CC BY
87
УДК 517.988.8
О НЕКОТОРОМ ПРОЕКЦИОННОМ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
А.А. ФОНАРЁВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.
Для отыскания решения уравнения в гильбертовом пространстве с оператором, являющимся сжатием, предлагается проекционный итерационный процесс. Проекционный итерационный процесс строится с использованием проекционно-итеративного метода.
Ключевые слова: проекционный итерационный процесс, нелинейное уравнение.
Введение
Итеративные и прямые методы получили широкое применение при исследовании и построении решений различных классов уравнений. На их базе возникли методы аппроксимаци-онно-итерационного типа, к числу которых принадлежат проекционные итерационные методы, сочетающие в себе проекционный метод и итерационный процесс.
Важное место среди методов аппроксимационно-итерационного типа занимают методы проекционно-итеративного типа [1], к созданию которых привели развитие метода осреднения функциональных поправок, предложенного Соколовым Ю.Д. [2], и обобщения метода осреднения функциональных поправок.
В статье предлагается проекционный итерационный процесс, сочетающий в себе проекционный метод и итерационный процесс (т.е. проекционный итерационный метод) и построенный с использованием проекционно-итеративного метода [1; 3], для отыскания решения нелинейного уравнения
х = Тх (1)
в гильбертовом пространстве H со скалярным произведением (х,у) и нормой ||х|| = (х, х)12 для х, у е H. И доказывается сходимость последовательности проекционного итерационного процесса к решению уравнения (1). Оператор T в уравнении (1) задаётся на шаре пространства H и является сжатием.
В исследуемом в работе проекционном итерационном методе проекционный итерационный процесс является процессом нестационарного типа.
1. Постановка и формализация задачи
Для шара с центром в нуле пространства H радиусом 8 > 0 используется обозначение Ds, т. е. D8 °{хе H : ||х|| < 8}.
Предположим, что выполняются следующие условия (I-IV).
Г 1 ^
I. Оператор T: Dr^ ® H является сжатием с постоянной сжатия qе 0,^=J, т.е.
||Тх - Ту|| < qj^ - у||
для ^, у е Dr4-r
II. Оператор Т отображает шар Д^ в шар Дг.
III. и, У0 - такие замкнутые подпространства пространства Н, что пространство Н представляется в виде прямой суммы подпространств и и У0; Р, Q0 - операторы ортогонального проектирования пространства Н соответственно на подпространства и и У0.
IV. {У} и } - такие последовательности замкнутых подпространств У пространства
Н и операторов ортогонального проектирования Qi пространства Н на У (г > 1), что У с У0 для каждого г > 1 и Qix ® Q0х при г ® . для "х еУ0.
Замечание 1. Условие II вытекает из условия I при ||Т(0)|| < (1 - ^42) г.
Замечание 2. Если оператор В : Н ® Н конечно-непрерывный по Липшицу, т. е. для любого числа г > 0 существует такое число Ь = Ь(г) > 0, что
||Вх - Ву|| < Ь||х - у ||
для х,у е Дг, то для произвольного числа г > 0 существует такое число Л = Л(г) > 0, что для оператора Т = ЛВ с Ле (0,1] выполняются условия I, II.
Из условия III вытекает, что любой элемент х е Н имеет единственное представление в виде х = и + V с и еи и V еУ0. И при этом и = Рх, V = Q0 х.
Рассмотрим проекционный итерационный процесс
и = РТ (и + V-1 ) и е Дг п и, V = ЙТ (и + V! ) V е Д п У,
х = и + V 0' = 1,2,•••), (2)
V0 е Дг П У0.
Проекционный итерационный процесс (2) содержит в себе две части: проекционную об отыскании и итерационную об отыскании vi ( > 1). При этом итерационная часть проекционного итерационного процесса (2) является нестационарной, ибо в итерационной части проекционного итерационного процесса (2) не используется, вообще говоря, стационарный оператор.
Проекционный итерационный процесс (2) строится с использованием проекционно-
итеративного метода [1], [3]. Точнее, проекционный итерационный процесс (2) строится с использованием проекционно-итеративного метода Н.С. Курпеля [3].
Если последовательности {и.}. , и {vi}. , сходятся соответственно к и* е Д п и и
и » J i=1 и » J i=1 г
V* е Дг п У, то последовательность {х1 }.= сходится к х* = и* + V* е Д^, ибо с использованием
* * / * * \ г\
ортогональности и и V имеем равенство (и V ) = 0, с использованием которого имеем
II *112 II *112 . 11 *112 ^ 2
х = г + V < 2г .
Следовательно, при г имеем равенства
и* = РТ (х*), V* = Q0T (х*).
Значит, х* является решением уравнения (1), ибо Р + Q0 - тождественный оператор в Н. Так как уравнение (1) имеет в шаре Д ^ единственное решение и оно принадлежит шару Дг, то
х* е Дг.
Далее будет показана осуществимость проекционного итерационного процесса (2) и доказана сходимость последовательности {х} проекционного итерационного процесса (2) к ре-
шению уравнения (1).
2. Основной результат
Покажем, что проекционный итерационный процесс (2) осуществим.
Для каждого г > 0 введём оператор
Р : Вг п V ® Вг п V,
Ргх = V, м = РТ(и + х), ие Бг пС/, V = QІT(и + х) (хе Бг пV0).
Покажем корректность определений операторов р (г = 0,1,к).
Зафиксировав произвольный элемент х е Д. п У0, рассмотрим уравнение
и = РТ (и + х) (и е Д п С). (3)
Оператор
А : Д п С ® С,
Аи = РТ(м + х) (и е Д п С) отображает множество Д пи в себя, ибо \\и + х|| < гл/2. Следовательно, в силу того, что оператор А является сжатием, уравнение (3) имеет единственное решение и е Д п и, что влечёт
корректность определений операторов р (г > 0).
Из корректности определений операторов р (г > 0) вытекает осуществимость проекционного итерационного процесса (2).
Проведём анализ операторов р (г > 0).
Зафиксировав г > 0 и взяв г1,*2 е Д п V0, для
Уке вг п ^, Ук = РТ (Ук + *к) (к =1,2)
имеем
II II2 ^ 2\\ ||2 2(\\ ||2 и ||2\
||У1-уЛ £ ч IIУ1-у2+*-*2II = ч (IIУ1-ул +1*-*211 ).
Следовательно,
||У1 - У^|£ Ч01* - ^2!. (4)
где Ч02 е (0,1).
1 - ч
С использованием неравенства (4) и равенства
ч2 (Ч02 +1) = Ч02 (5)
имеем
II 17 17 II2 ^ 2 II , II2 ^ 2\\ II2
- РМ £ Ч ||У1 - У 2 + *1 - Ц £ Ч0|Р1 - 2г\.
Показали, что для каждого г > 0 оператор Рг является сжатием с постоянной сжатия ч0. Следовательно, для каждого г > 0 уравнение
V = Р^ (V е А п Vг ) (6)
имеет единственное решение V' е Д п V,. Для каждого г > 0 имеем
У = РМ, Vг/ = ^ (хг ), х' = и + V , Щ е Д п U, Щ = РТ (хг ).
В частности, при г = 0 имеем
х0 = Т (х0),
т.е. х0 - решение уравнения (1) и х0 е Д в силу единственности решения уравнения (1) в шаре В^.
В силу условия IV уравнения (6) с г > 1 являются уравнениями проекционного типа для уравнения (6) с г = 0.
Для каждого г > 1 с использованием неравенства (4) имеем неравенство
Зафиксировав і > 1, имеем
Следовательно, зафиксировав произвольное е > 0 и используя неравенство Коши с е
2аЬ < еа2 + е_1Ь2,
справедливое для любых неотрицательных чисел а и Ь, неравенство (7) и равенство (5), для каждого г > 1 имеем
доказана сходимость последовательности решений уравнений проекционного типа (6) с г > 1 для уравнения (6) с г = 0 к решению уравнения (6) с г = 0 со скоростью сходимости (10). И при
Следовательно, последовательность {х'}г1 сходится к решению х0 уравнения (1) со скоростью сходимости
Анализ отображений (г > 0) завершён. Схема анализа отображений (г > 0) будет ис-
пользована частично при доказательстве основного результата работы.
Справедлива следующая лемма [4].
Лемма 1. Пусть
(7)
Зафиксировав теперь произвольное число
(8)
и вводя число
(10)
(9)
Так как в силу условия IV последовательность
сходится к нулю, то (10)
является оценкой скорости сходимости последовательности {| V - 1|} к нулю. Таким образом,
этом в силу неравенств (7) последовательность {\и' - и0\} сходится к нулю со скоростью сходимости
Д+1 <ГоД +?г (і = 1,2,к)
с постоянной g0 е (0,1), где (Д} - последовательность неотрицательных чисел, а (t } - ог-
раниченная последовательность неотрицательных чисел. Тогда последовательность (Д} ограниченная и
lim Д < —1— lim t.
г®¥ 1 _ go
В лемме 1 lim - верхний предел.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Последовательность (хг.} проекционного итерационного процесса (2) сходится
к решению х* уравнения (1).
Доказательство. Для решения х* уравнения (1) имеем равенство
х* = Рх* + Q0 х*. (11)
Используя обозначения, применявшиеся при построении проекционного итерационного
процесса (2), равенство (11) и неравенство (4), для каждого i > 1 имеем
\\u _ Рх*||< 4o |h_1 _ Qo х*||. (12)
Зафиксировав произвольное е> 0 и используя неравенство Коши с е, равенство (11), неравенство (12) и равенство (5), для каждого i > 1 имеем
II и2 / и II II и \ 2
||v, - Qo х*|| <( q||u + V,.-! - х*||+||(0 - Qo) х*|) <
< (1 + е)д2 \иг + V-! - х*||2 +(1 + £- )||(Q, - Qo).х*1'2
:(1 + e)q2 (| и, - Рх-\\2 +| V-1 - Qo х*||2 ) + (1 + С-1 )||( Q, - Qo) х*||2 <
2
< (1 + £)q¡2 ||V,-1 - Qoх* || +(1 + e_1) ||(Q, - Qo)х*
Зафиксировав теперь такое произвольное число е> 0, что выполняется (8), имеем для каждого i >1 неравенство
||v - Qoх*||2 £ b|| v_i - Qoх* ||2 + (1 + e~l) ||(Qi - Qo) x*\\2 с постоянной (0,1), введённой в (9). Следовательно, с использованием леммы 1 и сходимости в силу условия IV последовательности {||(Qi - Q0) х*||} к нулю имеем
||v - Qoх*||® 0 (i
что в силу (12) влечёт
Щ - Рх* || ® 0 (i ® ¥).
Теорема 1 доказана.
Теорема 1 является теоремой о сходимости последовательности проекционного итерационного процесса (2) к решению уравнения (1) при выполнении условий (I-IV).
Теорема 1 - основной результат работы.
Замечание 3. Теорему 1 можно доказать с использованием решений уравнений (6). Заключение
Автором предложен проекционный итерационный процесс, сочетающий в себе проекционный метод и итерационный процесс, последовательность которого сходится к решению нели-
нейного уравнения в гильбертовом пространстве. Оператор в уравнении задаётся на шаре гильбертова пространства и является сжатием. Проекционный итерационный процесс строится с использованием проекционно-итеративного метода.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы. - Киев: Наукова Думка, 1993.
2. Соколов Ю.Д. Метод осреднения функциональных поправок. - Киев: Наукова Думка, 1968.
3. Курпель Н.С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. - Киев: Наукова Думка, 1968.
4. Фонарёв А.А. О некотором проекционно-итерационном методе решения уравнений с вполне непрерывными операторами // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики: межвед. сб. научн. тр. - М.: МФТИ, 1996. - С. 205-214.
ABOUT SOME PROJECTIVE ITERATIVE METHOD OF SOLUTION NONLINEAR THE EQUATIONS
Fonarev A.A.
For search of a solution of the equation in a Hilbert space with an operator, being compression, the projective repetitive process is offered. The projective repetitive process is under construction with use of a projectively-iterated method.
Key words: projective iterative process, nonlinear equation.
Сведения об авторе
Фонарёв Анатолий Афанасьевич, 1942 г.р., окончил МГУ (1972), кандидат физико-
математических наук, доцент кафедры высшей математики Московского физико-технического института, автор более 120 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения в нормированных пространствах, приближенные методы нелинейного функционального анализа.
