О некоторых алгоритмах анализа сложных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 270 1973

О НЕКОТОРЫХ АЛГОРИТМАХ АНАЛИЗА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Э. И. ЦИМБАЛИСТ, Л. А. НАУМОВ

(Представлена научным семинаром кафедры радиотехники)

К настоящему времени (разработан ряд эффективных методоз анализа электронных схем, предполагающих проведение в определенной последовательности формальных операций над матрицей или графом исследуемой схемы [1—3 и др.]. Так, 'например, широко известным является способ анализа сложных электрических цепей с обратимыми и необратимыми компонентами, основанный на методе обобщенных чисел, отличающийся минимальным объемом необходимых выкладок »

и пригодный как для ручных расчетов, так и для ЦВМ [2].

Ниже предлагаются алгоритмы, формализующие запись формулы Мэзона для систем, представленных сигнальным графом или матрицей смежности. ^

Пусть имеется система, содержащая п вершин, соединенных между

собой множеством ориентированных дуг П] , которая может быть

—

представлена матрицей смежности графа Ь [4]. Эту матрицу удобно записать -в следующем виде:

где если имеется передача от г к у,

1 Гц = 0, ссли нет передачи от г и у.

Таким образом, в любой строке матрицы К находятся все дуги, для которых данная вершина является истоком, т. е. полузвезды исхода, »

а в столбце — дуги, для которых эта же ¡вершина является стоком (находятся полузвезды захода). Поставим задачу:

1. Найти аддитивную помеху (выходной сигнал V ).

2. Определить чувствительность передачи Тц графа к изменениям передачи любой ветви [5]

= Т1а-Ть,, (1)

1 4гаь

где Ти = — — передача графа от I к у, (2)

К

Рк — передача а:-го пути от ¿к у,

— алгебраическое дополнение /с-го пути,

д = + ■ • • • а

я я я

— произведение </-й возможной комбинации р некасающихся контуров.

Если для простых систем использование (1), (2) не вызывает затруднений, то для достаточно сложных с большим числом перекрестных связей вычисление Т 'непосредственно из рассмотрения графа не дает «полной гарантии, что все передачи и контуры найдены. Поставленная задача может быть решена путем возведения матрицы смежности [Я], в п-ю степень и проведения некоторых логических операций. Все необходимые составляющие (1), (2) будут находиться в элементах (/ . . . У)е, (/ . . . г'Ь суммарной матрицы

т = 1

где

п~ I

(I. . .уЪ = 1С • • -Лт> V ■ ■ ■ 'Ъ = 2(/ , . . От-

т--1 2

Этот алгоритм легко программируется, но является избыточным и поэтому сильно запружает оперативную память ЦВМ.

Указанные трудности в значительной мере можно преодолеть, если привлечь теоретико-множественные методы анализа, используя при этом символику теории множеств и проводя операции над <полем модуля 2. Тогда для нахождения (1), (2), т. е. всех контуров и путей между вершинами, можно использовать следующий алгоритм:

1. На основе графа или его матрицы смежности составляется таб лица полузвезд исхода, образованных множествами дуг, исходящих из т-й вершины графа

1 Г 1 2 ... л

В-(«/О

п

1 2 .

. п

1 2 ... п

(3)

где / = {1, 2,... п}—множество вершин, на которых заканчиваются дуги, исходящие 1из т.

2. Из рт (т/1) очищается главная диагональ, т. е. исключаются (и запоминаются) простейшие контуры — петли вокруг т-й вершины. В результате образуется таблица полузвезд (исхода суграфа без петель, которую удобно записать в виде соответствия т-й вершине множества вершин 1т .

1 —/г

2-1,

т

(3')

я--/„

Естественно, что в (3) или (3') имеется информация о всех одноходо-вых путях.

3. Для любого элемента (3) или (3'), начинающегося с т — 1% составляется скалярномвекторное произведение (последнее выполняется над полем модуля 2), т. е. образуется совокупность новых чисел вида

В (4) находятся все двухходовые пути и контуры, полученные при. совпадении т с г—п элементом множества 1т> которые запоминаются и удаляются .из последующих операций.

4. Для каждого элемента (4) повторяется операция, изложенная

выше с той только разницей, что т

13

Рис. 1

(а значит, и 1т ) соответствует последнему индексу V = шг прежнего числа и векторное произведение берется только с у. После устранения дубликаций при нахождении векторного произведения и запоминания трехходовых контуров (они также удаляются) алгоритм продолжается до тех пор, пока не будут найдены все п—1 пути н контуры. При выполнении /2-й операции в 1т учитывается только т, что соответствует гамильтонову контуру (если он существует).

Нахождение всех путей и контуров по предложенному выше алгоритму рассмотрим на примере.

Пример 1. Рассмотрим сигнальный граф (рис. 1), изоморфный некоторой физической структуре.

и составим для него таолицу полузвезд исхода в виде (3) и (3')

Ыт.1)

— 234 1 - 3

- 2 -— 2 — —

--34 —

1--4

- 6

4--

2346

(3)

1-

2-13

3-24

4-2

5-346

6-14 5

(3')

1. Выписываем одноходовые пути: 12, 13, 14, 16, 21, 23 32 34 42 53,54,56,61,64,65. ' ' ' ' '

2. Определяем двухходовые пути и контуры:

2 3 4 6

1 х - — ---= 121, 123, 132, 134, 142, 161, 164, 165;

2

2 X

зх

4 X

13 24 2 145

1 _3 2346 24 2_ _4 " 13 2 2

13

3 _6__4 24 145 2

= 212, 213, 214, 216, 232, 234; = 321, 323, 342;

I

421, 423;

= 532, 534, 542, 561, 564, 565;

бх

1 4 5

2346 2 346

= 612, 613, 614, 616, 642, 653, 654, 656.

3. Находим трехходовые пути и контуры: IX

ч 9 л. 9 А ч

2Х—ЗХ—ЗХ—4Х ~~ б X — 6 X —-24 13 2 13 2 346

= 1234, 1321, 1342, 1421, 1423, 1642, 165.°, 1654;

2 X

1Х211Х11

145 2

2132, 2134, 2142, 2164, 2165, 2342

и т. д.

4. Устраняя дубликации среди контуров, получаем множество путей и все контуры:

(рк)п = 12, 132, 142, 1342, 1642, 16532, 16542, 165342;

(/7К)13 - 13, 123, 1423, 1653, 16423, 165423;

(Рк)и = 14- 134, 164, 1234, 1654, 16534;

(Рк) 15 = 165;

(Рк)\б = 16;

(Рк)г\ — 21;

(рк\г = 23, 213, 21653; (5)

(ДЛ4 = 214, 234, 2134, 2164, 21651, 216534; (?,)25 = 2 1 65; {рк)м = 216; (Рк)и — 321, 3421;

— 32, 342; <Рк)и — 34, 3214, 32164, 321654; (рк)и = 32165, 342165; (Ми, = 3216, 34216; (рк)и = 421; (Рк)» = 42;

(^>43 = 423, 4213, 421653; (Рк)45 = 42165; (рк)16 = 4216;

(рк)51 =561, 5321, 5421, 53421;

,(/>052 = 532, 542, 5342, 5612, 5642, 56132, 56142, 561342;

(/^53 = 53, 5423, 5613, 54213, 56123, 561423, 564213;

{Рк)ы = 54, 534, 564, 5614, 53214, 56134, 532164, 561234;

(Рк)56 = 56, 53216, 54216, 534216;

(Рк)в1 = 61, 6421, 65321, 65421, 653421;

(Рк)62 = 612, 642, 6132, 6142, 6532, 6542, 61342, 65342;

(/>,)„ = 613, 653, 6123, 6423, 61423, 64213, 65423, 654213;

(Рк)64--=64, 614, 651, 6134, 6531, 61234, 653214; (Р*)м = 65;

— 121; ¿2 = 161, 1з = 232, ¿4-5б5, ¿5 = 1321, 16 = 1421, 17 = 2342г

¿в= 13421, ¿9 - 16421, ¿10 = 165321, ¿п = 165421, 112 = 1653421.

Дальнейший анализ, приводящий к (1, 2), сводится к отысканию контуров, соприкасающихся между собой и выбранными (Р . Критерием соприкасаемости является наличие хотя бы одного общего индекса.

При проведении вычислений полезным оказывается самопредстав-—»

ление графа L в обыкновенный граф Ь, вершинами которого являются

контуры а ребро между 1-й и /-й вершиной Ь существует только тогда, когда указанные два контура не соприкасаются. Тогда ¿У* определяется произведением индексов вершин, инцидентных друг другу,

7 (3)

Ь д — произведением индексов вершин, полных трехвершинных подграфов Ь и т. д. (рис, 2).

Из рис. 2 видно, что Ь1^ = 0 при а 3 (так как отсутствуют полные 3-вершинные подграфы). Тогда

12

а-1 + + + + + + + Ц).

Для рассматриваемого примера, если г=1; у = 3, то

ПЗ + 123+ 14-23 > С1 -565)+ 1653+ 16423 + 165423

1. т„ =

= [/"'з 4- г2я-(г„ + ru-r42)l (1 - гм •/■„„) +

Д

+ r,t) [г,Г. • гда + Г43 • Г,а (Гб< + Гпг, • Г-,,,) ] А

9 О тт. т 16 ] 1 - 232 - 2342]

Z. От--г- — 1 16' 1 53> 7 16--— ;

дгъь А

т _ 53(1 - 121 - 161 - 1421 - 16421) 4- 5423(1 - 161) + 5613 +

+ 54213 + 56123 + 561423 + 564213

Для решения только задачи (2) при фиксированных i и / вышеизложенный алгоритм является также избыточным (для определения Д требуется проводить все операции). В этом случае целесообразнее использовать следующий алгоритм, основанный на процедуре Хона-Ауфенкампа сокращения состояний [6], отличающийся тем, что элементы главной диагонали—исходной и полученных в процессе (п—1) преобразований матриц регулярно выписываются .и не используются з каждой .последующей операции. На (п—2) этапе сокращения состояний получим передачу (Р к ) ¿, /, а элементы главных диагоналей дают все контуры (без дубликаций). Дальнейшая операция сводится к определению фактора соприкасаемости. Рассмотрим этот алгоритм на .примере.

Пример 2. Найти Т]3 сигнального графа (рис. 1).

. Составим матрицу смежности

О 13 12 14 0 16

[Я]

О 0 32 34 О О 21 23 О О О О О О 42 О О О О 53 О 54 О 56 61 О О 64 65 О

[Я]

(в)

2. Удаляем шестой узел 161 13 12 14; 164 165

О О 32 34 О 21 23 О О О О О 42 О О _561 53 О 54; 564 565 _

3. Удаляем пятый узел " О 13; 1653 12 14; 164; 1654

О О 32 34 21 23 О О О О 42 О

4. Удаляем четвертый узел О 13; 1653 12; 142: 1642; 165-12] О О 32; 342

21 23 О

5. Удаляем второй узел

¿, = 161; ¿Л = 565.

[Д]<5> =

J

[/?]<4> =

[/?](») =

121, 1421, 16421, 165421 13, 1653, 123, 1423, 16423, 165423 321, 3421 323, 3423

¿, = 121; ¿6=1421; ¿,, = 16421; ¿„ = 165421; ¿3 = 323;' ¿7 = 3423. 6. Удаляем третий узел для получения всех недостающих контуров.

¿5 = 1321; ¿

10

165321; ¿,

Ту

(13+ 123+ 1423)(1 - 565)

= 13421; ¿12 = 1653421; 1653 4- 16423 -<- 165423

Л

Следует обратить внимание, что нахождение 5 г по формуле (1) удобно для нахождения нулевой чувствительности коэффициента передачи к вариациям параметров любых дуг.

Пример. 3. Смеется измерительный усилитель (схема Беггели), граф которого изображен на рис. 3. Найти условие нулевой чувствительности от нестабильности передачи дуг 12 = —Ко и 34 = —К\-

1. Яг =

2. 5Г =

д7и дг 12 дТи дп

= ти-т21

д-

1 ~%2кх) = о,

713-Ти — — (а,

а>2) = о.

(6)

В результате имеем а._,

а, ==

К,

к, = 1 + к0.

1+Ко 1 Н- /Со

В ряде случаев при анализе сложных измерительных систем приходится сталкиваться с необходимостью определения мультипликативной помехи при вариациях одного или деух параметров звеньев. При этом удобно выразить ошибку системы через топологические элементы графа.

о ¿у о ¿/о

3 о I

/г

Рис. 2

Пусть Ти =/(л

Тогда

Рис. 3

У • . .), где X = гаЬ \

У

= ГЫ /

юаг.

дх

Та"

ду

с1у

Т-1 и

1 +2 2 \ дх2 дхду

1

ду

ЗУ. х. 8, + • уЗу + ^ (8(РхЧ1 + • у • ЗД, +

+ Б'РуЧ'у)

где

йх X - с1у _ у

д1и- дх г-1аЬ) от — Т1а-ТЬр

дТи ду = = =

*ти дхг = = = 2Г/в .т %т _ 1 Ьа 1 Ь] — 2 &х)-тьа-

д*Ти ду2 - = = 27}, * Т ¿с ' Тй! — ос(у)т • ¿Ът 1 ¿с

д'Ти дхду = = т1е Тла'ТЫ + а ТЬс.Та1

(7)

Таким образом, вторая частная производная в (7) выражается через сумму произведений (передач, первое из слагаемых которой состоит из произведения передачи от входного узла графа I до начала первой варьируемой дуги 'на /передачу от конца этой дуги до начала второй варьируемой дуги, ¡на ¡передачу от конца второй дуги до выхода системы /. При нахождении сомножителей второго слагаемого варьируемые ¡ветви меняются местами.

Пример 4. Для схемы примера 3 (рис. 3) определить коэффици ент при (I — а 1, Ь = 2, с = 3, й ~ у = 4)

§и-у) — 'гсй {Ти''^ь] ^ 1а*'^¿у) ^ __ §

ТИ

С учетом условий (6) коэффициент при равен 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. В. П. Сигорский, А. И. Петренко. Основы теории электронных схем. «Техника», 1967.

2. Я. К. Т р о х и м е н к о. Метод обобщения чисел и анализ линейных цепей. «Сов. радио», 1972.

3. Ю. М. Калниболотский. Матрично-топологический анализ радиоэлектронных схем. Республиканский сборник «Радиотехника», 1969, №11.

4. А. А. Зыков. Теория конечных графов. «Наука», 1969.

5. И. Чайка. Чувствительность передачи ориентируемого графа к изменениям передачи любой ветви графа. Известия вузов СССР, «Радиоэлектроника», 1971, № 3.

6. С. Сешу, М. Б. Рид. Линейные графы и электрические цепи. «Высшая школа», 1971.

7. ТПИ, т. 270.