О итерационном методе решения нелинейных уравпроекционном нений Кармана изгиба пластины Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА

№ 195

УДК 517.988.8

О ПРОЕКЦИОННОМ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ КАРМАНА ИЗГИБА ПЛАСТИНЫ

А.А. ФОНАРЁВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

Для отыскания решений уравнений Кармана изгиба пластины в канонической форме предлагается проекционный итерационный метод наискорейшего спуска, сочетающий в себе проекционный метод и итерационный процесс.

Ключевые слова: проекционный итерационный метод, уравнения Кармана, решение.

Введение

Нелинейные уравнения Кармана [1] изгиба пластины весьма сложны и не могут быть решены точно даже в простейших случаях.

В статье предлагается проекционный итерационный метод наискорейшего спуска, сочетающий в себе проекционный метод и итерационный процесс, для отыскания приближений к решениям уравнений Кармана изгиба пластины в канонической форме [2]. При этом строится последовательность проекционного итерационного метода, являющаяся компактной, так, что каждая её сходящаяся подпоследовательность сходится к решению уравнений Кармана.

1. Каноническая форма уравнений Кармана

Рассмотрим уравнения Кармана изгиба пластины в форме, обычно используемой в известных публикациях [2, с. 81]:

А2и = [р,и] + /, /е Ь2(а) в со,

А 2р = -[и, и ] в со, и = Эпи = 0 на у,

Р = Ро е Н5/2(у), Эр = р е Н3/2(у) на у,

где [и,w] = Э11иЭ22^ + Э22иЭп^-2Э12иЭ12^ (с - ограниченная односвязная область евклидова пространства Я2 с границей у).

В [2] уравнения Кармана изгиба пластинки сводятся к уравнению, называемому канонической формой уравнений Кармана изгиба пластины [2, с. 93],

(I -Л)и + С (и) - ^ = 0 (и еУ) (1)

в гильбертовом пространстве С. Л. Соболева У = Н2(с) со скалярным произведением

(у, w) = | АvАw

и нормой

1М1=( 1.(ау )2 Г

для м, w еУ.

В уравнении (1) и - вертикальный прогиб точек срединной поверхности со пластины; I - тождественный оператор в V; Л : V ® V - линейный, непрерывный, компактный, самосопряженный и положительно определённый оператор [2, с. 98]; ¥ - заданный элемент пространства V; С : V ® V - такой непрерывный "кубический" компактный оператор, что

С (V) = В(В(у, у), V)

для V еV, где В: V2 ® V - билинейный, симметричный и вполне непрерывный оператор, С(оу) = а3С(V) для всех ае Я1 и V eV;

||С (у) - С (и)|| < В||2 тах {|| V |2, ||и||21| |у - и|| ("у , и е V),

С (у), у) = | |В(у, у)||2 ("у е V), (С(у), у) > 0 для "уе V\{0} [2, с. 89, 91].

Компактность оператора С означает, что из слабой сходимости последовательности {ук }к с V к у0 е V вытекает сходимость последовательности {ук }к = к у0 в V.

Левая часть уравнения (1) является градиентом функционала

3 (и ) = !((/ -Л)и, и) + / (и) -(¥, и) (и е V),

где

1 N 1|2

у (и) = —| |В(и, и )|| (и е V).

Функционал / биквадратичный, т. е. /(аи) = а4/(и) для "ае Я1 и "и е V, слабо непрерывный и его градиент /(и) = С (и) для и е V,

/(и)и = (С(и),и ("и,ие V).

В [2] доказана коэрцитивность функционала 3, т.е. доказано, что 3(и) ®+¥ при ||и|| ® ¥.

Функционал 3 ограничен снизу на пространстве V.

Справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Для "и, И е V имеем равенство

3 (и + И) = 3 (и ) + (3 \и ), И) +1 ((I - Л)И, И) +

1 1 2 (2)

+ - (В(и, и), В(И, И)) + - (В(И, И), В(И, И)).

В силу равномерной непрерывности градиента функционала 3 на ограниченных множествах пространства V решения уравнения (1) можно отыскивать с использованием проекционного итерационного метода из [3]. И в силу того, что градиент функционала 3 является ограниченно липшиц-непрерывным оператором, для отыскания решений уравнения (1) можно использовать проекционные итерационные методы из [4; 5] для уравнений с потенциальными ограниченно липшиц-непрерывными операторами.

Отметим, что далее обычно строится проекционный итерационный метод наискорейшего спуска для отыскания решений уравнения (1) без использования как результатов для уравнений с потенциальными, равномерно непрерывными на ограниченных множествах операторами [3; 5], так и для уравнений с потенциальными ограниченно липшиц-непрерывными операторами [4; 5].

В настоящей работе при построении модификации проекционного итерационного метода существенно используются вышеприведённые свойства функционала 3 и градиента функционала 3.

2. Проекционный итерационный метод

Пусть {V} и {/} - такие последовательности подпространств (замкнутых) пространства V и операторов ортогонального проектирования / : V ® Vi, что V с Vi+1 для каждого i > 1 и Piu ® u при i ® ¥ для Vuе V.

Зафиксируем произвольные числа q е (0,1], q0 е (0,1) и рассмотрим последовательность

{иг. }i_i проекционного итерационного метода

U+i _ и - t1hi (i >1) (3)

с произвольным начальным элементом и1 е V и h. _ /+1 J'(ui), где tt _ 0 при _ 0, а при || hi|| > 0: t. е [qt ,t ],

t. _ sup {j(Ui) - J (u. - th ) > ^|Ы|2 (Vt е (0,t))} (i > 1). t > 0 I- J

Проекционный итерационный метод (3) совмещает в себе проекционный метод и итерационный процесс, ибо итерация ui+1 е Vi+1 получается с использованием итераций, полученных в

подпространствах, содержащихся в подпространстве Vi+1 пространства V .

Покажем с использованием леммы 1, что проекционный итерационный метод (3) осуществим.

При hj > 0, взяв в равенстве (2) u _ u. и h _ ut - thi (t е R1), имеем равенство

J (u.) - J (u. - th{) _ til h^l2 j(t),

где

j(t) _ 1

11( (I-L)hi, h^ +1 t(5(u, u.), B(ht, ht ))■

h

-t2 (C (hi), uj + 213( C (hi), hi)

2 - - ч 2

С (и. ), и,\1 /| 1И.1 I2

Так как ((0) = 1 и () ® -¥ при t ® +¥, то существует число Тг > 0, используемое при определении числового параметра ti в (3), что обеспечивает осуществимость проекционного итерационного метода (3). Конкретно, Тг является наименьшим из положительных корней кубического уравнения () = и тг можно найти с использованием формул Кардано.

Далее будем исследовать проекционный итерационный метод (3), без ограничения общности, при ||Иг || > 0 для каждого i > 1.

Справедлива следующая лемма.

Лемма 2. Для последовательности {и} проекционного итерационного метода (3) имеем:

1) последовательность {и } ограниченная;

2) 3(иг) > 3(им) (г > 1);

3) если ||Иг|| > 0 для "г > 1, то существует такое число ^ > 0, что ^ > t0 для "г > 1;

4) || И1| ® 0 (г ®¥).

Доказательство леммы 2. В силу определения параметров tt при построении последовательности {u.} проекционного итерационного метода (3) имеем неравенство

J (u) > J (uM)

для каждого i > 1. Отсюда, учитывая то, что функционал J коэрцитивный, имеем ограниченность последовательности {u.}. ,.

L . J i=1

Из монотонности и ограниченности последовательности {J (ui)} вытекает сходимость последовательности {J (ui )}i_1, что влечёт за собой сходимость последовательности

{J (ui) - J (ui+i)}_1 к нулю.

Существует такая постоянная С0 > 0, что

p(t) > y(t) для "t > 0,

где y(t) _ 1 -C0[t +12 +13].

Кубическое уравнение y(t) _ q0 имеет положительный корень t0, являющийся единственным положительным корнем уравнения. При этом ti > t0 для каждого i > 1. Следовательно,

J(ui) - J(u!+1) > q0h\|2

для каждого i > 1, что влечёт заключение 4 леммы. Лемма 2 доказана.

В силу заключения 2 леммы 2 проекционный итерационный метод (3), совмещающий в себе проекционный метод и итерационный процесс, является методом типа метода наискорейшего спуска.

С использованием леммы 2 доказывается следующая теорема.

Теорема. Последовательность {ui} проекционного итерационного метода (3) компактная, любая сходящаяся подпоследовательность последовательности {ui} сходится в V к решению уравнения (1) и

lim inflIx. - xll _ 0, (4)

i x eT11 11J

где T - множество решений уравнения (1).

Доказательство теоремы. Используя заключение 1 леммы 2, выделим из произвольной подпоследовательности последовательности {ui} _ проекционного итерационного метода (3) подпоследовательность {u. } , слабо сходящуюся к u0 e V.

I k J k _1

Имеем

P

1 ik +1

-Luh + C (uh )-F ®-Lu0 + C (u0)-F (k

Следовательно, в силу заключения 4 леммы 2 р +1 и^ ® и 0 и и 0 е Т.

Равенство (4) доказывается от противного. Теорема доказана.

Теорема является основным результатом статьи о компактности последовательности {и..} проекционного итерационного метода (3) и о сходимости каждой сходящейся подпоследовательности последовательности {и. } к решению нелинейных уравнений Кармана изгиба пластины в канонической форме. Равенство (4) отражает сходимость последовательности {и.} к множеству решений уравнения (1).

В [2] введением усилий на боковых поверхностях пластины, пропорциональных некоторому скалярному параметру 1, уравнения Кармана сводятся к нелинейному уравнению

в гильбертовом пространстве V = Н02(й>), где 1 - вещественный параметр (т.е. 1е Я1),

Ь : V ® V - линейный, непрерывный, компактный, самосопряженный и положительно определённый оператор [2, с. 98]

Е - заданный элемент пространства V, оператор С такой же, как в уравнении (1).

Исследование уравнения (5) при Е = 0 приводит к исследованию бифуркаций в уравнениях Кармана.

В [2] установлено, что при Е = 0 уравнение (5) имеет только тривиальное решение и = 0 е V при 1<1 и по меньшей мере три решения ((0,и, -и), и Ф 0) в пространстве V при

1 > 1, где 1 - наименьшее характеристическое значение оператора Ь (11 = 1/||Ь||). Вводя функционал

можно построить проекционный итерационный метод, аналогичный проекционному итерационному методу (3), с заменой функционала J на J0. Последовательность проекционного итерационного метода компактная, и если при 1> 11 проекционный итерационный процесс начат с элемента и1 е V1 такого, что J0(u1) < 0, то все частичные пределы последовательности проекционного итерационного метода являются нетривиальными решениями уравнения (5) с Е = 0.

Результаты статьи частично анонсированы в [6]. Уравнение (5) в [6] не рассматривалось.

Работа выполнена при участии автора в научно-исследовательской работе «Современные проблемы анализа и математической физики» в Московском физико-техническом институте.

Заключение

Предлагается новый проекционный итерационный метод, сочетающий в себе проекционный метод и итерационный процесс. Идеологически он близок к методу наискорейшего спуска. В методе строится компактная последовательность, любая сходящаяся подпоследовательность которой сходится к решению нелинейных уравнений Кармана изгиба пластины в каноническом виде.

1. Karman T. Festigkeitsprobleme im Maschinenbau // Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften. - Bd. 4. - Leipzig, 1910. - S. 348-352.

2. Съярле Ф., Рабье П. Уравнения Кармана. - М.: Мир, 1983.

3. Фонарев А.А. О проекционном итерационном методе решения вариационных задач // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем / под ред. Ю.С. Попкова. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. - Т. 42 (1). - С. 164-174.

4. Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1978.

5. Фонарев А.А. Проекционные итерационные методы решения нелинейных уравнений. - Saarbrucken, Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013.

6. Фонарев А.А. О некотором проекционном итерационном методе наискорейшего спуска решения уравнений Кармана // Труды 55-й научной конференции МФТИ. Управление и прикладная математика. - М.: МФТИ, 2012. - Т. 1. - С. 17-18.

u - lLu + C(u) = F (u eV)

(5)

(ue V),

ЛИТЕРАТУРА

ABOUT A PROJECTIVE ITERATIVE METHOD OF THE SOLUTION OF THE NONLINEAR EQUATIONS OF THE KARMAN OF A BEND OF A PLATE

Fonarev A.A.

For search of solutions of the equations of the Karman of a bend of a plate in a canonical form the projective iterative method of the fastest descent combining a projective method and iterative process is offered.

Key words: projective iterative method, equations of the Karman, solution.

Сведения об авторе

Фонарёв Анатолий Афанасьевич, 1942 г.р., окончил МГУ им. Ломоносова (1972), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МФТИ, автор более 120 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения в нормированных пространствах, приближенные методы нелинейного функционального анализа, численные методы решения эллиптических уравнений.