О некоторых математических моделях напряженного состояния пластической среды при осесимметричной деформации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.957:539.374

О НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ

В.У7. Дильман

В работе при некоторых допущениях получены приближенные математические модели напряженного состояния поперечной пластически деформируемой мягкой прослойки цилиндрического образца, в форме краевых задач для систем уравнений гиперболического типа, в том числе с постоянными на характеристиках римановыми инвариантами, что позволяет перенести метод характеристик на некоторые случаи осесимметричной деформации неоднородных сред.

1. Введение. Задачи, приводящие к осесимметричному напряженно-деформированному состоянию (НДС), возникают при экспериментальном исследовании свойств материалов (растяжение и сжатие стержневых цилиндрических образцов, деформирование под действием осевой силы и внутреннего давления трубчатых образцов), при изучении НДС поперечных прослоек (мягких и твердых) в таких образцах и при исследовании шейки. Известные точные решения [1,2] относятся к гипотетическим состояниям и практически бесполезны в реально возникающих задачах. Попытки получения приближенных решений [3-5] основаны на использовании упрощающих условий и допущений (нередко противоречащих друг другу [5]) инженерного характера и не содержат анализа допускаемых ошибок. Существенной трудностью исследования осесимметрич-ного НДС является негиперболичность соответствующей системы уравнений [1]. Однако и в ряде частных случаев, когда система уравнений гиперболична, инварианты Римана не постоянны на характеристиках, а их дифференциалы вдоль последних зависят от искомых функций, что не позволяет получить метод характеристик, аналогичный методу решения плоских задач теории пластичности [6]. Один из путей преодоления указанной трудности - замена системы уравнений НДС пластической среды на приближенную на основе некоторых физических гипотез, соответствующих изучаемой ситуации, и математического анализа априорных свойств решений.

В работе рассматривается НДС мягкой поперечной прослойки в сплошном цилиндрическом образце под осевой нагрузкой. Цель работы - получение и исследование упрощенных систем уравнений пластического равновесия материала прослойки и материала твердой части образца вблизи прослойки. На основе этого исследования можно судить о развитии напряженного состояния в прослойке и прилежащих к ней участках с ростом нагрузки вплоть до потери несущей способности образца.

В работе под прослойкой понимается участок цилиндрического образца, расположенный между двумя ортогональными оси образца плоскостями. Предполагается, что материал прослойки (П) и основной металл (ОМ) образца идеально упругопластичный с идентичными упругими свойствами, но разными пределами текучести: к? и ком соответственно, К1 < ком, причем выполняются обычные в таких случаях допущения [6]. К = А* / кш, коэффициент механической неоднородности, полагается ненамного большим единицы (К = 1,05...1,50). Такой диапазон значений К наиболее характерен для сварных соединений. В качестве уравнения пластичности принято условие Мизеса. Полученные результаты переносятся на упрочняемые материалы (с изотропным упрочнением) заменой в условии полной пластичности пределов текучести на пластические постоянные, характеризующие моменты потери пластической устойчивости металлом слоя и основным металлом [7].

2. Гипотеза плоских сечений. НДС пластической среды, как известно [1; 6], при осесимметричной деформации определяется в предположениях теории течения системой уравнений

дсхг 8т}

+ —и дг дг

дтГ2 ^ ¿гг-<7у

= 0;

(1)

г

Дильман В.Л.

дтГ2 дет. тГ1 л

-+-+ (2)

дг дг г

(стг -<г9)2^ (<тр - стх)2 + {стг - о>)2 + 6г2 = 6 ; (3)

8У2 _ ¿Н>г <?у2

дг г _ & дг _ дг дг_. ^

2г,

гг

= (5)

дг г дг

Здесь под <уг, а9, и понимаются безразмерные аналоги радиального, кольцевого, осевого

нормальных напряжений и радиально-осевого касательного напряжения, полученные из соответствующих напряжений делением на предел текучести; условные скорости перемещений (определяются с точностью до постоянного множителя). Система (1)-{5) содержит шесть независимых уравнений относительно шести неизвестных и, в этом смысле, замкнута. Рассматривая прослойку, носителем этой системы считаем прямоугольник АВВХАХ: г е[-1;1], г - осевое сечение прослойки. Здесь х ~ относительная толщина прослойки, то есть отношение ее толщины к диаметру. Сторона АА] пусть лежит на свободной поверхности, АВ - на контактной, ВВХ - на другой свободной поверхности.

Помимо очевидных граничных условий

<тг(и> = 0, тп(1;г) = 0, г,2(0;2г) = 0, тГ2(г;0) = 0 (6)

(считаем внешнее давление отсутствующим), можно еще найти (в принципе, как функцию достигнутой внешней нагрузки) наибольшее на контактной поверхности г- х значение а (О < а < 1) касательных напряжений в каждый момент нагружения:

шах(ггг| = а, ге[0;1], (7)

Фактически а характеризует отклонение напряженного состояния прослойки от простого под действием внешней нагрузки и, тем самым, уровень достигнутой внешней нагрузки. Его максимальное значение а определяется НДС всего соединения, в том числе тем, произойдет ли вовлечение ОМ в пластическое деформирование, и зависит количественно от коэффициента механической неоднородности К. Граничных условий (6) и (7) недостаточно для однозначного решения системы (1)~{5), поэтому необходимо привлечение дополнительных гипотез, предугадывающих внутреннее состояние материала. Для не очень толстой мягкой прослойки (% - 0,1...0,7), в силу сдерживающего влияния ОМ, можно предположить, что в каждой точке прослойки скорость перемещения в направлении оси образца не зависит от расстояния до оси:

(8)

где ¡V - неизвестная функция одной переменной. Это предположение назовем гипотезой плоских сечений (ГПС).

Лемма 1. Равносильны утверждения:

1) Выполняется ГПС;

3) о", = сг

I / у у

Здесь = , ^ = — - радиальные и кольцевые скорости деформации. Из леммы 1 легко еле-

^ р -Ъ.

3 9 5 <р дг ^ г

дует

Лемма 2. При выполнении ГПС система (1)~{5) приобретает вид (знак плюс в уравнении (11) соответствует растяжению, знак минус - сжатию):

= (9)

дг дг

(Ю)

дг дг г

<т2-стг=±^ф-т* ; (И)

ЗЕТ'00 _ гТУ\г) .

О ' ^^

уг=-гЖ'(г)/2. (13)

Система уравнений (9)—{13) является математической моделью НДС пластической прослойки при осесимметрической деформации и гипотезе плоских сечений (8).

Следствия. 1. При выполнении ГПС задача становится квазистатически определимой, так как система (9)—(11) содержит три уравнения относительно трех неизвестных напряжений, то есть замкнута в напряжениях.

2. При выполнении ГПС система (9)—(13), и поэтому система (1)-(5), имеют гиперболический тип. Действительно, система (9)—(11) сводится к системе из двух уравнений (рассматривается случай растяжения)

тЧг=0; <14>

дг &

дт^8аг УЗг (15)

дг дг -\j\~T2 дг г

причем собственные числа матрицы этой системы действительны и различны.

3. Система (14), (15) не является однородной относительно частных производных, поэтому инварианты Римана [8] не постоянны вдоль характеристик. Это обстоятельство требует дальнейшего упрощения системы уравнений пластического равновесия (14), (15).

3. Моделирование однородной системы уравнений пластического равновесия. Введем обозначение 2(г) =

. Из (12) и (11) следует

Тгг =/Д/Г^, 1 = 12(2). (16)

Если в разложении

= + И<1

ограничиться только первым членом, ошибка в формуле

= (17)

составит, например, при а — 1/4 около 3 %. При больших значениях а лучше зависимость (16) аппроксимировать степенной функцией

тп=Ыа =Ъга2а{1\ 0<а<1. (18)

Временно обозначим

/(О^/УГ^1, = Ыа. (19)

Так как наибольшая точность аппроксимации требуется в окрестности свободной поверхности прослойки, где функцию /(/), в силу (19), (16) и (7), принимает значение а, как нетрудно под-

^ _Г* С

считать, при значении аргумента = а(1-а ) ' , для нахождения параметров а и Ь функции g(t) (19), положим /(у3) = g(P), /'(/?) = &'(/?) • Решая эту систему, получаем

а = 1-а2, Ь = л]\-а2(а/у]\-а2 Г . (20)

Заметим, что при аппроксимации касательных напряжений тгг по формулам (17) и (18)

—^ = (21) дг г

причем а-1 в случае (17). Заменив правую часть в (15) по формуле (21), получим в качестве приближенной математической модели напряженного состояния пластичной прослойки систему, состоящую из уравнения (14) и уравнения

Дильман В.Л.

a +1 дг + даг л/з г дт ___

а 5г Эг yji-r2 Sz

В нормальной матричной форме система (14), (22) имеет вид

да .да -— + А— = 0, дт dz

(22)

(23)

где а

ЧЛ

\т J

, а

0

а

Гъ

ат

a + l (а + 1)лД-г2

, 0

f л\

, и является упрощенной приближенной ма-

тематической моделью для напряженного состояния пластического слоя в случае осесимметричной деформации. Собственные числа матрицы А вычисляются по формулам

Л

1,2:

-л/Заг ± л/4 а(а -hi) - а(а + 4 )тг

2(a + l)Vl-r2

(24)

При а = 1

-л/Зг + у8 - 5г2 4л/1-т2

Уравнения характеристик имеют вид

¿г

Я(а i —1;2,

(25)

со знаком плюс в (24) - £ -характеристики (пусть это будет Хх), со знаком минус - г] -характеристики. Угол у наклона -характеристики к оси Ог зависит от значения т в точке вычисления: tgу

Собственные векторы, соответствующие собственным значениям (24), имеют вид /, =(1;Л>), / = 1;2. В характеристической форме [8] система (23) записывается в виде

U

да . да — + —

дг dz j

0, / = 1;2,

а в инвариантной форме [8]

1 = 1;2, (26)

дг dz

/ = 1;2, (27)

где ¡лг = //,(г) - произвольная первообразная функции Яг (/' = 1;2) . На характеристиках уравнения (26) запишутся в виде

^ = 0, / = 1;2, аг

где дифференцирование ведется в направлении характеристик. Следовательно, инвариантны Ри-мана 1г (27) постоянны на характеристиках:

1г-аг+ /лг= const, / = 1;2 . (28)

Можно считать, в силу (24),

А/з гг г^/г

— f а + К

4(д+1> vr^?

>/3

2(a +1)

i ±

a

a + l

arcsinr;

a + 4 4(a + l)

(29)

где через Е(ср\т) обозначен эллиптический интеграл второго рода [9]. Здесь ^ = агсзтг, т = 0,5^(а + 4)/(а + \) .

Пусть СА и СА1 - £ - и г/ -характеристики, выходящие на свободную поверхность ААХ в угловых точках сечения прослойки А и Ах; С - точка их пересечения. По условию (6), аг = 0 и г Т2 = 0 на поверхности АА1, поэтому для любой точки В внутри или на границе треугольника АСАХ, в силу (28),

аг(П) + = 0, / = 1;2. Из (29) легко вывести, что г(П) - 0 и аг (В) = 0; тогда по (11), = л/з . Таким образом,

в треугольнике АСАХ реализуется равномерное напряженное состояние, причем в этом треугольнике, в силу (24), ~ \1а/(а +1) 5 а уравнения характеристик (25) имеют вид

аг

откуда

2 = ±^а/(а + \) г + с

(плюс у £-характеристик). В частности, расстояние от точки С - вершины треугольника равномерного напряженного состояния, - до свободной поверхности ААХ равно + а х > а угол наклона £ -характеристики в треугольнике АСА1

4. Случай малых касательных напряжений. При значениях а порядка нескольких десятых можно найти несложные приближенные аналитические выражения для функций и, как следствие, для напряжений и уравнений характеристик. Используя разложение в степенной ряд степени бинома [9], получаем по формуле (29)

. Уз 2

и «± /- г--Г

1 Уа + 1 4(а + 1)

причем относительная ошибка в этом приближенном равенстве оценивается величиной 0,125а(а + 1)_1г2 и при <3 = 1 и а <0,3 имеет порядок 0,6 %, а при а <0,5 - около 1,5 % (при а < 1 погрешность еще меньше). Вдоль характеристик инварианты Римана постоянны и имеют вид

4- Г" Уз 2

0> ±4 - т--г =сопз!.

\а +1 4(а +1)

Отсюда следует, что во всех точках 7] -характеристики, выходящей на свободную поверхность,

I а л/з 2 I а л/3(2а + 1) 2 , п:

сгг ~л-т +-т , <72=А-Т-----г +>УЗ. (30)

\а +1 4(а +1) * +1 4(а + 1)

Аналогично выводятся приближенные уравнения характеристик (плюс соответствует £ -характеристикам)

<12

= +

а л/3.а I а За 2 з

т±л--—т----Г + ...

От \а + 1 2(а +1) \а +1 8(а + 1) 4(а + 1) С ростом осевой нагрузки растут касательные напряжения в прослойке. В момент потери пластической устойчивости [7] параметр а достигает своего наибольшего значения а . Если ОМ вблизи прослойки вовлекается в пластическую деформацию, зависимость (30) позволяет, с

помощью методики [10], вычислить а как функцию от К . Опуская промежуточные выкладки, приведем результат для случая а-1 аппроксимация касательных напряжений формулой (17):

16 К

Дильман B.fl.

или, при малых К-1, а «1,22(К-1). При часто встречающихся в сварных соединениях значениях механической неоднородности К <1,2 ошибка в последней формуле не более 2 %. Знание а позволяет [11] однозначно определить trz в форме (16) решением системы уравнений (9)-(11) (в [11] соответствующая методика применялась в случае кольцевой прослойки в составе трубчатого образца).

Литература

1. Хилл Р. Математическая теория пластичности. ~ М.: Гостехиздат. - 1956. - 407 с.

2. Аннин Б.А., Бытев В.О., Сенатов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. - Новосибирск: Наука. - 1985. - 140 с.

3.Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. - М,: Иностранная литература. - 1955. - 444 с.

4. Давиденков H.H., Спиридонова H.H. Анализ напряженного состояния в шейке растянутого образца// Заводская лаборатория. - 1945. - № 6. - С. 583-593.

5. Бакши O.A., Качанов Л.М. О напряженном состоянии пластичной прослойки при осесим-метрической деформации// Изв. АН СССР. Механика. - 1965. - № 2. - С. 134-137.

6. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. - М.: Наука. - 1966. - 231 с.

7. Дильман B.JL Потеря пластической устойчивости тонкостенной цилиндрической оболочки в предположениях теории течения// Обозрение прикл. и промышл. математики. -2001. - Т. 8. -Вып. 1.-С. 158-159.

8. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. - М.; Наука. - 1978. - 688 с.

9. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. - М.: Наука. - 1973. -228 с.

10. Дильман B.JL, Остсемин A.A. Анализ методом линий скольжения вязкой прочности сварного соединения с подрезом прямошовных труб большого диаметра// Пробл. прочности. -2004. -№3.- С. 72-82.

11. Дильман B.JL, Остсемин A.A. О напряженно-деформированном состоянии пластического кольца при растяжении// Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2002. - № 2. - С. 109-120.

Поступила в редакцию 1 декабря 2004 г.