CC BY
22
УДК 519.718
М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова О НАДЕЖНОСТИ СХЕМ, РЕАЛИЗУЮЩИХ ФУНКЦИИ ИЗ P31
Аннотация. Рассматривается реализация функций трехзначной логики схемами из ненадежных функциональных элементов в базисе Россера - Туркетта. Предполагается, что вероятность появления одного неверного значения на выходе любого базисного элемента на каждом входном наборе равна е, а следовательно, вероятность ошибки равна 2е. Доказано, что любую функцию трехзначной логики f (Xl,..., xn) можно реализовать схемой, ненадежность которой при
,2
всех ее (0,1/8-3” • (2n + 1)(1+3n-4(2n + 1))
не превосходит 6е + 420е
Ключевые слова: функции трехзначной логики, функциональный элемент, схема, ненадежность.
Abstract. The article examines a realization of ternary logics functions by the circuits with unreliable functional element in base of Rosser - Turkett. It is assumed that probability of appearance of one incorrect meaning at the output of any basis element on every input vector equals е, and, hence, probability of error equals 2 е. It is proved that any ternary logics function f (x1,..., xn) can be
realized by the circuit with unreliability no more 6е + 420е for all
ее (0,1/8-3” • (2n + 1)(1 +3” • 4(2n + 1)) .
Key words: ternary logics function, functional element, circuit, unreliability.
В современной технике управляющих и вычислительных устройств важное место занимают дискретные преобразователи, т.е. устройства, которые обладают некоторым числом входов и выходов. Наборы сигналов, поступающие на входы и возникающие на выходах, принадлежат известным конечным множествам. Устройства осуществляют преобразования входных наборов сигналов в выходные.
Интересным подклассом дискретных преобразователей является класс устройств, в которых время преобразования существенно мало по сравнению с длительностью сигналов (или устройства, временем преобразования в которых можно пренебречь). Математической моделью таких устройств являются так называемые схемы из функциональных элементов [1].
Пусть E = {0,1,2}, n > 1, x = (,...,xn). Рассмотрим функции
f (Х1,..., xn): (E3)n ^ E3 , т.е. функции трехзначной логики.
Обозначим через P3 множество всех функций трехзначной логики и рассмотрим реализацию функций из P3 схемами из ненадежных функциональных элементов в базисе Россера - Туркетта {0, 1, 2, J0 (Х1), J1 (Х1), J2 (Х1), max{x1,x2},min{x1,Х2}}. Для краткости обозначим max{x1,Х2} через v , а min{x1, Х2} через &.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (номер проекта 11-01-00212а).
Будем считать, что схема из ненадежных элементов реализует функцию /(х), если при поступлении на входы схемы набора а при отсутствии неисправностей на выходе схемы появляется значение / (а) [2].
Предположим, что каждый элемент базиса на любом входном наборе а (а = (аі, а2)) таком, что /(а) =т, с вероятностью є (є є (0,1 / 2)) выдает
значение т = |1 и с вероятностью є выдает значение |1. Все элементы схемы переходят в неисправные состояния независимо друг от друга.
Пусть схема £ реализует функцию /(х). Обозначим через Р/.^(£, а)
вероятность ошибки на выходе схемы £ при входном наборе а , на котором /(а) =т . Таким образом, Р/.(аут (£, а) = Рт+і(£, а) + Рт+2(£, а) . Например, если схема £ реализует функцию /(х) и входной набор а является нулевым, т.е. /(а) = 0, то вероятность ошибки равна Р/.(~а^ (£, а) = Рі (£, а) + Р2 (£, а).
Ненадежностью схемы £ будем называть число Р( £) = = тах{Р/(а)^Т(£,а)} , где максимум берется по всем входным наборам а схемы £.
Рассмотрим функциональный элемент Е& с функцией &. Вычислим Ро,Рі,Р2 вероятности появления 0, 1, 2 соответственно на выходе элемента Е& (табл. 1).
Таблица 1
х1 х2 х1 & Ж2 Р0 Р1 Р2
0 0 0 1 - 2 є є є
0 1 0 1 - 2 є є є
0 2 0 1 - 2 є є є
1 0 0 1 - 2 є є є
1 1 1 є 1 - 2 є є
1 2 1 є є 2 - є
2 0 0 1 - 2 є є є
2 1 1 є 1 - 2 є є
2 2 2 є є 1 - 2 є
Замечание. Очевидно, что Р(Е&) = 2є, а надежность элемента Е& равна (1 - 2є).
Пусть /(х) - произвольная функция из Р3. Пусть £ - произвольная схема, реализующая /(х). Возьмем два экземпляра схемы £ и соединим их выходы со входами элемента Е с функцией е (рис. 1) [3].
Обозначим Р^ (В, а) - вероятность появления значения і на выходе В
при входном наборе а .
Справедлива лемма 1.
Рис. 1
Лемма 1. Пусть е = & (рис. 1); ро(5,а),р^З,а),р2(5,а) - вероятности
появления 0, 1, 2 соответственно на выходе схемы 5 при входном наборе а. Тогда вероятности появления неверных значений на выходе схемы В равны:
Р1 (5, а) = е + р2 (5, а)(1 - 3е) + Р1 (5, а)Р2 (5, а)(2 - 6г),
Р2 (5, а) = г + р2 (5, а)(1 - 3г) + 2Р1 (5, а)г - 2р2 (5, а)г,
если набор а такой, что /(а) = 0;
Ро (5, а) = е + р2 (£, а)(3е -1) + ро (5, а)(2 - 6е),
Р2(£, а)=£+р?,^, а)(1 -з£),
если набор а такой, что / (а) = 1;
Ро (5, а) = е + р1 (5, а)(3е -1) + ро (5, а)(2 - 6е),
Р1 (5, а) = е + р2 (5, а)(3е -1) + а1 (5, а)(2 - 6е) + ро (5, а)а (5, а)(6е - 2),
если набор а такой, что / (а) = 2.
Доказательство. Пусть входной набор а = (а1, а2,..., ап) схемы 5 такой, что /(а) = о, тогда правильное значение на выходе схемы В (см. рис. 1) равно о. Вычислим по формуле полной вероятности вероятности появления 1 и 2 на выходе схемы В:
Р1 (В, а) = р^е + 2роре + 2рор2е + р2 (1 - 2е) + 2р^ (1 - 2е) + р^е.
Так как ро = 1 - р1 - р2, то Р1 (В, а) = (1 - р1 - р2)2 е + 2(1 - р - р2)ре + 2(1 - р1 - р2)р2е +
+р12 (1 - 2 е) + 2 рр2 (1 - 2 е) + р2е = е + р2е + р2е - 2 ре - 2 р2е + 2 р^е +
+2ре - 2р2е - 2р^е + 2р2е - 2р^е - 2р|е + р2 - 2р2е + 2рр2 --4р1 р2е + р2е = е + р2 (1 - 3е) + р1 р2 (2 - 6е);
Р2( B, а) = р0 е + 2 ро р1е + 2 ро р2е + р2е + 2 р р2е + р2(1 - 2е). Учитывая, что ро = 1 - р - р2 , получим
Р2(В, а) = (1 -р -р2)2е + 2(1 -р -р2)ре + 2(1 -р -р2)р2е +
+р2е + 2 р р2е + р2(1 - 2е) =е + р12е + р2е- 2 р1е - 2 р2е + 2 р1 р2е +
2 2 2 2 +2 р1е - 2 р1 е - 2 р1 р^е + 2 р2е - 2 р1 р2е - 2 р2 е + р1 е + 2 р1 е +
+р2 - 2р^е = е + р2(1 - 3е) + 2Ре - 2р2е.
Пусть набор а = (а1,а2, ...,ап) такой, что /(а) = 1, тогда правильное значение на выходе схемы В (см. рис. 1) равно 1. Вычислим вероятности появления о и 2 на выходе схемы В:
Ро (B, а) = р0 (1 - 2е) + 2ро р1(1 - 2е) + 2рор2 (1 - 2е) + р1е + 2р р2е + р2е . Принимая во внимание, что р = 1 - ро - р2 , получим
Ро (В, а) = ро(1 - 2е) + 2ро (1 - ро - р2 )(1 - 2е) + 2рор2 (1 - 2е) +
+(1 - р0 - р2)2 е + 2(1 - р0 - р2)р2е + р^е = р0 - 2р0е + 2р0 - 2р2 - 2р0р2 --4рое + 4рое + 4рор2е + 2рор2 - 4рор2е + е- 2рое - 2р2е + 2рор2е +
+р^^е + р|е + 2 р2е-2 ро р2 е-2 р^е + р|е = е + ро(2 - 6е) + р0Ч3е-1);
Р2 (B, а) = р(}е + 2р0р1е + 2р0р2е + р12е + 2/1 р2е + р2 (1 - 2е) .
Так как р1 = 1 - ро - р2 , то
Р2 (В, а) = ро е + 2ро (1 - ро - р2 )е + 2рор2е + (1 - ро - р2)е + 2(1 - ро - р2 )р2е +
+р2 (1 - 2е) = р(} е + 2р0е - 2р0е - 2р0р2е + 2р0р2е + е + р0е + р^е - 2р0е -
-2р2е + 2р0р2е + 2р2е-2р0р2е-2р2е + р2 -2р2е = е + р2(1 -3е).
Пусть набор а = (а1, а2, ...,ап) такой, что /(а) = 2, тогда правильное значение на выходе схемы В (см. рис. 1) равно 2. Вычислим вероятности появления 0 и 1 на выходе схемы В:
Р0(B, а) = р0(1 - 2е) + 2р0р1(1 - 2е) + 2р0р2(1 - 2е) + р2е + 2р\р2е + р2е . Учитывая, что р2 = 1 - ро - р , получим
Ро(B, а) = р0(1 - 2е) + 2р0р (1 - 2е) + 2р0 (1 - р0 - р1)(1 - 2е) + р2е+ +2р1(1 -р0 -р1)е + (1 -р0 -р1)2е = е + р2(3е-1) + р0е(2 -6е);
Р1(B, а) = р2е + 2р0р1е + 2р0р2е + р12 (1 - 2е) + 2рр2 (1 - 2е) + р2е .
Так как р2 = 1 - ро - р1, то
Р1(В, а) = рое + 2рор1е + 2ро(1 - ро - р1)е + р12(1 - 2е) + 2р1(1 - ро - р1) х
Х(1 - 2е) + (1 - ро - р1)2 е = е + р2 (3е -1) + р1(2 - 6е) + ро/1(6е - 2).
Лемма доказана.
Рассмотрим функциональный элемент EV с функцией V . Вычислим вероятности ро, р1, р2 появления 0, 1, 2 на выходе элемента EV (табл. 2).
Таблица 2
*1 *2 *1 V *2 Р0 Р1 Р2
0 0 0 1 - 2 є є є
0 1 1 є 1 - 2 є є
0 2 2 є є 1 - 2 є
1 0 1 є 1 - 2 є є
1 1 1 є 1 - 2 є є
1 2 2 є є 1 - 2 є
2 0 2 є є 1 - 2 є
2 1 2 є є 1 - 2 є
2 2 2 є є 1 - 2 є
Справедлива лемма 2.
Лемма 2. Пусть е = V (рис. 1); ро(£,а),р^,а),р2(£,а) - вероятности
появления 0, 1, 2 соответственно на выходе схемы £ при входном наборе а . Тогда вероятности появления неверных значений на выходе схемы В равны:
Р1 (£, а) =е + р2 (£, а)(3е -1) + р1 (£, а)(2 - 6е) + р1 (£, а)р2 (£, а)(6е - 2),
Р2 (£, а) = е + р2 (£, а)(3е -1) + р2 (£, а)(2 - 6е), если набор а такой, что /(а) = 0;
Ро (£, а) =е + р2 (£, а)(1 - 3е) + 2ро (£, а)е + 2р2 (£, а)е,
Р2(£, а) = е + р2(£, а)(2-2е)-р%(1 + е), если набор а такой, что /(а) = 1;
Ро (£, а) = е + ро (£, а)(1 - 3е),
Р1 (£, а) = е + р2 (£, а)(1 - 3е) + ро (£, а)р (£, а)(2 - 6е),
если набор а такой, что /(а) = 2.
Доказательство аналогично доказательству леммы 1.
С помощью лемм 1 и 2 доказывается теорема 1.
Теорема 1. Пусть / (х) - произвольная функция, пусть схема £ реализует /(х) с ненадежностью Р(£). Тогда схема ^(£) (рис. 2) реализует функцию / (х) с ненадежностью
Р(у(£)) < тах {6е + 4е- Р(£, а) + 8Р2(£, а), 4е + 5е2 + 8еР(£, а) + 8Р2(£, а),
а
2е + 4е2 + 16еР(£, а) + 12Р2(£, а)}.
Доказательство. Пусть /- произвольная функция из Р3. Для построения схемы у(£) возьмем два экземпляра схемы В (рис. 1) и соединим их выходы со входами элемента EV (рис. 2).
Рис. 2
Пусть набор а = (а1, а2, ...,ап) такой, что /(а) = 0, тогда правильное значение на выходе схемы у(£) (рис. 2) равно 0. Используя результаты леммы 2, найдем вероятности появления 1 и 2 на выходе схемы у(£):
р1 (у(£), а)=е+р12 (в, а)(3е -1)+р1 (в, а)(2 - 6е)+
+Р1 (В, ~а)Р2 (В, а)(6е - 2) < е + 2Р1 (В, а);
Р2 (у(£), а) = е + Р22 (В, а)(3е -1) + Р2 (В, а)(2 - 6е) <е + 2Р2 (В, ~а).
Подставим значения для Р1 (В, а) и Р1 (В, а) из леммы 1 в случае, когда набор а = (аь а2,...,ап) такой, что /(а) = 0 :
р1 (у(£), а) <е+2Р1 ( в, а)=е+2(е+р2 (£, а)(1 - 3е)+
+р1(£, а)р2(£, а)(2 - 6е)) < 3е + 2р2^, а) + 4р(£, а)р2(£, а);
Р2 (у(£), а) <е + 2Р2 (В, а) <е + 2(е + р2 (£, а)(1 - 3е) +
+2р1 (£, а)е) < 3е + 2р2 (£, а) + 4р1 (£, а)е.
Пусть набор а = (а1, а2, ...,ап) такой, что /(а) = 1, тогда правильное значение на выходе схемы у(£) (см. рис. 2) равно 1. Используя результаты леммы 2, найдем вероятности появления 0 и 2 на выходе схемы ^(£):
Р0 (у(£), а) = е + Р02 (В, а)(1 - 3е) + 2Р0 (В, а)е + 2Р2 (В, а)е < <е + р (В, а) + 2Р)(В, а)е + 2Р2 (В, а)е, р2 (^( £), а )=е+р2 ( в, а )(2 - 2е) - р22 ( в, а )(1+е) < е+2 р2 ( в, а ).
Подставим значения для Ро (В, а) и р (В, а) из леммы 1 в случае, когда набор а = (а1, а2, ..., ап) такой, что /(а) = 1:
Р (^(£), а ) <е + Ро (В, а ) + 2Ро (В, а )е + 2р (В, а )е <
<е + (е + 2ро (£, а))2 + 2(е + 2ро (£, а))е + 2(е + 2р2 (£, а))е =
= е + 5е + 8ро (£, а)е + 4ро (£, а) + 2Р2 (£, а);
Р2 (у(£), а) < е + 2Р2 (В, а) < е + 2(е + 2р2 (£, ~а)) = 3е + 2р2 (£, а).
Пусть набор а = (а1, а2, ...,ап) такой, что /(а) = 2, тогда правильное значение на выходе схемы ^(£) (см. рис. 2) равно 2. Используя результаты леммы 2, получим, что вероятности появления 0 и 1 на выходе схемы ^(£) равны:
Ро м £), а )=е+Ро2 ( в, а )(1 - 3е) < е+Ро2 ( в, а ), р1 (у(£), а )=е+р2 ( в, а )(1 - 3е)+р0 ( в, а )р1 ( в, а )(2 - 6е) < <е + р (В, а) + 2Ро (В, а)р[ (В, а).
Подставим значения для Ро (В, а) и Р1 (В, а) из леммы 1 в случае, когда набор а = (а1, а2, ..., ап) такой, что /(а) = 2:
а)<е + (е + 2ро(£, а))2 =е + е2 + 4еро(£, а) + 4Ро(S, a), Р1 (^( £), а ) <е+Р12 ( в, а )+2 Ро ( в, а ) р ( в, а ) <
<е + (е + 2р(£, а ))2 + 2(е + 2Р1 (£, а))(е + 2ро (£, а)) =
= е + 3е2 +8р(£, а)е + 4ро(£, а) + 8ро(£, а)р1(£, а).
Найдем вероятности ошибок на выходе схемы у(£):
Р/(а^0 (^, а) = Р1 (£, а) + Р2 (£, а) < 6е + 2р2 (£, а) + +4р (£, а)р2(£, а) + 2р2(£, а) + 4р (£, а)е.
Следовательно,
Pf (ayo (¥(s), а) < бе+sp2 (s, а)+4е • P(s, а);
Pf (ayi(V(S), а) = Po(V(s), а) + P2(¥(S), а) < 4є + 5є2 + Sepo(S, a) + +4po(s, a) + 4p2 (S, a)<4є + 5є2 + SeP(s, a) + SP2(S, a);
Pf (a)^2(¥(sX a) = Po(¥(s), a) + Pi(¥(s), a) <є + є2 + 4e' po(s, a) + +4pq (s, a)+є+Зе2 + Se • pi (s, a) + 4po (s, a)e+spo (s, a)pi (s, a) < < 2e + 4e2 + 1беP(S, a) +12P2 (S, a).
Так как P(S) = max{Pf (ayx(S,a)} , то
P(y(S)) < max {бе + 4є- P(S, a) + SP2(S, a), 4є + 5є2 + SeP(S, a) + SP2(S, a),
a
2є + 4є2 +1беР(S, a) + 12P2(S, a)}.
Теорема i доказана.
С помощью теоремы i доказывается теорема 2.
Теорема 2. Любую функцию f (xi, x2,...,xn) можно реализовать такой
схемой А, что при всех еє(0,1 /S• Зn • (2n + l)(l + Зn • 4(2n + 1))
верно нера-
венство
P(S) < 6e + 420e2 .
Доказательство. Рассмотрим представление произвольной функции f (xj, Х2,...,xn) e P3 в первой форме:
f(xj,...,xn) = max (/Ci(x1)&...&Ic (x„)&f(оь...,<3n)).
(o1,...,o„ у 1 n
Промоделируем формулу схемой S, используя 3n • (2n +1) элементов:
P(S) < 3n • (2n + 1) 2e . (1)
По условию e< 1 / (8 • 3n (2n +1)(1 + 3n • 4(2n +1))). Нетрудно проверить,
что 1/ (8 • 3n (2n +1)(1 + 3n • 4(2n +1))) < 1/ (2 • 3n (2n +1))2. Поэтому справедливы неравенства e< 1/(4 • 32n (2n +1)2) и yfe < 1/(2 • 3n (2n +1)). Подставляя
последнее неравенство в формулу (1), получаем
P(S) <yfe. (2)
Возьмем четыре экземпляра схемы S и построим схему y(S) (см. рис. 2). По теореме 1 оценим ненадежность схемы y(S) и получим
P(y( S)) < max{6e + 4е • Ve + 8е2, 4е + 5е2 + 8е • л/ё + 8е2,
2є + 4є +16є- л/є + 12є } — 6є + 4є- + 8є2.
Нетрудно проверить, что л/є + 2є < 1 / 4, поэтому
Р(у(Б)) < 6є + 4є • л/є + 8є2 < 7є.
Выполним еще одну итерацию и построим схему )), заменив на
рис. 2 схему Б схемой у(Б). Тогда
Р(у(у(Б)) < 6є + 4є • 7є + 8 • (7є)2 < 6є + 420є2 .
Следовательно, схема ^(^( Б)) - искомая схема А.
Теорема 2 доказана.
Таким образом, любую функцию /(л^, Х2,...,хп) є Р3 при п (а следовательно, 8^0) можно реализовать схемой, ненадежность которой асимптотически не больше 6є. Тем самым доказана принципиальная возможность построения надежных схем в Р3.
Список литературы
1. Яблонский, С. В. Введение в дискретную математику / С. В. Яблонский. - М. : Наука, 1986. - 384 с.
2. Алехина, М. А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем / М. А. Алехина. - Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2006. - 156 с.
3. Васин, А. В. Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {х & у, х V у, х} при инверсных неисправностях на выходах элементов / А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2008. - № 4. - С. 3-17.
Алехина Марина Анатольевна
доктор физико-математических наук, профессор, заведующая кафедрой дискретной математики, Пензенский государственный университет
E-mail: dm@pnzgu.ru
Барсукова Оксана Юрьевна
аспирант, Пензенский государственный университет
E-mail: dm@pnzgu.ru
Alekhina Marina Anatolyevna Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of discrete mathematics,
Penza State University
Barsukova Oksana Yuryevna
Postgraduate student,
Penza State University
УДК 519.718 Алехина, М. А.
О надежности схем, реализующих функции из р / М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 1 (21). - С. 57-65.
