О некоторых задачах внешней баллистики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5

Карманов Д.Д., Лепихин Т.А., Жабко Н.А.

Санкт-Петербургский! государственный! университет, г. Санкт-Петербург, Россия

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ВНЕШНЕЙ БАЛЛИСТИКИ

Аннотация

В статье представлен подход к решению некоторых задач баллистики. Основным объектом является пусковая установка в целом с возможностью установки угла поворота, угла подъема и начальной скорости. Предложена общая математическая модель полета объекта, на котором был протестирован этот подход. Метод оврагов модифицирован для возможности приближенного поиска множества экстремумов.

Ключевые слова

Внешняя баллистика; моделирование полета снаряда; компьютерное моделирование.

Karmanov D.D., Lepikhin T.A., Zhabko N.A.

Saint-Petersburg State University, St. Petersburg, Russia

ON SOME PROBLEMS OF EXTERNAL BALLISTICS

Abstract

The article presents an approach to solving some ballistics problems. The main object is a launcher in general with the possibility of setting the rotation angle, the ascent angle and the initial velocity. A general mathematical model of the object's flight, on which this approach was tested, is proposed. The method of ravines is modified to give the possibility of approximate search of the extrema set.

Keywords

External Ballistics; Projectile motion; Computer modeling.

Введение

С развитием вычислительной техники многие операции, ранее выполняемые человеком, стали осуществляться много быстрее. В частности, применение автоматических и

автоматизированных средств актуально в областях, где использование человеческого труда связано с определенными рисками в отношении здоровья оператора. Одними из таких областей, несомненно, являются военные технологии, к которым, наверное, в первую очередь, и относятся задачи внешней баллистики, т.е. перевод объекта (снаряда) из некоторого заданного начального положения в желаемое конечное или некоторую окрестность этого положения. В даннои статье предлагается подход к автоматизированному решению базовой задачи баллистики, т.е. решение задачи перевода снаряда из начальной точки в конечную точку в максимально универсальном обобщении для всевозможных видов установок, осуществляющих баллистическое движение.

Анализ литературы показал, что отдельные математические аспекты внешней баллистики описаны в достаточно большом количестве учебников, в том числе отечественных. В основном

это учебники по внешней баллистике. Однако, тем не менее, несмотря на встречающиеся описания теоретических аспектов рассматриваемых задач, их практические аспекты в виде задачи автоматического управления системой

прицеливания либо не решаются, либо, что вероятнее, решаются, но в открытом доступе наити их сложно из-за определенной степени секретности.

Основная часть

В работах [1], [2] по решению задач внешней баллистики часто используют математические модели, представленные следующими

уравнениями:

dV

dt

-G sin в—X

mVd^=-G cos в dt

dx

— = V cos в dt

u =—

v = — -

PCxV 2 m PCXV 2m

v— g

^ = V sin (

_, „ У~ у

dt х=и

Такие походы не учитывают ряд особенностей исследуемой задачи и не позволяют сделать решаемую задачу универсальной. Поскольку однои

u

из основных задач настоящего исследования и была универсификация математической модели с целью расширения возможных применении, то применимость выше указанных моделей не позволяет решить поставленные задачи и использоваться они не будут. Поэтому в работе предлагается собственный вариант

математического описания функционирования установки запуска снаряда.

5000 Л

4000^

r(t,0,v,(p)

Рис. 1. Общая схема решаемой задачи. Здесь у -

начальная скорость, ф - угол поворота, ® - угол

подъема, г (г,в,у, Ф) - траектория полета снаряда при заданных начальных условиях

Очевидно, что г^ф) представляет собои трехмерный вектор, являющиеся решением задачи перевода объекта в целевое положение с

(х 1 >У 1 '21)

координатами 1 1 1 .

С однои стороны, универсальность математического описания предполагает вариации параметров, с другои же стороны, такая вариация порождает множество дополнительных зависимостей. В частности, геометрическая форма снаряда порождает уравнение сопротивления среды, в нашем случае воздуха. Ввиду сложности решения в целом, введем некоторые упрощения. В частности, пренебрежем формои снаряда на данном этапе исследования. В дальнейшем планируется провести исследование с учетом различных геометрических форм снарядов и влияния этих форм на движение.

В работе рассматривается снаряд в общем виде, кроме того, пренебрегается вращение снаряда. Тем не менее, учитывается сопротивление воздуха. В качестве начального приближения считаем, что на

Р

снаряд деиствует сила тяжести тяж и сила

Р

сопротивления среды сопр , что приводит к представлению второго закона Ньютона в следующем виде:

Р +Р

а _ тяж сопр т

где т - масса снаряда, 0 - ускорение свободного падения.

Сила притяжения направлена вниз в любои точке траектории. Сила сопротивления воздуха направлена в противоположную сторону от касательной к траектории в точке.

V

F

тяж

Рис. 2 Силы, действующие на снаряд Тогда уравнения движения объекта в плоскости можно представить в виде:

- F

сопр

x=-— cos а

F

y=-g -

сопр

sin a

m (1) Для трехмерного случая соответственно получим:

- F „

сопр

- F„

cos a cos ф

y=

сопр

m

cos a sin ф

F

z=-g—

сопр

sin a

m _ . (2)

Множители cos<^ и ^пф появляются вследствие того, что плоскость полета снаряда

повернута на угол ф относительно оси абсцисс, как показано на рис. 1. Сила сопротивления среды может выражаться различными уравнениями в зависимости от вида среды и ее свойств. Чаще всего эту зависимость разделяют на два слагаемых: пропорциональное линеинои скорости и пропорциональное квадрату скорости.

Fconp= kUnV +ksqV2 ,

где коэффициенты >in и sq можно определять из их физического смысла, но их точные значения очень сложны для вычисления и различны для каждого типа снарядов, поэтому примем их значения, согласно их физическому смыслу в виде некоторой оценки, которую необходимо заново вычислять для каждого типа снарядов.

л k.. =6 mu

Примем >in r , где r - радиус поперечного сечения снаряда, u - динамическая вязкость воздуха. Так как на больших скоростях линейная составляющая силы сопротивления воздуха пренебрежимо мала по сравнению с ее квадратом, то линеинои составляющей можно пренебречь,

m

однако ничего не мешает включить ее обратно, если появится такая необходимость.

= С (М) Sp

54 2 , (3)

где С (М) - безразмерный коэффициент сопротивления среды при определенной форме

снаряда, зависящий от числа Маха, S - площадь

эффективного сопротивления, р - плотность воздуха, зависит от высоты. Для некоторых стандартных идеальных форм он известен. Тогда как для сложнои формы снаряда указанный коэффициент устанавливается экспериментально с помощью аэродинамических труб. На до

трансзвуковых скоростях (М < 0-8) этот коэффициент можно считать постоянным

С(М)=С . На скоростях, сравнимых со скоростью звука, коэффициент резко увеличивается и плавно снижается с увеличением скорости до значения сверхзвуковых скоростей. Поскольку определение точного значения указанного коэффициента представляет некоторый достаточно трудоемкий процесс, то в рамках настоящего исследования примем его постоянным. В работе [5] представлен закон 1943 в сокращенном виде, в котором вычислена эта зависимость, но для конкретных, уже устаревших снарядов, поэтому использовать ее большого смысла не имеет.

Площадь эффективного сопротивления

S =

определяется по следующей формуле: 4 , что по сути определяет площадь перпендикулярного

вектору скорости сечения снаряда, где d - калибр снаряда.

Часто коэффициент сопротивления и площадь сопротивления объединяют со скоростью и рассчитывают их значения для конкретного типа снарядов. Так, в [3] представлена функция Сиаччи F (V)

которая

достаточно

хорошо

-kxV 2 x=-cos a cos ф

m

2

— к V y =—--cos a sin ф

m

2

к V2

z

z = — g--sin a

m

cos a =-—

С учетом того, что Vcos ф

V= V x 2+ y 2+Z 2

(4)

V sin ф

в итоге получаем:

— kx V X 2+y 2+Z2

x=-

m

y=

7 I -2 . .2 . .2

— к-V XX -- -

'xx + - + z

m

■y

z=—g—-

kz V X +y + z -z

m

начальными

x(0) = x0, y(0)= y0, z(0) =

(5)

условиями:

0' J y ' J0' y ' 0 x(0) = Vcos 0cos ф, y(0) = Vcos 0sin ф, z( 0 )=V sin 0 .

Введем дополнительные ограничения в виде:

(в^,ф)sfi =j d,V,ф | 0<0<n,V . <V<V ,0<ф<'

3' 'Ti rf } min тду ' '

2 min

x0 'У0 ,z0^0

2

^'■^'"О— , (6)

хотя эти ограничения в общем случае могут быть сняты.

Можно заметить, что (1) с учетом введенных ограничении и упрощении представляет собои плоскую задачу. Следовательно, для упрощения вычислении и визуализации результатов будем рассматривать двумерную задачу.

- к 1 . х=--V х + у X

к

аппроксимирует поведение коэффициента в зависимости от скорости.

Исходя из информации о расчете плотности воздуха, в работе [4] на высоте до 9300 метров ее можно высчитывать по формуле:

р (h ) = р0( 1 —0.021910-3 h )4'4

В рамках текущего исследования значение высоты не превышает указанного значения, поэтому для простоты вычислении примем плотность постоянной величиной.

Наконец, подставляя в (2) выражение для

F

сопР получаем:

y=--2 V x2

m

y

2

— V x + y y

(7)

с начальными условиями:

(0)=

0

x( 0 ) = V cos 0 y (0 ) = y 0 y(0 ) = V sin 0 (8)

Аналогично с трехмерным случаем в работе для удобства будем рассматривать

(e,V)GQ?=\e,V |О<0<n,vmin <V <Vт;

х0.

Третью координату можно получить следующим образом:

Пусть г (М ,?)=( х (М ,?); у (t,в,?))

траектория снаряда в двумерной задаче, тогда Г V , ф )=( X (t, 0,У)-ссб ф у ( t,в ,У)-Б1п ф I (М V))т - траектория снаряда в трехмерной задаче.

и

Программная реализация задачи перевода снаряда

Полученная модель имеет достаточно сложную структуру, поэтому аналитического решения не имеет. Ввиду сказанного, остается возможным решить исследуемую задачу только с помощью численных методов. Для программной реализации и построения графиков переходных процессов была выбрана среда моделирования МА^АВ с подсистемой имитационного моделирования Simulink.

Приведем решение задачи попадания в заданную точку.

Задача формулируется следующим образом: для математической модели (7) необходимо наити

Тем не менее, вид функции

(в ,V)

такую пару функции

f(r(t*,ß,V),r1)=||r(t*,e,V)—+ min

e,V ей

где

f (г (г .в.V ),г1) ' ^ ' 1 для

г 1 _(3000 550 ) перевода снаряда в положение 1

приведен на рис. 3 ниже.

, что будет достигнут минимум

'"2 , (9)

г (г * .в.V)_(X (г * .в.V ),у (г* .в.V)) - решение системы (7) с начальными условиями (8),

Г _(XV ) *

1 1'^1> - вектор координат цели, г -потенциального попадания. Если выполняется условие

тт||г (г* ,в.V )-г11|< £ 1

в,У ,

где £1 задается из соображений о структуре цели или желаемои точности, то будем считать, что

произошло попадание. О способах же вычисления

*

значения г речь пойдет далее.

В данной работе представлено два самых

*

применимых способа нахождения значения г .

*

Первьш способ заключается в поиске г как минимальное отклонение для всех точек траектории, следовательно, можно представить в виде:

г*_а^тш(||г(г.в.ф) г 1|)

г (10) Основным недостатком указанного метода является необходимость решать задачу минимизации по всем точкам траектории, которых в дискретной реализации конечное количество, но все же для больших значении длительности полета алгоритм начинает работать существенно медленнее. Кроме того, существует проблема

дискретности траектории, из-за которой

**

наиденное 1 будет отличаться от истинного г на величину 1(ё) , где ё - шаг дискретизации,

£ (ё) ^ 0 I * ^ г * dи ё.

Ввиду упомянутого получается, что такои подход требует существенных вычислительных мощностей или увеличивает время работы программы.

Рис. 3. Вид функции f ( г (г 'в)>г 1) для о

Второи вариант поиска г

первого

б п д д г1_(3000 550)

способа. Перевод снаряда в точку 1

момент недостатков

тоже не идеален, но

у него меньше. В нем

* _

г _1 , как только выполнено

устанавливается условие:

х (1.в^)>х1Уу (I .в .V )< 0

Этот способ в качестве решения получает кривую, по которои происходит разрыв

- 1 f( г (г* .в .V ).г 1) „ „

производное функции' ^ ^ ' ' " 1 . Такои

недостаток свойственен, вероятно, всем способам,

основанным на условиях подобного вида. Разрыв

происходит на границе истинности условии (11).

Для приведенного способа, в том числе,

доступно обобщение нижнего предела до аналога

рельефа с целью расширения возможности

стрельбы при У1<0 . Тогда предыдущее условие перепишется в виде:

X ( I'I'V )> Х^ V (1^/1 )< 2 ( X ( )) ,

где г(х) - карта высот.

В трехмерной задаче в условии будет

фигурировать 2(х(I'в'V).У(I'I'V)) .

Представление функции f(г(г ^^^^) с по второму способу приведено на

t

наеденным рис. 4.

Задача (9) будет решаться модифицированным методом Ньютона с помощью разделенных разностеи, основа этого метода описана в [6].

Условия остановки:

<

|0, ,—0,1

1 k + 1 k1

|V — V l< £

|v k+1 v kl<bV

£ £ где в'ьу

желаемая точность для угла подъема и скорости соответственно.

x107

3 -

2.5 - fi Arn

2 - с о ft 1шк lÄ 1Ш H il M JiÊ

.Ü 1.5 ->

О 1 -

0.5 - mm

0 -

Р л В д ф f (г (г .в.V ).Г 1) ,

Рис. 4. Вид функции ' у у ' 11 для второго

способа. Кривая разрыва производной, при таком выборе

точки г 1 , находится в окрестностях множества экстремумов, вследствие чего, незаметна. Конечная

гл_(3000 550) точка 1

Для функции такого вида метод Ньютона показывает достаточно неплохие результаты из-за локальнои близости к квадратичному виду.

Траектория полета снаряда для заданных начальных и конечных условии приведена ниже на рис. 6.

Заключение

В даннои работе разработан подход к решению некоторых задач внешней баллистики для артиллерийской установки общего типа с заданием начальных углов и начальной скорости. Разработана программная реализация в среде MATLAB-Simulink для приведенной

математической модели с возможностью изменения некоторых входных параметров. Решение задачи перевода снаряда в заданное положение (попадание) является однои из важнейших задач применения подобных установок, поэтому используя результаты

настоящего исследования, появляется

возможность к решению многочисленных зада внешнеи баллистики.

Рис. 5. Сходимость к точке минимума по методу

Н С б д г =(3000 550)

Ньютона. Стрельба ведется по точке 1

Рис. 6. Из точки

(0) Г1=( \0/ в точку \

2000

200'

550

r 1= 2000

.

Информация о финансовой поддержке

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ проект № 17-07-00361 А.

Литература

Беликова А.В., Павлов Г.Л. Моделирование движения неуправляемого ракетного снаряда. Молодежный! научно-технический вестник, Москва, 2016.

Шанин В.М., Шанин А.П. Баллистика неуправляемых летательных аппаратов. Издательство РФЯЦ-ВНИИТФ, Снежинск, 1999.

Ефремов А.К. Аппроксимация закона сопротивления воздуха 1943 г. Научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана «Наука и образование», #10, октябрь 2013.

Venttsel' D.A., Okunev B.N., Shapiro Ya.M. Vneshnyaya ballistika. Ch. 1 [External ballistics. Part 1]. Leningrad, Dzerzhinsky Artillery Academy Publ., 1933.

Дмитриевский А.А., Лысенко Л.Н. Внешняя баллистика: учеб. для вузов. 4-е изд. М.: Машиностроение, 2005. 608 с. Арушанян И. О. Практикум на ЭВМ. Безусловная минимизация функции многих переменных. Третье издание, дополненное. Москва, 2012.

References

1. Belikova A.V., Pavlov G.L. Modelirovanie dvizheniya neupravlyaemogo raketnogo snariada. Molodezhny nauchno-technicheskiy vestnik., Moscow, 2016.

1. 2.

3.

4.

5.

6.

r0-

2. Shanin V.M., Shanin A.P. Ballistika neupravliaemyh letatelnyh apparatov. Izdatelstvo RFAC-VNIITF, Snezhinsk, 1999.

3. Efremov A.K. Approximatia zakona soprotivleniya vozduha 1943 goda. Nauchnoe izdanie MGTU imeni N.E.Baumana "Nauka i obrazovanie", #10, october 2013.

4. Venttsel' D.A., Okunev B.N., Shapiro Ya.M. Vneshnyaya ballistika. Ch. 1 [External ballistics. Part 1]. Leningrad, Dzerzhinsky Artillery Academy Publ., 1933.

5. Dmitrievskiy A.A., Lysenko L.N. Vneshnaia Ballistika: uchebnoe posobie dlya vuzov. 4-е izdanie. Moscow, Mashinostroenie, 2005. 608 pp.

6. Arushanyan I.O. Praktikum na EVM. Bezuslovnaya minimizatsia funktsiy mnogih peremennyh. Tret'e izdanie, dopolnennoe., Moscow, 2012.

Поступила: 10.07.2017

Об авторах:

Карманов Дмитрий Дмитриевич, студент, Санкт-Петербургский государственный университет, web-shaman@mail.ru:

Лепихин Тимур Андреевич, кандидат физико-математических наук, главньш специалист Главного управления по работе с персоналом, Санкт-Петербургский государственный университет, LepikhinTA@ gmail. com:

Жабко Наталия Алексеевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерных технологии и систем факультета Прикладной математики — процессов управления, Санкт-Петербургский государственный университет, ztasha@mail.ru.

Note on the authors:

Karmanov Dmitry D., student, Saint-Petersburg State University, web-shaman@mail.ru:

Lepikhin Timur А., Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Chief specialist, Directorate on Humans Resources, Saint-Petersburg State University, LepikhinTA@ gmail. com:

Zhabko Natalia A., Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Computer Technologies and Systems, Faculty of Applied Mathematics and Control Processes, Saint-Petersburg State University, ztasha@mail.ru.