CC BY
92
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Библиографический список
1. Антошина, И.В. Методика составления системы характеристик качества для программных средств / И.В. Антошина, В.Г. Домрачев, И.В. Ретинская // Качество, инновации, образование. - 2002. - № 3.
- С. 57-60.
2. Воробьев, В.И. Методы и модели оценивания качества программного обеспечения / В.И. Воробьев, А.В. Копыльцов, Б.П. Пальчун и др. - СПб.: СПИИРАН, 1992. - 33 с.
3. Апостолова, Н.А. О программометрическом подходе к оценкам программного обеспечения / Н.А. Апостолова, Б.С. Гольдштейн, Р.А. Зайдман // Изв. вузов. Программирование. - 1995. - № 4. - С. 38-44.
4. Хубаев, Г.Н. Экономическая оценка потребительского качества программных средств: текст лекций РГЭА / Г.Н. Хубаев. - Ростов-на-Дону, 1997.
- 104 с.
5. Елтаренко, Е. Оценка аппаратных и программных средств по многоуровневой системе критериев / Е. Елтаренко, М. Сергиевский // Компьютерпресс. - 1998. - № 8. - С. 268-272.
6. Антошина, И.В. К вопросу о способах оценки качества и выбора программных средств / И.В. Антошина // Материалы международной конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий». - Москва-Сочи, 2000. - Ч. 3. - С. 46 - 47.
7. Домрачев, В.Г. Обзор методов оценки качества и выбора программных средств. Индустрия образования / В.Г. Домрачев, И.В. Ретинская, И.В. Антошина // Информационные технологии в системе образования: сб. статей. - М.: МГИУ, 2002. - Вып. 6. - С. 140-149.
8. ISO/IEC 9126:1991. Information technology -Software product evaluation - Quality characteristics and guidelines for their use.
о НЕКОТОРЫХ ПОДХОДАХ К ОЦЕНКЕ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ компонентной базы НОВОГО поколения
A. А. БОРИСОВ, начальник ФГУ «22 ЦНИИИМинобороны России», канд. техн. наук,
B. М. ИСАЕВ, проф. каф. электроники и микропроцессорной техники МГУЛ, главный научный сотрудник ФГУ «22 ЦНИИИ Минобороны России», д-р. техн. наук
Разработка электронной компонентной базы (ЭКБ) специального назначения подчинена действию определенного набора закономерностей, обуславливающих тенденции, направления и показатели ее программного развития, унификации и стандартизации и характеризующих особенности формирования современных подходов к решению задач создания оптимизированной номенклатуры электрорадиоизделий (ЭРИ) нового поколения.
В последние годы одним из основных направлений развития ЭКБ является ее интегральная насыщенность, переход от выполнения отдельных функций дискретными элементами к решению функционально законченных, зачастую аппаратурных задач. К таким изделиям относятся «системы на кристалле», «системы в корпусе», электронные (в том числе стандартные) функциональные модули, сложные комплексированные устройства преобразования энергии и информации, оптоэлектронные узлы, многофункциональные модули СВЧ приборов и т.п. При этом стоит задача формирования и жесткой унифи-
caf-emt@mgul.ac.ru
кации требований к конструктивно-техническим параметрам таких изделий, к их эксплуатационным характеристикам и надежности.
Обеспечение требований надежности к функционально сложным (включая комплекси-рованные) ЭРИ нового поколения невозможно без создания объективных и ускоренных методов оценки соответствия этим требованиям, учитывающим особенности функционирования таких ЭРИ в радиоэлектронной аппаратуре (РЭА) и возможные изменения значений параметров-критериев годности изделий в процессе эксплуатации и наработки.
Как показывают многочисленные исследования, в реальных условиях эксплуатации во внутренней структуре и компонентах функционально сложных ЭРИ возникают деградационные процессы, которые приводят к изменению первоначального состояния параметров-критериев годности (точности, чувствительности, разрешающей способности, мощности и других характеристик). При этом доминирующие деградационные процессы определяют скорость и характер изменения
130
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
параметров-критериев годности ЭРИ, а, следовательно, эффективность ее применения и надежность (для неремонтопригодной ЭКБ, прежде всего, безотказность).
Учитывая, что в современной РЭА специального назначения ЭРИ, как правило, функционирует по разомкнутой схеме и их выходные характеристики зачастую не могут быть скорректированы, то им присущи как внезапные (отказ любого внутреннего комплектующего элемента или узла ЭРИ), так и параметрические (выход значения параметров-критериев годности за допустимые пределы) отказы.
При расчете надежности сколь угодно сложного изделия (устройства или системы) вероятность безотказной работы определяется как [1]
P(t) = ^(0 P2(0 P3(t), (1)
где P1(t) - вероятность безотказной работы при внезапных отказах;
P2(t) - вероятность безотказной работы при параметрических отказах;
P3(t) - вероятность безотказной работы при перемежающихся отказах.
Для ЭКБ перемежающиеся отказы, особенно в условиях отлаженного серийного производства, маловероятны. Поэтому с большой долей вероятности можно предположить
Рз(0 = 1. (2)
Воспользуемся функциональной связью между вероятностью безотказной работы P(t) и плотностью распределения наработки до отказа g(t)
ад t
P(t) = J gCO dт = 1 - Jg(x)dт . (3)
t 0
Подставляя выражение (3) в (1) и учитывая условие (2), получаем
t t t
J g(T) dт = J g1 (T)dт + J g2 (т) dт -
0 0 0
-J g1(T) dTJ g2(T) dт , (4)
00
где gj(t), g2(t) - соответственно плотности распределения наработки до внезапного и параметрического отказов. Применяя известное в математике соотношение
( v( x)
J f(xy) dy I = V(x)f (x,v(x))-
/ф( x ) J
| v(x)
-ф|( x)f (x, ф( x) + J
ф( x)
df (x y)
dy
dy,
с учетом формулы (3) выражение (4) преобразуется как
g(t) = g^^i) + g2(t)Рl(t). (5)
По известной плотности распределения наработки до отказа g(t) можно определить интенсивность отказов ЭРИ
Л(0 = g(t)/Р(t). (6)
Таким образом, для определения показателей безотказности необходимо знать плотность распределения наработки до отказа g(t), которая функционально через выражение (4) зависит от двух составляющих gx(t) и g2(t).
Установление вида функции распределения наработки до внезапного отказа gl(t) является теоретически решенной задачей, которая по результатам экспериментальных исследований, испытаний и данным из сферы эксплуатации ЭРИ конкретных видов и типов может быть представлена в виде, удобном для практического применения [2]
п п m . пт. г .
а,=!А» =zzs;x1U) =zi6;A„0)n*;(„, (7)
i=i i=i j=\ i=1 j=i $=i
где Л1(г) - интенсивность отказов i-того комплектующего внутреннего блока, узла ЭРИ;
Х,, - интенсивность отказов компонента (элемента) /-того типа, применяемого в ЭРИ;
- базовая интенсивность компонента
б(/)
(элемента) /-того типа в нормальных условиях эксплуатации;
5/ - количество компонентов (элементов) /-того типа в i-том блоке, узле ЭРИ; Kis(f) - коэффициенты (s = 1,2,...г), учитывающие условия и режимы применения, качество изготовления, функциональное назначение и т.п. компонентов (элементов) /-того типа в i-том блоке, узле ЭРИ.
Плотность распределения наработки до внезапного отказа ЭРИ определяется как
gi (0=\ ехр (Л/)=11 Ъ)Хби) X
г=1;=1
г . пт. г .
ХП^0) ехр{_(8)
^=1 /=1 j=i ^=1
Определение показателей безотказности сложных комплексированных ЭРИ с учетом параметрических отказов базируется на установлении вида плотности распределения наработки до отказа g2(t), которая в отли-
ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 3/2009
131
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
чие от функции gx(i) распределена, как правило, не по экспоненциальному закону. Об этом свидетельствуют многочисленные экспериментальные исследования и моделирование процессов развития параметрических отказов различных видов и типов таких изделий [3].
В процессе наработки ЭРИ в составе аппаратуры вследствие различных деградационных процессов происходит постепенное изменение их технического состояния. Снижение значения определяющего (в случае, когда для изделия существует один интегральный показатель), либо нескольких определяющих (при наличии для изделия нескольких дифференциальных показателей) параметров до установленных в технической документации пределов приводит к их параметрическим отказам. Процесс изменения определяющих параметров ЭРИ характеризует физическую модель развития параметрических отказов, которая относится к типу «параметр - поле допуска» [4].
Поскольку цель исследования «параметрической надежности» состоит в нахождении распределения наработки до отказа g2(i), в модели развития параметрических отказов сложных ЭРИ хотя бы один из факторов должен рассматриваться как случайный процесс.
Как показывают исследования, в реальных условиях эксплуатации доминирующие составляющие, которые в наибольшей степени влияют на значения определяющих параметров-критериев годности ЭРИ, становятся функцией случайного аргумента i (времени наработки). Поэтому параметры-критерии годности ЭРИ также становятся зависимыми от времени, причем степень их изменения определяется жесткостью воздействующих факторов Qs, наработкой i и особенностями построения самих изделий. Таким образом, при наработке параметры-критерии годности ЭРИ представляют собой случайные процессы, что можно записать как Z = Z(Q,i),
где Z - параметр-критерий годности ЭРИ конкретного вида и (или) типа, наиболее чувствительный к условиям эксплуатации и наработки данного изделия.
Критическое значение параметра-критерия годности Z которое также называется границей поля допуска, выбирается в соот-
ветствии с требованиями технической документации на изделие и конкретной аппаратуры, в которой оно применено. Пересечение случайным процессом Z(Qs,i) неслучайной величины Z порождает искомую для оценки «параметрической надежности» функцию.
Исходя из того, что в современных условиях производства ЭКБ (с учетом отлажен-ности и стабильности технологических процессов ее изготовления) существуют общие закономерности деградации внутренних параметров изделий, распределение вероятностей значений параметров-критериев годности ЭРИ по множеству однотипных изделий f(Z) в момент времени i0 = 0, как правило, близко к нормальному, а мера разброса случайной величины Z определяется стабильностью производства, то процесс Z(Q t) близок к случайному процессу диффузионного типа. В этом случае он может быть описан стохастическим дифференциальным уравнением [5] d Z(Q,i) = m t[Z(Qs,t),t] di + Ot[Z(Qi,i),i] dW, где mt[Z(Qs,i),i] - скорость изменения усредненного по множеству однотипных изделий значения Z(Qs,i) в момент времени i;
ot[Z(Qs,i),i] - флуктуационная составляющая процесса Z (Qs,i) в момент времени i;
dWt - приращение в дифференциальном смысле флуктуационных изменений процесса Z(Qs,t);
Wt - одномерный винеровский процесс. При переменных эксплуатационных режимах коэффициенты уравнения (9) m t [Z(Qs,t),t] и ot[Z(Q t), t] зависят также от состава и степени жесткости внешних воздействующих факторов Qs. Кроме того, для этих коэффициентов выполняются следующие ограничения:
| m t[Z1(Qi),t] - m t[Z2(Qs),i]| + |ot[Z1(Qp),i] -- о^>]|< Rl Zi(Q) - Z(Q) |; (10) | mtВДУ]| + |о^>]1< R, (11)
а также вероятность
P{.Z0 e[Z Кр,1]1 = 1,
где R - некоторое положительное число;
Z0 = Z(0) - начальное значение параметра-критерия годности ЭРИ конкретных типов и видов в момент 0 = 0.
С учетом ограничений (10) и (11) уравнение (9) имеет единственное решение вида
132
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Z(Qs/t) = Z0 +J mT[Z (Q ,, t), T]d T+
0
+k[Z(Q, t), T]dWx . (12)
0
Это уравнение полностью характеризует динамику изменения параметра-критерия годности изделия и развития параметрических отказов. Коэффициент mt[Z(Qs,t),t], который называется коэффициентом сноса, определяет степень приближения среднего значения процесса Z(Q,t) к уровню Z в зависимости от времени t. Коэффициент ot[Z(Qs,t),t] (коэффициент диффузии) характеризует меру разброса различных реализаций Z.(Q t) со временем.
С использованием уравнения (12) проведено моделирование процесса наступления параметрических отказов различных групп ЭРИ нового поколения и получены наиболее часто встречающиеся на практике законы распределения наработки до параметрического отказа. В качестве примера в статье приведены некоторые из полученных аналитических выражений для определения вероятностей безотказной работы с учетом параметрических отказов ЭРИ в процессе наработки.
Распределение наработки до параметрического отказа подчинено нормальному закону
g2(t) = o -1 /o[(t-T>/°l,
где Т - средняя наработка до отказа, T = T ; / (...) - табулированная функция Гаусса. Тогда
P2(t)
1-К'/о
t-T
d t .
о L ° _
Преобразуя это выражение, получаем
P2(t) = 1 - {F[(t - T)/g] - F[T/g]}, где F(...) - табулированная функция Лапласа.
Распределение наработки до параметрического отказа подчинено композиционному закону нормального и равновероятного g2(t) = (2Z)-4F(X) - F(X2)], где X = (t + L - T)/g, X2 = (t - L - T)/o,
L - параметр составляющей равновероятного распределения.
Вероятность безотказной работы в этом случае равна
P2(t) = 1 - (2L)-i{(t - T) [F(Xi) + F(X2)] + +L[F(Xt) - F(X,)] + T[F(X) - F(X3)] -- l[F(x4) + F(X3)] + o [да +
+/о ex) - /о X) - /о (m
где X3 = (L + T)/o; X4 = (L - T)/o.
Распределение наработки до параметрического отказа подчинено композиционному закону нормального и линейно-убываю-щего
g2(t) = (2L)-1{X2 g [F(X2) - F(Xi)] +
+ o /,(X2) - /о (Xi)]}.
Подставляя это выражение в уравнение (3), используя дополнительно выведенные математические соотношения и приводя подобные члены, получаем:
Р() = 1 - (2L)-1{1/2{ 1 (-1)' [(1 - i)f -
^=0
- ((-1)L + T)2 - o2] F(X5) + o[(t + L + T)x х/о (X2) - (X3/о (X3) - Xi / (Xi) + X4/о (X4))x
xo]} - (l + T)o £ (-1)/- £ (-1). [X5 f(X5) +
;'=о .=о
+/о (X5)] + o2[ F(X2) + F(Xj) - F(Xi) + F(X4)]}, где X5 = [(1 - i)t - (-1)L - T]/o.
Подставляя полученные выражения, описывающие функции g2(t), P2(t), в соотношение (6), нетрудно найти интенсивность отказов Л2(^.
Оценка надежности ЭРИ с учетом внезапных и параметрических отказов осуществляется на основе результатов, полученных при расчете показателей безотказности gi(t),
P1(t), Л1 и g2(^ P2(t), Л2(t).
Плотность распределения наработки
до отказа g(t) определяется согласно выражению (5). Для определения вероятности безотказной работы P(t) за время t необходимо воспользоваться выражением (1) с учетом выполнения условия (2). Интенсивность отказов Л(^ определяется согласно формуле (6). Подставляя в это выражение формулы (1) и (6), получаем
Л(0 = Л + ХО). (13)
Ускоренную оценку безотказности ЭРИ методом прогнозирования развития параметрических отказов с учетом расчета показателей безотказности по внезапным отказам можно произвести на основе использования модели, описываемой выражением (12).
Случайный стохастический процесс изменения параметров-критериев годности ЭРИ Z(Qs,t) позволяет определить момент первого достижения им заданного уровня Z т.е. служит основой нахождения показателей безотказности ЭРИ. Момент первого достижения
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2оо9
133
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
процессом заданного уровня является случайной величиной т, которая характеризуется:
-плотностью распределения моментов достижения реализациями Z.(Qs,t) случайного процесса Z(Qs,t) уровня Z которая в рассматриваемом случае есть ничто иное, как плотность распределения наработки до параметрического отказа g2(t);
-математическим ожиданием, совпадающим со средней наработкой до параметрического отказа М(т) = T ;
-среднеквадратическим отклонением о(т), которое определяется как
о(т) = [М2(т) - М2(т)]1/2, (14),
где М2(т) - второй момент случайной величины т, вычисляемый из рекуррентного соотношения [5]
М2(т) = 4 j (x - y) M(y) dy +
a
+ 4(x - a)/(P - a) j (P -y) M(y) dy, (15)
a
где a = Z - критическое значение параметра-критерия годности ЭКБ;
x = Z0 - исходное значение процесса Z(Qs,t) при t=0:
Р > 1 - выбирается с учетом параметров реального процесса Z(Qs,t). Преобразуя уравнение (12), получаем
x Р y
М(т) = 2 j dt j dy j [B(t)B(y)/B(u)] du, (16)
a x t
где
B(t) = exp{ j {2 mJZ(Qs,u),u] /
/ oa2[Z(Qs,u),u]} du}. (17)
Уравнение (16) является исходным при определении средней наработки до параметрического отказа T
В результате проведенных исследований разработаны аналитические и статистические модели для наиболее часто встречающихся функциональных зависимостей коэффициентов сноса и диффузии, которые получены при испытаниях отдельных видов и типов сложных комплексированных ЭРИ.
В качестве примера представим материалы моделирования и вычислений, когда коэффициенты сноса и диффузии постоянны во времени. Тогда при Q = const (режим испытаний) можно записать
m(t) = -ki ; °t2(t)=К
Представим эти выражения в уравнение (17)и получаем
B(t) = exp(-2k1t/ k2).
После подстановки этого выражения в уравнение (16) окончательное соотношение для определения T представляется в виде
Тср2 = k2/k1 [(a - Р) еxp(-2kx/k2) +
+ (Р - x) еxp(-2k1a/k2) + (x - a) еxp(-2k1P/k2)] / /[еxp(-2k1a/k2) - еxp(-2k1P/k2).
Найдем второй момент случайной величины т. Для этого воспользуемся рекуррентным соотношением (15). Тогда с учетом аналитического выражения, описывающего Тср2, опуская промежуточные вычисления, получаем
М2(т) = 4 k^k^xp^ka) - еxp(-kp)]~1 {1/k(a +
+ 1/k)[P еxp(-kr) - a еxp(-ka)] +
+ 1/k(a - P)[x еxp(-ka) + 1/k еxp(-kr)] +
+ 1/2(x2 - a^^xp^kpXx + a) - cxp(-ka)(x + P)] + +1/3(x3 - a^^xp^ka) - еxp(-кp)] + x(x - a)* x[p еxp(-ka) - a еxp(-kp)] + (x - a)/( P - a) * x {1/k2(a - P)[еxp(-kp) - еxp(-ka)] -- 1/k еxp(-ka) (a - P)2 + 1/2(P2 - a2)[(a + P) * xеxp(-kp) - 2p еxp(-ka)] + 1/3(P3 - a3)* x[еxp(-ka) - еxp(-kp)] + P(P - a)[P еxp(-ka) -- a еxp(-kp)]},
где k = 2k1/k2.
По уравнению (14) с учетом выражений для T и М2(т) находится параметр о(т).
Для полученных аналитических соотношений разработаны и апробированы блок-схемы программного расчета средней наработки до отказа T и среднеквадратического отклонения случайной величины т.
Полученные соотношения для определения (в том числе ускоренным методом) показателей безотказности при параметрических отказах, а также функции g2(t) путем описания реального процесса развития параметрических отказов ЭРИ по данным экспериментальных исследований и построения искомой плотности на границе пересечения смоделированным процессом заданного уровня являются основой расчета значений показателей P2(t) и Л2(^.
Использование выражения (5) позволяет получить общую плотность распределения времени наработки до отказа g(t) (с учетом внезапных и параметрических отказов), по которой в дальнейшем можно оп-
134
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009
