О наилучших рациональных приближениях к трансцендентным числам \psi(x)\cdot e^X. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Июнь-сентябрь, 2001, Том 3, Выпуск 3

УДК" 611*3

О НАИЛУЧШИХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ К ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМ ЧИСЛАМ ф(х) ■ ех. II

Б. Г. Тасоев

Работа служит продолжением предыдущей статьи автора и посвящена дальнейшему развитию предложенного им метода. При использовании данного метода отпадает нужда в явном представлении числителей и знаменателей подходящих дробей и, как следствие, расширяется класс чисел, для которых удается получить точные оценки.

Настоящая работа является продолжением статьи [5] и посвящена дальнейшим приложениям развитого там метода [4]. Необходимые сведения из теории чисел и цепных дробей имеются в [1-3], [6-8]. Отметим, что данная работа вместе с [5] уточняют и развивают некоторые результаты из [9-15]; подробнее об этом уже сказано в [5].

1. О разложении чисел вида ае«,,Ъе«,Ьс~ге«,е« + Ьс~г

Теорема 1.1. Пусть а е Н, а > 1. Имеют место разложения

ае* = [а+ 1; 2а — 1, 2п + 2,1]~=0, (1.1)

а^е» = [0; а - 1, 2а, 1, 2п + 2, 2а - 1]~=0. (1.2)

< Как известно [7],

ех = 1 +--

1__®

х

2 +-

3--®

х

2 +

5 - ...

Положим х = аГ1 и умножим обе части последнего равенства на а

г 1

ае а = а Н--

1

1--

1

2а +-

2а +

1

3

1

© 2001 Тасоев Б. Г.

Получим

7о = а +

1

а +

1

2а+ —

71

2а71 + 1 (2а - 1)71 + 1

[а+ 1;2а- 1,71]?

71 = 3

1 (6а - 1)72 + 3

2а +

1 2а72 + 1

[2; 1, 2а — 1,72].

72

Предположим, что для 7П^1 выполняется равенство

7п-1 = [2га - 2; 1, 2а - 1,7„].

Тогда

1 ((2п + 1) • 2а — 1) 7п+1 + (2га + 1)

7п = 2га + 1

2а +

1

2а7 п + 1

7п+1

[2п; 1, 2а — 1,7п+1],

и, следовательно, по индукции равенство (1.1) верно. Аналогично доказывается равенство (1.2). >

Следующая теорема дает разложения в арифметические цепные дроби чи-шдн Ъе~, , ^е« (а,

Теорема 1.2. Имеют место разложения

5

= [4; 2 + Юга, 2,1,1,1,6+ Юга, 1, 7]~=0, -е А = [0; 4,1,1 + 4га, 9,1]^0, е* = [0; 2, 3,1, 4, 2, 2,1,1,4, 2,4 + 4га, 1,1,4, 6 + 4га, 1,1,4, 2,]~=0

(1.3)

(1.4)

(1.5)

< Воспользовавшись разложением (1.11) из [5], получим

4е1о

Вычислим

9 1 1 49 1 1 89 1 1 4;-, 4,-, 116,-, 4, —, 4,-, 276,-, 4, —, 4,-, 436,-,.. 4 4 4 4 4 4 4 4 4

7о

9 1 1

4;-,4,-, 116,-,71

[4; 2, 2,1,1,1,6,1,71 + 3],

1

1

2

71 + 3 = [7; 12, 2,1,1,1,16,1,7з + 3], 72 + 3 = [7; 22, 2,1,1,1, 26,1,7з + 3]. Предположим, что

7п-1 + 3 = [7; 2 + !()(>/ - 1),2,1,1,1,6+ 10(га - 1), 1,7п + 3],

7п + 3

АОп о 1 1

4;-—, 4, -, 160п + 116, - , 7п+1

+ 3

= [7; 2 + 10п, 2,1,1,1,6+ 10п, 1, Ъь+г1

и, следовательно, верно равенство (1.3).

Для доказательства разложения (1.4) воспользуемся разложением (1.1). Получим

1

— р 10 5

9 1 19 1 19 1 29

0;-,40,-,4, у, 2, 2, 38,-,12, у, 2, 4, 38,-,20, у, 2,...

Далее находим, что 7о

9 1 0;-,40,-,4,71

71

19 1

у;2,2,38,-,12,72

12471 + 21 56171 + 95 1390172 + 1000

140472 + 101 Предположим, что верно равенство 7П. Тогда

[0; 4,1,1,9,1,5,71], [9; 1,9, 9,1,13,72].

7п+1

19 1 ]

—; 2,2 + п, 38, -, 12 + 4п,7„+2 = [9; 1, 9 + 4п, 9,1,13 + 4п,7п+2].

Следовательно, по индукции верно (1.4). Путем разложения находим, что

2 а. -ею

5

119 9 19 0; 2, 2, - , 18, - , 10, - , 2, - , 18, -, 26, - , 2,...

7о

119 0; 2, 2,-,18,-,10,-,2,71

г 9 1 9 71= -; 18,-,26,-,2,72

По индукции приходим к заключению

= [0; 2, 3,1, 4, 2, 2,1,1,4, 2,71], [4; 1,1,4, 2, 6,1,1,4, 2,72].

7п

1 + 8г? 9 1

, 18,10 + 16/;. -, 2,7п+1 = [4п; 1,1,4, Ы + 2,1,1, 4, 2,1п+1].

Таким образом, находим, что

е« =[0; 2, 3,1, 4, 2, 2,1,1,4, 2,71]

= [0; 2, 3,1, 4, 2, 2,1,1,4, 2,4,1,1,4, 6,1,1, 4, 2, 8,1,1,4,10, 1,1,4,2,12,1,1,4,1,4,1,1,4,2,...]

= [0;2,3,1,4,2,2,1,1,4,2,4+4п,1,1,4,6 + 4гг,1,1,4,2,]~0.

Теорема доказана. >

Задача о разложении е» + - решается аналогичным образом.

Теорема 1.3. Имеет место разложение

1

е^ + - = [2; 6,1, 2,1,1,1,1 + 2га, 7, 3 + 2п £

оо

п=0'

< В силу разложения (1.11) из [5]

1

- Г 1 1

е* + - = [1; 1,1,1, 5,1,1, 9,1,1,13,1,1,17,1,1,...] + -.

2

2

Вычислим

, 1 6171 + 33 1 15971 + 86 70 = [1; 1,1,1, 5,1,1,71] + 2 = ^^^ + 2 = 7471 + 40

71 - 2"

2; 6,1,2,1,1,1,^-—

(1.6)

71 =[9; 1,1,13,1,1,72]

53372 + 276 5672 + 29 '

71 - 2 42172 + 218

1; 1,7,3,2,1,1,1,

72 - 2

4 2247з + 116

Предположим, что утверждение верно для 7П. Рассмотрим его для 7п+1 7п+1 = [8га + 9; 1,1, 8п + 13,1,1,1п+2] (га = 0,1, 2,...).

Вычислим

7п+1 - 2 1 (256га2 + 752га + 533)7п+2 + (128га2 + 384га + 276) 1

4

4 (37га + 56)7п+2 + (16га + 29)

(256га2 + 688га + 421)7п+2 + (128га2 + 352га + 218) (128га + 224)7п+2 + (64га + 116)

7П+2 - 2"

2

2га + 1; 1,7, 2га + 3,2,1,1,1,-

4

Следовательно, согласно принципу математической индукции, получим

л- 1 г

= [2; 6,1,2,1,1,1,1,1,7, 3,2,1,1,1,3,1,7, 5, 2,1,1,1,5,1,7, 7, 2,1,1,1,...] = [2; 6,1, 2,1,1,1, 2га + 1,1, 7, 2га + 3]~ 0.

Определим теперь наилучшие рациональные приближения к числам (1.1)-(1.6).

Теорема 1.4. Пусть а —цепная дробь из равенств (1.1)—(1.6). Тогда для любого е > 0 неравенство

V

а--

<1

< (с + е)

1п 1п д

д2 1п д

имеет бесконечно много решений в целых числах р, д. Существует число д' = д(~) такое, что

а

1п 1п д

> (с^е)—-

д£ 1п д

для всех целых р, д. где д > д'( ~). При этом

1) при а = ае а с

л\ 1

4) при а = те ю с

2) при а = -е2 с

а

5) при а = с = \, 6) при а = еЛ + | с = 1.

3) при а = 4е Л с

2. О разложении чисел вида

2

_2___2_ . _2_ Ьл 2а+1 _!_/->

ав2"+1,а~1б2д+1, ^б3д+1, Ье I +с

£>2<х+1 2

те2<1+1+т1 С

Теорема 2.1. Пусть а е КГ, 2| а, а > 3. Тогда имеют место разложения

2.

ае°

а — 1 а — 3

а + 2; ——, 5 + 12//. 1, ——. 1,1,1 + 3га, 1, 2а - 1, 3 + Зга, 2

п=0

. (2.1)

При а = 3

Зез = [5; 1,5+ 12га, 2,1,1 + Зга, 1, 5, 3 + Зга, 2 < Рассмотрим разложение

ех = 1 +- Ж

оо

п=0'

1

X

2 +

ж

ж

2 +

х

(2.2)

Положим х = К 2|(/ .

е» = 1 +

За

1

5а — ...

1

1

2

2

1

4

2

ОО

3

5

2

1

а

1

1

Умножим обе части последнего равенства на а

2

2.

аеа = а +

1

1

а +

1

а +

5 - ...

Отсюда находим, что

7о = а +

а +

2а71 + 2 (а - 1)71 + 1

ч — 1

а + 2; —-—, 271

а +

71

71 = 3

1 (За - 1)72 + 3

а +

72

271

(6а - 2)72 + 6

а72 + 1

а72 + 1

а — 3 72 — 11

5; 1,-.1.1,—-

. ' ' 2 2

72 = 5

1 (5а - 1)7з + 5

а +

1

7з

72 1 (4а - 1)73 + 4

2

2а7з + 2

а7з + 1

1; 1, 2а — 1,

7з

7з = 7

1 (7а - 1)74 + 7

а +

1 '

74

7з _ (7а - 1)74 + 7 2

074 + 1

а — 1 3; 2, —-—, 274

74 = 9

2а74 + 2

1 (9а - 1)75 + 9

а +

1

75

274

(18а - 2)75 + 18

а>75 + 1

17-1 ^ 1 1 ^ ' ' 2 ' ' ' 2

075 + 1

Предположим, что верны условия для узп^2,7зп^1,7зп- Тогда

1 (6 ап + За — 1)7зп+2 + (6 п + 3)

7зп+1 = бп + 3

а +

1

"•73/,.+2 + 1

73п+2

1

3

1

2

1

1

1

1

2

27зп+1

(12ап + 6а - 2)73п+2 + (12га + 6)

"73п+2 + 1

Тзп+2 = 6га + 5

1 (бага + 5а - 1)7зп+з + (6п + 5)

а +

1

7зп+з

73П+2 - 1 (6ап + 4а - 1)7зп+з + (6п + 4)

2а73п+3 + 2

а7зп+з + 1

3п + 1; 1, 2а — 1,

7зп+з

2

73/,.+з = С>п + 7

1 (6 ап + 7а — 1)7зп+4 + (6 п + 7)

а +

1

73п+4

73П+3 _ (багг + 7а - 1)73п+з + (6п + 7) 2 2а73п+4 + 2

Отсюда, по индукции, следует, что

"•7з,,.+-! + 1

а — 1

Зп + 3; 2, —-—, 27Зп+4

2

аеа

ч ^ 1

а ^ 3

а + 2; ——, 5 + 12//. 1, ——. 1,1,1 + Зп, 1, 2а - 1, 3 + Зп, 2,

а ^ 1

и равенство (2.1) доказано.

Аналогично докажем (2.2). В самом деле,

2 2 Зез = 3 +-=-

3 +

3 +

1

3+ ...

Находим

7о = 3 +

1

__ 1271 + 5

1 ~~ 271 + 1

[5; 1,271];

3 +

71

п=О

71 = 3

72 = 5

1 872 + 3 1672 + 6

■; 271

3 +

1 З72 + 1'

372 + 1

5; 2,1,

72 11

72

1 147з + 5 72 — 1 117з + 4

3+1 37з + 1

7з

2

673 + 2

1;1,5,

7з 2

2

оо

1

1

1

3

1

5

2

1

1 2074 + 7 73 2074 + 7

7з = 7--Г = ^-Г~Г' "Т = -ГТ = 3;2,1,274 .

__З74 + 1 2 674 + 2

74

Предположим, что верны условия для 7зп-2 5 7зп-ъ7зп- Тогда

й , „ 1 (18га + 8)7зп+2 + (6га + 3)

7зп+1 = 6га + 3--=— =---—-,

3 + 1 37Зп+2 + 1

73п+2

27ЗП+1

(36га + 16)73п+2 + (12га + 6) г 73п+2 - 1

37зп+2 + 1

12га+ 5; 2,1,

2

„ 1 (18га + 14)7зп+з + (6га + 5) 7зп+2 = 6га + 5--=— =---—-,

3 + 1 З73п+3 + 1

7зп+з

7зп+2 - 1 _ (18га + 11)7зп+з + (6га + 4)

2 б7зп+з + 2

Зга+1;1,5,^±^

1 (18га + 20)73п+4+(6га + 7)

7зп+з = 6га + 7--=— =---—-,

3 + 1 373п+4 + 1

73п+4

7зп+з (18га + 20)73П+3 + (6га + 7)

о =-а-г^-= [Зга + 3; 2,1, 2,7зп+4],

2 б7зп+4 + 2

откуда, по индукции, следует, что

Зе3 = [5; 1,5 + 12га, 2,1,1 + Зга, 1,5,3+ Зга, 2,1]~=0, т. е. верно равенство (2.2).

Теорема 2.2. Пусть а Е КГ, 2-\а, а > 3. Тогда имеет место разложение

1 2.

— е° а

а — 2 а ^ 1

0; а ^ 2, —-—, 1,5 + 12га, —-—, 2,

:_1_1__(2.3)

2 + Зга, 2о — 1,1,2 + Зга, 1,1,

При а = 3 имеет место разложение

п=О

-аз = [0; 1,1,1,5+ 12га, 1, 2, 2 + Зга, 5,1, 2 + Зга, 1, 2\™=0. (2.4)

О

< Используя разложение (1.3) из [5]

е° = 1 +

1 +

За

1 +

1

5а — ...

получаем

12 1

— е° = —I--

а а а2

1 +

За

1 +

1

5а — ...

откуда находим, что

7о = - +

а а2

а

1 + 1

71

(а + 1)71 + (а + 2) (а2 — а)71 + а2

■ а-1 271^ (а -4)"

0;а^ 2, ——. 1,-

2 а

71 = За

1 (За — 1)72 + За

1

1 + —

72

272 - (а - 4) (5а + 2)7з + (5а + 4)

а

072 + а

72 + 1

■ а — 1 72 - (а - 2)

о, ~ , а, —

2

72 = 5а

1 (5а — 1)73 + 5а

1

1 + —

7з

72 (а 2) (4а + 1)73 + (4а + 2)

7з + 1

2; 2а — 1,1,

7з = 7 а

2(гуз + 2а

1 (7а — 1)74 + 7а

7з ~ (2а - 2) 2а

1 + 1

74

74+1

7з - (2а - 2) (5а + 1)74 + (5а + 2)

9-1 1 3 1 274 - (а - 4) 2 а

2а 2а74 + 2а

Предположим, что верны условия для 7зп^2,7зп^1? 7зп- Тогда

1 (багг + За — 1)7зп+2 + (багг + За)

7зп+1 = (3 + 6п)а

1 +

1

73п+2

73п+2 + 1

2

1

а

1

1

2

а

1

1

2

2

27зп+1 ~ (а ~ 4) _ (12ап + 5а + 2)7зп+2 + (12ап + 5а + 4) а а7зп+2 + а

2 2а

1 (6 ап + 5а — 1)7зп+з + (бап + 5а)

7зп+2 = 5а + 6 ап

1 +

1

7зп+з + 1

7зп+з

7зп+2 - (а ~ 2) (6ап + 4а + 1)7зп+з + (6ап + 4а + 2)

2а

Зп + 2; 2а ^ 1,1,

2а73п+3 + 2а

7зп+з - (2а - 2)

2а

7зп+з = 7а + 6 ап

1 (6 ап + 7а — 1)7зп+4 + (багг + 7а)

1 +

1

73п+4 + 1

73п+4

7зп+з - (2а - 2) _ (багг + 5а + 1)7зп+4 + (багг + 5а + 2)

2а 2а7зп+4 + 2а

а — 3 27зп+4 — (а —Г) 3п + 2; 1,1, —. 1, Пп+А 2 1--

откуда по индукции следует (2.3).

Покажем справедливость (2.4). Воспользовавшись равенством

1а 1

зе5 = з +

1 +

1 +

15

1

1 + ...

находим

70 = 3 +

_ 471 + 15 3 671 + 9

0; 1,1,1,

271 + 1 3

1 +

71

71 = 9

1 872 + 9

1 + — 72 + 1 72

2

3

9

1

1

9

1

2

9

1

271 + 1 1772 + 19

3

5; 1,2,

72-1]

72 = 15

З72 + 3

1 147з + 15

1 +

1 7з + 1

7з

72 + 1 137з + 14

2; 5,1,

7з - 4

6 673 + 6

74 2074 + 21

7з = 21

74+ 1 74+ 1 '

7з — 4 1674 + 17

6

2; 1,2,

274 + 1 3

674 + 6

что, по индукции, влечет справедливость (2.4). >

Покажем теперь, что имеют место разложения для чисел вида е» +

Теорема 2.3. Имеет место разложение

2 1 е3 + з

2; 3,1,1, 3,1, 4,1,1, 3, 3,1,1, 5 + 8га, 2, 4,1 + 2га, 1,1,1,1, 2,1,

оо

1 + 2га, 2, 4, 9 + 8га, 1, 3,1,1,2 + 2га, 3,1,1, 2, 2 + 2га, 1, 3 < И вновь применим разложение (1.13) из [5]

(2.5)

п=О

1 г 1 7 13 19 25

= 1; 1,1,-,1,1,— ,1,1,— ,1,1,— ,1,1,

3 2' , , 2, , , 2 , , ' 2 ' ' '2

31 1, 37 , 43 , 49 , 55 1 1 X, X, . . . 1

1 — 11 — 11 — 11 — + -

2 '2 2 2 2 3

Тогда находим, что 7о

1 7 13 19

1:-. 1. 1.-. 1. 1. у. 1. 1. у. 1. 1-71

1

+ 3

2355271+ 12335 1 1209271 + 6333 + 3

2; 3,1,1,3,1,4,1,1, 3,3,1,1,

471 — 3 9

Вычислим

71

25 31 у,1,1, у, 1,1,72

171872 + 885 _ 13272 + 68

472 - 3 647672 + 3336

9 И8872 + 612

72 =

5; 2, 4,1,1,1,1,1,2,1,

72 - 6 9

[37 ^ 43 1 у;1'1' у,1,1,73

34227з + 1749 _ 1807з + 92 '

2

72 - 6 _ 234273 + 1197 9 ~ 162073 + 828

1;2,4,9,1,3,1,1,

273 — 9

18

7з

49 , , 55 , ,

у, 1,1, у, 1,1,74

570274 + 2901 _ 22874 + 116

27з - 9 935274 + 4758

18

410474 + 2088

2; 3,1,1,2, 2,1,3,1,1,

474 - 3 9

Предположим, что утверждение теоремы верно для 7зп. Тогда 7зп+з

25 + 36га 31 + 36га

; 1,1,-;;-, 1,1, 7ЗП+2

2

2

_ (1718 + 4248га + 2592п2)73п+2 + (885 + 2160га + 1296га2) ~ (132 + 144гг)7зп+2 + (68 + 72га) '

откуда находим, что

47з»+1 - 3 _ (6476 + 16560га + 10368га2)73„+2 + (3336 + 8424га + 5184га2) 9 ~

Вычислим

73п+2

(1188 + 1296П)7З„+2 + (612 + 648п)

73П+2 - 6"

8п + 5; 2, 4, 2п+ 1,1,1,1,1,2, !,■

37 + Збгг 43 + 36га

; 1,1, —^—, 1,1,7зп+з

9

2

2

_ (3422 + 5976га + 2592га2)73п+3 + (1749 + 3024га + 1296га2) _ ~ (180 + 144га)73п+3 + (92 + 72га) '

7зп+2 - 6 _ (2342 + 5112га + 2592га2)73п+3 + (1197 + 2592га + 1296га2 9 ~ (1020 + 1296га)7з„+з + (828 + 648га)

27ЗП+З + 9"

2га + 1; 2,4, 8га + 9,1, 3,1,1, ■

18

Далее, находим, что

-49 +36га

7зп+з

2

55 + 36га

,1,1, — ,1,1,73п+4

(5702 + 7704га + 2592га2)73п+4 + (2901 + 3888га + 1296га2 (228 + 144га)7з„+4 + (116 + 72 га)

27з,,+з - 9 (9352 + 14112га + 5184га2)73п+4 + (4758 + 7128га + 2592га2

(4104 + 2592га)73п+4 + (2088 + 1296га)

47ЗП+4 - 3-

2га + 2; 3,1,1, 2, 2га + 2,1, 3,1,1, ■

Итак, по индукции получим

1

ез + - =[2; 3,1,1, 3,1,4,1,1, 3, 3,1,1, 5 + 8га, 2,4,1 + 2га, 1,1,1,1, 2,1, ó

1 + 2га, 2, 4, 9 + 8га, 1, 3,1,1,2 + 2га, 3,1,1, 2, 2 + 2га, 1, 3,1,1,]£°=0,

что и требовалось доказать. >

Аналогично можно доказать, что имеют место разложения для чисел вида 2 ! 2 2 me« , -е» .

' m ~ гi

Теорема 2.4. Имеют место разложения

3eJ =[4; 2,9 + 40га, 1,2,3+ Юга, 1,5,5+ Юга, 1, 2, 29 + 40га, 1,2,8+ Юга, 1, 5,10 + Юга, 1]~=0,

1 2 . -

-es =[1; 2,1,14 + 60га, 1,1,5 + 15га, 1, 3, 8 + 15га,

1,1,44 + 60га, 1,1,13 + 15га, 3,1,15 + 15га, 1]~=0,

|ef =[2; 4,4 + 20га, 1,5,1 + 5га, 1,11, 2 + 5га, 1, 5,

14 + 20га, 1,5,4+ 5га, 2, 2,1,1,4+ 5га, 1, 5]~=0. < Воспользовавшись разложением (1.13) из [5]

2

Зе5

находим, что

1 1 39 1 23 1 99 1 43 1 159 1

ч- _ _ ч _ ч _ _ _ ч __ч _ _ _ ч

2 3 2 \У 6 ' 3' 2 '3' ' 6 3' 2 '3' ' 21 1 219 1 83 1

(2.6)

(2.7)

(2.8)

7о =

[39 1 7i= Y;3 2

[23 1 ' 72= — :•>. - .73 L 6 3

[99 1 7з= Y'J3 4

[43 1

74= —;3,-,75 L 6 3

' 1 1 3;-,3,-,7l

З671 + 63 871 + 15

4; 2,

471 + 3

9

75

76

159 1

—;g,3,76

21 1 ■

T;3,-,77

25272 + 45 _ 471 + 3 _ 17472 + 31 _ 1272 + 2 ' 9 ~ I872 + 3 ~ _ 14473 + 225 _ 672 - 1 _ 2З73 + 36 З673 + 54 ' 6 673 + 9

_ 6127, + 105 _ 73 _ 6127, + 105 1274 + 2 ' ¥ ~ Ю874 + 18 8875 + 135 _ 1274 + 1 _ 17874 + 273 _ 1275 + 18 ' 3 ~ 674 + 9 ~ 97276 + 165 275 - 3 5376 + 9

9; 1,2,

672 - 1 6

3; 1,5,^

5; 1,2,

1274 + 1

29; 1,2,

3

275 ^3

1276 + 2 12877 + 195 _ 1277 + 18 '

76

18 676 + 1 12877 + 195

1277 + 18

10; 1,2,

18

[8;1,5,76]; 477 + 3'

9

Индукцией по 7бП, получаем -39+ 180п 1

7бп+1

2

3

5 з, 7бп+2

(1080га + 252)76п+2 + (180га + 45)

127бп+2 + 2

7бп+2 7бп+з 7бп+4 7бп+5 7бп+б

23 + 60га 1

---7бп+з

о 3

99+ 180п 1

-2-' з' ' ^6п+4

43 + 60га 1

—-—; з, -, 7бп+5

о 3

159+ 180п 1 -2-' з' ' ^6п+6

21 +20га 1

-2-' ' з' ^6п+7

(40п + 16)76п+3 + (60п + 25) _

47бп+з + 9 (1080п + 612)76п+4 + (180га + 105) _ 127бп+4 + 2 (120га + 88)76п+5 + (180га + 135) _

127бп+5 + 18 _ (1080п + 972)76п+6 + (180га + 165)

127бп+б + 2 (120га + 128)76п+7 + (180га + 195) 127бп+7 + 18

откуда находим, что

47бп+1 + 3 9

9 +40га; 1,2,

676П+2 - 1

6

б7бп+2 - 1 (240п + 92)76п+3 + (360п + 144)

6

2476п+3 + 36

3+ Юга; 1,5,

7бп+з 9

7бп+з _ 9

127бп+4 + 1 3

5 + Юп; 1, 2,

127бп+4 + 1

3

29 +40га; 1,2,

27бп+5 ~ 3 18

27бп+5 — 3

18

7бп+б

[8 + Юга; 1,5,76п+6]; 47бп+7 + 3

10+ Юга; 1,2,

9

и, следовательно, равенство (2.6) имеет место. >

Разложение (2.7) можно получить из разложения (1.13), умножив его на 3. Разложение (2.8) можно получить из разложения (2.5), разделив его на 2. >

Теорема 2.5. Пусть а — цепная дробь из равенств (2.1)-(2.8). Тогда для любого е > 0 неравенство

V

а--

< (с + е)

1п 1п д д2 1п д

имеет бесконечно много решений в целых числах р. ц е N. Существует число ц' = <]( ~) такое, что

a

In In q

> (c^e)—-

qz in q

для всех целых р, где <{ > <]'{-У). При этом

"П 2 1

1) при а = ае а с = -

4) при — 1

7) при

а

а

зез с 1 2 2е5 f

1

4' 1

4' . J_

10'

2) при а -5) при а = 8) при а

- Зе 2 1 ез + 1

с

я 2 |е5

з

1

4' _ 3 — 4' _ _3_ 10'

3) при а 6) при а =

1 2 : -ео

2

3es

1

" 4' _3_ 20'

с

с

с

с

Литература

1. Ну s ill mil А. А. Теория чисел.—М.: Просвещение, 1966.

2. Галочкин А. И. и др. Введение в теорию чисел.—М.: МГУ, 1984.

3. Ленг С. Введение в теорию диофантовых приближений.—М.: Мир, 1970.

4. Тасоев Б. Г. О рациональных приближениях к некоторым бесконечным цепным дробям.—МПГУ, Москва, Афтореф. дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук, 1997.

5. Тасоев Б. Г. О наилучших рациональных приближениях к трансцендентным числам ф(х) ■ ех // Владикавказский мат. журн.—2001.—Т. 3, № 2.—С. 23-49.

6. Хинчин А. Я. Цепные дроби.—М.: Наука, 1978.

7. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа.—М.: ГИТТЛ, 1956.

8. Шидловский А. Б. Диофантовы приближения и трансцендентные числа.—М.: МГУ, 1982.

9. Эйлер Л. Введение в анализ.—М.: Физматгиз, 1961.

10. Davis С. S. Rational approximation to е // J. Austral Math. Soc. (Ser. A).—1978.— V. 25.—P. 497-502.

11. Devis C. S. A note on rational approximation // Bull. Austral. Math. Soc.—1979.— V. 20.—P. 407-410.

12. Perron O. Die Lehre von der Kettenbruchen, Band I.—Stuttgart: Teubner, 1954.

13. Schiokawa J. Number Theory and Combinatorics.—Japan.— Singapore: World Scientific Pub. Co, 1985.—P. 353-367.

14. Takeshi O. A note on the rational approximationa to e // Tokyo J. Math.—1992.—V. 15, No. 1.—P. 129-133.

15. Takeshi O. A note on the rational approximations to tank // Proc. Jap. Acad. A.—1993.— No. 6.—P. 161-163.

г. Цхинвал

Статья поступила 20 ноября 2000 г.