CC BY
13
Владикавказский математический журнал Июнь-сентябрь, 2001, Том 3, Выпуск 3
УДК" 611*3
О НАИЛУЧШИХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ К ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМ ЧИСЛАМ ф(х) ■ ех. II
Б. Г. Тасоев
Работа служит продолжением предыдущей статьи автора и посвящена дальнейшему развитию предложенного им метода. При использовании данного метода отпадает нужда в явном представлении числителей и знаменателей подходящих дробей и, как следствие, расширяется класс чисел, для которых удается получить точные оценки.
Настоящая работа является продолжением статьи [5] и посвящена дальнейшим приложениям развитого там метода [4]. Необходимые сведения из теории чисел и цепных дробей имеются в [1-3], [6-8]. Отметим, что данная работа вместе с [5] уточняют и развивают некоторые результаты из [9-15]; подробнее об этом уже сказано в [5].
1. О разложении чисел вида ае«,,Ъе«,Ьс~ге«,е« + Ьс~г
Теорема 1.1. Пусть а е Н, а > 1. Имеют место разложения
ае* = [а+ 1; 2а — 1, 2п + 2,1]~=0, (1.1)
а^е» = [0; а - 1, 2а, 1, 2п + 2, 2а - 1]~=0. (1.2)
< Как известно [7],
ех = 1 +--
1__®
х
2 +-
3--®
х
2 +
5 - ...
Положим х = аГ1 и умножим обе части последнего равенства на а
г 1
ае а = а Н--
1
1--
1
2а +-
2а +
1
3
1
© 2001 Тасоев Б. Г.
Получим
7о = а +
1
а +
1
2а+ —
71
2а71 + 1 (2а - 1)71 + 1
[а+ 1;2а- 1,71]?
71 = 3
1 (6а - 1)72 + 3
2а +
1 2а72 + 1
[2; 1, 2а — 1,72].
72
Предположим, что для 7П^1 выполняется равенство
7п-1 = [2га - 2; 1, 2а - 1,7„].
Тогда
1 ((2п + 1) • 2а — 1) 7п+1 + (2га + 1)
7п = 2га + 1
2а +
1
2а7 п + 1
7п+1
[2п; 1, 2а — 1,7п+1],
и, следовательно, по индукции равенство (1.1) верно. Аналогично доказывается равенство (1.2). >
Следующая теорема дает разложения в арифметические цепные дроби чи-шдн Ъе~, , ^е« (а,
Теорема 1.2. Имеют место разложения
5
= [4; 2 + Юга, 2,1,1,1,6+ Юга, 1, 7]~=0, -е А = [0; 4,1,1 + 4га, 9,1]^0, е* = [0; 2, 3,1, 4, 2, 2,1,1,4, 2,4 + 4га, 1,1,4, 6 + 4га, 1,1,4, 2,]~=0
(1.3)
(1.4)
(1.5)
< Воспользовавшись разложением (1.11) из [5], получим
4е1о
Вычислим
9 1 1 49 1 1 89 1 1 4;-, 4,-, 116,-, 4, —, 4,-, 276,-, 4, —, 4,-, 436,-,.. 4 4 4 4 4 4 4 4 4
7о
9 1 1
4;-,4,-, 116,-,71
[4; 2, 2,1,1,1,6,1,71 + 3],
1
1
2
71 + 3 = [7; 12, 2,1,1,1,16,1,7з + 3], 72 + 3 = [7; 22, 2,1,1,1, 26,1,7з + 3]. Предположим, что
7п-1 + 3 = [7; 2 + !()(>/ - 1),2,1,1,1,6+ 10(га - 1), 1,7п + 3],
7п + 3
АОп о 1 1
4;-—, 4, -, 160п + 116, - , 7п+1
+ 3
= [7; 2 + 10п, 2,1,1,1,6+ 10п, 1, Ъь+г1
и, следовательно, верно равенство (1.3).
Для доказательства разложения (1.4) воспользуемся разложением (1.1). Получим
1
— р 10 5
9 1 19 1 19 1 29
0;-,40,-,4, у, 2, 2, 38,-,12, у, 2, 4, 38,-,20, у, 2,...
Далее находим, что 7о
9 1 0;-,40,-,4,71
71
19 1
у;2,2,38,-,12,72
12471 + 21 56171 + 95 1390172 + 1000
140472 + 101 Предположим, что верно равенство 7П. Тогда
[0; 4,1,1,9,1,5,71], [9; 1,9, 9,1,13,72].
7п+1
19 1 ]
—; 2,2 + п, 38, -, 12 + 4п,7„+2 = [9; 1, 9 + 4п, 9,1,13 + 4п,7п+2].
Следовательно, по индукции верно (1.4). Путем разложения находим, что
2 а. -ею
5
119 9 19 0; 2, 2, - , 18, - , 10, - , 2, - , 18, -, 26, - , 2,...
7о
119 0; 2, 2,-,18,-,10,-,2,71
г 9 1 9 71= -; 18,-,26,-,2,72
По индукции приходим к заключению
= [0; 2, 3,1, 4, 2, 2,1,1,4, 2,71], [4; 1,1,4, 2, 6,1,1,4, 2,72].
7п
1 + 8г? 9 1
, 18,10 + 16/;. -, 2,7п+1 = [4п; 1,1,4, Ы + 2,1,1, 4, 2,1п+1].
Таким образом, находим, что
е« =[0; 2, 3,1, 4, 2, 2,1,1,4, 2,71]
= [0; 2, 3,1, 4, 2, 2,1,1,4, 2,4,1,1,4, 6,1,1, 4, 2, 8,1,1,4,10, 1,1,4,2,12,1,1,4,1,4,1,1,4,2,...]
= [0;2,3,1,4,2,2,1,1,4,2,4+4п,1,1,4,6 + 4гг,1,1,4,2,]~0.
Теорема доказана. >
Задача о разложении е» + - решается аналогичным образом.
Теорема 1.3. Имеет место разложение
1
е^ + - = [2; 6,1, 2,1,1,1,1 + 2га, 7, 3 + 2п £
оо
п=0'
< В силу разложения (1.11) из [5]
1
- Г 1 1
е* + - = [1; 1,1,1, 5,1,1, 9,1,1,13,1,1,17,1,1,...] + -.
2
2
Вычислим
, 1 6171 + 33 1 15971 + 86 70 = [1; 1,1,1, 5,1,1,71] + 2 = ^^^ + 2 = 7471 + 40
71 - 2"
2; 6,1,2,1,1,1,^-—
(1.6)
71 =[9; 1,1,13,1,1,72]
53372 + 276 5672 + 29 '
71 - 2 42172 + 218
1; 1,7,3,2,1,1,1,
72 - 2
4 2247з + 116
Предположим, что утверждение верно для 7П. Рассмотрим его для 7п+1 7п+1 = [8га + 9; 1,1, 8п + 13,1,1,1п+2] (га = 0,1, 2,...).
Вычислим
7п+1 - 2 1 (256га2 + 752га + 533)7п+2 + (128га2 + 384га + 276) 1
4
4 (37га + 56)7п+2 + (16га + 29)
(256га2 + 688га + 421)7п+2 + (128га2 + 352га + 218) (128га + 224)7п+2 + (64га + 116)
7П+2 - 2"
2
2га + 1; 1,7, 2га + 3,2,1,1,1,-
4
Следовательно, согласно принципу математической индукции, получим
л- 1 г
= [2; 6,1,2,1,1,1,1,1,7, 3,2,1,1,1,3,1,7, 5, 2,1,1,1,5,1,7, 7, 2,1,1,1,...] = [2; 6,1, 2,1,1,1, 2га + 1,1, 7, 2га + 3]~ 0.
Определим теперь наилучшие рациональные приближения к числам (1.1)-(1.6).
Теорема 1.4. Пусть а —цепная дробь из равенств (1.1)—(1.6). Тогда для любого е > 0 неравенство
V
а--
<1
< (с + е)
1п 1п д
д2 1п д
имеет бесконечно много решений в целых числах р, д. Существует число д' = д(~) такое, что
а
1п 1п д
> (с^е)—-
д£ 1п д
для всех целых р, д. где д > д'( ~). При этом
1) при а = ае а с
л\ 1
4) при а = те ю с
2) при а = -е2 с
а
5) при а = с = \, 6) при а = еЛ + | с = 1.
3) при а = 4е Л с
2. О разложении чисел вида
2
_2___2_ . _2_ Ьл 2а+1 _!_/->
ав2"+1,а~1б2д+1, ^б3д+1, Ье I +с
£>2<х+1 2
те2<1+1+т1 С
Теорема 2.1. Пусть а е КГ, 2| а, а > 3. Тогда имеют место разложения
2.
ае°
а — 1 а — 3
а + 2; ——, 5 + 12//. 1, ——. 1,1,1 + 3га, 1, 2а - 1, 3 + Зга, 2
п=0
. (2.1)
При а = 3
Зез = [5; 1,5+ 12га, 2,1,1 + Зга, 1, 5, 3 + Зга, 2 < Рассмотрим разложение
ех = 1 +- Ж
оо
п=0'
1
X
2 +
ж
ж
2 +
х
(2.2)
Положим х = К 2|(/ .
е» = 1 +
За
1
5а — ...
1
1
2
2
1
4
2
ОО
3
5
2
1
а
1
1
Умножим обе части последнего равенства на а
2
2.
аеа = а +
1
1
а +
1
а +
5 - ...
Отсюда находим, что
7о = а +
а +
2а71 + 2 (а - 1)71 + 1
ч — 1
а + 2; —-—, 271
а +
71
71 = 3
1 (За - 1)72 + 3
а +
72
271
(6а - 2)72 + 6
а72 + 1
а72 + 1
а — 3 72 — 11
5; 1,-.1.1,—-
. ' ' 2 2
72 = 5
1 (5а - 1)7з + 5
а +
1
7з
72 1 (4а - 1)73 + 4
2
2а7з + 2
а7з + 1
1; 1, 2а — 1,
7з
7з = 7
1 (7а - 1)74 + 7
а +
1 '
74
7з _ (7а - 1)74 + 7 2
074 + 1
а — 1 3; 2, —-—, 274
74 = 9
2а74 + 2
1 (9а - 1)75 + 9
а +
1
75
274
(18а - 2)75 + 18
а>75 + 1
17-1 ^ 1 1 ^ ' ' 2 ' ' ' 2
075 + 1
Предположим, что верны условия для узп^2,7зп^1,7зп- Тогда
1 (6 ап + За — 1)7зп+2 + (6 п + 3)
7зп+1 = бп + 3
а +
1
"•73/,.+2 + 1
73п+2
1
3
1
2
1
1
1
1
2
27зп+1
(12ап + 6а - 2)73п+2 + (12га + 6)
"73п+2 + 1
Тзп+2 = 6га + 5
1 (бага + 5а - 1)7зп+з + (6п + 5)
а +
1
7зп+з
73П+2 - 1 (6ап + 4а - 1)7зп+з + (6п + 4)
2а73п+3 + 2
а7зп+з + 1
3п + 1; 1, 2а — 1,
7зп+з
2
73/,.+з = С>п + 7
1 (6 ап + 7а — 1)7зп+4 + (6 п + 7)
а +
1
73п+4
73П+3 _ (багг + 7а - 1)73п+з + (6п + 7) 2 2а73п+4 + 2
Отсюда, по индукции, следует, что
"•7з,,.+-! + 1
а — 1
Зп + 3; 2, —-—, 27Зп+4
2
аеа
ч ^ 1
а ^ 3
а + 2; ——, 5 + 12//. 1, ——. 1,1,1 + Зп, 1, 2а - 1, 3 + Зп, 2,
а ^ 1
и равенство (2.1) доказано.
Аналогично докажем (2.2). В самом деле,
2 2 Зез = 3 +-=-
3 +
3 +
1
3+ ...
Находим
7о = 3 +
1
__ 1271 + 5
1 ~~ 271 + 1
[5; 1,271];
3 +
71
п=О
71 = 3
72 = 5
1 872 + 3 1672 + 6
■; 271
3 +
1 З72 + 1'
372 + 1
5; 2,1,
72 11
72
1 147з + 5 72 — 1 117з + 4
3+1 37з + 1
7з
2
673 + 2
1;1,5,
7з 2
2
оо
1
1
1
3
1
5
2
1
1 2074 + 7 73 2074 + 7
7з = 7--Г = ^-Г~Г' "Т = -ГТ = 3;2,1,274 .
__З74 + 1 2 674 + 2
74
Предположим, что верны условия для 7зп-2 5 7зп-ъ7зп- Тогда
й , „ 1 (18га + 8)7зп+2 + (6га + 3)
7зп+1 = 6га + 3--=— =---—-,
3 + 1 37Зп+2 + 1
73п+2
27ЗП+1
(36га + 16)73п+2 + (12га + 6) г 73п+2 - 1
37зп+2 + 1
12га+ 5; 2,1,
2
„ 1 (18га + 14)7зп+з + (6га + 5) 7зп+2 = 6га + 5--=— =---—-,
3 + 1 З73п+3 + 1
7зп+з
7зп+2 - 1 _ (18га + 11)7зп+з + (6га + 4)
2 б7зп+з + 2
Зга+1;1,5,^±^
1 (18га + 20)73п+4+(6га + 7)
7зп+з = 6га + 7--=— =---—-,
3 + 1 373п+4 + 1
73п+4
7зп+з (18га + 20)73П+3 + (6га + 7)
о =-а-г^-= [Зга + 3; 2,1, 2,7зп+4],
2 б7зп+4 + 2
откуда, по индукции, следует, что
Зе3 = [5; 1,5 + 12га, 2,1,1 + Зга, 1,5,3+ Зга, 2,1]~=0, т. е. верно равенство (2.2).
Теорема 2.2. Пусть а Е КГ, 2-\а, а > 3. Тогда имеет место разложение
1 2.
— е° а
а — 2 а ^ 1
0; а ^ 2, —-—, 1,5 + 12га, —-—, 2,
:_1_1__(2.3)
2 + Зга, 2о — 1,1,2 + Зга, 1,1,
При а = 3 имеет место разложение
п=О
-аз = [0; 1,1,1,5+ 12га, 1, 2, 2 + Зга, 5,1, 2 + Зга, 1, 2\™=0. (2.4)
О
< Используя разложение (1.3) из [5]
е° = 1 +
1 +
За
1 +
1
5а — ...
получаем
12 1
— е° = —I--
а а а2
1 +
За
1 +
1
5а — ...
откуда находим, что
7о = - +
а а2
а
1 + 1
71
(а + 1)71 + (а + 2) (а2 — а)71 + а2
■ а-1 271^ (а -4)"
0;а^ 2, ——. 1,-
2 а
71 = За
1 (За — 1)72 + За
1
1 + —
72
272 - (а - 4) (5а + 2)7з + (5а + 4)
а
072 + а
72 + 1
■ а — 1 72 - (а - 2)
о, ~ , а, —
2
72 = 5а
1 (5а — 1)73 + 5а
1
1 + —
7з
72 (а 2) (4а + 1)73 + (4а + 2)
7з + 1
2; 2а — 1,1,
7з = 7 а
2(гуз + 2а
1 (7а — 1)74 + 7а
7з ~ (2а - 2) 2а
1 + 1
74
74+1
7з - (2а - 2) (5а + 1)74 + (5а + 2)
9-1 1 3 1 274 - (а - 4) 2 а
2а 2а74 + 2а
Предположим, что верны условия для 7зп^2,7зп^1? 7зп- Тогда
1 (багг + За — 1)7зп+2 + (багг + За)
7зп+1 = (3 + 6п)а
1 +
1
73п+2
73п+2 + 1
2
1
а
1
1
2
а
1
1
2
2
27зп+1 ~ (а ~ 4) _ (12ап + 5а + 2)7зп+2 + (12ап + 5а + 4) а а7зп+2 + а
2 2а
1 (6 ап + 5а — 1)7зп+з + (бап + 5а)
7зп+2 = 5а + 6 ап
1 +
1
7зп+з + 1
7зп+з
7зп+2 - (а ~ 2) (6ап + 4а + 1)7зп+з + (6ап + 4а + 2)
2а
Зп + 2; 2а ^ 1,1,
2а73п+3 + 2а
7зп+з - (2а - 2)
2а
7зп+з = 7а + 6 ап
1 (6 ап + 7а — 1)7зп+4 + (багг + 7а)
1 +
1
73п+4 + 1
73п+4
7зп+з - (2а - 2) _ (багг + 5а + 1)7зп+4 + (багг + 5а + 2)
2а 2а7зп+4 + 2а
а — 3 27зп+4 — (а —Г) 3п + 2; 1,1, —. 1, Пп+А 2 1--
откуда по индукции следует (2.3).
Покажем справедливость (2.4). Воспользовавшись равенством
1а 1
зе5 = з +
1 +
1 +
15
1
1 + ...
находим
70 = 3 +
_ 471 + 15 3 671 + 9
0; 1,1,1,
271 + 1 3
1 +
71
71 = 9
1 872 + 9
1 + — 72 + 1 72
2
3
9
1
1
9
1
2
9
1
271 + 1 1772 + 19
3
5; 1,2,
72-1]
72 = 15
З72 + 3
1 147з + 15
1 +
1 7з + 1
7з
72 + 1 137з + 14
2; 5,1,
7з - 4
6 673 + 6
74 2074 + 21
7з = 21
74+ 1 74+ 1 '
7з — 4 1674 + 17
6
2; 1,2,
274 + 1 3
674 + 6
что, по индукции, влечет справедливость (2.4). >
Покажем теперь, что имеют место разложения для чисел вида е» +
Теорема 2.3. Имеет место разложение
2 1 е3 + з
2; 3,1,1, 3,1, 4,1,1, 3, 3,1,1, 5 + 8га, 2, 4,1 + 2га, 1,1,1,1, 2,1,
оо
1 + 2га, 2, 4, 9 + 8га, 1, 3,1,1,2 + 2га, 3,1,1, 2, 2 + 2га, 1, 3 < И вновь применим разложение (1.13) из [5]
(2.5)
п=О
1 г 1 7 13 19 25
= 1; 1,1,-,1,1,— ,1,1,— ,1,1,— ,1,1,
3 2' , , 2, , , 2 , , ' 2 ' ' '2
31 1, 37 , 43 , 49 , 55 1 1 X, X, . . . 1
1 — 11 — 11 — 11 — + -
2 '2 2 2 2 3
Тогда находим, что 7о
1 7 13 19
1:-. 1. 1.-. 1. 1. у. 1. 1. у. 1. 1-71
1
+ 3
2355271+ 12335 1 1209271 + 6333 + 3
2; 3,1,1,3,1,4,1,1, 3,3,1,1,
471 — 3 9
Вычислим
71
25 31 у,1,1, у, 1,1,72
171872 + 885 _ 13272 + 68
472 - 3 647672 + 3336
9 И8872 + 612
72 =
5; 2, 4,1,1,1,1,1,2,1,
72 - 6 9
[37 ^ 43 1 у;1'1' у,1,1,73
34227з + 1749 _ 1807з + 92 '
2
72 - 6 _ 234273 + 1197 9 ~ 162073 + 828
1;2,4,9,1,3,1,1,
273 — 9
18
7з
49 , , 55 , ,
у, 1,1, у, 1,1,74
570274 + 2901 _ 22874 + 116
27з - 9 935274 + 4758
18
410474 + 2088
2; 3,1,1,2, 2,1,3,1,1,
474 - 3 9
Предположим, что утверждение теоремы верно для 7зп. Тогда 7зп+з
25 + 36га 31 + 36га
; 1,1,-;;-, 1,1, 7ЗП+2
2
2
_ (1718 + 4248га + 2592п2)73п+2 + (885 + 2160га + 1296га2) ~ (132 + 144гг)7зп+2 + (68 + 72га) '
откуда находим, что
47з»+1 - 3 _ (6476 + 16560га + 10368га2)73„+2 + (3336 + 8424га + 5184га2) 9 ~
Вычислим
73п+2
(1188 + 1296П)7З„+2 + (612 + 648п)
73П+2 - 6"
8п + 5; 2, 4, 2п+ 1,1,1,1,1,2, !,■
37 + Збгг 43 + 36га
; 1,1, —^—, 1,1,7зп+з
9
2
2
_ (3422 + 5976га + 2592га2)73п+3 + (1749 + 3024га + 1296га2) _ ~ (180 + 144га)73п+3 + (92 + 72га) '
7зп+2 - 6 _ (2342 + 5112га + 2592га2)73п+3 + (1197 + 2592га + 1296га2 9 ~ (1020 + 1296га)7з„+з + (828 + 648га)
27ЗП+З + 9"
2га + 1; 2,4, 8га + 9,1, 3,1,1, ■
18
Далее, находим, что
-49 +36га
7зп+з
2
55 + 36га
,1,1, — ,1,1,73п+4
(5702 + 7704га + 2592га2)73п+4 + (2901 + 3888га + 1296га2 (228 + 144га)7з„+4 + (116 + 72 га)
27з,,+з - 9 (9352 + 14112га + 5184га2)73п+4 + (4758 + 7128га + 2592га2
(4104 + 2592га)73п+4 + (2088 + 1296га)
47ЗП+4 - 3-
2га + 2; 3,1,1, 2, 2га + 2,1, 3,1,1, ■
Итак, по индукции получим
1
ез + - =[2; 3,1,1, 3,1,4,1,1, 3, 3,1,1, 5 + 8га, 2,4,1 + 2га, 1,1,1,1, 2,1, ó
1 + 2га, 2, 4, 9 + 8га, 1, 3,1,1,2 + 2га, 3,1,1, 2, 2 + 2га, 1, 3,1,1,]£°=0,
что и требовалось доказать. >
Аналогично можно доказать, что имеют место разложения для чисел вида 2 ! 2 2 me« , -е» .
' m ~ гi
Теорема 2.4. Имеют место разложения
3eJ =[4; 2,9 + 40га, 1,2,3+ Юга, 1,5,5+ Юга, 1, 2, 29 + 40га, 1,2,8+ Юга, 1, 5,10 + Юга, 1]~=0,
1 2 . -
-es =[1; 2,1,14 + 60га, 1,1,5 + 15га, 1, 3, 8 + 15га,
1,1,44 + 60га, 1,1,13 + 15га, 3,1,15 + 15га, 1]~=0,
|ef =[2; 4,4 + 20га, 1,5,1 + 5га, 1,11, 2 + 5га, 1, 5,
14 + 20га, 1,5,4+ 5га, 2, 2,1,1,4+ 5га, 1, 5]~=0. < Воспользовавшись разложением (1.13) из [5]
2
Зе5
находим, что
1 1 39 1 23 1 99 1 43 1 159 1
ч- _ _ ч _ ч _ _ _ ч __ч _ _ _ ч
2 3 2 \У 6 ' 3' 2 '3' ' 6 3' 2 '3' ' 21 1 219 1 83 1
(2.6)
(2.7)
(2.8)
7о =
[39 1 7i= Y;3 2
[23 1 ' 72= — :•>. - .73 L 6 3
[99 1 7з= Y'J3 4
[43 1
74= —;3,-,75 L 6 3
' 1 1 3;-,3,-,7l
З671 + 63 871 + 15
4; 2,
471 + 3
9
75
76
159 1
—;g,3,76
21 1 ■
T;3,-,77
25272 + 45 _ 471 + 3 _ 17472 + 31 _ 1272 + 2 ' 9 ~ I872 + 3 ~ _ 14473 + 225 _ 672 - 1 _ 2З73 + 36 З673 + 54 ' 6 673 + 9
_ 6127, + 105 _ 73 _ 6127, + 105 1274 + 2 ' ¥ ~ Ю874 + 18 8875 + 135 _ 1274 + 1 _ 17874 + 273 _ 1275 + 18 ' 3 ~ 674 + 9 ~ 97276 + 165 275 - 3 5376 + 9
9; 1,2,
672 - 1 6
3; 1,5,^
5; 1,2,
1274 + 1
29; 1,2,
3
275 ^3
1276 + 2 12877 + 195 _ 1277 + 18 '
76
18 676 + 1 12877 + 195
1277 + 18
10; 1,2,
18
[8;1,5,76]; 477 + 3'
9
Индукцией по 7бП, получаем -39+ 180п 1
7бп+1
2
3
5 з, 7бп+2
(1080га + 252)76п+2 + (180га + 45)
127бп+2 + 2
7бп+2 7бп+з 7бп+4 7бп+5 7бп+б
23 + 60га 1
---7бп+з
о 3
99+ 180п 1
-2-' з' ' ^6п+4
43 + 60га 1
—-—; з, -, 7бп+5
о 3
159+ 180п 1 -2-' з' ' ^6п+6
21 +20га 1
-2-' ' з' ^6п+7
(40п + 16)76п+3 + (60п + 25) _
47бп+з + 9 (1080п + 612)76п+4 + (180га + 105) _ 127бп+4 + 2 (120га + 88)76п+5 + (180га + 135) _
127бп+5 + 18 _ (1080п + 972)76п+6 + (180га + 165)
127бп+б + 2 (120га + 128)76п+7 + (180га + 195) 127бп+7 + 18
откуда находим, что
47бп+1 + 3 9
9 +40га; 1,2,
676П+2 - 1
6
б7бп+2 - 1 (240п + 92)76п+3 + (360п + 144)
6
2476п+3 + 36
3+ Юга; 1,5,
7бп+з 9
7бп+з _ 9
127бп+4 + 1 3
5 + Юп; 1, 2,
127бп+4 + 1
3
29 +40га; 1,2,
27бп+5 ~ 3 18
27бп+5 — 3
18
7бп+б
[8 + Юга; 1,5,76п+6]; 47бп+7 + 3
10+ Юга; 1,2,
9
и, следовательно, равенство (2.6) имеет место. >
Разложение (2.7) можно получить из разложения (1.13), умножив его на 3. Разложение (2.8) можно получить из разложения (2.5), разделив его на 2. >
Теорема 2.5. Пусть а — цепная дробь из равенств (2.1)-(2.8). Тогда для любого е > 0 неравенство
V
а--
< (с + е)
1п 1п д д2 1п д
имеет бесконечно много решений в целых числах р. ц е N. Существует число ц' = <]( ~) такое, что
a
In In q
> (c^e)—-
qz in q
для всех целых р, где <{ > <]'{-У). При этом
"П 2 1
1) при а = ае а с = -
4) при — 1
7) при
а
а
зез с 1 2 2е5 f
1
4' 1
4' . J_
10'
2) при а -5) при а = 8) при а
- Зе 2 1 ез + 1
с
я 2 |е5
з
1
4' _ 3 — 4' _ _3_ 10'
3) при а 6) при а =
1 2 : -ео
2
3es
1
" 4' _3_ 20'
с
с
с
с
Литература
1. Ну s ill mil А. А. Теория чисел.—М.: Просвещение, 1966.
2. Галочкин А. И. и др. Введение в теорию чисел.—М.: МГУ, 1984.
3. Ленг С. Введение в теорию диофантовых приближений.—М.: Мир, 1970.
4. Тасоев Б. Г. О рациональных приближениях к некоторым бесконечным цепным дробям.—МПГУ, Москва, Афтореф. дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук, 1997.
5. Тасоев Б. Г. О наилучших рациональных приближениях к трансцендентным числам ф(х) ■ ех // Владикавказский мат. журн.—2001.—Т. 3, № 2.—С. 23-49.
6. Хинчин А. Я. Цепные дроби.—М.: Наука, 1978.
7. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа.—М.: ГИТТЛ, 1956.
8. Шидловский А. Б. Диофантовы приближения и трансцендентные числа.—М.: МГУ, 1982.
9. Эйлер Л. Введение в анализ.—М.: Физматгиз, 1961.
10. Davis С. S. Rational approximation to е // J. Austral Math. Soc. (Ser. A).—1978.— V. 25.—P. 497-502.
11. Devis C. S. A note on rational approximation // Bull. Austral. Math. Soc.—1979.— V. 20.—P. 407-410.
12. Perron O. Die Lehre von der Kettenbruchen, Band I.—Stuttgart: Teubner, 1954.
13. Schiokawa J. Number Theory and Combinatorics.—Japan.— Singapore: World Scientific Pub. Co, 1985.—P. 353-367.
14. Takeshi O. A note on the rational approximationa to e // Tokyo J. Math.—1992.—V. 15, No. 1.—P. 129-133.
15. Takeshi O. A note on the rational approximations to tank // Proc. Jap. Acad. A.—1993.— No. 6.—P. 161-163.
г. Цхинвал
Статья поступила 20 ноября 2000 г.
