О некоторых следствиях одного представления натуральной степени натурального числа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511

О НЕКОТОРЫХ СЛЕДСТВИЯХ ОДНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА

© В.И. Фомин

Fomin V.I. On certain consequences of representing a natural number’s natural degree. The article considers one representation of a natural number’s natural degree, which is followed by such known facts, as small Fermat theorem, Shaneman’s formula, recurrence formula for a sum of degrees of successive natural numbers with a natural exponent, and also by the generalisation of small Fermat theorem, which is used in analysing an indefinite equation containing unknown quantities of natural degree.

В работе указывается одно представление натуральной степени натурального числа, из которого следуют такие известные факты, как малая теорема Ферма [1], формула Шенемана [2], рекуррентная формула для суммы степеней последовательных натуральных чисел с натуральным показателем [3], а также обобщение малой теоремы Ферма, которое используется при анализе неопределенного уравнения, содержащего неизвестные в натуральной степени.

Л е м м а 1. Для любых а, р е N, а > 2 , справедлива формула:

p-l

= 1 +ZCpS1- (a),

(1)

1=0

a-1

где S1 (a)= Ej1

j=l

Д о к а з а т е л ь с т в о. Индукция по a . При a = 2 :

p-1 і t \ p-1 і p 1 +ECpS1 (2) = 1 +ECp = е Cp = 2

p-1 p

1=0

pp 1=0 1=0

в силу известного свойства биномиальных коэффициентов [4]. Пусть формула (1) верна для а = к :

p-l / \ kp = 1 +EC1pSl (k).

(2)

Тогда, используя бином Ньютона и (2), получаем для a = k +1:

(k +l)p = ECpk1 + kp = 1 + ECps, (k +l).

1=0 1=0

Лемма 1 доказана.

p-1 , 1 \

= a +Е CpS1 (a) .

1. Пусть p - простое число. Тогда

C'p = 0(mod p), 1 < 1 < p-1.

(3)

(4)

В силу (3), (4)

ap = a(mod p). (5)

Если а Ф 0(mod p), то из (5) следует, что

ap-1 = l(mod p). (6)

(5), (6) выражают малую теорему Ферма.

t \ п

2. Пусть p - простое число, a(x)= 2atxn ' -

i=0

некоторый многочлен с натуральными коэффициентами от положительной целой переменной. Тогда в силу

(3), (4)

[a(x )]p = a(x) + pB(x ), (7)

где B (x) e N . Аналогично,

a(xp)= 2ai(xp)n " + an = 2ai(xn-i ^ + an =, (8)

n-ln-1 n-1

ЕЕ== Е at

i =0i =0 i =0

(xn 1 + pCt (x ))+ an = a(x) + pC (x)

где Ct(x), C(x)e N (i = 0,1,...,n -l). Из (7), (8) следует формула Шенемана

[a(x)]p = a(xp )(mod p).

З а м е ч а н и е 1. При p У 2 формулу (1) можно записать в виде:

3. Пусть n,k e N . Тогда для a = n + 1, p = k +1 формула (1) принимает вид:

a

1=0

(и + 1)к= 1+Еск(и +1),

ап = а + иВ ,

і=0

откуда

£к (п + 1) = — кУ ! к +1

(и +1)к+1 -1 - ^Ск+& (п +1)

і=0

где £ о (п +1)= п . Получена рекуррентная формула для суммы степеней последовательных натуральных чисел с натуральным показателем, из которой можно найти известные формулы для конкретных значений

[5].

4. Формулу (3) можно использовать для получения некоторых тождеств. Например, полагая в (3) а = п +1, р = 3 , имеем:

(и +1)3 = и +1 + 3 (1 + 2 +... + и)+ 3 (і2 + 22 +... + и2 ) = = и +1 + 3 [(і +12 )+(2 + 22)+... + (и + и2 )] =

= и +1 + 3 [1 • 2 + 2 • 3 +... + и(и +1)]

Получили:

(и + 1)3 = и + 1 + 3[Ь 2 + 2 • 3 +... + и(и + 1)].

С другой стороны, в силу формулы (а - Ь)(а + Ь) =

2 1.2 = а - Ь

(и +1)3 = и +1 + [(и +1)—1](и + 1)[(и +1)+1].

Из последних двух соотношений следует известное тождество [6]

, ~ ~ „ (Л и(и +1)(и + 2)

1 • 2 + 2 • 3 +... + и(и +1) = —---—------- .

4 ’ 3

(10)

где В е N . Если р{ = р (это возможно, когда р -простое число), то (9) следует из (10).

Пусть рг- < р . Тогда в силу (10)

ар = ар‘ар-р‘ = (а + р1В1 )ар-р‘ = ар-р‘ +1 + р,В2 , (11) где В1, В2 е N . Если р таково, что к{ = 2 , те

р + 1

Рі =-

2

р+1

, то из (11) получаем в силу (10)

ар = а 2 + Р+1В =| а + —В3 I + Р+1 В2 =

2 2 I 2 3 ^ 2 2 (12)

= а + Р+1 Вл ,

где В3, В4 є N . Из (12) следует (9) для р = При кі > 3 из (11) вытекает в силу (10)

ар = аРі-(кі -2 )а(кі -2 )рі + ріВ2 =

= аРі-(кі-2)(акі-2 + РіВ5 )+ргВ2 =

= аРі + РіВ6 = (а + РіВ 7 )+ РіВ6 = а + РіВ8 ,

Р + 1

(13)

где В5,В6,В7,В8 є N . Из (13) следует (9).

Теорема 1 доказана.

З а м е ч а н и е 2. Малая теорема Ферма следует из теоремы 1 при простом р и рі = р .

6. При уточнении проблемы Варинга, а именно, выяснении минимального количества слагаемых в представлении произвольного натурального числа А > 2 в виде

5. Покажем, что сравнение (5) остается справедливым, если в его левой части в качестве р брать произвольное натуральное число, а в правой части вместо р записывать любое простое р{ < р, удовлетворяющее

р ~ 1 лт условию -------е N .

р1 _1

Т е о р е м а 1. Для а, р е N; а, р > 2 и любого простого р{ < р , удовлетворяющего условию

к =—— є N Рі -1

справедливо сравнение

а(mod рі). (9)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (3), (4) при простом и

А = а1 + а’1 +... + аки(п)

а также нахождении числа таких представлений приходится исследовать уравнение вида

2 X? = 2 УІ

і=\ «=1

(14)

где х1, ух є N; х1 Ф ух для любых 1 < і < т , 1 < ^ < / (последнее условие исключает наличие одинаковых слагаемых в левой и правой частях (14); при наличии таких слагаемых их можно было бы опустить и перейти к уравнению вида (1) меньшей размерности по т и /); и є Nр (N р - множество простых чисел); т,/ є N, т + / > 4 (случай т + / = 2 тривиален; при т + / = 3, и = 2 известен явный вид решений уравнения (14) [2]; в случае т + / = 3, и > 3 множество решений уравнения (14) пусто [7], [8]).

2

2

Ґ

т

Имеется ряд результатов, относящихся к частным случаям уравнения (14) [9]-[12]. Доказанная выше теорема 1 позволяет без дополнительных ограничений на и, т, ґ указать необходимое условие разрешимости уравнения (14) через разрешимость некоторой системы сравнений.

Пусть Ои (т,ґ) - множество решений уравнения СМХ Nр<и = {и, єNp\nl <и }.

Теорема 2. Если (х1,...,хт, у1,...,уґ) є Ои (т,ґ), то справедливы сравнения

2х;-('гі-1)к - Еу^і-1)к - 0(mod иі), і=1 «=1

(15)

V иг є Nр<и, 1 < к <

целая часть числа — . В частности, при

и

где

простом п и п{ = п

2х/ -Ху* = 0(шо<1 п).

/=1 *=1

Т е о р е м а 2 следует из теоремы 1.

З а м е ч а н и е 3. Число г = г(п) сравнений системы (15) выражается формулой

г = 2

и, єN„.

Система сравнений (15) показывает, что для фиксированных т и I при возрастании показателя п объем требований к возможному решению уравнения (14) возрастает, в связи с чем можно предположить, что при фиксированных т и I для достаточно больших п

Оп (т,I)= 0 ,

ибо в этом случае фиксированное число варьируемых переменных в уравнении (14), равное т +1, существенно меньше числа требований к ним.

Попутно возникает вопрос: как должны быть связаны между собой числа т +1 и п, чтобы Оп (т,I)ф 0 .

Пусть N *р<п =К, п,2,-, %,)}

щ е N, перечисленных в возрастающем порядке, которые удовлетворяют условию

к, = -п-1 е N

п -1

(заметим, что у(2) = 1, у(з) = 2, у(п) > 3 при п е N , п > 5).

множество всех

З а м е ч а н и е 4. В силу теорем 1, 2, если (х1,...,хт, у1,...,у| )е Оп(т,|) , то для любого

р

п^ е N справедливо сравнение

2хі -2у* - 0(mod и1).

(16)

і=1

З а м е ч а н и е 5. Для любого иі є Nр<и система

сравнений (15) равносильна сравнению (16).

З а м е ч а н и е 6. Если в (15) систему сравнений

р

для каждого иі є Nр<и заменить равносильным ей

сравнением (16), то число ~ ~ (и) сравнений во вновь

полученной системе выражается формулой

; = у(и) +

2

(17)

З а м е ч а н и е 7. В силу (16), если ( х1,... , х т

, т ґ

уи..^у{ )є Ои(m,ґ) и 2хг -2у* Ф0, то

і=1 *=1

т ґ

2 хі - 2 у*

і=1 *=1

V(n)

> П щ .

j=l 7

Более содержательные линейные соотношения между компонентами возможного решения уравнения (14) найдены в [13].

З а м е ч а н и е 8. Исследование уравнения (14) можно проводить с привлечением чисел Бернулли, если использовать представление (3) и известную формулу [14]

^ (а) = -^ 2с1& і +1 к=0

где В к - числа Бернулли, В 0 = 1.

7. При т = 2,1 = 1, х1 = х, х2 = у, у1 = г уравнение (14) принимает вид

хи + уи = г" .

Как уже отмечалось выше, О и (2,1) =0, V и > 3 ,

(18)

(19)

что было доказано в [7], [8] с помощью понятий и методов, неведомых автору утверждения (19) [15], которому, возможно, удалось найти такую неотъемлемую характеристику натуральной степени натурального числа, что при сложении двух натуральных степеней натуральных чисел с одинаковым показателем видно, что получаемая сумма не обладает этой характеристикой. Остается открытым научно-исторический вопрос: существует ли элементарное доказательство (19),

*

и

и

иі є-^р<и \ Np<n

и

и

т. е. доказательство (19) методами, не выходящими за рамки понятия целого числа.

Многочисленные попытки ответа на этот вопрос оканчивались лишь частными успехами [16], что вполне объяснимо трудностями, возникающими при исследовании неопределенных уравнений [17].

Для уравнения (18) система сравнений (15) принимает вид

x n-(nl-i)k + yn-(nl-i)k -zn-(nl-i)k = Q(modnl), (20)

Vnl є Np<n, 1 < k <

Из (20) видно, почему возникают сложности при подборе решения уравнения (18): число требований к элементу (х, у, г)е N3 (выражаемое формулой (17)), претендующему на роль решения уравнения (18), увеличивается по мере роста показателя п и при больших п число варьируемых переменных, равное трем, существенно меньше числа требований к ним.

З а м е ч а н и е 9. При изучении уравнения (18) и, соответственно, системы сравнений (20) можно считать без ограничения общности, что п - простое число; х, у, г - попарно взаимно простые числа.

Результаты данной работы анонсированы в [ 18]-[20].

ЛИТЕРАТУРА

1. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. С. 44.

2. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1982. С. 26.

3. Кудрявцев В.А. Суммирование степеней натурального ряда и числа Бернулли. М. - Л.: ОНТИ, 1936. С. 15.

4. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука, 1982. С. 34.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973. С. 31.

6. Воднев В.Т. и др. Основные математические формулы. Мн.: Высш. шк., 1980. С. 34.

7. Wiles A., Taylor R. Modular elliptic curves and Fermat’s last Theorem // Annals of Mathematics. 1995. V. 142. P. 443-551.

8. Wiles A., Taylor R. Ring theoretic properties of certain Hecke algebras // Annals of Mathematics. 1995. V. 142. P. 553-572.

9. Wooley Trevor D. Quasi-diagonal behaviour in certain mean value theorems of additive number theory // J. Amer. Math. Soc. 1994. V. 7. № 1. P. 221-245.

10. Митькин Д.А. Об оценке числа решений некоторых «выщербленных» систем уравнений // Матем. заметки. 1995. Т. 57. № 5. С. 681-687.

11. Зенкин А.А. Обобщенная проблема Варинга: об одном новом свойстве натуральных чисел // Матем. заметки. 1995. Т. 58. № 3. С. 372-378.

12. Ekl Randy L. New results in equal sums of like powers // Math. Comput. 1998. V. 67. № 223. P. 1309-1315.

13. Фомин В.И. О некоторых соотношениях между компонентами

неопределенного уравнения ^xn = XУГ

// Вестн. ТГТУ. 2001. Т.

l=l s=l

7. № 2. С. 265-268.

14. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985. С. 428.

15. СтройкД.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1978. С. 142, 143.

16. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. М.: Мир, 2003.

17. Степанов С.А. Арифметика алгебраических кривых. М.: Наука, 1991.

18. Фомин. В.И. Об одном представлении натуральной степени натурального числа. Тамбов: Ин-т хим. машиностр., 1985. 4 с., библи-огр. 3 назв. Рукопись деп. в ВИНИТИ 03.06.85 г., № 3842-85.

19. Фомин В.И. Об одном обобщении сравнения ар — a(modр): Тез. докл. // Краткие тез. докл. III науч. конф. ТГТУ. Тамбов, 1996. С. 32.

20. Фомин В.И. О неопределенном уравнении ^хп =£уп : Тез.

1=1 *=1

докл. // Тез. докл. V науч. конф. ТГТУ. Тамбов, 2000. С. 34.

Поступила в редакцию 3 декабря 2004 г.