CC BY
17
УПРАВЛЕНИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ, АВТОМАТИЗАЦИЯ
DOI: 10.24143/2072-9502-2020-2-7-18 УДК 62-52.001.24
О НЕКОТОРЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ СИНТЕЗЕ ПИД-РЕГУЛЯТОРОВ
Г. К. Аязян, Е. В. Таушева
Уфимский государственный нефтяной технический университет, Уфа, Российская Федерация
Решается задача параметрического синтеза ПИД-регуляторов целого и дробного порядка. Рассмотрены методики синтеза - на заданные степень и показатели колебательности ПИД-регуляторов целого и дробного порядка. Разработаны алгоритмы расчета предельных значений коэффициента усиления дифференциальной части регулятора, при которых граница области заданного запаса устойчивости имеет точку возврата. Применение критерия компенсации низкочастотных возмущений позволяет рассчитывать предельные значения степени колебательности и показателей колебательности. Для реализации предложенных алгоритмов разработаны программы в среде пакета символьных вычислений Maple. Применение разработанных алгоритмов позволяет сузить область поиска оптимальных параметров ПИД-контроллеров.
Ключевые слова: ПИД-регулятор, дробный порядок, степень колебательности, показатель колебательности, Maple.
Для цитирования: Аязян Г. К., Таушева Е. В. О некоторых ограничениях при параметрическом синтезе ПИД-регуляторов // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2020. № 2. С. 7-18. DOI: 10.24143/2072-9502-2020-2-7-18.
Введение
Ведущее место среди регуляторов, используемых в промышленных системах управления, по-прежнему занимают ПИД-регуляторы.
Процедура параметрического синтеза ПИД-регуляторов сводится к расчету трех настроечных параметров. Это коэффициент усиления kp, время интегрирования Ti и время дифференцирования Td , или эквивалентные им параметры k = k, k0 = Ti , k2 = k • Td. Часто Td или k2 принимаются постоянными или определяются по формулам Td = aTi и k2 = ak12/k0 . Параметр a выбирается, например, в диапазоне a = 0,15 ^ 0,6, причем часто эмпирически. В [1] значение a принимается равным a = 0,25. В [2-12] приведены значения Ti и Td для различных методик синтеза ПИД-регуляторов. В [13] на базе критерия компенсации низкочастотных возмущений (КНВ) [14] получен алгоритм, позволяющий однозначно определять k2 как функцию k1, k0 и параметров модели объекта. На этой основе разработан алгоритм параметрического синтеза ПИД-регулятора с идеальным дифференциатором на заданную степень колебательности m > т^ . Здесь m = max | ResjImst |, а st, i = 1, 2, ..., n - корни характеристического уравнения замкнутой системы регулирования. В [15, 16] метод использован для синтеза идеального
ПИД-регулятора, c ограничениями на максимум функции чувствительности Ms = max | S(j©) |
©
или дополнительной чувствительности Mp = max | T(j©) | (показателей колебательности).
В [17, 18] показано, что при расчете настроек ПИД-регулятора на заданную степень колебательности т > тзад и к2 = ак^ /к0 вид кривой ^-разбиения (границы области заданного запаса устойчивости) и качество регулирования существенно зависят от значения параметра а. Кривая ^-разбиения строится в координатах (к1 = к1(ю),к0 = к0(ш) ) (рис. 1) как функция частоты ю [13, 17].
Рис. 1. ^-разбиение для разных а
Обычный вид кривой, ограничивающей область т > тзад, изображен на рис. 1 штрихпунк-
тирной линией. С увеличением а возможно самопересечение кривой ^-разбиения, что соответствует пунктирной линии на рис. 1. Это сужает область заданного запаса устойчивости. И, наконец, существует некоторое предельное значение а = апред, когда образуется точка возврата. Для типовых объектов и значений степени колебательности т = 0,221 и т = 0,366 в [17, 18] определены значения а = апред и предложен алгоритм решения задачи.
В [19] приведен пример системы с ПИ-регулятором и ограничением на максимум М5, когда также имеется самопересечение граничной кривой.
Как показано ниже, для того же примера с ПИД-регулятором при выборе к2 по критерию КНВ также имеется самопересечение граничной кривой. В настоящей работе предложен новый, достаточно простой алгоритм определения а = апред для ПИД-регуляторов целого и дробного порядка, отвечающих точке возврата при расчете систем управления на заданную степень колебательности и максимум функций чувствительности. Для случая, когда коэффициент к2 рассчитывается по критерию КНВ, решается задача определения предельных значений т = тпред и = Мпред или М = Мпред, соответствующих точке возврата.
Постановка задачи и алгоритм решения
Рассматривается система регулирования с одним входом и одним выходом. Передаточная функция регулятора описывается передаточной функцией
( л \
W = k,
p 1
1 + + TS
Т с5 d
= к, + кг + k2se, (1)
1 s5 2
где к0, к1, к2 - коэффициенты усиления - настроечные параметры регулятора; Т = к0, Т = к2/ к1 - время интегрирования и дифференцирования соответственно; если 5 и в равны единице - регулятор целого порядка, если дробным неотрицательным действительным числам -регулятор дробного порядка.
Рассматриваются модели объектов с передаточными функциями вида
1^ЛЛ_1 bo + V + ••• + bmsm
Wy (s) = —Wy! (s)= ^ "0 ....."m
У V / r y1 V / r n '
s s a0 + a1s +... + ans
где Wy1 (s) - пропорциональная часть модели объекта, |Wy1 (0)| = |b0/a0|<<x>; r = 0, 1; ai, bi -
постоянные коэффициенты; an, b0 > 0; m <n ; т - запаздывание, константа, в частном случае может равняться нулю.
Настройки регулятора определяются из условия минимума интегральных критериев качества при ограничении на заданную степень колебательности m, или на функции чувствительности Ms = max | S( jro) | и дополнительной чувствительности M = max | T (jro) |.
ю p Ю
Обычно задача расчета настроек разбивается на два этапа: 1) построение в плоскости настроек регулятора k1, k0 границы области заданного запаса устойчивости; 2) определение на границе области точки, минимизирующей критерий оптимальности [1, 13].
Коэффициенты дифференциальной части k2 или Ti регулятора выбираются двумя способами:
k2 = ak12/k0 или Td = aTi - (2)
традиционный способ - и по критерию КНВ [13]:
k0 = max k0; k2 = a (a1 + k1 )2 / k0 + a2k0 + a3;
1 dk
где a = i/2; a1 = 1/^0; a2 = (^2-2• ^0• ^2)/2■ ; a3 = ^У^2; м* = — (s)[=0; k =0, 1, 2 -
моменты передаточной функции Wy1.
Первое ограничение в (3) соответствует минимуму линейного интегрального критерия качества IE [1]. Формулы для ai, i е1, 3, зависят от коэффициентов передаточной функции объекта (1) и точки приложения возмущения. Для возмущения, действующего на входе объекта, a2 = 0, для астатического объекта a2 = a1 = 0 и a3 = -1/р.0 [13]. Если a1 = a2 = a3 = 0 и a = const,
получим известную формулу k2 = ak12/k0, a > 0 . В дальнейшем ограничимся задачей компенсации возмущения действующего на входе объекта. Таким образом, при использовании КНВ выбор k2 зависит от свойств объекта и автоматически решается проблема выбора k2. Причиной появления самопересечения являются завышенные значения m и, как правило, чрезмерно заниженные значения Ms и Mp . При синтезе ПИД-регулятора по методу доминирующих корней
могут появиться корни с большой колебательностью [1].
Таким образом, задача расчета предельного значения а и предельных значений запасов устойчивости m = m и Ms = Ms пред, Mp = Mp пред имеет важное практическое значение. Решение перечисленных задач приводится ниже.
Алгоритм расчета на заданную степень колебательности, случай a = const
Система с ПИД-регулятором целого порядка. Уравнение границы области m > m^
(кривую ^-разбиения) находим из характеристического уравнения замкнутой системы подстановкой s = -mю + ]ю\
Wp (s) • Wy (s) +1 = (k, + kj s + k2s) Wy (s) +1 = 0, где (здесь и в дальнейшем) m = m ; ю > 0; j =
В результате получаем уравнение
k + -
k0
-тм + j®
+ k2 (-тм + jrn^U (т, м) + jU2 (т,®)) +1 = 0,
(4)
где Wу (-тю+7'ю) = и1 (т, ю) + (т, ю) - расширенная амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) объекта.
Выделяя в (4) вещественную и мнимую часть и переходя к АФХ объекта, получим
F1 = k0 - тюк1 + ю2 (т2 -1)к2 - тю V - юУ2 = 0; F1 = юk1 - 2тю2k1 + ю V1 - тюК2 = 0,
где Wy-1(s)s=-mю+Jю = У1(т,ю)+jV1(m,ю) = VI + у'К, - инверсная АФХ объекта. Решение системы типа (5) рассмотрено в [13] и имеет вид
к0 = (-В -VВ2 - 4АС)/(2А); к = 2тк0/(ю(т2 +1)) -VI -т^
(5)
(6)
где А = а(4ат2 -1 -т2)/(т2 +1)1, В = аю(-4ат^ + (1 + т2 -4ат2)Г2)/(т2 +1), С = аю2(^ + т^)2. Задаваясь ю из (6), находим к0, затем к и строим кривую ^-разбиения. Рассмотрим теперь задачу определения предельного а.
В точке возврата кривой ^-разбиения справедливы равенства dк0|dю = dk1|dю = 0 [17, 20, 21]. Дифференцируя уравнения (5) по ю, считая к0 и к1 функциями ю, получим
К =
dF dk0 dF dk, dF,
- + -
+ ^ = 0;
К =
dk0 drn дк1 drn drn
дК2 dh0 dF2 dh, dF2
(7)
_ ^ 2 ^'"0
+ -
dk0 d® dk, d® d®
= 0.
(8)
Поскольку dk0| dю = dkl| dю = 0, уравнения (7) упрощаются. Присоединяя к ним уравнения (5), получим четыре уравнения для расчета критических параметров (к0, к1, к2, ю):
= к0 - тюк1 + ю2 (т2 - 1)к2 - mюVl - юV. = 0; F1 = юк - 2тю2к2 + ю V - тю V = 0; F3 = dFl|dю = -тк + 2ю(т2 - 1)к2 - т(^ + юV\) - V1 - юV, = 0; F4 = dF1 /dю = юк -2тю2к2 + V, -т^2 + ю(V\ -mV'2) = 0,
где W;1(s)s=-mm+jm = Vl(mю) + ЖМ = V + ^ V\ = dVl|dю; V^ = dV2|dю.
Система (8) линейна относительно к1, к0, к2, поэтому сначала находится значение к2, а затем по формуле (2) рассчитывается а. Ранг ее матрицы коэффициентов равен трем, поскольку минор 3-го порядка отличен от нуля, если ю Ф 0:
Ak =
1 -тю ю2 (т2 -1) 0 ® -2т®2 0 -т 2ш(т2 -1)
= -2®2
И система совместна, если определитель Д ее расширенной матрицы равен нулю:
A =
1 тш ш2(т2 -1) 0 ® -2т®2
-а(тУ1 + V2) - mV2)
0 -т 2м(m2 -1) -т(*1 + mV/) - V2 -rnV,1 0 rn -4ти V - тУ2 + rnV - rnV2)
Вычисляя Д , после несложных преобразований получим
Д = -2ю2(т2 + 1)(шК/ + тУ2) = 0. (9)
Частота ю находится как корень уравнения (9). Для объектов 3-го порядка без запаздывания и некоторых объектов 4-го порядка частота может быть выражена в явном виде как функция т и параметров объекта, как показано ниже в примерах 1.1, 1.2. Алгоритм решения не зависит от коэффициентов передаточной функции объекта.
Коэффициенты регулятора находятся решением первых трех уравнений (8), например методом Крамера, а апред - из формулы (2):
(т2
^пред
k0 = -0,5©(m2 +1)((m2 - 1)V2 + ©(m^1 + V,1));
k1 =-(V + m3V + ©m(mV11 + V21)2); k2 =- 0,5((m2 + 1)V2 + ©(mV^ + ^))/2ю; (m2 +1)(©(m^1 + V1) + (m2 + 1)V2)((m2 - 1)V2 + ©(mVf + V21)) 4 (V + m3V2 + m©(mVl + V21) )2
Система управления с ПИД-регулятором дробного порядка. Амплитудно-фазовая характеристика регулятора дробного порядка после подстановки 5 = -тю + /ю принимает вид
Жр (т,ю) = к1 + к0ю-8 А + к2юв В +1 (к0ю-8С + к2юр D), (10)
где A = (m2 + 1)-5/2cos(0,5п5 + 5• arctan(m)); B = (m2 + 1)-p/2 cos(0,5л5+р• arctan(m)); С = (m2 +1)-5/2 sin(0,5n5 + 5 • arctan(m)); D = (m2 + 1)-p/2 sin (0,5п5 + p • arctan(m)).
Метод решения аналогичен случаю ПИД-регулятора целого порядка. Уравнения (8) и расширенный определитель системы приводятся к виду
F = k + k0<B-5 A + k2©p B + V1= 0; F2 = k0©-5C + k2©p D + V2 = 0;
(11)
F3 = -k0<a-s5A + k2®pp5 + юУ = 0; F4 = -k0®-5 5C + k^pD + иК2' = 0,
Д = -Ср£У> + CpV/D© + 5ADpV2 -5ADV> + 5CDV>- 5CpBV2. (12)
Параметры регулятора находятся решением первых трех уравнений (11): k0 = (БУ^ю - рВУ2)ю5/ Дх; k2 =- (СУ^ю + V25A)®-P/ Дх; k1 = (-у (CBp + ADS) + У2AB(P + 5) + юУ (BC - AD))/Дх; Дх = ( SAD + PCB).
Значение а рассчитывается по формуле апред = k0k2/k12, ю - как корень (12). Расчет на заданные функции чувствительности, a = const
Граница области М < Мзад в плоскости параметров настройки определяется решением системы уравнений [15, 16]
|A3(ю k0, kl, а) = Мзад; (13)
[«A3(®, k0, k1, а)/^ю = 0,
где Мзад заданное значение или Mp, A3(ro, k0, k1, k2) - соответствующая амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) замкнутой системы.
Уравнения (13) есть необходимое условие максимума АЧХ, а также условия касания АФХ разомкнутой системы «запретной окружности» [1, 15]. На рис. 2 приведена кривая заданного запаса устойчивости М = Мзад (рис. 2, а) и АЧХ замкнутой системы (рис. 2, б) для случая, когда а > ап
пред
а б в
Рис. 2. Кривые для заданного показателя колебательности: кривые М = Мзад (а, в);
АЧХ замкнутой системы (б)
Амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы имеет два резонансных пика одинаковой амплитуды при двух разных частотах. В точке возврата (рис. 2, в), когда а = апред,
пики сливаются, гладкость АЧХ в точке резонанса увеличивается.
Условия наличия точки возврата для рассматриваемого случая можно получить, дополнив систему (13) двумя уравнениями [20-22]:
k0, k, к2) = Мзад;
2 „ (14)
dA (ю, к0, к1, к2)/d® = 0;
d2Аъ(ю, к0, к1, к2)^ю = 0; d3 Аз(ю, к0, к1, к2)/ dю3 = 0.
Имеем четыре уравнения относительно четырех неизвестных ю, к0, к1, к2.
Здесь, как и в предыдущем случае, мы для простоты вместо а рассматриваем к2. Значение
апред рассчитывается по формуле апред = к0к2/к12 .
После подстановки в (14) выражений для частотных характеристик объекта и регулятора уравнения (14) принимают вид
51 = Ак02 - 2к0к2 + Вк0 + к12 + Ск 1 + Dk22 + Ек2 + F = 0;
52 = dS1/ dю = А1к02 + В1к0 + С1к 1 + D1k22 + Е1к2 + ^ = 0; (15) 53 = d2 51 / dю2 = А2к02 + В2 к0 + С2 к 1 + D2к22 + Е2к2 + Е2 = 0;
^3 — 1л ^ц^ш — 1 1 ^2""2 1 J-^2'v2 ' * 2
У4 = d 35^ d®3 = A3k02 + B3k0 + C3k 1 + E3k2 + F3
где A = l/ю2; 5 = -2aV2/®; C = 2aV1; D = ю2; E = 2аю-V2; F = (a2 -Ä2)^2 + V22); Ak = dkA/d®k; Bk = dkB/d®k; Ck = dkC/d®k; Dk = dkD/d®k; Ek = dkE/d®k; Fk = dkF/d®k; k = 1, 2, 3;
Wy-1(jю) = ^(ю) + 7"К2(ш) - инверсная АФХ объекта; а = М2р/(М2р -1); Л = Мр/(Мр -1)
и а2 - Л2 = а, если Мзад = Мр и а = 1; К = ]/Мх, если Мзад = Мх.
Система (15) не линейна относительно ю, к0, к1, к2. Для ее решения желательно задать диапазон начальных значений переменных. Для этого рассчитывается граница области заданно-
го запаса устойчивости в плоскости (к1, £0) для нескольких значений а. Для ее построения достаточно уравнений (13) или двух первых уравнений системы (15) после подстановки а = k12 . Метод решения этих уравнений рассмотрен в [15, 16].
Методика легко распространяется на случай ПИД-регулятора дробного порядка.
Алгоритм расчета предельных значений степени колебательности и функций чувствительности, случай КНВ
В рассматриваемом случае проблемы выбора ^ решаются автоматически, однако остается проблема предельных значений запасов устойчивости. Как отмечалось выше, при необоснованном выборе заданного значения степени колебательности m или показателей колебательности М5, Мр возникают точки возврата или самопересечения граничных кривых. Алгоритм
расчета предельных значений основан на уравнениях (8), (11) и (15).
В общем виде соответствующие уравнения записываются следующим образом:
S1(k1, X, ю, р, 5) = 0; S2(k1, ^ X, ю, р, 5) = 0; S3(k1, k0, X, ю, р, 5) = 0; S4(k1, ^ X, ю, р, 5) = 0,
где Р и 5 известны, а X - искомые предельные значения mпред или М5, Mp.
Алгоритм расчета предельной степени колебательности регулятора дробного порядка. Подставляя в уравнения (11) выражение для ^ из (3), получим
•Л , и и , „Ри;, , „Ри , ю-5 '-2
S1 = 0,5юр Б^2 + k0 к, + а1юр Бk1 + (а2юр Б + ю-5 A) ^ + (V + а3юр Б)k0 + 0,5а2юр Б = 0; S2 = 0,5юр + а1юр Dk1 + (а2 гар D + ю-5С) k02 + (У2 + а3юр D) k0 + 0,5а2юр D = 0;
53 = (0,5^ + а^ю^рБ^ + (а2юр-1рБ - ю-(1+5)5А) + (У11 + а3юр-1рБ) k0 + 0,5а2юр-1рБ = 0;
54 = (0,5^ + а^ю13-^ + (а2юр-1р£ - ю-(1+5)5С) ^ + (V1 + а3юр-1р£) к0 + 0,5а2юр-1р£ = 0,
(16)
где А, В, С, D определяются формулами (10) и зависят от степени колебательности т, ^;Ч.5итю+/ю = ^(т,ю) + /У2(т,ю) = Ц+ /У2; ¥\ = й^/йГю; У\ = йУ2!йТю; Ух, У2 и их производные V, V1 также зависят от т
Для оценки начальных приближений можно построить серию кривых равного запаса устойчивости для нескольких значений т в плоскости .
Значения ^ и ^ находятся как функции ю решением первых двух уравнений (16) методом исключения, описанным в [13], аналогичным решению уравнений (6).
Алгоритм расчета предельного значения функции чувствительности М5 и Мр. Ограничимся случаем ПИД-регулятора целого порядка. За основу примем уравнения (15). Отметим особенность формул для коэффициентов в (15). В случае если решается задача определения М5 = Мпред, в формулах (15) а = 1, а входит лишь в выражения для F, ..., ^ в виде
сомножителя X = 1 - 0М2 . Определив X, найдем Му = Мпред . В случае если определяется Мр = Мпред, учтем, что а2 - R2 = а . Тогда, вычислив а = Мр/(Мр -1), находим Мр . Подставляя ^из (3) в уравнения (15), получим систему из четырех уравнений относительно неизвестных ^ ^ ю, X), а затем = М^ или Мр = МЩЮЛ.
Для определения начальных значений переменных по уравнениям (13) строится семейство кривых равного значения запасов устойчивости.
В случае ПИД-регулятора дробного порядка алгоритм решения задачи не изменяется, усложняется лишь вид коэффициентов уравнений.
Примеры
Рассмотренные задачи решались с помощью программ, разработанных в среде пакета символьных вычислений Maple.
1. Задана степень колебательности m . Определение апред .
1.1. Объект W-1 (s) = s(Ts +1)2, ПИД-регулятор целого порядка.
А = -8T(m2 +1)(2Tm© -1) = 0 ^ юпред = 1/(2Tm),k0 = (1 +1/ m2)2/(16T2);
k1 = (1 + 1/ m2)/(2T); k2 = (1 +1/ m2)/2; апред = (1 +1 m2)/8.
1.2. Объект W- (s) = (Ts +1) , ПИД-регулятор целого порядка.
А = -4®4(m2 + 1)T 2(4Tm® - 3); юпред = 3/(4Tm);
k0 = 81(1 +1/m2)2/(256T); k1 = (11 + 27/m2)/16; k2 = 3T(1 + 3/m2)/8;
апред = 243(m2 + 3)(m2 + 1)2/(8m2(11m2 + 27)2).
1.3. Объект W (s) = s(Ts +1) , ПИД-регулятор дробного порядка; m = 0,25; Т = 2; 5 = 0,85; в = 1,1.
ю = 0,8758 • T- = 0,4379; k0 = 1,2393- T= 0,343 8;
k1 = 1,7217 • T-1 = 0,8608; k2 = 3,3337 • T01 = 3,5730; апред = 1,6575.
2. Задан показатель колебательности M . Определение апред .
Объект Wy-1(s) = s(Ts +1)3, ПИД-регулятор целого порядка. Mp = 1,5 .
апред = 0,3099; k0 = 0,1108; k = 0,6550; £2 = 1,1998; ю^ = 0,4534.
При а = 0,45 имеется точка самопересечения с координатами k0 = 0,1479; к1 = 0,7038; k2 = 1,5069; ю1 = 0,33; ю2 = 0,72 (см. рис. 2).
3. Определение m , k2 находится по КНВ.
Объект W;4 s) = ( 2 s +1) (s +1) (0,5s +1) , ПИД-регулятор дробного порядка, 5 = 0,85; в = 1,1. Результат: = 0,7017; k0 = 1,5644; k1 = 3,7144; ю = 0,9895 . Корни характеристического полинома замкнутой системы s12 = -0,6943 ± j • 0,9895; s3 4 = -0,6943 ± j • 0,9895.
На рис. 3 изображены нормальная при m = 0 (пунктиром) и расширенная при m = mпред АФХ разомкнутой системы.
U2
-2 -1 / 0 /
/
/ "Н
/ I
Ui
Рис. 3. Нормальная и расширенная АФХ разомкнутой системы, W;1 (5) = (2 5 +1) (5 +1) (0,55 + i)2
Расширенная АФХ проходит через критическую точку с точкой возврата, что соответствует предельному запасу устойчивости.
4. Определение предельного значения М5, ^ находится по КНВ [4].
Объект с передаточной функцией 5) = (я +1)3в5";5 = 1; в = 1. Предельное значение = 1,4558; ^ = 0,1101; кх = 0,3898; ю = 0,3275 . При = 1,4 имеется точка самопересечения.
Переходные характеристики замкнутой системы по возмущению при различных Мх приведены на рис. 4.
Рис. 4. Переходные характеристики замкнутых систем по возмущению при разных значениях Ms, W~l (s) = (s +1)3e5s
Качество регулирования при Ms = Мпред несколько уступает случаям с Ms > Мпред, но это компенсируется большим запасом устойчивости (радиус R = 1/ Ms запретной окружности больше). Это позволяет системе функционировать без потери качества даже при заметных изменениях параметров объектов, т. е. повышает робастность системы.
Заключение
В работе рассматриваются некоторые особенности задачи параметрического синтеза ПИД-регуляторов целого и дробного порядка. Показано, что от величины а в формулах Td = аТ или k2 = ak12/k0, где значение а может изменяться в широких пределах, существенно зависит характер области заданного запаса устойчивости (корневого или частотного) в плоскости (k1, k0) . При чрезмерном увеличении а возможно самопересечение граничной кривой
и сужение области заданного запаса устойчивости, в частности уменьшение максимально возможного значения коэффициента усиления системы k1. От величины k1, как известно, зависит интегральный критерий IE [1]. В работе представлены алгоритмы расчета предельного значения а и соответствующих значений ю, k0, k1, k2, когда граничная кривая имеет точку возврата. В случае корневого запаса устойчивости предельная частота находится как корень нелинейного уравнения, а k0, k1, k2 — решением системы линейных уравнений. Замкнутая система имеет две пары комплексно сопряженных корней вида s12 = —тзадю ± jro. Важно, что апред зависит от параметров объекта и ограничивает диапазон возможных значений а. В случае, когда k2 или Т однозначно определяются по КНВ и зависят от свойств объекта, решена задача расчета предельных значений корневого и частотных запасов устойчивости m, Ms, Mp . Предельные значения находятся как решения четырех нелинейных уравнений. Для определения начальных значений переменных разработаны оригинальные алгоритмы построения кривых заданного запаса устойчивости в плоскости (k1, k0). Для реализации предложенных алгоритмов разработаны программы в среде пакета символьных вычислений Maple. Работоспособность алгоритмов иллюстрируется примерами расчетов предельных значений параметров.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Äström K. J., Hägglund Т. Advanced PID control. Research Triangle Park, NC: ISA-The Instrumentation, Systems, and Automation Society, 2006. 460 p.
2. Ang K. H., Chong G., Li Y. PID control system analysis, design, and technology // IEEE Transactions on Control Systems Technology. 2005. V. 13. N. 4. P. 559-576.
3. Wallen A., Astrom K. J., Hagglun T. Loop-shaping design of PID Controllers with constant Ti/Td ratio // Asian Journal of Control. 2008. V. 4. N. 4. P. 403-409.
4. Astrom K. J., Hagglund T. The Future of PID Control // IFAC Proceedings Volumes. 2000. V. 33. N. 4. P. 19-30.
5. Tan W., Liu J., Chen T. Comparison of some well-known PID tuning formulas // Computers & Chemical Engineering. 2006. V. 30. N. 9. P. 1416-1423.
6. Tang W., Wang Q. G., Lu X., Zhang Z. Why Ti=4Td for PID Controller Tuning // Robotics and Vision 2006 9th International Conference on Control, Automation. Singapore: IEEE, 2006. P. 1-2.
7. O'Dwyer A. An Overview of Tuning Rules for the PI and PID Continuous-Time Control of Time-Delayed Single-Input, Single-Output (SISO) Processes // PID Control in the Third Millennium: Lessons Learned and New Approaches. London: Springer London, 2012. P. 3-44.
8. Yadaiah N., Malladi S. An optimized relation between Ti and Td in Modified Ziegler Nichols PID controller tuning // 2013 IEEE International Conference on Control Applications (CCA). 2013. P. 1275-1280.
9. Leva A., Maggio M. Model-Based PI(D) Autotuning // PID Control in the Third Millennium: Lessons Learned and New Approaches. London: Springer London, 2012. P. 45-73.
10. Pecharroman R. R., Pagola F. L. Control Design for PID Controllers Auto-Tuning Based on Improved Identification // IFAC Proceedings Volumes. 2000. V. 33. N. 4. P. 85-90.
11. Смирнов Н. И., Сабанин В. Р., Репин А. И. Чувствительность и робастная настройка ПИД-регуляторов с реальным дифференцированием // Теплоэнергетика. 2007. № 10. С. 15-23.
12. Ozyetkin M. M., Onat C., Tan N. PID Tuning Method for Integrating Processes Having Time Delay and Inverse Response // IFAC-PapersOnLine. 2018. V. 51. N. 4. P. 274-279.
13.Аязян Г. К., Новоженин А. Ю., Таушева Е. В. Параметрический синтез ПИД-регуляторов на заданную степень колебательности // XII Всерос. совещ. по проблемам управления (ВСПУ-2014). М.: Ин-т проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2014. P. 147-159.
14. Аязян Г. К. Расчет автоматических систем с типовыми алгоритмами регулирования. Уфа: Изд-во УНИ, 1989. 136 с.
15. Аязян Г. К., Таушева Е. В., Шаймухаметова М. Р. Применение системы символьных вычислений Maple для параметрического синтеза регуляторов // Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО17): материалы VI Междунар. конф. Улан-Удэ - Байкал, 2017. С. 59-64.
16. Ayazyan G., Tausheva E. Parametric Synthesis of PID Controllers for Systems in Case of Low-Frequency Disturbances // 2019 International Russian Automation Conference (RusAutoCon). IEEE, 2019. P. 1-6.
17. Волгин В. В. К определению оптимальных настроек ПИД-регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 23. № 5. С. 620-629.
18. Сафронова И. Н., Волгин В. В. Метод кратных корней при оптимизации систем регулирования с ПИД-алгоритмом // Теплоэнергетика. 1989. № 10. С. 65-68.
19. Astrom K. J., Panagopoulos H., Hagglund T. Design of PI controllers based on non-convex optimization // Automatica. 1998. V. 34. N. 5. P. 585-601.
20. Брус Дж. У., Джиблин П. Дж. Кривые и особенности: геометрическое введение в теорию особенностей. М.: Мир, 1988. 262 с.
21. Лорд И. А., Уилсон С. Б. Введение в дифференциальную геометрию и топологию. Математическое описание вида и формы. М.; Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2003. 304 с.
22. Залгаллер В. А. Теория огибающих. М.: Наука, 1975. 104 c.
Статья поступила в редакцию 18.12.2019
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Аязян Гоерун Качперунович - Россия, 450064, Уфа; Уфимский государственный нефтяной технический университет; канд. техн. наук, доцент; профессор кафедры автоматизации технологических процессов и производств; AyazyanGK@rambler.ru.
Таушева Елена Викторовна - Россия, 450064, Уфа; Уфимский государственный нефтяной технический университет; старший преподаватель кафедры автоматизации технологических процессов и производств; TaushevaEV@mail.ru.
ON SOME RESTRICTIONS IN PARAMETRIC SYNTHESIS OF PID CONTROLLERS
G. K. Ayazyan, E. V. Tausheva
Ufa State Petroleum Technological University, Ufa, Russian Federation
Abstract. The article highlights solving the problem of parametric synthesis of PID Controllers of integer and fractional orders. The methods of synthesis for the given margins and indices of the relative stability of PID Controllers of integral and fractional orders have been developed. There have been developed algorithms for calculating the limiting values of the controller differential gain, at which the boundary of the region of a given stability margin has a cusp. Applying the criterion for low-frequency disturbance compensation helps to define the limiting values of the relative stability margin and indices. To implement the proposed algorithms there have been developed the software in the environment of the Maple package of symbolic calculations. Application of the developed algorithms allows to narrow the search area for the PID Controllers optimal parameters.
Key words: PID-Controller, fractional order, relative stability margin, relative stability index, Maple.
For citation: Ayazyan G. K., Tausheva E. V. On some restrictions in parametric synthesis of PID controllers. Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, Computer Science and Informatics. 2020;2:7-18. (In Russ.) DOI: 10.24143/2072-9502-2020-2-7-18.
REFERENCES
1. Astrom K. J., Hagglund T. Advanced PID control. Research Triangle Park, NC, ISA-The Instrumentation, Systems, and Automation Society, 2006. 460 p.
2. Ang K. H., Chong G., Li Y. PID control system analysis, design, and technology. IEEE transactions on control systems technology, 2005, vol. 13, no. 4, pp. 559-576.
3. Wallen A., Astrom K. J., Hagglun T. Loop-shaping design of PID Controllers with constant Ti/Td ratio. Asian Journal of Control, 2008, vol. 4, no. 4, pp. 403-409.
4. Astrom K. J., Hagglund T. The Future of PID Control. IFAC Proceedings Volumes, 2000, vol. 33, no. 4, pp. 19-30.
5. Tan W., Liu J., Chen T. Comparison of some well-known PID tuning formulas. Computers & Chemical Engineering, 2006, vol. 30, no. 9, pp. 1416-1423.
6. Tang W., Wang Q. G., Lu X., Zhang Z. Why Ti=4Td for PID Controller Tuning. Robotics and Vision 2006 9th International Conference on Control, Automation. Singapore, IEEE, 2006. Pp. 1-2.
7. O'Dwyer A. An Overview of Tuning Rules for the PI and PID Continuous-Time Control of Time-Delayed Single-Input, Single-Output (SISO) Processes. PID Control in the Third Millennium: Lessons Learned and New Approaches. London, Springer London, 2012. Pp. 3-44.
8. Yadaiah N., Malladi S. An optimized relation between Ti and Td in Modified Ziegler Nichols PID controller tuning. 2013 IEEE International Conference on Control Applications (CCA). 2013. Pp. 1275-1280.
9. Leva A., Maggio M. Model-Based PI(D) Autotuning. PID Control in the Third Millennium: Lessons Learned and New Approaches. London, Springer London, 2012. Pp. 45-73.
10. Pecharroman R. R., Pagola F. L. Control Design for PID Controllers Auto-Tuning Based on Improved Identification. IFAC Proceedings Volumes, 2000, vol. 33, no. 4, pp. 85-90.
11. Smirnov N. I., Sabanin V. R., Repin A. I. Chuvstvitel'nost' i robastnaia nastroika PID-reguliatorov s real'nym differentsirovaniem [Sensitivity and robust tuning of PID controllers with real differentiation]. Teploenergetika, 2007, no. 10, pp. 15-23.
12. Ozyetkin M. M., Onat C., Tan N. PID Tuning Method for Integrating Processes Having Time Delay and Inverse Response. IFAC-PapersOnLine, 2018, vol. 51, no. 4, pp. 274-279.
13. Aiazian G. K., Novozhenin A. Iu., Tausheva E. V. Parametricheskii sintez PID-reguliatorov na zadan-nuiu stepen' kolebatel'nosti [Parametric synthesis of PID controllers for given margin of relative stability]. XII Vserossiiskoe soveshchanie po problemam upravleniia (VSPU-2014). Moscow, In-t problem upravleniia im. V. A. Trapeznikova RAN, 2014. Pp. 147-159.
14. Aiazian G. K. Raschet avtomaticheskikh sistem s tipovymi algoritmami regulirovaniia [Analysis of automatic systems with typical control algorithms]. Ufa, Izd-vo UNI, 1989. 136 p.
15. Aiazian G. K., Tausheva E. V., Shaimukhametova M. R. Primenenie sistemy simvol'nykh vychislenii Maple dlia parametricheskogo sinteza reguliatorov [Application of Maple symbolic computing system for parametric synthesis of controllers]. Matematika, ee prilozheniia i matematicheskoe obrazovanie (MPMO17): materialy VIMezhdunarodnoi konferentsii. Ulan-Ude - Baikal, 2017. Pp. 59-64.
16. Ayazyan G., Tausheva E. Parametric Synthesis of PID Controllers for Systems in Case of Low-Frequency Disturbances. 2019 International Russian Automation Conference (RusAutoCon). IEEE, 2019. Pp. 1-6.
17. Volgin V. V. K opredeleniiu optimal'nykh nastroek PID-reguliatorov [To determining optimal settings for PID controllers]. Avtomatika i telemekhanika, 1960, vol. 23, no. 5, pp. 620-629.
18. Safronova I. N., Volgin V. V. Metod kratnykh kornei pri optimizatsii sistem regulirovaniia s PID-algoritmom [Multiple root method for optimization of control systems with PID algorithm]. Teploenergetika, 1989, no. 10, pp. 65-68.
19. Astrom K. J., Panagopoulos H., Hagglund T. Design of PI controllers based on non-convex optimization. Automatica, 1998, vol. 34, no. 5, pp. 585-601.
20. Brus Dzh. U., Dzhiblin P. Dzh. Krivye i osobennosti: geometricheskoe vvedenie v teoriiu osobennostei [Curves and singularities: geometric introduction to singularity theory]. Moscow, Mir Publ., 1988. 262 p.
21. Lord I. A., Uilson S. B. Vvedenie v differentsial'nuiu geometriiu i topologiiu. Matematicheskoe opisanie vida i formy [Introduction to differential geometry and topology. Mathematical description of form and shape]. Moscow - Izhevsk, In-t komp'iuter. issled., 2003. 304 p.
22. Zalgaller V. A. Teoriia ogibaiushchikh [Envelope theory]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 104 p.
Ayazyan Goerun Kachperunovich - Russia, 450064, Ufa; Ufa State Petroleum Technological University; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Professor of the Department of Automation of Technological Processes and Production; AyazyanGK@rambler .ru.
Tausheva Elena Viktorovna - Russia, 450064, Ufa; Ufa State Petroleum Technological University; Senior Lecturer of the Department of Automation of Technological Processes and Production; TaushevaEV@mail.ru.
The article submitted to the editors 18.12.2019
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
