CC BY
32
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Механика и электротехника
о некоторых положениях механики аристотеля
В. А. КАРТАШОВ, кандидат технических наук
Учение Аристотеля о механическом движении изложено, как известно, в сочинениях "Физика" [2] и частично "О небе" 11 |. Его основная количественная закономерность сформулирована следующим образом.
"Так как движущее всегда движет что-нибудь, в чем-нибудь и до чего-нибудь (я разумею "в чем' — во времени, "до чего" — на какую-длину, ибо движущее всегда одновременно движет и продвинуло, так что результатом движения будет некое количество, пройденное в [определенное 1 количество времени), то, если А будет движущее, В — движимое, Г — длина, на которую продвинуто [движимое], и д — время, в течение которого [движимое | двигалось, тогда в равное время сила, равная А, продвинет половину В йа удвоенную Г, а на целую Г в половину времени Д: такова будет пропорция. И если одна и та1 же сила движет одно и то же [тело] в определенное время на определенную длину, а половину в половинное время, то половинная сила продвинет половину движимого тела в то же время на равную длину. Например, пусть.половина силы А будет Е и половина [тела] В — Ъ\ отношение силы к тяжести будет здесь сходно и пропорционально, так что в равное время они будут двигать на равную длину. < ... > Если же существуют две [движущих силы] и каждая из них движет какое-то тело на определенную длину в определенное время, то, сложенные вместе, эти силы
будут двигать объединенный вес [обоих тел ] на равную длину и в равное время; ибо здесь имеет место пропорциональ-
ность". [2, с. 219 — 220].
Приведенная цитата (не весьма удобочитаемая) содержит три утверждения.
Первое из них состоит в том, что при действии некоторой силы пути, проходимые за одно и то же время, обратно пропорциональны величинам: , движимых тел. При использовании алгебраической еймволики это выражается пропорцией
п / г2 = в2/ вь
(1)
Второе утверждение заключается в том, что при действии некоторой силы время, необходимое для прохождения одного и того же пути, прямо пропорционально величине движимого, т. е.'
Ах /дя - в2 / в2.
(2)
Согласно
третьему утверждению для перемещения в определенное время на определенную длину требуется сила, пропорциональная величине движимого, что можно записать в виде
а, / а2 - в! / в2.
♦ /
(3)
Аристотель не связывает эти утверждения единой обобщающей формулу ровкой (этому, скорее всего, всюхфЗр пятствовали трудности математ го характера). Мы можем объе их формулой
в
1
в
2
г2
а! д
\
а2 д2 *
(4)
из которой как частные случаи по-
ш
лучаются предыдущие пропорции.
Интерпретации и оценке этих положений Аристотеля с точки зрения современной механики было посвящено немало исследований. Здесь главную роль играет истолкование понятий "движимое" и "движущее" Рассмот-
рим следующие два подхода к этой проблеме.
Если предположить, что речь идет о свободном движении тела под действием постоянной силы, то в качестве движимого должен выступать вес тела (понятие массы в древности было неизвестно), а роль движущего должна принадлежать силе в ее современном понимании. Тогда, перейдя для удобства к принятым сейчас обозначениям,
» _
имеем А = Р, В = С, Г = б, А = X и соотношение (4) принимает вид
вх 5! р! Х{
Р2
(5)
При нулевом значении начальной
скорости
1 Р
Х2У где т
2 Л1
масса тела. Отсюда следует, что
2
О
I
Р
1
52
(6)
Если Р{ = Рг» и = t2, эта формула
дает
й
2
*2 Если
в 51
что эквивалентно (1).
1
Х[ = Х2, ТО
75- = тг- '9 что совпадает с (4).
02 ?2
Но при ^ ¥2, 51 = в2 получаем
2
а это не совпадает с про-
порцией (2) Аристотеля.
Таким образом, если рассматривается свободное движение тела под действием постоянных сил, в двух частных случаях (а именно, когда берутся равные временные интервалы и время в пропорциях не участвует) предложенные Аристотелем зависимости соответствуют действительности.. Если же ищется отношение временных интервалов при одинаковых силах и одина-
ковых пройденных расстояниях, пропорция ошибочна. Перепишем в виде
его (6)
Б} О
1
Л
1
X
1
с
¡2 Ь
(7)
где ¡{ = Р| ^ и ¡2 = Рг 12 сил.
импульсы
Сравнение (7) с показывает, что если под движущим понимать импульс силы, формулировка Аристотеля становится вполне справедливой (вопроса об истолковании понятия силы у Аристотеля мы коснемся в дальнейшем).
Второй подход к анализу утверждений Аристотеля состоит в следующем. Идя. на модернизацию, заменим соотношение пропорций (4) равенством произведений
В Г - А Д .
(8)
При такой записи движущее А имеет размерность мощности. На это обращают внимание историки науки, например И. Н. Веселовский [6, с. 10] и М. М. Рожанская [19, с. 13]. В самом
деле, будем "движимое" понимать как силу (в современном смысле этого слова), оказывающую сопротивление движению и пропорциональную весу в перемещаемого тела (Аристотель упоминает тяжесть и вес как факторы,
характеризующие движение тела). Тогда
В = кС,
(9)
где к — коэффициент пропорциональности (в случае вертикального подъема тела он равен единице, при движении
по горизонтальной поверхности — ко-
»
эффициенту {трения). .
Если теперь принять А = где N — мощность тела-двигателя, и сохранить обозначения Г = з, Д - 1, то (8) запишется как
кО $ = N
I.
(10)
Левая и правая части тождества (10) выражают работу, произведенную при равномерном движении тела, находящегося под действием равных по величине и противоположно направленных сил. По сути дела, речь идет о квазидинамической задаче.
Равенство (10) ведет к принципу возможных перемещений. В самом деле, N = Ру, где Р — движущая сила (в современном смысле), V — скорость тела-двигателя. Портому N1 = Р х X И = Р 8), где = Д- путь, проходимый телом-двигателем за то же время, за которое движимое тело
проходит путь Теперь из (10) еле-
*
дуст пропорция
Р / кв = Э / 5|, (11)
»
I
выражающая "золотое правило" механики или принцип возможных перемещений в его простейшем виде, известном в античности.
Поскольку представление о свободном движении тела противоречило концептуальным положениям физики перипатетиков, первая из рассмотренных интерпретаций ни в коей мере не может претендовать на соответствие взглядам Аристотеля. Однако она позволяет оценить результаты, вытекающие из его утверждений; при этом обнаруживается, что в определенных случаях имеется совпадение с тем, что дает механика Ньютона. Было 'бы за-манчиво истолковывать аристотелево "движущее" как импульс силы (это, как мы видели, обеспечивает полную адекватность формулировок Аристотеля истице), но происходящая при этом натяжка очевидна. Вместе с тем интересно отметить, что согласно примечанию Ж. Бертрана к "Аналитической механике" Лагранжа у последнего встречается понимание силы как произведения силы на время ее действия
[14, с. 299 - 300].
В какой степени близка взглядам автора "Физики" вторая интерпретация? Ответ на этот вопрос существенным образом зависит от того, какой смысл вкладывается в понятие "сила" История этого понятия явилась предметом многих исследований. Здесь мы коснемся только того, что прямо относится к обсуждаемому закону движения.
У Аристотеля, как отмечают историки науки, прямое определение понятия силы отсутствует. Однако наличие в приведенной цитате из "Физики"
слов "отношение силы к тяжести" свидетельствует о том, что сила в данном случае признается величиной того же рода, что и тяжесть (отношения разнородных величин в то время рассматриваться не могли). Все же, пользуясь отсутствием у Аристотеля формальной дефиниции силы, обсудим, в какой степени правомерно ее истолкование как мощности тела-двигателя в соответствии с формулой (10).
Конечно, предполагать у Аристотеля явно выраженную энергетическую трактовку силы было бы неуместно. Слово "энергия" (епе^е1а) у него имело иной смысл, нежели Принят сейчас. Оно означало процесс реализации потенции, возможности и не имело количественного характера, не выражалось какой-либо величиной. Термин "энергия" в современном смысле вве? ден лишь ближе к концу XIX в. (хотя встречался уже в начале этого века у Т. Юнга [11, с. 142], а еще раньше, в 1717 г., — у И. Бернулли 113, с. 137]). Но отрицать возможность -Нрго, что сила по Аристотелю измерялась произведенной ею работой (без явного использования этого отсутствовавшего тогда понятия), также нет оснований. Показательно, что греческое слово «Зупапш, которое Аристотель употреблял применительно к силе, соответствует латинскому ро1еп!1а' и означает потенцию, мощность, способность, возможность [4, с. 85; 6, с. 10; 12, с. 706). Одним из основных источников движущей силы в древности была мускульная энергия человека и животных. В связи с этим А. Эйнштейн и Л. Ин-фельд пишут, что навести Аристотеля на его динамический закон могли наблюдения, показывающие, что "четыре лошади могут ввезти повозку быстрее, чем две" (21, с. 18]. Но упоминание о лошадиных силах порождает ассоциацию с единицей мощности.
Нельзя пройти мимо того, что в процессе дальнейшего развития механики измерение- силы, произведением веса перемещаемого тела на пройденное им расстояние было весьма распространено. В эллинистическую эпоху определение силы соответствовало тер-
мину "живая сила" или "работа" [6, с. 14]. Оно вытекает из аристотелева соотношения (8), если из него убрать время. Тогда "движущее" (сила) выразится как А = В • Г, т. е. будет иметь размерность работы. В анонимном трактате "Книга Евклида о тяжести и легкости", относящемся к позд-неалександрийскому периоду и дошедшему до нас через арабский перевод> дается тот же закон движения, что и у Аристотеля [19, с. 130].
Галилей в "Механике" рассуждает о равномерном, без ускорения, перемещении грузов (квазидинамический подход в том же духе, что и у Аристотеля). Как указывает в своем комментарии Е. Н. Ракчеев, Галилей отвлекается здесь от различия между движением и равновесием. Иначе говоря, как и у Аристотеля, стираются грани между статическим равновесием неподвижных тел и равномерным движением при действии взаимно уравновешенных сил. Галилеем вводятся в рассмотрение тб же, что и у Аристотеля, величины, определяющие закон движения: перемещаемый груз, «"сила или мощь" которая должна его перенести», проходимое расстояние и время движения [8, с. 8]. Как видим, термины "сила" (й>гга) и имощь" здесь равнозначны. В "Рассуждении о телах, пребывающих в воде" Галилей вводит понятие момента (от латинского
тошеШигл — важность, значитель-
7 * •
ность) как величины, характеризующей цействие силы и "составленной" из ви:а перемещаемого тела и скорости 'его движения [9, с. 46 — 52]. Приняв во внимание, что скорость предполагается постоянной, здесь опять можно видеть параллели с положениями Аристотеля. В "Беседах и математических доказательствах" момент отождествляется с так называемой сложной силой
[7, с. 204 ].
Декарт различал силу, удерживающую тело в неподвижном состоянии (силу, имеющую одно измерение), и силу, которая передвигает, поднимает тело и имеет два измерения. Этими измерениями служили вес поднимаемого груза и расстояние, на которое
он поднимается. Сила, могущая поднять 2 фунта на 1 фут или 1 фунт на 2 фута, считалась вдвое большей по сравнению с силой, поднимающей 1 фунт на 1 фут. Таким образом, говоря современным языком, сила измерялась производимой ею работой [5; 6, с. 94; 11, с. 139 — 140; 13, с. 100 — 103].
Аналогично рассуждал Паскаль, который писал: "...один фунт <*чеет столько же силы, чтобы заставить сто фунтов сделать путь в один дюйм, сколько сто фунтов для того, чтобы заставить один фунт сделать путь в
сто дюймов" [17, с. 369 — 370].'Гюйгенс силой называл потенцию, необходимую для поднятия груза; следуя Декарту, он считал двойной силой ту, которая может поднять один и тот же груз на вдвое большее расстояние [6,
с. 103]. Эйлер для обозначения силы
£
пользовался термином ро(епиа, восходящим к Аристотелю [6, с. 135]. Лагранж в "Аналитической механике" пишет^ что "силы измеряются количествами движения, которые они способны вызвать" [14, с. 300]. Комментируя это место, Ж. Бертран полагает, что слово "сила" взято Лагранжем в том же смысле, в каком его применял Декарт.
Выше отмечалось позднее появление термина "энергия" в современном смысле. Долгое время вместо него пользовались словом "сила".
Так, М. В. Ломоносов, формулируя свой закон сохранения энергии, пишет, что "...тело, движущее своею силою другое, столько же оныя (т. е. силы. — В. К.) у себя теряет, сколько сообщает другому, которое от него движение получает" [15, с. 383]. С. Карно, имея в виду тепловую энергию, говорил о движущей силе огня. В этом ряду наиболее показательным служит сочинение Г. Гельмгольца "О сохранении силы" [10]. На его примере видно, сколь долго не была четко оформлена терминология, касающаяся таких понятий, как "сила" и "энергия" Это дает основания для вариантного толкования понятия "движущее" в сочинении Аристотеля, написанном в IV в. до н. э.
Механика Аристотеля явилась предметом научно-исторических исследований в разных направлениях. Г. Ю. Тре-дер [20, с. 9 —<17 1 устанавливает связь между динамикой Аристотеля и его учением о месте. Он считает, что перипатетический закон движения логи-, чески вытекает из этого учения. В работе [18] замена механики Аристотеля (сила пропорциональна скорости:
V = 4т) механикой Ньютона (сила про-порциональна ускорению: а = —в
dt2
широком методологическом, аспекте рассматривается как пример перехода от мышления с первой производной к мышлению со второй производной. На^-до, однако, заметить, что сам Ньютон в "Математических началах натуральной философии" понятием ускорения как второй производной от пройденного пути по времени не пользовался. Приложенная сила vis impressa у него вы ражается через первую производную от количества движения по времени [16].
Если в "Физике " Аристотель исследовал закон насильственных движений, то в сочинении "О небе" рассматривается движение тел в сопротивляющейся среде под действием присущего им естественного устремления (rhope) тяжести и легкости 11, с. 348 — 349].
Даваемая здесь формулировка динамической закономерности несколько отличается от той, с которой мы встретились в "Физике" В современных терминах она сводится к тому, что сила тфопорциональна массе тела и скорости его движения. В работе И. В. Андрианова и Л. И: Маневича [3 ] показано, что если сила сопротивления пропорциональна скорости движущегося тела, то по прошествии некоторого времени с начала движения наступает состояние, для которого справедливо положение Аристотеля. "С физической точки зрения приближение Аристотеля сохраняет значение как асимптотика движения при достаточно больших временах; чем значительнее трение, тем раньше это приближение становится применимым" [3, с. 42]. Авторы указывают области применимости формулировки Аристотеля.
В заключение отметим следующее. На протяжении. многих столетий, начиная с Возрождения, естественнонаучные -взгляды Аристотеля подвергались суровой критике, преобладало стремление показать их несостоятельность. В противоположность этому сейчас наметилась тендендия к их рациональному истолкование, согласованию с современной наукой [3, 4, 22, 23 ]. Такую направленность имеет и настоящая статья.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
]. Аристотель. О небе // Соч.: В 4 т. 1981. Т. 3. С 263 — 375.
2 Аристотель. Физика // Соч.:< В 4 т. М., 1981. Т. 3. С. 59 - 262.
3. Андрианов И. В., Маневич Л. И. Асимптотические методы и физические теории. М.: Знание, 1989. 64 с. (Новое в жизни, науке и технике. Сер. Физика. № 2).
4. Ахутин А. В. История принципов физического эксперимента от античности до XVII в. М.: Наука, 1976. 292 с.
5. Боголюбов А. Н. Теория механизмов и машин в историческом развитии ее Идей. М.: Наука, 1976. 466 с.
6. Веселовский И. Н. Очерки по истории теоретической механики. М,:,Высш. шк.,1974..287 с.
7. Галилей Г. Беседы и математические доказательства // Избр. тр.: В 2 т. М., 1964 Т. 2. С. 109 — 410.
8. Галилей Г. Механика // Избр. тр.; В 2 г. М., 1964. Т. 2. С 7 — 38.
9. Галилей Г. О телах, пребывающих в воде /У Избр. тр.: В 2 т. М., 1964. Т. С. 39 — 107.
10. Гельмгольц Г. О сохранении силы. М.; Л.: Гостехиздат, 1934. 143 с.
11. Григорьян А. Т. Механика от античности до наших дней. М.: Наука, 1974. 479 с.
12. Григорьян А. Т., Котов В. Ф. О некоторых вопросах истории античной механики /У Ист. мат. исслед. М., 1957. Вып. ДО . С. 671 — 765
13. История механики с древнейших времен до конца ХУШ века / Под общ. ред. А. Т Гри-горьяна и И. Б. Погребысского М.: Наука, 1971. 298 с.
__4 I
14. Лагранж Ж, Аналитическая механика. М.; Л.: Гостехиздат, 1950. Т 1. 594 с
15. Ломоносов М. В. Рассуждение о твердости и жидкости тел /V П'.лн собр. спи. м : Л., 1952. Т. 3. С. 37^ - 409.
16. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М : Наука, 1989-688 с. '
17. Паскаль Б. Трактат ¡> равновесии жидкостей // Начала гидростатики. Архимед. Стэ-вин. Галилей. Паскаль. М.; Л., 1933. С. 361 — 398.
18. Петров С. Особенности перехода мышления на новый уровень познания (Мышление со второй производной) // Вопр. филос. 1987. N9 I. С. 62 — 69.
19. Рожа некая М. М. Механика на средневековом Востоке. М.:" Наука, 1976. 324 с.
20. Трсдер Г. Ю. Эволюция основных физических идей. Киев: Наук, думка, 1989. 368 с.
21. Эямштейн А., Инфельд Л. Эволюция
физики. М.: Наука, 1^65. 327 с.
22. Nabarro P. R. N. Aristotle: a scientist in the modern sense? // Int. Conf. Mech., Phys. and Struct. Mater. "Celebrat. Aristotle's 23 Centuries", Thcssaloniki, Aug. 19 — 24, 1990; Abstr. — Houghton (Mich), 1990. P. 29.
23. Theocaris P. S. The Aristotelian cosmos in the sphere of dynamics // lot. Conf. Mech., Phys. and Struct, Mater. "Celebrat. Aristotle's 23 Centuries", Thessaloniki, Aug. 19 — 24, 1990:-Abstr. — Houghton (Mich), 1990. C. 45.
КККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККХКККККХ расчет режима разбега электромеханического привода с асинхронным двигателем*
В. Л. ВЕЙЦ» академик,
Г. В. ЦАРЕВ; кандидат технических наук
Аппроксимируемая функции f (1) в интервале интерполяции может быть представлена конечным разложением вида
п
V <t)
2 Q Tk (t),
(12)
k=0
где C£ — коэффициенты конечного раз-
— полиномы Чебыше-
ложения; Тк<*) ва; t G [-1, 1]
интервал интерло-
ляции.
В качестве оценки остатка при использовании конечного разложения можно принять
Cfi+i Tn+1 (t),
(13)
Таким образом, погрешность при использовании представления функции \ (О в виде (12) равна нулю в точках \ = 1,п + I, являющихся корнями
полинома Тп+| (|). Для определения коэффициентов С{ получим систему
уравнений
2 сг тк к=0'
Поскольку ортогональные полиномы ортогональны в смысле суммирования,
к.
<tj> «f (ф, j - TTnTT
(14)
♦Окончание, Начало в № 2 за 1994 г.
то справедливы следующие зависимости:
п+1
2 Р? Tk <tj> т, (tj>0 при
J-1
11+1
к * И J р] «j) - Ь
j=i.
весовой множитель.
(15)
где pj
Полиномы Чебышева представляют собой попеременно четные и нечетные функции переменной t Е [-1, 1J:
к
Тк (t) — cos (к arceos t) =2 Ъ{Р tj>
j=o
к * 05 2) i««)
(i6)
где
$ — коэффициенты, определяемые
по формуле
)= 2Г[
(k+j У2 (к-)У2
(к+]У2-1 (к-ЦУ2
х (-l)<k + j)/2(
х
причем (к + j) равны
i
, Здесь
коэффициенты, для которых являются нечетными числами,
нулю;1 Т0 (I) - 1; Тл (О - X.
п
число сочетаний из п
>
