Локальная r-управляемость в ноль нелинейных алгебро-дифференциальных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2011. Т. 4, № 4. С. 101-115

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского

государственного

университета

УДК 517.977.1, 517.922

Локальная И-управляемость в ноль нелинейных алгебро-дифференциальных систем *

П. С. Петренко

Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск

Аннотация. Рассматривается управляемая система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенная относительно производной искомой вектор-функции и тождественно вырожденная в области определения. Допускается произвольно высокий индекс неразрешенности. Получены условия локальной И-управляемости в ноль (ноль-управляемости в пределах множества достижимости) такой системы по ее первому линейному приближению. Показано, что в линейном случае И-управляемость влечет за собой локальную И-управлемость в ноль.

Ключевые слова: дифференциально-алгебраические уравнения; нелинейная система; И-управляемость по первому приближению

1. Введение

Рассматривается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

^(£, х(£),х'(£),и(£)) = 0, £ € I = (а0 — е,а0 + е), (1.1)

где п-мерная вектор-функция ^(£,х,у,и) определена в области

V = {(£,х,у,и) : £ € I; ||х||, ||у||, ||и|| < Ко} С К2га+1+1;

х(£) — искомая п-мерная вектор-функция; и(£) — 1-мерная функция управления; Ко, е — положительные константы. Здесь и далее использованы обозначения: || * || — одна из норм в евклидовом пространстве, ф'(£) = ^|Ф(£)’ фМ(£) = (Ф(£) Уф(£) € °г(1 )‘

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 10-01-00132.

Предполагается, что Г(£, х, у, и) имеет в V достаточное число непрерывных частных производных по каждому из своих аргументов и

ёе! 9Р(£,х,у,и) =0 Ш(£,х,у,и) € V . ду

Cистемы такого рода называются алгебро-дифференциальными (АДС). Мерой неразрешенности АДС относительно производной искомой вектор-функции служит целочисленная величина г : 0 < г < п, называемая индексом.

Анализ проводится при допущении, что функция Г обладает свойством

Г(£, 0, 0, 0) = 0 € I. (1.2)

Работа посвящена исследованию локальной И-управляемости в ноль линейных и нелинейных АДС. И-управляемость (управляемость в пределах достижимого множества) означает возможность перехода АДС

(1.1) из любого согласованного начального состояния в любое состояние из достижимого множества за счет выбора вектор-функции управления. Под достижимым множеством понимается объединение по всем возможным согласованным начальным векторам хо всех множеств состояний, в которые АДС может быть переведена из хо за конечный промежуток времени при соответствующих достаточно гладких управлениях. Под локальной И-управляемостью в ноль подразумевается возможность перехода АДС (1.1) из любого согласованного и достаточно малого по норме начального состояния в ноль за счет выбора управления, подчиняющегося некоторому условию близости к нулю.

Начальное состояние

х(£о) = хо (1.3)

(хо € — заданный вектор) считается согласованным, если существу-

ет решение АДС (1.1), удовлетворяющее условию (1.3).

Исследование линейных и нелинейных АДС проводится в предположении существования структурной формы, называемой ’’эквивалентной” [1, 2], в которой разделены ’алгебраическая” и ”дифференциаль-ная” подсистемы.

2. Определения и обозначения

Определение 1. Система конечных уравнений

7г (t, x, y, z1, • • • , %т ,u,v1, ■ ■ ■ ,г^т) —

( Г (£, х,у,и) \

Е1(г,х,у,Х1,и,У1) =

У Г (г,х,у,г1,.. .,Хг ,и,У1, •••,vr■) )

0,

(2.1)

в которой x, y, Zj G Rn; u, Vj G R1, а функции Fj(t, x, y,z1,..., Zj,u, v\,

.Vj) (j = 1, r) обладают свойством: для любых двух вектор-функций Ф(Ь) G Cj+1(1), ф(^ G Cj(I) (n и l-мерной соответственно) таких, что ^,ф(^,ф/(t), ф(t)) G D Vt G I,

Fj(t, Ф(^, Ф' (t),ft'(t), ■■■, ф{j+1)(t),ф(t), ^j)(t)) =

= (dt) F(^ф(^,ф/(t),ф(t)), называется r-продолженной системой по отношению к АДС (1.1).

Поставим в соответствие функции F(t,x,y,u) следующие объекты: матрицу размеров n(r + 1) х nr

Г r,z = Г r,z (t! x,yi Z1,...,Zr ,U,V1,...,Vr ) = ( 9 Fr I dz1 ■■■ 9 Fr / dzv^) ,

квадратную матрицу порядка n(r + 1)

Гг,у = (d Fr/dy rr,z)

и матрицу размеров n(r + 1) х n(r + 2)

Гг,ж = (d Fr/dx rr,y) .

В соответствии с предположением (1.2) точка t = ао, x = y = Zj = 0, u = Vj =0 (j = 1,r) удовлетворяет продолженной системе (2.1). Обозначим эту точку ar = (а0, 0,..., 0), тогда Fr (ar) = 0. Если при этом rankrr,x(ar) = n(r + 1), то для системы (2.1) выполняются все условия теоремы о неявной функции [3, с. 66], согласно которой из (2.1) можно выразить n(r + 1) компонент вектора colon (x,y, z1,..., Zr) 1 (обозначим их буквой £) как функции переменных t,u,V1,...,Vr и остальных n компонент этого вектора (будем обозначать их п):

£ = C(t,V,u,V1,...,Vr), (t,n,u,V1,...,Vr) GW, (2.2)

где W = Io х W; Io = (ао - £о, ао + eo) ^ 1, 0 < eo < e; W С Rn+1(r+1)

— окрестность точки п = 0,u = V1 = ... = Vr = 0;

colon (£, n) = P colon (x,y, z1,...,zr),

£ G Rn(r+1), n G Rn, P - матрица перестановок строк.

Поскольку матрица Гг,х имеет размеры n(r + 1) х n(r + 2), то в общем случае неособенный минор порядка n(r + 1) матрицы Гг,х(ar), в соответствии с которым определяются функции (2.2), неединственен.

1 colon (ci, С2,. . . ,Cn) = ( cj cj ... cj )T .

Будем искать этот минор следующим образом. В матрице Гг,у(ar) выберем д = rankrr,y(ar) (q < n(r + 1)) линейно независимых столбцов, в состав которых должно войти максимально возможное число первых n столбцов этой матрицы. Дополним эти столбцы n(r + 1) — д линейно независимыми столбцами вычисленной в точке ar матрицы d Fr /dx, которая представляет собой первые n столбцов матрицы Гг,х (ar). Полученные n(r + 1) линейно независимых столбцов составят искомый минор. При этом q > nr.

Определение 2. Описанный выше неособенный минор порядка n(r +

1) матрицы Гг,х (ar) назовем разрешающим.

Далее функции (2.2) будем считать соответствующими разрешающему минору.

Обозначим Гr,z(t,n,u,V1,...,Vr) матрицу, получающуюся при подстановке функций (2.2) в rr,z (t, x,y,Z1,..., Zr ,u, V1,..., Vr).

3. Эквивалентные формы 3.1. Нелинейная АДС

Пусть F(t,x,y,u) G Cr+1(D). Кроме того, выполнены условия:

A) Fr+1(ar+1) = 0, rankr^x(ar) = n(r + 1);

B) rankrr,z (t, n,u,V1,...,Vr) = p = const всюду в области W;

C) разрешающий минор матрицы Гг,х(ar) включает в себя p столбцов матрицы rr,z(ar) и n первых столбцов матрицы Гг,у(ar).

Определение 3. Наименьшее целое r, при котором выполнены условия A), B), C), будем называть индексом АДС (1.1).

Определение 4. Вектор-функцию u(t) : I ^ R1 будем называть допустимым управлением для АДС (1.1), если u(t) G Cr (I) и Vt G I

colon (u(t),u(t), ..., u(r)(t) j G U, где U — некоторая окрестность нуля в пространстве R1(r+1).

Определение 5. Пусть u*(t) — допустимое управление для АДС

(1.1). Решением системы F(t,x(t),x/(t),u*(t)) = 0, t G I, называется n-мерная вектор-функция x*(t) G C1(I), обращающая это уравнение в тождество на I при подстановке.

В статье [2] показано, что при выполнении определенных условий АДС (1.1) эквивалентна в смысле решений системе

x1(t) = f1(t,x1(t),u(t),u (t),.. .,u(r)(t)), (3.1)

Х2(г) = /о(г,Х1(г),и(г),и (г),...,и(т\г)), г е 1о с I, (3.2)

где функции /1 : № ^ Ип-Й, /о : № ^ И определены и имеют

в области № непрерывные частные производные по каждому из своих аргументов; со1оп(х1(г),х2(г)) = Qx(t), — матрица перестановок

строк. Там же указан способ построения системы (3.1), (3.2). Она получается как часть компонент неявной функции (2.2), удовлетворяющей г-продолженной системе (2.1).

Зафиксируем точку г0 е 10 и зададим для АДС (3.1), (3.2) начальные данные

Х1(го) = Х1,о, Х2(го) = Х2,о, (3.3)

где Х1,о е Ип-а, Х2,о е Ий.

Предположим, что существуют векторы По,У]_,о, . . . ,Уг,о е И1 такие, что выполняется равенство

Х2,о = /о(го,Х1,о,ио,У1,о, ..., Уг,о). (3.4)

Тогда управление и*(г), удовлетворяющее ограничениям

и(го) = ио, и^^о) = У^уо, 3 = 1,г, (3.5)

Г

можно, в частности, искать в виде и*(г) = ^ Ьг(г — го)г. Легко про-

г=о

верить, что коэффициенты Ьг е И1 найдутся единственным образом:

Ьо = ио, Ь] = туVjfl. Очевидно, что при достаточно близких к нулю

значениях ио,11],о это управление будет допустимым.

Если задача (3.1)-(3.3) имеет на 1о решение Х*(г), соответствующее допустимому управлению и*(г), то должно выполняться включение

(Х*(г),Х*(г),и*(г)^ е V vt е 1о,

где V С И2п+1 — некоторая окрестность точки Х = 0,у = 0,и = 0. Для обеспечения этого условия векторы Х1>о,Х2>о,ио^]>о (3 = 1,г) в (3.3)-(3.5) должны быть по норме достаточно близкими к нулю.

Теорема, сфомулированная ниже, представляет собой достаточный критерий локальной разрешимости задачи Коши (1.3) для АДС (1.1).

Теорема 1. [2] Пусть:

1) ^(г,Х,у,и) е сг+2(Р);

2) выполнены условия А), В), С);

3) гапкГг+1;У(аг+1) = гапкГГ;У(аг) + п.

Тогда Vt0 е 1о найдутся 8 > 0 и т = т(го) > 0 такие, что для любых векторов Хо е И”, ио^],о е И1 (т = 1,г), удовлетворяющих связи (3.4) и таких, что ||хо||, ||ио||, Н^оН < 8, на интервале 1Т = (го — т,го +

т) С Io определено решение x*(t) є C2(IT) задачи (З.І), (З.2), (І.З), где x0 = Q-1 colon (x1>0, x2,0). При этом x*(t) является на IT решением задачи (І.І), (І.З). В (З.І), (3.2) и (І.І) u(t) є Cr(IT) — допустимое управление, удовлетворяющее ограничениям (З.5).

Определение б. АДС (З.І), (З.2) будем называть эквивалентной формой для системы (І.І) на интервале IT.

Определение Т. Начальное условие вида (І.З), удовлетворяющее соотношению (З.4), где colon(x1>0, x2,0) = Qx0, u0(t) = u(t0), Vj,0 = u(j)(t0) (j = 1,r), будем называть согласованным с системой (І.І).

3.2. Линейная АДС

Свойство (1.2) позволяет определить матрицы

A(t) = 9F (tfy'u)(t, 0, 0,0), B(t) = 9F {t'X'y'U)(t, 0,0,0),

д y 9x

U(i) = 9f(t,x,y,u) 0,0,0).

9u

Тогда АДС

A(t)xf(t) + B(t)x(t) + U(t)u(t) = 0, t є I,

(З.6)

будет системой первого приближения для системы (1.1). Матрицы

Dr,z (t) =

Cl A(t)

1

ClA'(t)+ C22B(t)

O

C|A(t)

O O

\ ClA(r-1)(t) + Cr2B(r-2)(t) Cr2A(r-2)(t) + Cr3B(r-3)(t) ... Cl A(t) )

Dr,y (t)

( Co A(t)

/ C0 Af (t) + CjB(t) \

\ Cr?A(r)(t) + ClB(r-1)(t) )

( ( B(t) \

B (t)

о \

Dr,z (t)

/

Dr,® (t)

V

\

Dr,y (t)

/

\б(г)(і))

являются соответственно аналогами матриц Г^, Ггу и Гг,х для линейной системы (3.6). Здесь и далее С? (і, і = 0,г) — биномиальные коэффициенты.

Определение 8. Система линейных алгебраических уравнений 0Г;Х (Ь) ео1оп(х, у, г1,...,гг) + иг (Ь) ео1оп(и, у1,...,уг ) = 0, где х, у, г] е Яга; и, у- е Я1, ^ = 1, г;

Ur (t) =

( ClU(t) о ... о \

ClU (t) C22U (t) ... о

\с^и (r)(^) с?и (r-1)(^) ... с; и со /

называется г-продолженной системой по отношению к системе (3.6).

В статье [1] показано, что в некоторых предположениях существует определенный единственным образом линейный дифференциальный оператор

^ = Я0(Ь) + Я1(Ь)+ ... + Яг(Ь) ((3-7)

dt dt

с непрерывными на I коэффициентами, преобразующий систему (3.6) к виду

r

xl(t) + Jl (t)xl(t) + '^2 Hj (t)u(j)(t) = 0, (3.8)

j=o

r

x2(t) + J2(t)xl(t) + ^ Gj(t)u(j)(t) = 0, t Є I, (3.9)

j=o

где colon (x1 (t),x2(t)) = Qx(t), вектор-функции x1(t) и x2(t) имеют размерности n - d и d соответственно;

(g°(£) G^i) ... G^t) ) = (Ro(t) Rl(t) ... Rr(t))Ur(t)

( J2(t) ) = (Ro Rl ... Rr )colon [в, б1,..., B(r)) Q ( Еп—

Кроме того, в [1] получена формула для вычисления коэффициентов Rj(t), (j = 1 ,r), и показано, что оператор (3.7) имеет левый обратный.

Теорема 2. [1] Пусть:

1) A(t),B(t),U(t),u(t) Є C2r+1(I),

2) rankDr,z (t) = p = const Vt Є I,

3) в матрице Dr,x (t) имеется разрешающий минор,

4) rankDr+1>y (t) = rankDr,y (t) + n Vt Є I.

Тогда любое решение системы (З.б) будет решением системы (3.S), (3.9) и наоборот.

Определение 9. Систему (3.8), (3.9) будем называть эквивалентной формой для АДС (3.6).

Теорема 2 позволяет получить критерий существования и единственности решения задачи (3.6), (1.3).

Следствие 1. Пусть выполнены все предположения теоремы 2. Для того, чтобы задача (3.6), (1.3) имела решение, необходимо и достаточно выполнения равенства

Г

%2,0 + І2(го)хі,о + ^ О](го)и(])(го) = 0, (3.10)

]=о

где еоіоп(х1)о,х2,о) = х0. При этом, если решение задачи (3.6), (1.3) существует, то оно единственно.

Определение 10. Начальное условие (1.3), удовлетворяющее равенству (3.10), будем называть согласованным с системой (3.6).

Вернемся к АДС (1.1). Пусть имеют место все предположения теоремы 1. Свойство (1.2) гарантирует, что в системе (3.1), (3.2)

/і(г,0,...,0) = 0, /о(г,о,...,о) = о V*ЄІо.

Построим для АДС (3.1), (3.2) систему первого приближения.

Г

хі(г) — і (г)х1(г) — ^ н] (г)и(])(г) = 0, (3.11)

]=о

Г

х2(г) — ^2(г)хі(г) — ^О](г)и(])(г) = 0, г є Іо, (3.12)

]=о где і (г) = Щ (г, 0,..., 0), Кг) = Щ (г, 0,..., 0), щ(г) = Щ (г, 0,..., 0), H](гУ= Щ(г,0,...,0), Оо(г) = Щ(г,0,...,0), О3(г) = Щ(г,0,...,0), І = 1,г.

Приведенная ниже теорема утверждает, что операции линеаризации и перехода к эквивалентной форме перестановочны.

Теорема 3. [2] Пусть:

I) ^(г,х,у,и) Є С2г+2(V);

2) выполнены условия А, В, С;

3) гапкГг+1;У(аг+1) = гапкГг,у(аг) + п ;

4) ^(г, 0,0,0) = 0 vг є і.

Тогда системы (3.8), (3.9) и (3.11), (3.12) совпадают на некотором достаточно малом интервале Іо = (ао — єо, ао + єо) С І, 0 < єо < є.

4. Условия локальной Неуправляемости в ноль

Определение 11. Система (3.8) называется полностью управляемой на отрезке Т = [Ь0, £1] С I, если для любых векторов х0,х1 € И”-найдется управление и(Ь) € Сг (Т) такое, что решение системы (3.8) будет удовлетворять условиям х1(Ь0) = х0, х1(Ь1) = х1.

Определение 12. Система (3.6) называется Я-управляемой на отрезке Т С I, если для любого согласованного вектора начальных данных х0 и любой точки х1 из множества достижимости М найдется управление и(Ь) такое, что решение х(Ь) системы (3.6) будет удовлетворять условиям: х(Ь0) = х0, х(£1) = х1.

Вектор х1 € И,™ называется достижимым в момент Ь1 из вектора начальных данных х0 € И”, если существует такое достаточно гладкое управление п(Ь), что решение задачи (3.6), (1.3) удовлетворяет условию х(Ь1) = х1.

Множество М(х0) С И” называется множеством достижимости из начального состояния х0 € И”, если оно состоит из векторов х1 достижимых из точки х0 в момент Ь1. Заметим, если начальные данные не являются согласованными, то М(х0) = 0.

Множество достижимости М определяется как объединение всех множеств достижимости из всех возможных согласованных начальных состояний [4].

В условиях теоремы 2 системы (3.6) и (3.8), (3.9) эквивалентны в смысле решений. Согласно определению 12 любая АДС вида (3.6), в эквивалентной форме которой (3.8), (3.9) отсутствует невырожденная составляющая (3.8), всегда И-управляема. Если же подсистема (3.8) присутствует (й < п), то под И-управляемостью АДС (3.6) можно понимать полную управляемость системы (3.8).

Заметим, что в силу свойства (1.2) начальное условие х(Ьо) = 0 является согласованным как с системой (1.1), так и с системой (3.1),

(3.2). В условиях теоремы 1 для системы (1.1) можно сформулировать следующее определение.

Определение 13. Система (1.1) (или система (3.1), (3.2)) называется локально Я-управляемой в ноль на отрезке Т = [£0,£1] С 1Т, если существует 5 > 0 такое, что для любого вектора х0 € И”-' -*: |М <5 найдется такое допустимое управление и0(Ь), что существует решение системы

х1 (£) = /1(£,х1(£),ио(£),и0(£),...,4г)(£)), Ь € Т, удовлетворяющее условиям х1(Ь0) = х0, х1(Ь1) = 0.

Рассмотрим систему (3.1), (3.2). Предположим, что функции /1 и /о определены и имеют непрерывные частные производные по каждому

из своих аргументов в T х V, где V — область изменения переменных xi,u,u',..., u(r), представляющая собой некоторую окрестность точки

0 (= Rn+1(r+i).

В обозначениях

Ji(t) = -f (t,0 ,0 ,..., 0) , J2(t) = -f (t,0 ,0 ,..., 0),

Hi(t) = - dUl) (t, 0 ,0 ,..., 0), Gi(t) = - dU0) (t , 0 ,0 ,..., 0), i = 0~r,

(4.1)

АДС (3.8), (3.9) будет системой первого приближения для системы

(3.1), (3.2).

Лемма 1. Пусть:

1) функции fl(t, xl,u,u/, ...,u(r)) и f0 (t,xl ,u,u' ,...,u(r)) определении имеют непрерывные частные производные по каждому из своих аргументов в области T х V;

2) fi(t, 0, 0,..., 0) = 0, f0(t, 0, 0,..., 0) = 0 Vt е T;

3) система первого приближения (3.8), (3.9) для АДС (3.1), (3.2) R-управляема на отрезке T.

Тогда система (3.1), (3.2) локально R-управляема в ноль на отрезке

T.

Доказательство. Рассмотрим систему (3.8). Выберем (п - ^)-мерные векторы pi = colon (0, ..., 0, ai, 0, ..., 0), где ai = 0 — i-ая компонента. Тогда векторы pi, i = 1,п - d, будут линейно независимы в Rn-d.

Условие 3) леммы означает, что система (3.8) полностью управляема на отрезке T. По определению 11 для каждого i = 1,n- d найдется управление vi(t) е Cr(T), гарантирующее существование единственного решения системы

r

x1(t) + Ji(t)xi(t) + ^ Hj(t)v(j)(t) = 0, t е T, (4.2)

j=0

удовлетворяющего условиям

xi(to) = Pi, xi(ti) = 0. (4.3)

Формально построим управление

n-d

u(t,y) = £ ViVi(t), (4.4)

i=1

где (yi,...,yn-d) = у — неизвестные параметры. Заметим, что при достаточно близких к нулю значениях уi управление (4.4) будет допустимым.

ЛОКАЛЬНАЯ Я-УПРАВЛЯЕМОСТЬ В НОЛЬ Очевидно, что решение х1(Ь,у) задачи

х^) = 0

для системы

х[(г,у) = /К^Ж!^),^,^),^(Ь,у), . . .,и(г\Ь,у)),

(4.5)

существует и единственно при любых достаточно близких к нулю значениях параметров. В частности, при у = 0, Ж1(г, 0) = 0 на Т. Кроме того, функция Ж1(Ь, у) в силу предположения 1) леммы будет иметь непрерывные частные производные по У1,... ,Уп-<1.

Покажем, что параметр у в (4.4) можно выбрать таким образом, что решение системы (4.5) будет удовлетворять условию

Ж1 (Ьо, у) = Жо

(4.6)

при любом векторе Жо € Кп-Й достаточно близком по норме к нулю. Тем самым теорема будет доказана.

Продифференцируем тождество (4.5) по у

( дх1(Ь,у) д/1 дх1(Ь, у)

М ду дх1 ду

3=0

ди(3) ду

Подставим в (4.7) значение у = 0. Принимая во внимание вытекающее из (4.4) равенство

ди(3)

ду

(г,0) = (43)(*) 4з)(г) ... 3d(^)

и обозначения (4.1), получим

( ду(Ь 0) + Ыг)д1 & 0) + 3^0 н3(Ь) (ь1з)(Ь) 43)(Ь)

(Ь ду

Из (4.8) следует, что столбцы £ матрицы

дх

3 ч (Ь)) = °. (4.8)

ду (г, 0) = &(г) £2 (г) ... £п-Лг))

являются решениями системы (4.2). В силу выбора в этой системе управлений Ьг(Ь) упомянутые решения должны удовлетворять аналогам условий (4.3), т. е.

й(Ьо) = Рг, Сг(Ь1)=0, г = 1,п- (.

Поэтому матрица

дх\ \

— (іо, 0)1 = diag (аі,а2,ап-<і) (4.9)

является неособенной.

Обратимся к равенству (4.6), которое будем рассматривать как систему п — й уравнений с п — й неизвестными у. Как было отмечено выше, значения хо = 0, у = 0 удовлетворяют этой системе. В силу неособенно-сти матрицы (4.9) для системы (4.6) выполняются все условия теоремы

о неявной функции, согласно которой при любых достаточно близких к нулю значениях х0 найдется решение этой системы у* = ф\(х0). □

Теорема 4. Пусть выполнены все предположения теоремы 2. Если система (3.6) Я-управляема на отрезке Т = [іо,іі], то она локально Я-управляема в ноль на этом отрезке.

Доказательство. Непосредственно из теоремы 2 следует, что если АДС (3.6) И-управляема или локально И-управляема в ноль на отрезке Т, то система (3.8), (3.9) обладает тем же свойством. Справедливо и обратное, т. е. при наличии соответствующего свойства управляемости у системы

(3.8), (3.9), то же свойство присуще и системе (3.6).

Очевидно, что любое решение системы (3.8) должно удовлетворять соотношению

хі(іі) = П(іі)хі(іо) + П(іі)) / П V) V И(т)и(з)(т) І йт,

-1 )и

*о У3=°

где 0,(Ь) — матрицант системы (3.8), т. е. решение матричной задачи Коши

п'(г) + ^(г)П(г) = 0, п(Ьо) = Еп-а.

Локальная И-управляемость в ноль АДС (3.6) или (3.8), (3.9) означает, что существует допустимое управление и (Ь), обеспечивающее выполнение равенства

0 = п(г1)х1>о + п(г1) / о-1(г) | £ н(т)и(3)(т) 1 (т (4.10)

I У=° )

при любом векторе х1)о € Кп-Й достаточно близком по норме к нулю.

В соответствии с изложенным выше И-управляемость АДС (3.6) равносильна полной управляемости системы (3.8). Известно [5], что система (3.8) вполне управляема на отрезке Т, если и только если для любого ненулевого вектора Н € Кп-Й на Т выполняется условие

нто-1(г) (Но(г) Н1(г) ... нг(г)) = 0. (4.11)

В (4.10) управление будем искать в виде

Г

u(t) = £ Yj(t - c)s+j, j=0

где c S T — фиксированное значение, s > 0 — достаточно большое целое число, Yj S R1 — неизвестные коэффициенты. Тогда

colon (u(t),u' (t),...,u(r)(t)) = Er (t) colon (yo,Yi,---,Yt ), (4.12)

где Er (t) =

1 S! (t - c)sE |S+| (t - c)s+iEi ... (t - c)s+r Ei ^

(S-rn(t - c)s-1 Et ^(t - c)sEt ... (t - c)s+r-1Et

(t - c)s-rEt ^+-^(t - c)s+1-rEt... M(t - c)sEt у

Умножив (4.10) слева на матрицу H(ti)-1 и подставив (4.12), полу-

чим

ti

-Xl,o = j ^-1(т )(Ho(т) ... Hr (т)) Er (т) colon (Yo,Yl,...,Yr).

to

В силу того, что матрица Ег(Ь) обратима УЬ € Т, с учетом условия (4.11) и непрерывности матричных коэффициентов системы (3.8) можно показать, что при достаточно большом значении в для всех ненулевых Н € И,п-4 выполняется соотношение НтN = 0, где

*1

N = J П-і(т )(Ио(т) Иі(т) ... Иг (т)) Ег (т )йт.

*0

Последнее означает полноту строчного ранга матрицы N. Таким образом, при достаточно большом в система (4.10) разрешима относительно неизвестных 7о,7і,...,7г при любом векторе хі>0:

ео1оп(7о,7і,...,7г) = —^ хі,о. (4.13)

Все матрицы, фигурирующие в формулах (4.12), (4.13), либо постоянны, либо непрерывны на Т, а следовательно, ограничены на Т. Поэтому, выбирая значения хі,о таким образом, чтобы ||хі;о|| < 5 при достаточно малом 5 > 0, можно добиться того, чтобы построенное управление и(і) было допустимым. □

Теорема 5. Пусть:

1) Е(і, х, у, и) є С2г+2(Я),и(і) Є С2г+і(І);

2) Е(і, 0,0,0) = 0 Уі є І;

3) выполнены условия А), В), С);

4) гапкГг+і;У(аг+і) = гапкГг,у(аг) + п.

Если система 1-го приближения (3.6) Я-управляема или локально Я-управляема в ноль на отрезке Т = [і0,іі] С Іт, то АДС (1.1) является локально Я-управляемой в ноль на этом отрезке.

Доказательство. В сделанных предположениях имеет место теорема 1, согласно которой на интервале Іо АДС (1.1) эквивалентна системе (3.1),

(3.2). По отношению к системе (3.1), (3.2) АДС (3.11), (3.12) является системой 1-го приближения.

Согласно лемме 1, если система (3.11), (3.12) И-управляема на некотором отрезке Т = [і0,іі], то система (3.1), (3.2) будет локально И-управляемой в ноль на этом же отрезке.

Из теоремы 1 следует, что решения системы (3.1), (3.2) на некотором интервале Іо будут также решениями системы (1.1) с начальными условиями х(і0) = 0,х(іі) = хі при одинаковом управлении. Это означает, что из И-управляемости или локальной И-управляемости в ноль системы (3.11), (3.12) следует локальная И-управляемость в ноль системы

(1.1).

С другой стороны, система (3.6) является системой 1-го приближения для АДС (1.1). Система (3.6) и ее эквивалентная форма (3.8),

(3.9) обладают одними и теми же свойствами управляемости. По теореме 3 система (3.8), (3.9) и система (3.11), (3.12) совпадают на некотором интервале Іт С Іо. Следовательно, они обладают свойствами И-управляемости и локальной И-управляемости в ноль одновременно.

Отсюда следует, что И-управляемость или локальная И-управляе-мость в ноль системы (3.6) на отрезке Т С Іт влечет за собой локальную И-управляемость в ноль системы (1.1) на этом отрезке. □

Список литературы

1. Щеглова А. А. Преобразование линейной алгебро-дифференциальной системы к эквивалентной форме / А. А. Щеглова // Тр. IX Четаев. Междунар. конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». -Иркутск : Изд-во ИДСТУ СО РАН, 2007. - Т. 5. - С. 298-307.

2. Щеглова А. А. Управляемость нелинейных алгебро-дифференциальных систем / А. А. Щеглова // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 10. - С. 57-80.

3. Шилов Г. Е. Математический анализ (функции нескольких вещественных переменных) / Г. Е. Шилов. - Ч. 1-2. - М. : Наука, 1972.

4. Dai L. Singular control system / L. Dai// Lecture notes in control and information sciences. - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg ; N. Y, 1989. - Vol. 118.

5. Mehrmann V. Descriptor systems: a general mathematical framework

for modelling, simulation and control / V. Mehrmann, T. Stykel // Automatisierungstechnik. - 2006. - N 8. - P. 405-415.

P. S. Petrenko

Local R-controllability to zero of nonlinear algebraic-differential systems

Abstract. We consider a control system of nonlinear ordinary differential equations unsolved with respect to the derivative of the desired vector function and identically degenerate in the domain of definition. An arbitrarily high index of unsolvability is allowed. The conditions of local R-controllability to zero (zero-controllability within the reachable set) of such system are obtained in terms of the first order linear approximation. In the linear case, it is shown that R-controllability implies local R-controllability to zero.

Keywords: differential-algebraic equations; nonlinear system; R-controllability in terms of the first order linear approximation

Аспирант, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664033, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова 134 ([email protected])

Post-graduate student, Institute for System Dynamics and Control Theory SB RAS, 664033, Russia, Irkutsk, Lermontov Str., 134 ([email protected])