О НЕКОТОРЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМАХ И ОЦЕНКАХ ПОГРЕШНОСТИ ДЛЯ ВЕЙВЛЕТ-РАЗЛОЖЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. McKinsey Global Institute. Цифровая Россия: новая реальность. 2018. [Электронный ресурс] URL: https://www.mckinsey.cOm/~/media/McKinsey/Locations/Europe%20and%20Middle%20East/Russia/Our%20Insights/Innov ations%20in%20Russia/Innovations-in-Russia web lq-1.ashx (дата обращения: 10.03.2024).

Маров Сергей Андреевич, магистрант, [email protected], Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана,

Птускин Александр Соломонович, д-р экон. наук, профессор, Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана

THE ROLE OF INFORMATION AND DIGITAL TECHNOLOGIES IN THE LOGISTICS OF HIGH-TECH PRODUCTION

S.A. Marov, A.S. Ptuskin

The article examines the role of information and digital technologies in the field of logistics of high-tech production. The concept of logistics and the role of information and digital technologies are revealed, the prospects for the use of digital technologies are determined. Presented: ways of using digital technologies, challenges and prospects of information and digital technologies. The conclusion is made about the importance of the role of information and digital technologies in modern economic conditions.

Key words: logistics, information and digital technologies, Internet of Things, cloud technologies, databases.

Marov Sergey Andreevich, undergraduate, sergeymarov40@mail. ru, Russia, Kaluga, Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University,

Ptuskin Alexander Solomonovich, doctor of economics, professor, Russia, Kaluga, Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University

УДК 004.925:004.932

DOI: 10.24412/2071-6168-2024-3-38-39

О НЕКОТОРЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМАХ И ОЦЕНКАХ ПОГРЕШНОСТИ

ДЛЯ ВЕЙВЛЕТ-РАЗЛОЖЕНИЙ

Ю.И. Битюков, Ю.И. Денискин, П.Ю. Битюков

На основе теории стационарных схем подразделений получены оценки погрешности для вейвлет-разложений функций, заданных на отрезке, и некоторые вычислительные алгоритмы, использующие свёрточные преобразования последовательностей и операции с разреженными матрицами для нахождения приближённых значений функции и её производных по известным вейвлет-коэффициентам.

Ключевые слова: CAD, схема подразделений, вейвлет, геометрическое моделирование, обработка изображений.

Во многих приложениях вейвлет-анализа к вычислительной математике [1-3], геометрическому моделированию [4-6], компьютерному зрению [7-11], машинному обучению [12, 13] и т.д. требуется по данным вейвлет-коэффициентам разложения неизвестной функции найти значения этой функции и её производных в заданных точках. Причём эти вычисления часто необходимо реализовывать при решении оптимизационных задач, т. е. в некотором итерационном процессе. Поэтому время нахождения таких значений играет решающую роль в возможности вообще получить решение этих оптимизационных задач.

1. Схемы подразделений. Основные результаты. В данном разделе приводятся основные результаты, касающиеся стационарных схем подразделений, которые будут использованы в дальнейшем. Схема подразделений [14] определяется заданной последовательностью а = {a } s е N Будем предполагать, что

1 a aeZs'

supp a = {а : aa Ф 0} - конечное множество. Обозначим lœ(Zs ) линейное нормированное пространство ограниченных последовательностей v = {v } , в котором норма определяется равенством V II = p i i

а aeZs II llœ " SUP l'a I-

aeZs

Введём в рассмотрение оператор Sa : lœ (Zs ) ^ lœ (Zs ) , который определим формулой

(Sav)a=E^eZsaa-2p vp> ve (ZS). (1)

Последовательность {a } будем называть маской схемы подразделений, а Sa - оператором под-

г aaeZs

разделений.

Определение 1. Будем говорить, что схема подразделений

m о m-1/v \Ш i о 0

v =SaV =(Sa) v, m = 1,2, ...,v =v

сходится в /ж (Zs), если существует непрерывная функция (S^V): Rs ^ R такая, что

lim||(S»(2-m •) -vm|| =0[14].

Теорема 1. (Необходимое условие сходимости схемы подразделений [14]) Пусть s = 1. Предположим, что схема подразделений сходится для некоторого v е /ж (Z) и (S^V) Ф 0 . Тогда маска удовлетворяет условию

SßeZ a2ß = 1; ZßeZ a2ß+1 = 1.

Введём в рассмотрение многочлен Лорана a(z) = ^ a zn . Тогда из необходимого условия сходимо-

лп

neZ

сти схемы подразделений следует, что A(z) = (1 + z)Q(z) , где Q(1) = 1. Пусть Q(z) = ^neZ$nz 4 = {qn>neZ.

nz и

Теорема 2. Пусть 5 = 1. Схема сходится при любом выборе начальной последовательности V0, если

существует L е N такое, что

(Sq ) L

< 1 [15].

Теорема 3.1 [15] Пусть 5 = 1 и А(¿) = ^1 + 2 ^ Q(2) ■ Если сходится при любом выборе начальной

— (S V) = (Sft (Anv))(t), где Anv = A(An V) и (Alv)k =vk - vk-, k е Z.

2

последовательности, то е С" (И) для любой начальной последовательности V

¿П , а_^ п т,™ \П___л/л"-1,

¿0"

Теорема 4. [14] Предположим, что схема подразделений сходится для всех V е ^5 ) и для некоторого

vе /ж ^5) функция V) Ф 0 . Тогда маска {а } определяет единственную непрерывную функцию с

а aеZ5

компактным носителем (ра, удовлетворяющую условиям:

<Ра(0 = Тае7.аа?а(^-а), Г е К5, EаеZ^а(Г-а) = 1, ^ е К5.

Более того, ) = 5 Va Ра С - а), I е К5.

Пусть а е (Z) имеет конечный носитель, тогда [14] ра (/) = ^^ 8)(£) , где дк =0, для всех к е Z, к ф 0 и до=1. Если А(2) = (1 + 2) Б(2) , где многочлен Лорана Б(2) определяется последовательностью Ь е и схема Sь сходится при любом выборе начальной последовательности, то по теоремам 3,4 получаем

(ра)'(/) = рЬ (/) -рЬ (Г -1). (2)

Пусть 8ирр V0 с [/'0; /'0] п Z и supp а = [/0; /1] п Z. Тогда, из формулы (1), следует, что

8ирр V1 с [/'1; /]] п Z, где /'1 = 2/'0 + /0, /'1 = 2/'0 + ¡\. По индукции получим supp Vм с [/'т; 1 ] п Z, = 2т '0 + /0 (2т -1), 1 = 2т/'0 + /1 (2т -1). Отсюда и из определения 1 следует,

что supp ^>0) с [/'0 + /0; /'0 + /1].

Лемма 1. Пусть а = {ак , supp а с [-т; п] п Z, т, п е N - маска сходящейся схемы подразделений, причём А(г) = £+1 В(2) , Б(2) = ТkеZЬк^ . Тогда

Ьк =2Т"=к+1 av(-1)V-k-1, к = -т,..., п -1. Доказательство. А(2) = Т"=-т ак2к = 2-т Т5 =0 ~525, где ~5 = а5-т , / = " + т . Из необходимого условия сходимости схемы подразделений следует Т (-1)5~ =0. Поэтому многочлен

¿—'5=0Ч ' 5

А(2) = Т5 =0 ~525 делится на 2 +1. Отсюда

А(2) = (2 + 1)(~/2/-1 + (~/-1 - ~/ )2/-2 + _ + Т5=1 (-1)5-1 ~5 ).

Обозначим Ьк = =к+1 (-1)5-к-1 . Тогда

ж

;i~7 7 +1 п-1 ( m+п 7 Л 7

l-1 и ~k-m + 1 о i -k-m-1 „k

' 2 E as-m1) 7

A(7) = (7 + 1)Xk=o bk^m = — E

k=-m

г\ 5=к+ш+1 Из этого равенства следует утверждение леммы.

В заключение этого раздела несколько слов о реализации схемы подразделений.

Для данной последовательности Яе /да ^5) определим последовательность ТЯ, полагая (Т Я)2к = Як, У к е Z5 и (Т Я)а = 0 для остальных индексов q е Z. Кроме того, определим свёртку двух по-

следовательностей а, Ь е /да (2 ) формулой (а * Ь)к = S«еZ5 ак—аЬа . Тогда формулу схемы подразделений

можно записать в виде: уш+1 = (Т уш ) * а.

2. Биортогональные вейвлеты. Пусть р, р - две масштабирующие функции [16, 17] с масками и , й, которые имеют конечные носители. Будем рассматривать последовательности с действительными членами ик, ик е Я, причём ЕкеТ, йк = ЕкеЪ ~к = ^2 . Обозначим р^ (к) = 2j/2р(2^'х - к) . Тогда, если у, у -соответствующие вейвлеты, то у = Ек^ Vк(1 к, У~ = ЕkеZ йкй1 к. Как известно, в случае биортогональ-ных вейвлет-систем для / е Ь2 (К) имеет место равенство [18]

/ = ЕnеZ (/,й},п )Р],п + Е 5 > ] Е nеZ (/,у/5,п )^5,п = (3)

= ЕnеZ °],пр],п +Е 5> j ЕnеZ С5,пу/5,п, где сj к = (/, Рj к ) , с/ ш = (/, уj ш ). Кроме того, имеет место следующая теорема.

дг да

Теорема 5. [16] Если / е С* (К) и | ¿у^ск = 0, / = 0,1,..., N - 1 то

—да

(/,~,,к) = 0(2—**+0 5)), ] ^+да.

Про вейвлет ~, удовлетворяющий условию теоремы, говорят [16], что он порядка N или имеет N нулевых моментов. Заметим, что п = Еке-Ъ йк—2пР7+1,к , ¥/,п(к) = ЕкеТ,~к—2пР7+1,к(к). Умножая ска-лярно полученные равенства на / , получим

с/,П = ЕkеZ йк—2Пс/+1,к, С/,П = Ек^ ^к—2Пс/+1,к. Введём обозначение (^ V)к = У2к. Тогда, полученное преобразование можно представить в виде свёртки

с/. =1 (С/+1. * и-) С/. =1 С+1. * (4)

где (н—.)к = к. Формулы (4) представляют собой алгоритм вейвлет-разложения. Имеет место и алгоритм вейвлет-восстановления [18]

С/+1,. = (Т с/,.)*и + (Т Су>)* V (5)

Теорема 6. [11] Пусть функция ре С (Я), р е Ь1(Я) п, Ь2(Я_), 8ирр р, 8ирр р с [—ш; ш], ш е N и

"I p(x)dx = 1. Тогда lim ¡2j/2 (pdj^-qifj •)

= 0.

да

= 1.

j ^+да"

Пусть cj k = (ф, (Pj k) и uk = 0, Vk, | k |> m . Как известно [17], справедливы равенства

cj+1,m = EkeZ um-2kcj,k, c0,^ = (6)

Пусть Сj k = 2j 11 Cjk . Тогда

^j+1,m = EkeZ ^um-2kCj,k, C0,^ = ^ (7)

По теореме 6,

lim

p(2 J •)

= o Таким образом, p = pP^u .

j ^+да

3. Оценка погрешности для вейвлет-разложений. Данный раздел посвящён получению оценок погрешности при замене функции класса Ck , k = 0,1,2 её вейвлет-разложением. Оценки получаются на основе результатов теории схем подразделений. Пусть f : R ^ R, supp f = [k0; k1 ]. Обозначим ф (f, S) - модуль непрерывности функции f

a(f,S)= sup 1 f(x1) - f(x2)|.

|x 1 -X2|<S, X1,X2e[k0;k1] 40

—m

Теорема 7. Пусть / е С[к0; к1 ], к0, к\ е Z, масштабирующая функция р непрерывна на И и +да

supp р с [-т; т], т е N . Если | ^ = 1, supp ~ с [-т; т],

-да

^ (х) = Тк^(/, ~) Р0,к (х) + Т-0 Тк^ (/у,к)^у,к (х) = Тк^ (/, ~п,к)Рп,к (х)

и М = тах | Р (Х)|, то справедлива оценка хе[-т;т]

да

| /(х) - Sn(х) |< 2Мт | | ~(/) | ¿Г • а(/,т2-п+1), Ух е [к0;к!].

-да

Доказательство. Пусть хе [2-п/;2-"(/ +1)], / = 2пк0,2пк0 + 1,_,2пк1 -1. Так как supp р с [-т; т], то supp рп к с [2-"(к - т);2-" (т + к)]. Поэтому в выражении для Sn отличными от нуля

+да

могут быть только слагаемые с индексами к = / -т +1,...,/ + т . Поскольку | ^ = 1, то

-да

+да +да

| ~п,к (0^ = 2п/2 | ~(2п/- к= 2-п/2.

-да -да

По теореме 4 имеет место равенство Тк р(х - к) = 1, Ух е И, получаем Тк рп к (х) = 2п/2, Ух е И.

Отсюда

| /(х) - Sn(х) |< Тк+=т-т+1 | (/, ~п,к) - 2-"/2 /(х) || Рп,к (х) |.

Заметим, что

да

(/, ~",к) - 2-п/2 /(х) = 2-п/2 | (/(2-п (Г + к)) - /(х)) ~(/)а/.

-да

Поэтому

т

| /(х) - Sn(х) |< Тк+=/-т+1 | Р(2"х - к) | • | | /(2-п (/ + к)) - /(х) || ~(/) | ¿Г.

-т

Учитывая, что 2-"(/ + к) е [2-п/- (2т - 1)2-п;(/ + 1)2-п + (2т - 1)2-п] для всех

да

к =/ - т + / + т, получаем | /(х) - sn (х)|< 2Мт | | ~(/)| ¿Г •а(/, т2-п+1).

-да

1 + 2

Теорема 8.2 Пусть А(2) =_Б(2) , последовательность а = {ак}kеZ имеет конечный носитель

supp а с [-т; т], т е Z, схема Sь сходятся при любом выборе начальной последовательности и

, 1 +да

тах | ра (х)|= Ма, тах | рЬ (х) |= МЬ . Если / е С [% к1], к0, к1 е Z, | ~(/)а/ = 1, supp р с [-т;т], то

1а

хеИ хеИ

справедлива оценка | /,(х) - (sn )'(х)|< МЬ • (2т) • | | ~(х)| ¿х а(/',2-п (2т +1)), Ух е[к0; к!].

-т

Доказательство. Пусть хе [2-п/;2-"(/ +1)], / = 2пк0,2пк0 + 1,...,2пк -1. В выражении для Sn отличными от нуля могут быть только слагаемые с индексами к = / - т +1,., / + т . Отсюда, по формуле (2)

Рп)'(х) = Тк+т-т+1 (/, ~п,к)(Р"ак)'(х) = 2"Тк=/-т +l(/, ~п,к)р",к(х) -

- 2"Тк+Гт+2 (/, ~",к-1)р",к(х).

По лемме 1 supp Ь с [-т; т -1], поэтому supp рЪпк с [2-п (к - т);2-п (к + т -1)]. Следовательно, на отрезке [2-п /;2-п (/ +1)] отличными от нуля будут функции рЬ с индексами к = / - т + 2,..., / + т. Таким образом,

(Sn)' (х) = 2пТк+=П1-т+1 (/, ~п,к - ~п,к-1)рЬ,к (х).

Имеем

—да

да

(/, ~п,к - ~п,к-1) = 2п/2 | /(0(~(2п/ - к) - ~(2п/ - к + 1))М =

-да

да да

= 2п/2 | /(/) ~(2п/ - к)Л - 2п/2 | /(0~(2п/ - к + 1)Л =

-да -да

тт

= 2-п/2 | (/(2-п(/ + к)) -/(2-п(/ + к -1)) = 2-3п/2 | /'(2-п(/ + к -в)))Л,

-т -т

где последнее равенство получено по теореме Лагранжа и в е (0;1) . Итак,

т

(Sn )'(х) = Тк=/-т+1 рЬ (2пх - к) • | / '(2-п (/ + к-в))~(0^.

-т

Поэтому

т

^+т „Ь^п, -тн

-т

|/'(х) - ^ )'(х)|=

Тк+т-т+1 рЬ (2пх - к) • I (/'(х) - / '(2-п (/ + к-в)))~№

<МЬ • (2т) • I | ~(х)| ¿х•а(/',2-п(2т +1)).

-т

Аналогично доказывается следующая теорема,

N2

Теорема 9. Пусть А(2) = ^1 + 2 ^ В(2), последовательность а = {ак }kеz имеет конечный носитель

1 ±5 2

supp а с [-т; т], т е Z, схема Sь сходятся при любом выборе начальной последовательности и

, 2 +да

тах | ра (х)|= Ма, тах | рЬ (х) |= МЬ . Если / е С [% к1], к0, к1 е Z, | ~(/)¿/ = 1, supp р с [-т;т], то хеИ хеИ

-да

т

справедлива оценка | /,,(х) - )"(х) |<МЬ • (2т -2) • I | ~(х) | ¿х• а(/",2-п+1т).

-т

4. Вычислительные алгоритмы. Пусть / е Ь2(И), supp / с [/0; /1], supp ри с [ти; пи ], где

/0, /1 е Z , ти, пи е Z . Ясно, что отличными от нуля на отрезке [/0; /1 ] будут лишь функции рД ^ , где к = кя,0 = 2Я/0 - пи +1,., кд,1 = 2^/1 - ти -1. Обозначим

Ф1 (х)=(р£кЯ,0(х) р^я,0+1(х) •• р!кЯ1(х)) Введём также следующие обозначения. Если и = {ия}яе£, то Я^ - последовательность, для которой

(Яки)х = иЯ-к, 1е 2 и, наконец, и ^(и^ ик0 +1 ... ик1)Т .

Поскольку на отрезке [/0' /1] будет выполняться ри = ткя+11 и и ри , то

1 ^1,к ^/й=к\+1 0 <"-2к^1+1„ы

Фи = Фи+1 • Р^-+1, где Р1+1 - матрица размера (к^+1,1 - кд+1,0 +1) х (кц - кд,0 +1) , имеющая вид

ря+1 = ((Я2к,,0^ (Я2(к,,0 +1)и)^1;1 . (Я2к,,1и)|к

к1+1,1 1+1,0

Пусть supp V = [ту; пу ] п Z . Тогда из равенства уи = уу р^ получаем

supp у с

. Отсюда supp уя с

2к + ту + ти пу + пи + 2к 2^+1 ' 2^+1

. Поэтому отличными от

2 2

нуля на отрезке [/0; /1 ] могут быть только функции уд 5 где 5 = 5д 0, 5Д0 +1, -, 5ц , а 5 д 0 и 5ц , соответственно, наименьшее и наибольшее из целых чисел, удовлетворяющих неравенствам:

пи + п,, „д ти + тЛ,

2Л/0~< 51,0, 51,1 < 2я/1 - и 2 у .

ти + ту.пи + пу

ЩЯ (к) = Уи,о(к) УЯ,5Я,0 +1(к) ... УЯ,5яд(к)} ТогдаТЯ = ФЯ+1^+Ь где

Обозначим щи (к) = | ,„и

~ ,,0 ~ ' ' Я,5Я,0

Ря+1 - матрица размера (кя+1 1 — кд+1 0 +1) х (5д 1 — 5Я 0 +1), имеющая вид

|кЯ+1,1

°я+1=(^|кя++;,о (^2(5я,0'кя++;,о

,п мкЯ+1,1 •• (^25я1и)|к

кЯ+1,0

С помощью введённых обозначений, равенство (3) можно записать в матричном виде:

/ (к) = Ф0 (к)С0 + Е Щ (к) • Оя = Фи (к)С0 + Е ФЯ+1 (к) • Qя+l • Оя

Я>0 Я>0

5Я,1— 5Я,0 +1

(8)

где С0 е Як0,1 к0,0 +1, БЯе Я

В дальнейшем будем считать, что 0 < Я < j — 1, где j е N .

2

Пусть и(г) - многочлен Лорана, соответствующий маске и и и(г) = 7 + 1 В(г) = ^ 2 + 1 ^ Е(г)

при-

чём схемы $ь , Ве сходятся при любом выборе начальной последовательности. Пусть supp рЬ с [шь; Щ ], 8ирр ре с [ше; пе ]. Тогда на отрезке [/0;/1] отличными от нуля будут лишь функции рЯ^ ^,

1 = tя,о, Я,0 +1,•••, Я,1

е

рЯ.

Р

Р = РЯ,0,РЯ,0 + 1,-,РЯ,1,

где

Я Я Я Я

Я,0=2 /0 — пЬ + ^ Я,1=2 /1 — шЬ + 1; РЯ,0=2 /0 — пе + 1, РЯ,1=2 /1 — ше + 1

Из равенства (ри )'(х) = рЬ (х) — рЬ (к — 1) , получаем

(рЯ,к )'(х) = 2Я(рЬЯ,к ( х) — р^,к+l),

(рЯк)''( х) = 22Я(рЯ ,к ( х) — 2рЯЯ ,к+1 +рЯ ,к+2).

(фЯ)'=ФЯ • НЯ •2Я, (щЯ)' = ФЯ+1 • НЯ+1 • Qя+l • 2Я+1,

Отсюда

(ФЯ)'' = ФЯ • НЯ •22Я, (щЯ)'' = ФЯ+1 • НЯ+1 • Qя+l •2

2Я+2

где нЯ, нЯ - матрщы размеров (ГЯ1 — /Я,0 +1) х (кя,1 — кя,0 +1), (РЯ,1 — РЯ,0 +1) х (кя,1 — кя,0 +1),

соответственно, имеющие вид

нЯ =

Отсюда находим

(—11 0 0 — 1 1 0 0 —1

000

0 ^

0

0

нЯ -

(1 —2 1 0

0 1 — 2 1

0 0 1 — 2

0 0 0 0

0 ^

0

0

/'(х) = Ф0 (X) • Н0 • С0 + ЕЯ=0 2Я+1 фЯ+1 (Х) • нЯ+1 • Qя+1 • о я ,

/"(х) = Ф0(X) • Н0 • С0 +ЕЯ=0 2

Я =0 22Я+2 ФЯ+1( X) • НЯ+1 • Qя+1 • °Я-

Из схем подразделений

¿Я+1 = фи) * (Т Я уЯ+1 = {ЛЬ) * (Т Vя),

И+1=(72е)*(ТИ), и0^0 = п0= д.

Легко оценить значения

и /г*—Я\ Я Ь /г*—Я\Я е /г* —Я\ Я 0 (2 5) * и5 , р (2 5) ЪУ5 , р (2 5) .

в точках, принадлежащих носителям этих функций. Обозначим

/ (а)(2—в.) =

( С /(а)

2_\ 2в

/

(а)

2в/0 +1

• /

(а)

\Т

Тогда, для р > j, с учётом равенств

А

V ^ уУ

а = 0,1,2.

•5—2в -к

™и г^—Р „\ — оЯ/2 В

рЯ,к (2 • 5) = 2 U2Я•5

ре (2—в • 5) = 2Я/2пв

рЯ,к (2 5) 2 V.—2^к,

—Р. 5) = 2Я/2

рЯк (^ • 5) = 2

2Я 5—2в • к

и

1

1

окончательно получаем

/ (2-^) =

го в |2в/1 го в |2в/1

(Я2вк0,0 ^в)|2в/0, ,(Я2вк0,1^в)|2в/0

С0 +

1+1 /

Т У-1 2 2 Т1=02

Л

^1+1 • 2вк | в, 2 к1+1,0 2е /

2в/1

0

^1+1^ 2вк | в, 2 к1+1,1 2е /0 у

^1+1 • °1;

/ '(2в) =

(я2в. Vе) в 2И ^0,0 2е/

0

.в)|2в'/1 0,1 2е • /0

,(Я2в , Vе) | в

Ы0-С0+

3(1+1)/

ТУ -1 2 2 Т1=02

У21+1-2в -/1+1,0 ^

0

Л /1+1,1 '2в/(

/ "(2-в«) =

(

(Я в Пв)|2^ •/1,...,(Я в

2в. Р0,о 2е /0 2в' Р0,1

Пв)|

0 ) 2в •/1 2в • /,

5(1+1) (

+ Т У-1 2 2 + Т1=02

Л

I

0 ) 1

• Ы1+1Р1+1 • °1;

ы0с0 +

П-,1+1. 2вР 1%? ,...,П21+1, 2вР в Ы1+1^1+1 • °1. 2 *-2 р1+100 2е/0 2 р1+1,1 2е/0 I 1+1

0

В заключении раздела - о двумерном случае.

Введём в рассмотрение вектор Ви = (ф;

у V

щи ^0

и ч

) Тогда вейвлет-аппроксимацию у-1'

функции двух аргументов можно записать в виде /(х, у) = Ви (х) • С • (В у (у))Т, где С - матрица коэффициентов. Аналогично можно записать и частные производные.

5. Вычислительный эксперимент. В качестве примера рассмотрим следующие маски 1 4 6 4 1

и =

и =

3

8л/2'8Л/2'872'8Л/2'872

12 5 40 5 12

supp и = {-2,-1,0,1,2}; 3 Л

ч16л/2' 1672 '1672 '1672 '1672' 1672'1672) Фильтры у = {Уп }nеz и ~ = {~п }пе£ определяются равенствами:

supp и = {-3,...,3}.

уп =(-1)п Ч-п,

~п = (-1) п 1и1-п.

Как известно, эти фильтры приводят к биортогональным сплайн-вейвлетам, причём функция р представляет собой кубический В-сплайн. По лемме 1 находим

Ь =

( 1

3 3

1

1472 472 472 472

supp Ь ={-2,-1,0,1};

е =

1 —I, supp е = {-2,-1,0}.

272'72'272)

Тестирование полученных выше формул, проведём на следующих примерах.

2

Пример 1. Решим краевую задачу у"(х + 1) - 2у = 0, у'(0) = 0, у(2) - у'(2) = 1 и сравним точное 2

решение у = х + 1 с найденным приближённым.

Приближённое решение у у (х) будем искать в виде (8). Система линейных уравнений относительно неизвестных вейвлет-коэффициентов получена методом коллокаций. В расчётах было выбрано у = 2 , в = 6 . Графики точного (сплошная линия) и приближенного (пунктирная линия) представлены на рис. 1а).

2 2

Пример 2. Решим начальную задачу у" + 4х у' + у(4х + 2) = 0, у(0) = 1, у'(0) = 1 и сравним на

- 2

отрезке [0;2] точное решение у = (1 + х)е х с найденным приближенным.

В расчётах было выбрано у = 3, в = 6. Графики точного (сплошная линия) и приближённого (пунктирная линия) представлены на рис. 1 б).

Рассмотрим применение полученных выше формул к приближённому решению задач теории упругости. Для плоской деформации имеем следующие уравнения и граничные условия

да1 , дт12......

\а1п1 +т12п2 = ^1,п; (9)

дх1 дх2 дт"12 , да2

+ =0;

дх1 д^2

+ ^2=0,

\ т12п1 + а2п2 = ^2,п.

+

+

5.04 S ■ 4.03.5 ■ 3.02.52.01.5 -1.0-

fyp)

о.s -

0.6

о.г-

vK*)

yjsr

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

а

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 б

Рис. 1. Графики точного (сплошная линия) у (х) и приближённого (пунктирная линия) у (х) решений:

а - краевая задача, б - начальная задача

Кроме того, должно выполняться уравнение неразрывности деформаций

д2т д2сто д2т д2сто -- +--— +--- +--— = 0.

дх2 дхЛ дхл дХ2

(10)

2 2 Уравнения равновесия (9) вместе с граничными условиями и уравнением неразрывности (10) дают систему уравнений, которых достаточно для полного определения напряжений о, 04, Тц в двумерной задаче.

Пример 3. Рассмотрим пластину X = [0; a] х [0;b]. Пусть E = 2,1 МПа; / = 0,3 ; a = 6 м, b = 2 м. Интенсивность нормальной к границе пластины нагрузке имеет вид:

2 2

2 2 2 Ba + 4Cax2 + Dx2

F n (a, X2) = - Ax2 + Ca - 2Cx2 + Dax2; F2n (a, X2) =--2

2 2 2

Bx2 + 4Cbx1 + Db2 2 2

F1n (x1, b) =--1-j1-; F2n (xb b) = Axj2 + Bbxx + Cb2;

2 Dx2

F1,n(0,x2) = x2(A + 2C); F2,n(0,x2) =

Bx12 2

F1,n (x1,0) = -2-; F2,n (xt,0) = - A^2,

где A = B = C = 0,1 МПа, D = — 0,1 МПа. Найдём приближённое решение данной задачи, используя вейвлеты и сравним его с точным:

B, 2

D, 2

о"1 = Cx1 + Dx\x2 - (2C + A) x^; 02= Ax1 + Bx\x2 + Cx2; тЦ= -—x1 - 2Cx\x2- — x^.

Приближённое решение ищем в виде j (x1, x2) = Bj (x\) • W\ j • B j(x2),

02,j(x1,x2) = Bj(x1)• W2,j • Bj(x2), 03,j(x1,x2) = Bj(x1)• W3J • Bjfo), где W,-,j - матриц вейвлет-коэффициентов. На рис. 2 представлены графики точных решений задачи и их приближений, полученные методом коллокаций. Погрешности для метода коллокаций max | О (x ) — О (x)|

тах|ст2(х,) ^. (х,)

max | Т (х ) — Т (х )| не превышают соответственно 0.03, 0.013 и

0.006 МПа.

На рис. 3 и 4 показан пример результата работы алгоритма нахождения производных для поиска границ объектов на полутоновом изображении.

Заключение. В приложениях вейвлет-анализа к вычислительной математике, геометрическому моделированию, компьютерному зрению и машинному обучению требуется по данным вейвлет-коэффициентам разложения неизвестной функции найти значения этой функции и её производных в заданных точках. Эти вычисления часто необходимо реализовывать при решении оптимизационных задач, в которых важную роль играет время нахождения таких значений, в том числе и в самой возможности получить решение этих оптимизационных задач.

и

Для разработки алгоритмов нахождения значений функции и её производных на основе свёрток последовательностей и действий с разреженными матрицами использованы результаты теории стационарных схем подразделений.

Получены оценки погрешностей при аппроксимации неизвестной функции и её производных вейвлет-разложением этой функции и производными этого разложения.

Проведён вычислительный эксперимент по решению краевой и начальной задач со сравнением приближённого и точного решений. Также показан пример использования алгоритма нахождения производных для поиска границ объектов на полутоновом изображении.

Список литературы

1. Bityukov Y.I. Spline Wavelets Use for Output Processes Analysis of Multi-Dimensional Non-Stationary Linear Control Systems / Y.I. Bityukov, Y.I. Deniskin, G.Y. Deniskina // Journal of Physics: Conference Series. - Omsk: Institute of Physics Publishing, 2018. P. 012018. DOI: 10.1088/1742-6596/944/1/012018.

2. Deniskina G.Y. About Some Computational Algorithms for Locally Approximation Splines, Based on the Wavelet Transformation and Convolution / G.Y. Deniskina, Y.I. Deniskin, Y.I. Bityukov // Lecture Notes in Electrical Engineering. 2021. Vol. 729 LNEE. P. 182-191. DOI: 10.1007/978-3-030-71119-1_19.

3. Bityukov Y.I. Construction of Smooth Biorthogonal Waves on Triangulated Spaces / Y.I. Bityukov, Y.I. Deniskin, I.V. Pocebneva // Proceedings - 2019 International Russian Automation Conference, RusAutoCon 2019. 2019. P. 8867785. DOI 10.1109/RUSAUTOCON.2019.8867785.

4. Bityukov Y.I., Deniskin Y.I. Chaikin Algorithm and its Generalization / Y.I. Bityukov, Y.I. Deniskin // 2016 Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics) 2016. P. 1-5. DOI: 10.1109/Dynamics.2016.7818981 IEEE Conference Publications.

5. Bityukov Yu.I., Akmaeva V.N. The Use of Wavelets in the Mathematical and Computer Modelling of Manufacture of the Complex-shaped Shells Made of Composite Materials / Yu.I. Bityukov, V.N. Akmaeva // Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. 2016. Vol. 9, 3. P. 5-16.

6. Босов А.В. О поиске оптимальной схемы 3D-печати конструкций из композиционных материалов / А.В. Босов, Ю.И. Битюков, Г.Ю. Денискина // Информатика и её применения. 2022. Т.16. Вып. 1. С. 10-19. DOI: 10.14357/19922264220102.

7. Bertalmio M. Navier-Stokes, Fluid Dynamics, and Image and Video Inpainting / M. Bertalmio, A. Bertozzi and G. Sapiro // Proc. IEEE Comput. Soc. Conf. Computer Vision Pattern Recognition, 1. 2001. DOI: I-355. 10.1109/CVPR.2001.990497.

8. Bertalmio M. Navier-Stokes, Fluid Dynamics, and Image and Video Inpainting / M. Bertalmio, A. Bertozzi and G. Sapiro // Proc. IEEE Comput. Soc. Conf. Computer Vision Pattern Recognition, 1. 2001. P. 355-362.

9. Chan T.F. Total Variation Wavelet Inpainting / T.F. Chan, J. Shen, and H.M. Zhou // J. Math. Imaging Vision. 2006. 25. P. 107-125.

10. Cai J.F. A Framelet-based Image Inpainting Algorithm / J.F. Cai, R.H. Chan, and Z. Shen // Applied and Computational Harmonic Analysis 24. 2008. N. 2. P. 131-149.

11. Битюков Ю.И., Битюков П.Ю. Построение параметрического семейства вейвлетов и использование его в обработке изображений // Моделирование и анализ данных. 2023. Т. 13, N4. С. 7-22. DOI: 10.17759/mda.2023130401.

12. Zhang Q., Benveniste A. Wavelet Networks // IEEE Transactions on Neural Networks 3. 1992. N.6. P. 889899.

13. Veitch D. Wavelet Neural Networks, and their Application in the Study of Dynamical System // Department of Mathematics University of York. 2005.

14. Cavaretta A.S. Stationary Subdivision Schemes / A.S. Cavaretta, W. Dahmen, C.A. Micchelli // Publication: Memoirs of the American Mathematical Society. 1991. V. 93. N 453. P. 1-186.

15. Dyn N. Analysis of Convergence and Smoothness by the Formalism of Laurent Polynomials // Tutorials on Multiresolution in Geometric Modelling. 2002. P. 51-68.

16. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. Москва, 2004. 280 с.

17. Frazier, Michael W. An Introduction to Wavelets through Linear Algebra. Springer, 1999. 503 p.

18. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. Москва: Физматлит, 2005. 612 c.

Битюков Юрий Иванович, д-р техн. наук, профессор, [email protected], Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

Денискин Юрий Иванович, д-р техн. наук, профессор, yurideniskin@gmail. com, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

Битюков Павел Юрьевич, студент, p.bityukoff@yandex. ru, Россия, Москва, Московский энергетический институт (национальный исследовательский университет)

ON SOME COMPUTATIONAL ALGORITHMS AND ERROR ESTIMATES FOR WAVELET EXPANSION

Y.I. Bityukov, Y.I. Deniskin, P.Y. Bityukov

Based on the theory of stationary subdivision schemes, error estimates are obtained for wavelet expansions of functions specified on an interval, and some computational algorithms using convolutional transformations of sequences and operations with sparse matrices to find approximate values of the function and its derivatives using known wavelet coefficients.

Key words: CAD, subdivision schemes, wavelet, geometric modeling, image processing.

Bityukov Yury Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Deniskin Yury Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Bityukov Pavel Yur'evich, student, p. bityukoff@yandex. ru, Russia, Moscow, National Research University «Moscow Power Engineering Institute»

УДК 004.052.42; 681.5.03

Б01: 10.24412/2071-6168-2024-3-48-49

НЕЙРОСЕТЕВОЙ МЕТОД ОБНАРУЖЕНИЯ СМЕНЫ РЕЖИМА РАБОТЫ НЕЛИНЕЙНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

С. Ван, В.Л. Елисеев

Исследуется задача обнаружения изменения характера поведения динамического объекта, обладающего нелинейными свойствами. Предлагается метод, основанный на выявлении новизны взаимной корреляционной функции вход-выход с помощью нейросетевого автокодировщика. Проводятся эксперименты с различными входными сигналами, демонстрирующие возможность диагностировать смену режима роботы динамической системы.

Ключевые слова: функциональное диагностирование, взаимная корреляционная функция, динамический объект, динамический режим работы, нейросетевой автокодировщик, обнаружение новизны, разладка.

Функциональное диагностирование [1] является одной из наиболее важных задач в системах управления динамическими объектами для обеспечения качества целевых характеристик системы и безопасности её функционирования. Целью функционального диагностирования традиционно считается выявление фактов неправильного функционирования и их идентификация обнаруженных дефектов. В современных интеллектуальных системах, обладающих нелинейными характеристиками как в части объекта, так и в части алгоритма управления, приобретает актуальность задача идентификации режима работы системы [2]. Смена режима работы системы может рассматриваться как значимое событие для изменения алгоритма управления.

В стохастической постановке задача обнаружения момента изменения характеристик случайного процесса называется обнаружением разладки [3]. Часто задачу функционального диагностирования можно рассматривать именно в стохастической постановке, поскольку сигналы, наблюдаемые в системе, далеко не всегда можно считать детерминированными. Далее для краткости будем обозначать смену режима динамической системы термином разладка даже в том случае, если будем рассматривать детерминированные сигналы.

Разладка может возникать в следствие возникновения дефекта в датчике, исполнительном механизме или объекте управления независимо или одновременно. Для простой неисправности может быть достаточно обычной схемы пороговой сигнализации. Однако в сложных промышленных системах обычно трудно напрямую измерить состояния процесса, которые являются хорошими индикаторами неисправностей. Наблюдая одновременно за несколькими измеряемыми характеристиками процесса, квалифицированным операторам часто приходится принимать оперативные решения, основываясь только на своем опыте.