CC BY
5
Ашурова З.Р. доцент
кафедра «Математический анализ» Самаркандский государственний университет
Узбекистан, Самарканд Жураева У.Ю. ассистент
кафедра «Математический анализ» Самаркандский государственний университет
Узбекистан, Самарканд Тоштемирова Н. О. студент магистратуры кафедра «Математический анализ» Самаркандский государственний университет
Узбекистан, Самарканд
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ БИГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В
R2
Аннотация: В данной работе построена функция Карлемана для бигармонических функций заданные в области Ю = {у: у = (у1,у2), —от <
у1 < от, 0 < у2 < > о} функций заданных в двумерном пространстве.
Ключевые слова: Бигармонические, гармонические,
полигармонические функции, формулы Грина, функция Карлемана.
Ashurova Z.R. associate professor Department of "Mathematical Analysis" Samarkand State University Uzbekistan, Samarkand Zhuraeva U. Yu. assistant
Department of "Mathematical Analysis" Samarkand State University Uzbekistan, Samarkand Toshtemirova N. O. graduate student Department of "Mathematical Analysis" Samarkand State University Uzbekistan, Samarkand
ON SOME PROPERTIES OF BHARMONIC FUNCTIONS IN R2
Annotation: In this article we consider Carleman's function, to find integral representation for the biharmonic functions(^2u(y) = 0) defined in
unbounded domain D = {у: у = (y1; y2), —<x> < yx < от, 0 < y2 < p > o} of
two dimensional Euclidean space.
Key words: Biharmonic, harmonic, polyharmonic functions, Green's formulas, Carleman function.
Шароф Ярмухамедов занимался исследованием классической интегральной формулы Грина для гармонических функций в неограниченной пространственных областях. Задача заключалась в получении формулы Грина для растущих гармонических функций. Здесь вместо классического фундаментального решения уравнения Лапласа надо было построить новое фундаментальное решение, которое достаточно хорошо убывает на бесконеч- ности. Ш.Ярмухамедовым было построено требуемое фундаментальное решение в явном виде, которое выражается через целой функции комплексного переменного. Им получена интегральная формула Грина в неограниченной области в классе растущих гармонических функций. В этом направлении им было установлено теорема типа Фрагмена - Линделефа для гармонических функций.
В этой работе используя ядро Ярмухамедова получая интегральное представление для неё получаем оценку роста функции внутри области т.е теоремы типа Фрагмена - Линделефа.
Интегральное представление в для бигармонических функций заданные в области D которую мы намерены получить, иными словами, по граничным значениям функции восстановить ее значения всюду внутри области выражает фундаментальное свойство для бигармонических функций.
Пусть R2 - двухмерное вещественное евклидово пространство, x = (Xi, Х2), x' = (Xi, 0), r = |x y|, s = |x' — y'|, a2 = s,
D = {y: y = (yi, У2), У1 e R, 0 < У2 < h, h = П, P > 0}.
Функцию Фст(у, x) при s > 0, a > 0, a > 0, определим:
exp(aw+w2)-achip1(w-h)
Ф0(У,Х) = Cnm jJS Im
w-x9
(u2 — s)du, w = iu +
У2,(3)
где Спт = (8пГ2(2)) , можно доказать что эта искомая функция. Теорема 1. Фст(у, х) является полигармонической функцией порядка 2 по у при б > 0 и для этой функции имеет место
Фст(У,х) = Со(г2 /пг + Сст(х,у)),
где Са(у,х) регулярная по переменному у и непрерывно дифференцируемая на Э. Доказательство.
Для того, чтобы получить утверждение теоремы, рассмотрим подынтегральное выражение
]1 = 1т
ехр (аш + ш2 — acosp1 (ш —
^ — х
2
имея ввиду свойства гиперболических функций, получим
ехр( ош + ш2 — acosp1 (ш — =
= ехр \о(ш + у2) + (¿и + у2)2 — асо5р1 (¿и + у2 — = ехр
—а(скр1и) (со5р1 (у2 — + I (<ги + 2иу2 — а(зкр1и) (зтр1 (у2 —
=ехр \иу2 + у22 — и2 — аскр1исозр1 (у2 — ехр I (аи + 2иу2 — (у2 —$) = еХр [ау2 + У22-u2- а!рп (Уг —
+ 2иу2 — а5кр1и5тр1 (у2 —
°У2 + У 22
и
— 11 —
соэ ( аи
А1 =
+ ¿бЫ (аи + 2иу2 — а5кр1и5тр1 (у2 —
°У2 + Уг —и2 — асИ.р1исо5р1 (у2 —
2иу2 — а,5кр1и5тр1 (у2 —
А? = ( аи +
Применяя некоторые свойство комплексных чисел а+Ш
1т-
c+id получим:
1т
cb-ad . а+1-1+ib cb-(а+1-l)d
= 1т-
c2-d2
c+id c2-d2
ехр( стм + м2—acosp1
= 1т
Поэтому
Ш-Х2
ехр( стм+м2—acosp1
= 1т
ехр( стм + м2—acosp1(м—^))-
1 + 1
Ш—Х2
Ш—Х2
+ 1т
\-Ч-
ФСТ(У,Х) = Со I
ГО
Сп I 1т
VI
•4
Л/;
ехр ( аш + ш2 — acosp1
+ с0 I 1т
'VI
1
ш — х
(и2 — s)du
(и2 — s)du
1.ш — X2j
Кроме того разделяя последний интеграл на две части и вычисляя
и
'VT+s
(и2 — s)du
I
и
VT+s
VI и2 + (У2 — х2)2
1 и2 + (У2 — Х2)2
и2 + (у2 — х2)2 = t, и2 — s = t — г2 1+г2 (t—г2)dt
(и2 — s)du
2
t
=1—г
гт+г2 dt_ 1 Т =
= 1 + 2г2/пг — г2/п(1 + г2)
имеем
Фст(у,х) = Со I
Л/
+ I 1т
'VI
Если обозначим
I
го
сп I 1т
VI
VT+I 1
ехр ( аш + ш2 — acosp1
(ш—2))-
ш — х
ш — х
2
^г ГО
1т
VT+I
ш—х
2
(и2 — s)du +
(и2 — s)du
Gст(y,x) = Со I
Л|
сп I 1т
VI
ехр ( аш + ш2 — acosp1
(ш—2))—
ш—х
(и2 — s)du + 1
^г ГО
1т
Vl + s
ш—х
(и2 — s)du
то
Фа(у,х) = Со(г2lnг + Gа(y,x)) где С2(х,у, ст)-будет в свою очередь гармонической, легко доказать что это функция полигармонической функцией порядка 2 по у при 5 > 0. Теперь мы докажем утверждение:
Фст(у,х) = с0(г2 /пг + С1(х,у, ст))-бигармоническая функция. Лемма 1.1.2. Если фст(у, х) гармоническая функция в по
переменной у включая и точку х, то справедливо равенство
1 /с ^ 1 _ 2 .
^гкфст(у,х) = гк 2фст>1(у,х), где Ф*д(У,*) = + к — 2)фст(у,х) + 2^ХУ=1(У; — х;)
функция тоже является гармонической функцией в переменному у включая и точку х.
Теорема 2. Для функции Фст(у, х), имеет место неравенства:
по
1
2
2
1
2
1
1
го
1
_Сс
<г / ехр(А)'
Доказательство.
ФеСУ'Х) = Со[
о
и | 1т
Я
ехр I ст(iu + У2) + (iu + У2)2 - асЫр! I (iu + У2) — 2
h
и2 — s = иди = г2дЬ, du =
- „2,
(Ш + У2) — Х2 Г2&
(и2 — з)ди,
Фа(У,Х~)
\1г2Ь+з
1т
еХр (ст( / л1г2Ь + 5 + У2) + ( Ыг21 + 5 + У2) — ас 05р1 (+ 5 + У2 —
( Ь л!г21 + Б + У2 — ■Х2) + Б
Ф<г (У, х)
р о
= I 1т
■)0
При А1 = <гу2 + у22 — г21 — б — аскр14г2Т+5со5р1 (у2 —
Q = ехр(ау2 + У22)
Q(cоsA2+ 1 б1ПА2)(У2 — Х2 — ^г2г + 5) г4гйг
\_еХр1асНр1,гЧ + 5 С°5 р1(у2 — ЩеХр(г2 г + 5)(у2- х2 + ^г2г + б) (у2 — х2 — ^г2г + 5) \1г2Ь + Б
а(У,Х) = г2 I ¿0
= г2\ '0
Q(y2 — х2)зтА2 — ^гН+ИсозА^
гйг
ехр (аскр1^гЧ+5 со зр1 (у2 — & + 1)ехр(г21 + б) Q(У2 — Х2)зтА2 гй
угЧ + з
—
ехр ( аскр1^гГ+И соз р1 (у2 — ехр(г2Ь + б)(t + 1) 0
QcоsA2
угЧ + з гйг
ехр ( аскр1^гЧ+И со зр1 (у2 — & + 1)
ехр(г21 + б)
Обозначая где
л= X
Ф а(у,х) = Г2Я — г2]2
Q(У2-x2)sinA2 гаг
о
0
ехр(асНр1^г2г+8со8р1[у2-^))ехр(г2г+8)(г+1) ^г2г+з
QcоsA2 ЬйЬ
е хр ( аскр1^гН+1; со Бр1 (у2 — ( t + 1)
ехр(г21 + б)
со
h 2
1 (y2-Xz)Vt Qsin^
Л = + У22 - S - achpiacospi (y2 - h)
i/ii= r1 '
(t+l) Vr2t+s exp(achp1Vr2t+scosp1(y2-h))
Vtdt V^
exp(r2t+s) г2(1+2)ехр(Л)
l/ii <-3
1 Co
г3 ехр(Л)
гот tp 2dt _ 135......(2p-l) V^ rOT dt _ с
J0 exp(at) 2P „Р+1' ® exp(r2t+s) r2
Я 2
l/ii = f
( ) exp (achp1Vr2t + scosp1 (y2 — h)) Итак, l$,(y,x)i<(J3 + -12)-^-=(i+1).
dt
<
exp(r2t + s) г2 ехр(Л)
a / '■■■'I — угз ■ r2/ехр(Д) Vr ехр(Д)"
Вывод: В этой работе используя свойств ядро Ярмухамедова построив функцию Карлемана получим интегральное представление т.е интегральная формула Грина в неограниченной области в классе растущих бигармонических функций. Интегральное представление в для
бигармонических функций заданные в области D которую мы намерены получить, иными словами, по граничным значениям функции восстановить ее значения всюду внутри области выражает фундаментальное свойство для бигармонических функций и для неё получаем оценку роста функции внутри области т.е теоремы типа Фрагмена - Линделефа.
Использованные источники:
[1] Sh.Y.Yarmukhamedov, Задача Коши для полигармонического уравнения, Доклады РАН., 388(2003), 162-165.
[2] Z.R.Ashurova, N.YU.Jurayeva, U.Yu.Jurayeva, О некоторых свойствах ядро Ярмухамедова, International Journal of Innovative Research, 10(2021), Impact Factor 7.512.
[3] Z.R.Ashurova, N.YU.Jurayeva, U.Yu.Jurayeva, Growing Polyharmonic functions and Cauchy problem, Journal of Critical Reviews, Scopus. http://dx.doi.org/10.31938.jcr.07.06.62, Volume 7,Issue 7(2020), ISSN 23945125, P371-378. Country: India
[4] Z.R.Ashurova, N.YU.Jurayeva, U.Yu.Jurayeva, Task Cauchy and Carleman function, Academicia:
[5] Ш.Ярмухамедов, Формула Грина в бесконечной области и ее применение, ДАН СССР, 285(1985),№2, 697-700.
[6] Н.Ю.Жураева,У.Ю.Жураева,У.Саидов, Функция Карлемана для полигармонических функций для некоторых областей лежащих в m-
t
c
0
c
0
мерном четном евклидовом пространстве, Uzbek Mathematical Journal, 3(2011). - 338
