7Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН № 6 (50) 2012
-- МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ =
УДК 517.958 + 658.512:004.42
О НЕКОТОРЫХ АСПЕКТАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ САПР ПРОТИВОСЕЛЕВЫХ МЕРОПРИЯТИЙ
М.В. БОРИСОВ
ФГБУН Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН
360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89-а.
E-mail: niipma@mail3 3 3. com
В работе предложена структурно-функциональная схема системы автоматизированного проектирования противоселевых мероприятий (САПР ПСМ). При проектировании и расстановке гидротехнических сооружении (ГТС) на пути движения связного селевого потока предложено использовать математическую модель, в основе которой лежит энергетический принцип.
Ключевые слова: математическая модель, сель, энергетический принцип, система автоматизированного проектирования противоселевых мероприятий, уравнение Навье-Стокса, модель Сен-Венана, уравнение движения вязкой жидкости по склону.
Противоселевое строительство предполагает проектирование системы сооружений, обеспечивающих защиту объектов, расположенных в зоне непосредственного действия селевых потоков. Как отмечается в работах В.Т. Чоу [1, с. 32], О.Г. Натишвили, В.И. Тев-задзе [2], среди этих сооружений важное место занимают селепропускные сооружения, располагаемые над и под различными типами коммуникационных трактов. Однако несомненный интерес представляют математические модели, в которых рассматриваются вопросы расстановки противоселевых сооружений (ПС) по прогнозируемой траектории селевого потока с целью его замедления и как следствие уменьшения энергии селевой массы до безопасных величин.
В основе математической модели связного селевого потока лежит энергетический принцип, задаваемый формулой
11
W = z + h +—v2 = z + h +-Q2. (1)
2 g 2 gW W
Здесь W - полная энергия потока в рассматриваемом сечении русла;
z - расстояние от дна русла до горизонтальной плоскости сравнения; h - полная глубина селевого потока в створе; g - ускорение силы тяжести;
ю, v и Q - соответственно площадь живого сечения, средняя по живому сечению скорость и расход потока [3].
Для ряда селевых потоков можно предположить, что входящая в формулу (1) скорость v = v (x, t) связана с давлением p = p(x, t) и плотностью р = p(x, t) в точке x и в момент времени t одномерным уравнением Навье-Стокса и уравнением неразрывности [4, с. 18]:
dv dp d V
Р037^YT, (2)
г 0 dt dx dx
ЪГ+рЪП = о, (3)
дг уо дх ' ^
где ц - коэффициент вязкости селевого потока, р0 = сопб1;> 0.
В случае напорного движения связного селя в галерее с прямоугольным поперечным сечением высотой 2р, когда
ду др Ар
О— + — = ——, (4)
^о дг дх I у '
где Ар - постоянное (вдоль галереи длины 1) падение давления, из (2) - (3) с учетом (4) получаем уравнение
д2У Ар а а
^тг = —Т,"Ь< х<( (5)
дх2 ¡1 с граничными условиями
у(-(, г) = о, у((, г) = о. (6)
Единственное решение V задачи (6) для уравнения (5) определяется следующей формулой:
(2 Ар
у =
1-
2^1
Из (3) и (7) следует, что
Г V
х
(7)
ду=_хАр^ ду= о, Эo = ОоАОx, o = ОоАОxг+ р(х), дх ¡1 дг дг ¡1 ¡1
где (р(х) - произвольная функция, непрерывная при |х| < (.
Формула (7) имеет важное значение при гидравлическом расчете напорного и безнапорного движения связного селя в галереях. Она уточняет соответствующие формулы, приведенные в работах [2; 5, с. 17о].
В основе САПР селезащитных сооружений может быть положено уравнение движения вязкой жидкости по склону под действием сил тяжести, в частности, уравнение в частных производных второго порядка гиперболического типа следующего вида [6]:
д2и д2и / 2\д2и ди ди
—- + 2-+ (1 - а )—- + Ь— + 3Ь— = о, (8)
дг2 дхдг 'дх2 дг дх у '
где и = (к - к0)/к0, а, Ь, к, Ио - параметры селевого процесса.
Уравнение (8) является уравнением такого же типа, что и линеаризованная модель Сен-Венана [7, с. 47].
При прогнозировании параметров селевого потока предлагается учитывать энергию потока на каждом отдельно взятом отрезке траектории движения селя, а также производить расчет и проектирование противоселевых сооружений с использованием средств автоматизированного проектирования и расчета прочностных характеристик строительных конструкций.
Система автоматизированного проектирования противоселевых мероприятий (САПР ПСМ) представляет собой в высшей степени сложную систему с распределенными параметрами, работающую в интерактивном режиме. Сложность определяется тем, что среди ее параметров содержится несколько эффективных параметров, т.е. таких параметров, изменение которых ведет к изменению области поведения всей системы в целом. Система стохастична по входным воздействиям (климатическим, эколого-экономическим), непостоянным во времени и пространстве. САПР как большая система содержит проектирующие и обслуживающие подсистемы, которые могут развиваться как самостоятельные САПР.
Структура САПР ПСМ соответствует всем этим определениям и состоит из проектирующих и обслуживающих подсистем, представленных на рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема САПР ПСМ
Проектирующие подсистемы САПР ПСМ включают цифровую модель местности, используемую при анализе генерального плана селевого бассейна с разделением его на кластеры, характеризующиеся слабоменяющимся уклоном, водосбором (следовательно, расходом) и направлением. В местах изменения этих параметров предлагается установка ГТС, основная задача которых - снижение уклона, задержка части грязекаменной массы в границах кластера и как следствие снижение энергии селевого потока.
Таким образом, в основу САПР противоселевых мероприятий положен метод снижения энергетической активности от кластера к кластеру, при котором на каждом этапе определяются параметры селевого потока под действием гравитации на основе уравнения (8). В соответствии с этими параметрами выбирается ГТС из создаваемой системы управления базой данных (СУБД) и рассчитывается достигаемое снижение энергии потока, которая является исходной в следующем кластере.
Данный подход позволяет задать такой уровень остаточной энергии, который позволит «рассредоточить» селевой поток по бассейну до достижения защищаемой территории.
Главная функция САПР ПСМ - снижение энергии селевого потока на ГТС, устанавливаемых на границах кластеров. Таким образом, до кластера, содержащего защищаемые объекты, можно подобрать такие ГТС, которые позволят уменьшить энергию до безопасного уровня и не строить в зоне защищаемых объектов дорогостоящие ГТС. Выбор и расчет параметров ГТС осуществляется соответствующей подсистемой (блок № 3), в основе которой лежит уравнение энергетического состояния потока (1).
В системе предусмотрен экономический блок (блок № 9), который на каждом этапе проектирования осуществляет сравнительные расчеты, позволяющие определять эффективность принимаемых проектных решений и в интерактивном режиме вносить изменения в работу ряда подсистем (блоки № 2, 3, 4).
Обслуживающие подсистемы осуществляют топогеодезическое обеспечение на базе ГИС-объекта, позволяющего разрабатывать генеральный план селевого бассейна, что в свою очередь обеспечивает возможность разбиения русла на кластеры и расстановки ГТС в автоматическом режиме. Информационное обеспечение системы управляет базой данных (блок № 7), что позволяет ей быть актуальной и конкурентной при любых изменениях как входных параметров, так и конструкций, применяемых в системе.
Комплекс программного обеспечения (ПО), разрабатываемый по блочно-модульному принципу, позволяет не только обеспечивать реализацию принятых математических моделей, но и при их изменении своевременно вносить корректировки в исходный код каждого отдельно взятого модуля в экономически целесообразные отрезки времени.
Подсистема проектирования гидротехнических сооружений - подсистема, которая будет выполнять в интерактивном режиме проектирование ГТС и позиционирование ГТС на местности.
Подсистема разбивки генплана на кластеры - подсистема, в которой будет проводиться анализ цифровой модели рельефа местности и при достижении заданных критериев будет происходить разбиение на кластеры.
Подсистема выбора, расчета и проектирования ГТС - подсистема, в которой будет производиться выбор ГТС из базы данных по заданным критериям, затем с учетом данных условий будет проводиться прочностной расчет конструкции ГТС и при необходимости вноситься изменения в проект ГТС.
Подсистема моделирования работы созданной системы гидротехнических сооружений и корректировки принятых решений - подсистема, позволяющая моделировать процесс движения селевого потока по заданному руслу, с учетом общей модели рельефа местности и установленной системы гидротехнических сооружений, обеспечивающих снижение энергии движения селевого потока. Основное назначение данной подсистемы - наглядно показать все ГТС каждого конкретного кластера в рабочем состоянии во время спуска моделируемого селевого потока.
Подсистема, обслуживающая САПР ПСМ, - подсистема поддержания в актуальном состоянии всех подсистем САПР ПСМ. Необходима для контроля и фиксации работы всех подсистем САПР ПСМ.
ГИС объекта - цифровая модель рельефа местности - Геоинформационная система, содержащая в себе цифровую модель рельефа местности и все характеристики данной местности, в том числе тип грунта, значения уклонов и перепадов высот на всей исследуемой поверхности.
Пример результата работы данной подсистемы приведен на рис. 2.
Рис. 2. Пример работы подсистемы ГИС объекта
СУБД используемых ГТС - Система управления цифровой структурированной базой гидротехнических сооружений.
Структура базы данных, содержащей ГТС, приведена в табл. 1.
Таблица 1.
Классификация ГТС
Вид сооружения и мероприятия Назначение сооружения, мероприятия и условия их применения
I. Селезадерживающие
Плотины бетонные, железобетонные, из каменной кладки: водосбросные, сквозные. Плотины из грунтовых материалов (глухие) Задержание селевого потока в верхнем бьефе. Образование селе-хранилищ
II. Селепропускные
Каналы. Селеспуски Пропуск селевых потоков через объект или в обход него
III. Селенаправляющие
Направляющие и ограждающие дамбы. Шпоры Направление селевого потока в се-лепропускное сооружение
IV. Стабилизирующие
Каскады запруд. Подпорные стены. Дренажные устройства. Террасирование склонов. Агролесомелиорация Прекращение движения селевого потока или ослабление его динамических характеристик
V. Селепредотвращающие
Плотины для регулирования селеобразующего паводка. Водосбросы на озерных перемычках Предотвращение селеобразующих паводков
VI. Организационно-технические Прогноз образования селевых потоков
Организация службы наблюдения и оповещения
Комплекс ПО, обслуживающего систему ГТС на протяжении всего жизненного цикла.
Подсистема технико-экономической оценки эффективности принятых решений - одна из важнейших подсистем при разработке САПР. Необходимость создания данной подсистемы обусловлена необходимостью учета экономической целесообразности установки системы ГТС в определенных местах рельефа местности.
Подсистема разработки проекта системы в комплексе - проектирование системы с учетом внесенных изменений проекта.
ЛИТЕРАТУРА
1. Чоу В.Т. Гидравлика открытых потоков. М: Стройиздат, 1969. 464 с.
2. Натишвили О.Г., Тевзадзе В.И. Учет напорного, безнапорного и волнового режимов движения при воздействии селевого потока на селепропускные сооружения // Труды Международной конференции «Селевые потоки: катастрофы, риск, прогноз, защита». Пятигорск, 22-29 сентября 2008 г. С. 249-252.
3. Натишвили О.Г., Тевзадзе В.И. Гидравлические уравнения связных селевых потоков и их некоторые частные решения // Труды Международной конференции «Селевые потоки: катастрофы, риск, прогноз, защита». Пятигорск, 22-29 сентября 2008 г. С. 245-248.
4. Борисов М.В. О некоторых аспектах энергетической модели селевого процесса. X школа молодых ученых: «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик: Издательство КБНЦ РАН, 2012. С. 28-30.
5. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 174 с.
6. Натишвили О.Г., Тевзадзе В.И. Основы динамики селей. Тбилиси, 2007. 213 с.
7. Звягин А.В., Колпаков В.П. Течение вязкой жидкости по склону // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика, механика, 2011. № 5. С. 27-32.
8. Нахушева З.А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типов дифференциальных уравнений. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2011. 196 с.
9. Кадомский А.М., Нахушев А.М., Назаров Ю.К., Борисов В.Н. Некоторые математические аспекты построения САПР гидромелиоративных систем и систем с/х водоснабжения. Межвуз. сб.: «Математические методы в мелиорации», КБГУ. Нальчик, 1981.
SOME ASPECTS OF CAD MATHEMATICAL MODEL IN ANTI-MUDFLOW EVENTS
M. V. BORISOV
Establishment the Russian Academy of Sciences Scientific research institute of applied mathematics and automation of KBSC of the Russian Academy of Sciences
360000, Nalchik, 89-а, Shortanov street E-mail: niipma@mail33 3. com
This study is devoted to the block diagram of computer-aided design in anti-mudflow events (CAD AME). It is proposed to use a mathematical model based on the energy principle in the design and placement of hydraulic structures (HS) connected to the movement of debris flow.
Key words: a mathematical model, mudflow, energy principle, computer-aided design of anti-mudflow events, the Navier-Stokes equation, the model of Saint-Venant, equation of viscous liquid motion on a slope.
Работа поступила 16. 08. 2012 г.
