CC BY
119
О НЕКОТОРЫХ СПОСОБАХ ПРОПЕДЕВТИКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ
ABOUT SOME METHODS OF PROPAEDEUTICS FOR SOLVING PROBLEMS WITH PARAMETERS IN SECONDARY SCHOOL
С.И. Танцорова S.I. Tantsorova
Задачи с параметром, пропедевтика решения задач с параметром, нахождение значения выражения.
В статье представлена последовательность простых задач с параметром, интеграция которых в сложившийся курс математики является пропедевтикой решения более сложных задач с параметром.
Problems with parameters, propaedeutics for solving problems with parameters, finding expression value.
The paper presents a series of simple problems with a parameter that if included into the existing math course can be considered as propaedeutics for solving more sophisticated problems with parameters.
Задачи с параметрами традиционно являются одними из самых сложных в курсе математики. Среди множества различных обстоятельств, связанных с этими задачами, можно выделить следующие. Во-первых, с содержательной точки зрения решение задач с параметрами закладывает основы формирования профильного (математического) мышления. Во-вторых, эти задачи важны и с другой, прагматической точки зрения: умение решать их серьёзно увеличивает шансы школьников на успешную сдачу выпускных и вступительных экзаменов. Кроме того, задачи с параметром есть один из (немногих) примеров ситуаций, которые самым естественным образом возникают в математике как науке и «индуцируются» в математике как учебном предмете.
Простейший статистический анализ (см. напр., [Ткачук, 2007]) показывает что, с одной стороны, задания с параметрами присутствуют в подавляющем большинстве (до 80-90 %) вариантов вступительных экзаменов в серьёзные вузы. Кроме того, на протяжении 10 лет задачи с параметрами присутствуют в каждом из вариантов КИМ ЕГЭ, встречаются они и в заданиях ГИА [Семенко и др., 2011; Семенов, Ященко, 2011]. С другой стороны, такие же подсчёты показывают, что заданий с параметрами крайне мало (не более 1 %) в действующих УМК для средней школы (см. напр., [Мордкович и др., 2009] и другие УМК).
Тем самым имеется явный разрыв между тем, что требуется от учеников для продолжения образования, и тем, что предлагается им в школе. Как правило, этот разрыв заполняется разного рода дополнительной учебно-методической литературой, многочисленными пособиями для абитуриентов и т. п. Однако чаще всего построение задачного материала в такого рода пособиях явно нацелено на постоянное и довольно быстрое увеличение сложности задач. Изложение начинается примерно с того уровня сложности, которым заканчивается материал школьных УМК, а затем предлагается большое количество заданий с постоянной накруткой: усложняются выражения с параметром, появляются дополнительные условия, появляются второй и третий параметры, кванторы и пр.
В целом, здесь возникает комплекс разнообразных учебных, педагогических и научнометодических проблем, связанных с тем, что в действующих УМК и сопровождающих их учебно-методических материалах недостаточное внимание уделено именно подготовительному этапу формирования умения решать задачи с параметром.
Для сравнения, тригонометрические функции числового аргумента вводятся только после достаточно протяженного по времени (6-9 кл.) знакомства с окружностью, углами, тригонометрическими функциями углового аргумента, чис-
ловой окружностью. Без такой длительной пропедевтики вряд ли можно было бы рассчитывать на сколько-нибудь успешное массовое овладение тригонометрическими функциями.
Возвращаясь к задачам с параметром, еще раз сформулируем основную проблему: отсутствие, а точнее, недостаточную разработанность методик предварительного пропедевтического формирования представлений о задачах с параметром.
В настоящей статье рассмотрено движение не в сторону усложнения, а в сторону упрощения задач с параметром. При этом сохранена та же последовательность изложения учебного материала, что и для задач без параметров. Отметим, что в подавляющем большинстве задачи с параметром связаны с решением уравнений или неравенств. Поэтому проводить пропедевтику задач с параметром уместно в той же учебной последовательности, что и для задач без параметров: буквенные выражения, значения выражений, их преобразования, и только после этого уравнения.
Подчеркнем, что в традиционном курсе математики решению даже самых простых уравнений и неравенств предшествует один немаловажный момент. Речь идёт о подстановке конкретных значений переменных в выражения и преобразованиях числовых и буквенных выражений, связанных с тем, что для школьников всегда был в некотором смысле решающим переход от чисел к буквам и это тот рубеж, который независимо от века и системы образования заметное число школьников проходят с трудом. Другими словами, задачи с параметром мы предлагаем вводить на раннем и более простом для школьников этапе, делая по возможности минимальным разрыв между задачами с параметрами и без параметров. Покажем, как это можно сделать на конкретных примерах.
Выражения с одной переменной
В каждом известном УМК имеется заметный массив задач на нахождение значений выражений, которые отличаются друг от друга либо сложностью выражения, либо сложностью вычислений. Вот типичный пример:
1.0. ( № 1.19 из [Мордкович и др., 2009]). Найдите значение выражения:
а) 3х, если х=-3,5; в) -5у, если у=-0,3;
б) х+3, если х=-313; г) у-5, если у=3,5.
В каждом из пунктов а) - г) новое значение переменной подставляется в новое выражение. Условно назовем это пример типа «1^1» (одно значение, одно выражение).
В качестве простейшей пропедевтики введения параметров рассмотрим следующий пример типа «1^п», в котором одно и то же значение переменной подставляется в различные выражения.
1.1. Подставьте а=3 в следующие выражения и найдите их значения, если это возможно:
а) 2а-10; б) а3; в)13а2-2; г) а-32а; д) а+12а-6.
Отметим, что именно такой пример уже носит обобщающий характер, так как в пунктах
а) - д) мы имеем дело с выражениями различных типов: линейными, квадратичными, дробнорациональными.
Своего рода симметричным заданием является пример типа «п^1», в котором различные значения переменной подставляются в одно и то же выражение:
1.2. а) Найдите значение выражения 2у-8 при у=-4;0;2.
б) Найдите значение выражения Ь+53-Ь при Ь=-5;2;3, если это возможно.
Этот пример позволяет наблюдать за различными значениями одного выражения и проводить простейший анализ.
Задания 1.1 и 1.2 можно оформить в виде таблицы, что особенно актуально в связи с введением стохастической линии и изучением табличного способа представления информации.
Пример 1.2. а) Заполните таблицу:
Значения у -4 0 2
Значения выражения 2у-8
Формально можно было рассмотреть и примеры типа «к^п», когда к значений переменных подставляются в п различных выражений. Однако, на наш взгляд, решение такого примера в любом случае сводится к задачам предыдущего типа и отличается от них только громоздкостью.
В следующем примере, кроме подстановки чисел в выражения, ставится вопрос об отборе подходящего числа.
1.3. а) Из чисел -4;0;2 выберите такое значение у, при котором значение выражения 2у-8 равно -4.
б) Из чисел -5;2;3 выберите такое значение Ь, при котором выражение Ь+53-Ь не имеет смысла; обращается в нуль.
Эти задания являются некоторым продолжением задач 1.2 а) и б) соответственно. То есть ученикам предлагается не просто найти значения выражений, но и выполнить простейший отбор. Сами критерии отбора могут выглядеть по-разному: значение выражения равно нулю, больше десяти, кратно трем, является двузначным числом, имеет или не имеет смысл и т. д.
Одним из условий реализации пропедевтического введения параметров является систематическое рассмотрение заданий, в которых параметр принимает конечное и, как правило, очень небольшое количество значений (не более 5, например). В примере 1.3 реализован принцип небольшого количества значений - задача может быть решена простым перебором. Это само по себе является весьма содержательной учебной задачей.
В следующей задаче прямой перебор невозможен в принципе: при его решении требуется более общий взгляд на ситуацию.
1.4. а) Найдите те значения а, при которых выражение не имеет смысла:
2-аа+3; 3а+7а2-16 ; 10(а+1)2.
б) При каком значении р выражение 2р+1 равно 7?
Выражения с двумя переменными
Рассмотренные примеры касались выражений, зависящих от одной переменной, при подстановке конкретного значения которой в ответе получалось число. Естественно выстроить аналогичную последовательность для выражений с двумя переменными, при подстановке конкретного значения одной из них, ответом будет являться выражение.
2.1. (Тип «1^п»). Подставьте а=2 в следующие выражения и упростите их: а) ах+3х-2=0; б) ах-2+3х; в) х2-4х-а; г) 2х-а2-ах.
2.2. (Тип «п^1»). Упростите выражение (а2-1) х+а при а=-1;0;1.
2.3. При каком из следующих значений к выражение к2-1х2+4кх будет линейным относительно х:к=-2;1;3?
2.4. Найдите такое значение а, при котором тождественно равны выражения: ах-1 и 2х-2.
Уравнения
3.1. (Тип «1^п»). Решите следующие уравнения при а=0:
а) ах=5; б) ах-2=3х; в) х-а=5; г) а-1х=4.
3.2. (Тип «п^1»). Заполните таблицу:
Значения а -3 -1 1 3
Корень уравненияах-3х=5
3.3. Число s для уравнения sx=-7 выбирают из чисел -3;0;5; -4;7. Найдите вероятность того, что полученное уравнение имеет положительный корень.
Задачи 4-го типа в контексте уравнений являются традиционными заданиями с параметром.
3.4. Найдите такие значения а, при которых уравнение 3ах-1=9х:
а) не имеет корней; б) имеет корень, равный -1; в) имеет корень, равный 0.
Графики функций
Приведём несколько примеров, показывающих, что, наряду с алгебраическими, можно рассматривать задачи и на геометрические представления.
Постройте график функции у=ах+3при а=2; -1;0. Выберите то значение а, при котором график параллелен оси абсцисс.
Коэффициент к для функции у=кх+Ь выбирают из чисел -1;2; -7;4. Укажите те значения, при которых функция является убывающей.
Из значений а=1,2,3,4 выберите то значение а, при котором прямая у=ах-4 пересекает ось абсцисс в точке (1;0).
Из значений а=-1, 1, 2 и Ь=0,1,2 составьте все возможные пары, при которых прямая у=ах+Ь не имеет общих точек с прямой у=х.
Так как значения параметров в такого типа задачах выбирают из очень небольших множеств, то подобные задачи можно довольно удачно интерпретировать и как задачи на прямой перебор, и как задачи на вычисление простейших вероятностей. Например:
(2») Коэффициент к для функции у=кх+Ь наудачу выбирают из чисел -1;2; -7;4. Найдите вероятность того, что полученная функция является убывающей.
В заключение отметим, что предлагаемая
методика призвана заполнить сложившийся разрыв между традиционными школьными задачами и задачами с параметром. Во-первых, она позволяет равномерно распределить задачи на пропедевтику параметров в сложившемся курсе математики основной школы, делая как можно более плавным переход от стандартного школьного учебного материала к задачам с параметром. Заметим, что само слово «параметр» не фигурирует в условиях приведенных выше задач, что направлено на постепенное формирование представлений о задачах с параметром и предваряет различного рода формальные (строгие) формулировки того, что именно называется параметром. Во-вторых, разбор не все более сложных, а более простых задач будет способствовать более естественному пониманию задач с параметром большинством учащихся. В-третьих, решение задач с параметром, который с самого начала принимает лишь небольшое число значений, позволяет подготовить учащихся к ситуации, где значений параметра бесконечно много и неясно, с чего начинать поиск подходящих значений. Подчеркнем, что приведенные наборы задач ни в коей мере
не являются конспектами отдельных уроков. Напротив, их целесообразно равномерно распределять по всему курсу алгебры 7-8 классов. Аналогичный подход можно использовать и при изучении других учебных тем: квадратные уравнения и неравенства, дробно-рациональные и т. д.
Библиографический список
1. Мордкович А.Г., Александрова Л.А., Мишу-стина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра. 7 класс: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2009. 270 с.
2. Мордкович А.Г., Николаев Н.П. Алгебра. 7 класс: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2009. 207 с.
3. Семенко Е.А., Белай Е.Н., Ларкин Г.Н., Сукма-нюк В.Н. ГИА. Математика. 9 класс. М.: Экзамен, 2011. 77 с.
4. Семенов А.Л., Ященко И.В. ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов. М.: Национальное образование, 2011. 192 с.
5. Ткачук В.В. Математика абитуриенту. М.: МЦНМО, 2007. 976 с.
