минору,

У1 = -Xl, У2 = 0,

X2 = 1, (5.3)

Zl,1 = Xl.

Подставив найденные связи в матрицу x,y, zi), найдем

Gi(t, n) =

0 0 0 0

1 0 00

Очевидно, rank G1(t, n) = p = 1 Vn =

xi

Zi,2

€ R2 Vt € (0, +то). Легко вычислить,

что rankГ1(а) = 3 и rankГ2(а) = 5.

Таким образом, все условия леммы 2, а следовательно, теорем 1-3 выполнены. Равенство (5.3) определяет функцию g(t, x), описывающую многообразие согласования,

g(t, x) = Х2 - 1 = 0. (5.4)

Причем rank dg(t’x) = rank(0 1) = 1. Семейство решений АДС (5.1), лежащее на дх

многообразии согласования (5.4) (см. формулировку теоремы 1), имеет вид

x1(t, С1)

x(t, с) =

x2(t, С2)

с1е

1

где С1, с2 € И — произвольные постоянные. Поскольку функция х(£, с) зависит только от С1, размерность многообразия решений й = 1. Согласно теореме 3, все решения этого семейства непрерывно зависят от своих начальных данных.

Система (5.1) обладает не одним многообразием согласования и соответственно не одним семейством решений.

Зададим другие начальные данные

x1(t0) = x2(t0) = 0.

(5.5)

Тогда одним из решений системы (5.2) является точка а = (0,0,0,0,0,0,5,5).

Как и в предыдущем случае, обведем пунктиром разрешающий минор матрицы Б1, вычисленной в точке а = (0,0,0,0,0,0),

01 (а) =

1 0 0 0 0 0

0 -1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 -1 0 0

Очевидно, что rank D1(cx) = 4, rank Г1(сх) = 2 и rank Г^а) = 0. В данном случае соответствующая разрешающему минору неявная функция (2.4) принимает вид

y1 = y2 = 0, x1 = x2 = 0.

Z1,1

Следовательно, G1(t, n) = O и rankG1(t, n) = p = 0 Vn = I *'1’1 I € R2 Vt € (0, +ro).

\ z1,2 I

Поскольку rankГ2(й) = 4, то в отношении начальных данных (5.5) теоремы 1-3 также справедливы.

Многообразие согласования задается уравнением

g(t, x) =

x1

x2

=0

(5.6)

и rank dg(t’x) = rank( 1 0 | = 2. Семейство решений АДС (5.1), лежащее на мно-

dx \ 0 1 )

гообразии (5.5), исчерпывается единственной интегральной кривой

x1(t) = x2(t) = 0, t € (0, +го),

поэтому размерность многообразия решений в этом случае равна нулю.

Других многообразий согласования, кроме уже построенных (5.4) и (5.6), у системы (5.1) не имеется.

Заключение

Цетральную роль при доказательстве теорем о существовании многообразия согласования и о непрерывной зависимости решений от начальных данных играет лемма 2, которая фактически утверждает эквивалентность систем (1.1) и (3.10) в смысле решений. Эта эквивалентность понимается в локальном смысле, поскольку, как показано в разделе 5, система вида (1.1) может иметь не одно многообразие согласования. Система (3.10) (в частности, многобразие согласования) находится как часть компонента неявной функции, удовлетворяющей г-продолженной системе (2.1) и соответствующей специальным образом выбранному минору матрицы Бг.

Подчеркнем, что лишь существенно нелинейная (нелинейная по х') АДС может иметь более одного многообразия согласования. Можно показать, что в случае линейной или квазилинейной (линейной по х') системы многообразие согласования будет единственным.

Если для заданных начальных данных (1.2) не существует векторов у0, цр € И" (г = 1, г) таких, что выполняется равенство (2.2), это означает, что эти начальные данные не лежат ни на одном из многообразий согласования рассматриваемой системы. В этом случае задача Коши (1.1), (1.2) будет неразрешима.

Из доказательства леммы 2 вытекает факт, отдельно нигде в статье не сформулированный. А именно, что решение системы (1.1), если оно существует, удовлетворяет системе вида х'(£) = /(?, х2(0), которая является дифференциальным аналогом системы (3.1). Этот факт позволил воспользоваться при доказательстве теоремы 3 известной из теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме теоремой о непрерывной зависимости решений от начальных данных.

Литература

[1] Щеглова, А.А. Устойчивость линейных алгебро-дифференциальных систем / А.А. Щеглова, В.Ф. Чистяков // Дифференциальные уравнения. - 2004. -Т. 40. - №1. - С. 47-57.

[2] Чистяков, В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков, А.А. Щеглова. - Новосибирск: Наука, 2003. - 430 с.

[3] Hanke M. On asymptotics in case of index-2 differential-algebraic equations / M. Hanke, E.I. Macana, R. Marz. - Humboldt-Universitat Berlin, Institut fUr Mathematik. Prepr. - Berlin, 1997. - No. 3.

[4] Lamour, R. How Floquet-theory applies to differential-algebraic equations / R.Lamour, R. Marz, R. Winkler. - Preprint 96-15. Berlin: Institut fUr Mathematik der Humboldt-Universitat zu Berlin, 1996.

[5] Muller, P.C. Stability and optimal control of nonlinear descriptor systems: A survey / P.C. Muller // Appl. Math. and Comp. Sci. - 1998. - V. 8. - No. 2. -P. 269-286.

[6] Шилов, Г.Е. Математический анализ (функции нескольких вещественных переменных), части 1-2 / Г.Е. Шилов. - М.: Наука, 1972.

[7] Бояринцев, Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. - Новосибирск: Наука, 1988.

[8] Петровский, И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. - М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1949.

Поступила в редакцию 3/IX/2007; в окончательном варианте — 3/IX/2007.

ON THE CONTINUOUS DEPENDENCE OF SOLUTIONS OF ALGEBRAIC DIFFERENTIAL SYSTEMS ON THE INITIAL DATA

© 2007 A.A. Shcheglovaf

We consider the nonlinear systems of ordinary differential equations F(t, x(t), X (t)) = 0 that are not solved with respect to the derivative of the desired vector function x(t) and degenerate identically (dF/dx' = 0) in the domain of definition. We investigate the questions of research and description of the consistence manifold under the assumptions guaranteeing solvability of the Cauchy problem for the system. This manifold represents some hyperplane in Rn on which the consistent initial data lie. The latter are such that the corresponding Cauchy problem is solvable. We prove the analog of theorem about the continuous dependence of solutions on the initial data when the initial data lie on the consistence manifold.

Paper received 3/IX/2007. Paper accepted 3/IX/2007.

5 Shcheglova Alla Arkad’evna (shchegiaicc.ru), Institute for System Dynamics and Control Theory Siberian Branch RAS, Irkutsk, 664033, Russia.