О непараметрическом восстановлении матрицы наблюдений с пропусками в задаче оценки функции регрессии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневскце чтения

УДК 519.68

А. А. Корнеева, Н. А. Сергеева Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск

О НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ МАТРИЦЫ НАБЛЮДЕНИЙ С ПРОПУСКАМИ В ЗАДАЧЕ ОЦЕНКИ ФУНКЦИИ РЕГРЕССИИ

Исследуется задача восстановления матрицы наблюдений при оценивании функции регрессии по измерениям со случайными ошибками. Заполнение пропусков осуществляется с помощью непараметрической оценки кривой регрессии. Приводятся результаты численного исследования, иллюстрирующего эффективность работы предложенной методики.

На практике часто возникают случаи, когда дискретность измерения входных-выходных переменных исследуемого процесса может не совпадать. В результате матрица наблюдений состоит из полностью заполненных и незаполненных строк. Для решения задач идентификации [1], предпочтительно иметь выборки большего объема. Отсюда возникает проблема восстановления пропусков в не заполненных строках матрицы наблюдений.

Пусть дана выборка, состоящая из 8 независимых наблюдений случайных величин (х, у). При наличии случайных помех, действующих в каналах измерения [1], где х = (х1, х2,..., хт), имеются 5 измерений входной величины х. Измерение входной и выходной переменных производятся с разной дискретностью: дискретность измерений по х обозначим Д/, по у - ДТ , причем имеет место соотношение: Д/ <ДТ, т. е. данные обладают неполнотой по у. Ставится задача восстановления значений выхода и определения целесообразности их использования для задачи моделирования, т. е. будет ли оценка регрессии с участием восстановленных точек точнее, чем обычная (без учета добавочных значений).

Можно представить исходные измерения переменных в таблице.

Для восстановления значений выхода использовалась обычная непараметрическая оценка регрессии [2]

У5 (^ хт ) =

X у. П Ф с (.)

7=1 . =1 \ С5( 1)

5 т (х, - х ^

(1)

С5( . )

ХПФ

7=1 1=1

где Ф() - ядерная колоколообразная функция и С5 удовлетворяют некоторым условиям сходимости [2; 3].

Методика восстановления недостающих измерений в исходной матрице наблюдений состоит в следующем. Сначала восстанавливается функция регрессии по наблюдениям полностью представленным в исходной матрице измерений, т. е. по полностью заполненным строкам в результате эксперимента. Там, где наблюдения у пропущены, в оценку у5 (х1, х2,..., хт) подставляем значения измеренных х = (х1, х2,..., хт) и вычисляем соответствующую оценку у, которой восполняем недостающее наблюдение у (например, недостающая у1 в представленной выше матрице наблюдений (см. таблицу)). Следующий этап восстановления зависимости у от х = (х1, х2,..., хт) состоит в построении непараметрической оценки по всей имеющейся (заполненной) матрице наблюдений. Настройка непараметрической оценки функции регрессии по параметру размытости осуществляется в режиме скользящего экзамена при минимизации среднеквадратической ошибки аппроксимации.

Вычислительный эксперимент осуществлялся следующим образом. Была выбрана некоторая зависимость у = Лх), где х е [0; 3], 5 = 1331. Число полностью заполненных строк было равно 443. Как было сказано выше, на первом этапе восстанавливаем оценку (1) по полностью заполненным строкам матрицы наблюдений, подбирая оптимальное значение параметра размытости С5. Затем, подставляя в оценку у5 (х1, х2,..., хт) значения измеренных х = (х1, х2,..., хт), восполняем пропуски в матрице наблюдений. Далее, восстанавливаем зависимость у = Л(х) по полностью заполненной матрице наблюдений, 8 = 1331. Результаты вычислений иллюстрируются на рис. 1, 2.

Матрица наблюдений

х у

х: х2 хт

х10 х20 хт0 у0

х11 х21 хт1 -

х12 х22 хт2 -

х13 х23 хт3 уз

х1 5 х25 хт5 у5

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

10

8 6

10 1Б 20

Рис. 1

Рис. 2

Вычисленные в произвольных двадцати значениях х истинная величина у и ее оценка представлены на рис. 1, б), на рис. 2, б показана зависимость

ст2 от Cs.

Как видно из проведенного эксперимента, восстановление зависимости у = Лх) по заполненной матрице наблюдений оказывается более точным, чем по незаполненной.

Библиографические ссылки

1. Первушин В. Ф., Сергеева Н. А., Стрельников А. В. Прецизионный генератор случайных чисел // Вестник СибГАУ. Вып. 5. 2010.

2. Медведев А. В. Не параметрические системы адаптации. Новосибирск : Наука, 1983.

3. Надарая Э. А. Непараметрические оценки плотности вероятности и кривой регрессии. Тбилиси : Изд-во Тбил. ун-та, 1983.

А. А. Korneeva, N. А. Sergeeva Siberian Federal University, Russia, Krasnoyarsk

ABOUT NONPARAMETRIC RECONSTRUCTION OF OBSERVATION MATRIX WITH SKIP DATES IN PROBLEM OF REGRESSION FUNCTION ESTIMATE

The problem of reconstruction of observation matrix by regression function estimation on measuring with random bugs is considered. The skip dates filling executed by nonparametric estimation of regression curve. Numerical research results demonstrate the capacity of suggested method.

© Корнеева А. А., Сергеева Н. А., 2011

б

а

б

а

УДК 62.506.1

А. И. Коршунов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫМ НЕОДНОЗНАЧНЫМ ОБЪЕКТОМ В УСЛОВИЯХ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Рассматривается задача управления многомерным статическим объектом в условиях непараметрической неопределенности и при наличии неоднозначной зависимости между входными и выходными переменными.

Пусть имеется объект, который описывается вы- мых управляемых входных переменных размерности ражением х = /(и, т), имеется некоторая обучающая п, ц - вектор наблюдаемых неуправляемых входных

выборка {и.,т.,х.},. = 1, 2, ..., и - вектор наблюдае- переменных размерности т, х - выходшш щфшштая

размерности к, s - объем выборки. Известно, что объ-