CC BY
11
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 270 1973
О НЕКОТОРЫХ АЛГОРИТМАХ АНАЛИЗА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Э. И. ЦИМБАЛИСТ, Л. А. НАУМОВ
(Представлена научным семинаром кафедры радиотехники)
К настоящему времени (разработан ряд эффективных методоз анализа электронных схем, предполагающих проведение в определенной последовательности формальных операций над матрицей или графом исследуемой схемы [1—3 и др.]. Так, 'например, широко известным является способ анализа сложных электрических цепей с обратимыми и необратимыми компонентами, основанный на методе обобщенных чисел, отличающийся минимальным объемом необходимых выкладок »
и пригодный как для ручных расчетов, так и для ЦВМ [2].
Ниже предлагаются алгоритмы, формализующие запись формулы Мэзона для систем, представленных сигнальным графом или матрицей смежности. ^
Пусть имеется система, содержащая п вершин, соединенных между
собой множеством ориентированных дуг П] , которая может быть
—
представлена матрицей смежности графа Ь [4]. Эту матрицу удобно записать -в следующем виде:
где если имеется передача от г к у,
1 Гц = 0, ссли нет передачи от г и у.
Таким образом, в любой строке матрицы К находятся все дуги, для которых данная вершина является истоком, т. е. полузвезды исхода, »
а в столбце — дуги, для которых эта же ¡вершина является стоком (находятся полузвезды захода). Поставим задачу:
1. Найти аддитивную помеху (выходной сигнал V ).
2. Определить чувствительность передачи Тц графа к изменениям передачи любой ветви [5]
= Т1а-Ть,, (1)
1 4гаь
где Ти = — — передача графа от I к у, (2)
К
Рк — передача а:-го пути от ¿к у,
— алгебраическое дополнение /с-го пути,
д = + ■ • • • а
я я я
— произведение </-й возможной комбинации р некасающихся контуров.
Если для простых систем использование (1), (2) не вызывает затруднений, то для достаточно сложных с большим числом перекрестных связей вычисление Т 'непосредственно из рассмотрения графа не дает «полной гарантии, что все передачи и контуры найдены. Поставленная задача может быть решена путем возведения матрицы смежности [Я], в п-ю степень и проведения некоторых логических операций. Все необходимые составляющие (1), (2) будут находиться в элементах (/ . . . У)е, (/ . . . г'Ь суммарной матрицы
т = 1
где
п~ I
(I. . .уЪ = 1С • • -Лт> V ■ ■ ■ 'Ъ = 2(/ , . . От-
т--1 2
Этот алгоритм легко программируется, но является избыточным и поэтому сильно запружает оперативную память ЦВМ.
Указанные трудности в значительной мере можно преодолеть, если привлечь теоретико-множественные методы анализа, используя при этом символику теории множеств и проводя операции над <полем модуля 2. Тогда для нахождения (1), (2), т. е. всех контуров и путей между вершинами, можно использовать следующий алгоритм:
1. На основе графа или его матрицы смежности составляется таб лица полузвезд исхода, образованных множествами дуг, исходящих из т-й вершины графа
1 Г 1 2 ... л
В-(«/О
п
1 2 .
. п
1 2 ... п
(3)
где / = {1, 2,... п}—множество вершин, на которых заканчиваются дуги, исходящие 1из т.
2. Из рт (т/1) очищается главная диагональ, т. е. исключаются (и запоминаются) простейшие контуры — петли вокруг т-й вершины. В результате образуется таблица полузвезд (исхода суграфа без петель, которую удобно записать в виде соответствия т-й вершине множества вершин 1т .
1 —/г
2-1,
т
(3')
я--/„
Естественно, что в (3) или (3') имеется информация о всех одноходо-вых путях.
3. Для любого элемента (3) или (3'), начинающегося с т — 1% составляется скалярномвекторное произведение (последнее выполняется над полем модуля 2), т. е. образуется совокупность новых чисел вида
В (4) находятся все двухходовые пути и контуры, полученные при. совпадении т с г—п элементом множества 1т> которые запоминаются и удаляются .из последующих операций.
4. Для каждого элемента (4) повторяется операция, изложенная
выше с той только разницей, что т
13
Рис. 1
(а значит, и 1т ) соответствует последнему индексу V = шг прежнего числа и векторное произведение берется только с у. После устранения дубликаций при нахождении векторного произведения и запоминания трехходовых контуров (они также удаляются) алгоритм продолжается до тех пор, пока не будут найдены все п—1 пути н контуры. При выполнении /2-й операции в 1т учитывается только т, что соответствует гамильтонову контуру (если он существует).
Нахождение всех путей и контуров по предложенному выше алгоритму рассмотрим на примере.
Пример 1. Рассмотрим сигнальный граф (рис. 1), изоморфный некоторой физической структуре.
и составим для него таолицу полузвезд исхода в виде (3) и (3')
Ыт.1)
— 234 1 - 3
- 2 -— 2 — —
--34 —
1--4
- 6
4--
2346
(3)
1-
2-13
3-24
4-2
5-346
6-14 5
(3')
1. Выписываем одноходовые пути: 12, 13, 14, 16, 21, 23 32 34 42 53,54,56,61,64,65. ' ' ' ' '
2. Определяем двухходовые пути и контуры:
2 3 4 6
1 х - — ---= 121, 123, 132, 134, 142, 161, 164, 165;
2
2 X
зх
4 X
13 24 2 145
1 _3 2346 24 2_ _4 " 13 2 2
13
3 _6__4 24 145 2
= 212, 213, 214, 216, 232, 234; = 321, 323, 342;
I
421, 423;
= 532, 534, 542, 561, 564, 565;
бх
1 4 5
2346 2 346
= 612, 613, 614, 616, 642, 653, 654, 656.
3. Находим трехходовые пути и контуры: IX
ч 9 л. 9 А ч
2Х—ЗХ—ЗХ—4Х ~~ б X — 6 X —-24 13 2 13 2 346
= 1234, 1321, 1342, 1421, 1423, 1642, 165.°, 1654;
2 X
1Х211Х11
145 2
2132, 2134, 2142, 2164, 2165, 2342
и т. д.
4. Устраняя дубликации среди контуров, получаем множество путей и все контуры:
(рк)п = 12, 132, 142, 1342, 1642, 16532, 16542, 165342;
(/7К)13 - 13, 123, 1423, 1653, 16423, 165423;
(Рк)и = 14- 134, 164, 1234, 1654, 16534;
(Рк) 15 = 165;
(Рк)\б = 16;
(Рк)г\ — 21;
(рк\г = 23, 213, 21653; (5)
(ДЛ4 = 214, 234, 2134, 2164, 21651, 216534; (?,)25 = 2 1 65; {рк)м = 216; (Рк)и — 321, 3421;
— 32, 342; <Рк)и — 34, 3214, 32164, 321654; (рк)и = 32165, 342165; (Ми, = 3216, 34216; (рк)и = 421; (Рк)» = 42;
(^>43 = 423, 4213, 421653; (Рк)45 = 42165; (рк)16 = 4216;
(рк)51 =561, 5321, 5421, 53421;
,(/>052 = 532, 542, 5342, 5612, 5642, 56132, 56142, 561342;
(/^53 = 53, 5423, 5613, 54213, 56123, 561423, 564213;
{Рк)ы = 54, 534, 564, 5614, 53214, 56134, 532164, 561234;
(Рк)56 = 56, 53216, 54216, 534216;
(Рк)в1 = 61, 6421, 65321, 65421, 653421;
(Рк)62 = 612, 642, 6132, 6142, 6532, 6542, 61342, 65342;
(/>,)„ = 613, 653, 6123, 6423, 61423, 64213, 65423, 654213;
(Рк)64--=64, 614, 651, 6134, 6531, 61234, 653214; (Р*)м = 65;
— 121; ¿2 = 161, 1з = 232, ¿4-5б5, ¿5 = 1321, 16 = 1421, 17 = 2342г
¿в= 13421, ¿9 - 16421, ¿10 = 165321, ¿п = 165421, 112 = 1653421.
Дальнейший анализ, приводящий к (1, 2), сводится к отысканию контуров, соприкасающихся между собой и выбранными (Р . Критерием соприкасаемости является наличие хотя бы одного общего индекса.
При проведении вычислений полезным оказывается самопредстав-—»
ление графа L в обыкновенный граф Ь, вершинами которого являются
контуры а ребро между 1-й и /-й вершиной Ь существует только тогда, когда указанные два контура не соприкасаются. Тогда ¿У* определяется произведением индексов вершин, инцидентных друг другу,
7 (3)
Ь д — произведением индексов вершин, полных трехвершинных подграфов Ь и т. д. (рис, 2).
Из рис. 2 видно, что Ь1^ = 0 при а 3 (так как отсутствуют полные 3-вершинные подграфы). Тогда
12
а-1 + + + + + + + Ц).
Для рассматриваемого примера, если г=1; у = 3, то
ПЗ + 123+ 14-23 > С1 -565)+ 1653+ 16423 + 165423
1. т„ =
= [/"'з 4- г2я-(г„ + ru-r42)l (1 - гм •/■„„) +
Д
+ r,t) [г,Г. • гда + Г43 • Г,а (Гб< + Гпг, • Г-,,,) ] А
9 О тт. т 16 ] 1 - 232 - 2342]
Z. От--г- — 1 16' 1 53> 7 16--— ;
дгъь А
т _ 53(1 - 121 - 161 - 1421 - 16421) 4- 5423(1 - 161) + 5613 +
+ 54213 + 56123 + 561423 + 564213
Для решения только задачи (2) при фиксированных i и / вышеизложенный алгоритм является также избыточным (для определения Д требуется проводить все операции). В этом случае целесообразнее использовать следующий алгоритм, основанный на процедуре Хона-Ауфенкампа сокращения состояний [6], отличающийся тем, что элементы главной диагонали—исходной и полученных в процессе (п—1) преобразований матриц регулярно выписываются .и не используются з каждой .последующей операции. На (п—2) этапе сокращения состояний получим передачу (Р к ) ¿, /, а элементы главных диагоналей дают все контуры (без дубликаций). Дальнейшая операция сводится к определению фактора соприкасаемости. Рассмотрим этот алгоритм на .примере.
Пример 2. Найти Т]3 сигнального графа (рис. 1).
. Составим матрицу смежности
О 13 12 14 0 16
[Я]
О 0 32 34 О О 21 23 О О О О О О 42 О О О О 53 О 54 О 56 61 О О 64 65 О
[Я]
(в)
2. Удаляем шестой узел 161 13 12 14; 164 165
О О 32 34 О 21 23 О О О О О 42 О О _561 53 О 54; 564 565 _
3. Удаляем пятый узел " О 13; 1653 12 14; 164; 1654
О О 32 34 21 23 О О О О 42 О
4. Удаляем четвертый узел О 13; 1653 12; 142: 1642; 165-12] О О 32; 342
21 23 О
5. Удаляем второй узел
¿, = 161; ¿Л = 565.
[Д]<5> =
J
[/?]<4> =
[/?](») =
121, 1421, 16421, 165421 13, 1653, 123, 1423, 16423, 165423 321, 3421 323, 3423
¿, = 121; ¿6=1421; ¿,, = 16421; ¿„ = 165421; ¿3 = 323;' ¿7 = 3423. 6. Удаляем третий узел для получения всех недостающих контуров.
¿5 = 1321; ¿
10
165321; ¿,
Ту
(13+ 123+ 1423)(1 - 565)
= 13421; ¿12 = 1653421; 1653 4- 16423 -<- 165423
Л
Следует обратить внимание, что нахождение 5 г по формуле (1) удобно для нахождения нулевой чувствительности коэффициента передачи к вариациям параметров любых дуг.
Пример. 3. Смеется измерительный усилитель (схема Беггели), граф которого изображен на рис. 3. Найти условие нулевой чувствительности от нестабильности передачи дуг 12 = —Ко и 34 = —К\-
1. Яг =
2. 5Г =
д7и дг 12 дТи дп
= ти-т21
д-
1 ~%2кх) = о,
713-Ти — — (а,
а>2) = о.
(6)
В результате имеем а._,
а, ==
К,
к, = 1 + к0.
1+Ко 1 Н- /Со
В ряде случаев при анализе сложных измерительных систем приходится сталкиваться с необходимостью определения мультипликативной помехи при вариациях одного или деух параметров звеньев. При этом удобно выразить ошибку системы через топологические элементы графа.
о ¿у о ¿/о
3 о I
/г
Рис. 2
Пусть Ти =/(л
Тогда
Рис. 3
У • . .), где X = гаЬ \
У
= ГЫ /
юаг.
дх
Та"
ду
с1у
Т-1 и
1 +2 2 \ дх2 дхду
1
ду
ЗУ. х. 8, + • уЗу + ^ (8(РхЧ1 + • у • ЗД, +
+ Б'РуЧ'у)
где
йх X - с1у _ у
д1и- дх г-1аЬ) от — Т1а-ТЬр
дТи ду = = =
*ти дхг = = = 2Г/в .т %т _ 1 Ьа 1 Ь] — 2 &х)-тьа-
д*Ти ду2 - = = 27}, * Т ¿с ' Тй! — ос(у)т • ¿Ът 1 ¿с
д'Ти дхду = = т1е Тла'ТЫ + а ТЬс.Та1
(7)
Таким образом, вторая частная производная в (7) выражается через сумму произведений (передач, первое из слагаемых которой состоит из произведения передачи от входного узла графа I до начала первой варьируемой дуги 'на /передачу от конца этой дуги до начала второй варьируемой дуги, ¡на ¡передачу от конца второй дуги до выхода системы /. При нахождении сомножителей второго слагаемого варьируемые ¡ветви меняются местами.
Пример 4. Для схемы примера 3 (рис. 3) определить коэффици ент при (I — а 1, Ь = 2, с = 3, й ~ у = 4)
§и-у) — 'гсй {Ти''^ь] ^ 1а*'^¿у) ^ __ §
ТИ
С учетом условий (6) коэффициент при равен 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. П. Сигорский, А. И. Петренко. Основы теории электронных схем. «Техника», 1967.
2. Я. К. Т р о х и м е н к о. Метод обобщения чисел и анализ линейных цепей. «Сов. радио», 1972.
3. Ю. М. Калниболотский. Матрично-топологический анализ радиоэлектронных схем. Республиканский сборник «Радиотехника», 1969, №11.
4. А. А. Зыков. Теория конечных графов. «Наука», 1969.
5. И. Чайка. Чувствительность передачи ориентируемого графа к изменениям передачи любой ветви графа. Известия вузов СССР, «Радиоэлектроника», 1971, № 3.
6. С. Сешу, М. Б. Рид. Линейные графы и электрические цепи. «Высшая школа», 1971.
7. ТПИ, т. 270.
