О некотором инварианте графов, определяемом через оптимальные нумерации вершин Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 1.1995

УДК 519.717

О НЕКОТОРОМ ИНВАРИАНТЕ ГРАФОВ, ОПРЕДЕЛЯЕМОМ ЧЕРЕЗ ОПТИМАЛЬНЫЕ НУМЕРАЦИИ ВЕРШИН1

П. А. Головач

В настоящей работе рассматривается новый инвариант графов, названный нами суммарной величиной вершинного разделения. В работе показано, что задача распознавания: по графу G и неотрицательному целому числу к проверить, верно ли, что sv(G) < к, где sw(G) — суммарная величина вершинного разделения графа G, является NP-полной даже для реберных графов.

1.Основные определения. В этом разделе будут даны оснс ные определения, которые потребуются нам в этой работе.

Пусть G = (V, Е) — простой граф с п вершинами. Сразу ота тим, что мы будем рассматривать только простые графы, не ого« ривая этого в дальнейшем.

Взаимно однозначное отображение f:V {1,...,п} называет нумерацией вершин графа G.

Положим

Si(G,f) = \{ v:v € V,f(v) < г и существует

ребро (v,u) такое,что f(u) > г}|>

где / — нумерация вершин графа G, i 6 1,п, а через \А\ обозна^ ется число элементов конечного множества А.

Величиной вершинного разделения графа G при нумерации шин / называется величина

vs(G,f) = max £,-((?,/),

iei,n

1 Работа выполнена при частичной поддержке программы "Университеты Ро

© П.А.Головач, 1995.

140

а величиной вершинного разделения графа G — величина

vs{G) = min vs(G,f),

где минимум берется по всевозможным нумерациям / вершин графа G (см., например, работы [3,4]).

Мы в этой работе рассмотрим другую "норму". Положим

п

¿-1

где / — нумерация вершин графа G, и назовем суммарной величиной вершинного разделения графа G величину

sv(G) = min sv(G,f),

где минимум берется по всевозможным нумерациям / вершин графа G.

Напомним (см., например, [2]) в этой связи, что шириной ленты графа G при нумерации / называется величина

bw(G, /) = rnax{ | f(u) - f(v)|: (щ v) e E},

а шириной ленты графа G — величина

bw(G) = min bw{GJ),

где минимум берется по всевозможным нумерациям / вершин графа G. Соответственно, суммарной шириной ленты графа G называется величина

bws(G) = min £ |/H-/(i/)|, (u,v)e Е

где минимум берется по всевозможным нумерациям / вершин графа G. Таким образом, введенный нами инвариант находится в том же отношении к величине вершинного разделения, в каком ширина ленты графа находится к суммарной ширине ленты.

2.Сложность. В этом разделе мы рассмотрим вопрос о сложности вычисления суммарной величины вершинного разделения. Оценим сначала наш инвариант снизу.

Теорема 1. Пусть G — граф с т ребрами. Тогда sv(G) > т. Рассмотрим произвольную нумерацию вершин / графа G. Обозначим через г, число ребер, соединяющих вершину, получившую

номер ?', с вершинами с номерами меньшими, чем г, г 6 1 ,п, где п — число вершин С. Легко видеть, что г, < (С, /) при г 6 2, п.

п

Поскольку г\ — 0 и 5п = 0, то получаем, что 5г'(6', /) = ^ 5,- >

¿=1

п

г,- = ггг. Так как / — произвольная нумерация, то и вг;((7) > т.

¿=1

Оказывается, что эта оценка является точной для графов интервалов.

Теорема 2. Пусть С — граф интервалов с гп ребрами. Тогда зу(С) — т.

Поскольку С — граф интервалов, то вершинам (3 соответствуют интервалы действительной прямой и две вершины графа С? смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им интервалы пересекаются. Будем считать (очевидно, что это не приводит к умалению общности), что левые концы всех интервалов, соответствующих вершинам С?, различаются. Перенумеруем вершины в порядке возрастания величин левых концов соответствующих им интервалов и обозначим получившуюся нумерацию вершин через /. Заметим, что если вершина с номером г смежна вершине с номером ] и г < j, то для любого к € г + 1, з вершина с номером г смежна вершине с номером к. Из этого замечания вытекает, что Г{ > ¿>¿-1 ((?,/) при г £-.2,п, где r¿, как и в доказательстве предыдущей теоремы, это число ребер, соединяющих вершину с номером { с вершинами с номерами меньшими, чем г. Так как г,- — 0 и £„(£', /) = 0, то

п п

/) = 5,-(6\ /) < ]Г) г,- = ш. Поскольку, по предыдущей тео-1=1 ! = 1

реме, $*;((?) > га, то очевидно, что нумерация / является оптимальной и — т.

Охарактеризуем.теперь с помощью графов интервалов суммарную величину вершинного разделения произвольного графа. Для этого нам потребуется следующая простая лемма.

Лемма. Пусть бп,(?2 — графы и Сп —- подграф <22- Тогда

Пусть / — оптимальная нумерация вершин графа 6*2, то есть бч^Сг) = /). Рассмотрим нумерацию <? вершин графа (?1 та-

кую, что вершины 0\ нумеруются в той же последовательности, что и вершины <72 при нумерации /. Легко видеть, что 8ь(0\) <

Сформулируем теперь основное утверждение этого пункта.

Теорема 3. Пусть — граф. Суммарная величина вершинного разделения графа (? совпадает с числом ребер минимального по числу ребер графа интервалов, содержащего граф (? в качестве подграфа.

Ясно, что для доказательства этой теоремы достаточно построить граф интервалов, содержащий граф (7 в качестве подграфа, суммарная величина вершинного разделения которого совпадает с

8У(С).

Рассмотрим оптимальную нумерацию / вершин графя О. Обозначим через вершину с номером i при г € 1 , п, где п — число вершин графа Для каждого г € 1,п сопоставим вершине интервал [г,а,-], где аг- — г + если вершина г>г- не смежна вершинам с номерами большими, чем г, и а,- = тах{ к:к£ г + 1, п и вершина г;г- смежна вершине г^} + Обозначим порожденный этими интервалами граф интервалов через 1(0).

Докажем, что граф С является подграфом графа /(С). Для этого достаточно показать, что если две вершины графа <2 являются смежными, то соответствующие им интервалы пересекаются. Пусть — ребро графа С? и г < ]. Вершине г/г- сопоставлен ин-

тервал [г, а,-], а вершине Vj — интервал [], а^ ]. Из определения этих интервалов, а также из того, что г < j сразу следует, что I < ] < а,-и, следовательно, эти интервалы пересекаются.

Поскольку граф С является подграфом /(С), то, по нашей лемме, зу(С) < зг>(/((?)). Докажем, что имеет место и обратное неравенство: 5г/(С) > 5г,(/(Сг)). Ясно, что для этого достаточно доказать, что /) > 5г>(/(С),/). Покажем, что для любого г € 1, п S¡(G,f) > Si(I{G),f). Это вытекает из того, что если вершина V], где 3 < г смежна в графе /((7) вершине г^., где к > г, то J < к < аа по определению aj из этого следует, что вершина и^-смежна в графе (7 некоторой вершине ьр, где р 6 к, п.

Из полученных неравенств вытекает, что зи(С) = 5у(/(С?)). Из этого равенства, а также из того, что граф С? является подграфом графа интервалов /(С), сразу следует утверждение теоремы.

Таким образом, задача вычисления суммарной величины вершинного разделения графа свелась к задаче о минимальном числе ребер, добавление которых к исходному графу делает его графом интервалов.

Из теоремы 3 немедленно вытекает следующее утверждение.

Следствие. Пусть С — граф с т ребрами. = т тогда и

только тогда, когда G является графом интервалов.

Известно (см.[1]), что проверить является ли граф графом интервалов, можно с помощью полиномиального алгоритма. Поэтому проверить верно ли, что sv(G) = m, можно за полиномиальное время. Однако в общем случае задача оказывается более сложной.

Теорема 4. Задана распознавания: по графу G и неотрицательному целому числу к проверить, верно ли, что sv(G) < к, является NP-полной даже для реберных графов.

Принадлежность нашей задачи классу NP очевидна.

Согласно [1] задача распознавания: по графу G — (V, Е) и неотрицательному целому числу к определить, существует ли множество Е\ содержащее такое, что |Е' \ Е\ < к и граф G' = (V, Е') ' является графом интервалов, является NP-полной даже для реберных графов. Из теоремы 3 сразу следует, что эта задача полиномиально преобразуется к нашей.

Литература

1. Гэри М.,Джонсон Д. Вычислительные машины и трудноре-шаемые задачи.М.:Мир,1982.

2. Chinn P.Z.,Сhvatalova J.,Dewdeny A.K.,Gibbs N.E. Bandwidth Problem for Graphs and Matrices. — A survey// J. of Graph Theory. 1982. V.6. P.223 -254.

3. Ellis J.A.,Sudborough I.H.,Turner J.S. Graph Separation and Search Number//Proc. of the Allerton Conf. on Communication, Control and Computig. 1983. P.224-233.

4. Kinnersly N.G. The vertex separation number of a graph equals its pathwidth//Inform. Process Lett. 1992. V.42. P.345-350.

Summary

Golovach P.A. On one invariant of graphs defined through optimal numbering of vertices

A new invariant of graphs defined through optimal numbering of vertexes is considered. The problem of computation of this invariant sw proved to be iVP-hard.

Сыктывкарский университет Поступила 11.02.