О мощности финально компактного $t_1$-пространства счетного псевдохарактера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2015. Том 22, № 1

УДК 513.83

О МОЩНОСТИ ФИНАЛЬНО КОМПАКТНОГО ^-ПРОСТРАНСТВА СЧЕТНОГО ПСЕВДОХАРАКТЕРА П. В. Черников

Аннотация. А. В. Архангельский сформулировал проблему: оценить мощность финально компактного Ti-пространства X счетного псевдохарактера. В работе получена такая оценка, а именно доказано, что |X| < в, где в — первый измеримый кардинал. Оценка точная.

Ключевые слова: счетно полный ультрафильтр, финально компактное пространство.

P. V. Chernikov. Cardinality of a Finally Compact Ti-Space.

Abstract: A. V. Arkhangel'skii posed the problem: Estimate the cardinality of a finally compact Ti-space X of countable pseudocharacter. We obtain such an estimate; namely, we prove that |X| < в, where в is the first measurable cardinal. The estimate is sharp. Keywords: countably complete ultrafilter, finally compact space.

1. Приведем необходимые определения. Топологическое пространство X называется финально компактным, если каждое открытое покрытие пространства X содержит счетное подпокрытие этого пространства.

Говорят, что топологическое пространство X имеет счетный псевдохарактер, если всякая точка пространства X представима в виде пересечения счетного числа открытых множеств.

Ультрафильтр Б над множеством А называется счетно полным, если для

оо

любых Аг € Б, г = 1, 2,..., множество р| А^ принадлежит Б.

г=1

Мощность множества X называется измеримым кардинальным числом, если над X существует нетривиальный счетно полный ультрафильтр.

В [1, с. 34] сформулирована проблема: оценить мощность финально компактного Тх-пространства счетного псевдохарактера.

В начале 80-х годов прошлого века И. Юхас и П. В. Черников независимо установили, что если X — финально компактное Тх-пространство счетного псевдохарактера, то IX| < в, где в — первый измеримый кардинал [2, с. 31; 3]. Юхас привел это утверждение без доказательства. Доказательство автора содержится в малодоступной работе [3]. В данной работе мы приводим это утверждение с доказательством. Оно решает сформулированную проблему.

Далее потребуется

© 2015 Черников П. В.

90

П. В. Черников

Лемма. Пусть А — произвольное непустое множество, Б — счетно полный ультрафильтр над А, X — финально компактное ^-пространство счетного псевдохарактера, / € XА. Тогда существует единственная точка жо € X такая, что для всякой окрестности V точки жо

(г : /(г) € V} € Б.

Доказательство. Пусть для всякой точки ж € X существует окрестность V; такая, что (г : /(г) € Vx} € Б. Пространство X финально компактно, поэтому можно выбрать счетное подпокрытие (УХП покрытия (УХ}Хех пространства X. Поскольку

о

и (г : /(г) € Ух„ } = А,

П=1

найдется номер то, для которого (г : /(г) € УХт} € Б. Противоречие. Таким образом, существование точки жо установлено.

Докажем единственность. Пусть существуют две различные точки ж1; ж2 € X, обладающие указанным свойством. Имеем

о

(ж;} =П , 3 = 1, 2,

п=1

где <гП — открытые подмножества пространства X (п = 1, 2,...). Следовательно,

А; = (г : /(г) = ж;} = р| {г : /(г) € € Б, з = 1, 2.

П=1

Пусть го € А1 П А2. Тогда /(го) = ж1, /(го) = ж2. Противоречие. Лемма доказана.

Точка жо называется Б-пределом функции / € XА [4]. Обозначим эту точку, следуя [4], через Б-Иш /.

Теорема 1. Пусть X — финально компактное Т1-пространство счетного псевдохарактера. Тогда IX | — неизмеримое кардинальное число.

Доказательство. Пусть Б — счетно полный ультрафильтр над множеством X, id : X ^ X — тождественное отображение. Пусть жо = -0-Иш1(^ По условию существуют открытые множества <т„, п > 1, в X такие, что (жо} =

оо

р| <г„. При всех п > 1 имеем <г„ € Б, поэтому (жо} € Б, т. е. Б — главный

п=1

ультрафильтр. Теорема доказана.

Таким образом, если X — финально компактное ^-пространство счетного псевдохарактера, то IX | < в, в — первый измеримый кардинал.

Ранее этот результат был известен в случае, когда X — регулярное финально компактное пространство счетного псевдохарактера [1, с. 34; 5, гл. IV, задача 119].

Замечание. И. Юхас в [2] показал, что для всякого множества XI], < в, существует финально компактное ^-пространство X* счетного псевдохарактера такое, что ^о! < IX*| < в. Отсюда следует, что полученная (выше) оценка IX| < в точная.

2. Остановимся на сходимости Б-пределов.

О мощности финально компактного Т\ -пространства

91

Теорема 2. Пусть A — произвольное непустое множество, D — счетно полный ультрафильтр над A, X — финально компактное ^-пространство счетного псевдохарактера, {/„}0=;l С XA, / G XA. Для того чтобы последовательность {D-lim /„}0=i сходилась к точке D-lim /, необходимо и достаточно, чтобы

S = {г G A : lim /„(г) = /(г)} G D.

Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность {Б-Иш /п} сходится к точке Б-Иш /. Пусть ап = Б-Иш /п, п > 1, ао = Б-Иш /. Найдется счетное семейство открытых в X множеств {^П}0=1 такое, что

о „}„=i

{а„} = f| ст„ (n = 0,1,...).

k=i

Имеем

о

M„ = {г G A : /„(г) = а„} = f| {г G A : /„(г) G а„} G D, n > 1,

=i

Mo = {г G A : /(г) = ас} = f) {г G A : /(г) G G D.

=i

оо

Л4

„

Пусть M = П M„ G D. Если г0 G M, то

„=o

/п(го) = а„ ^ ао = /(го).

Следовательно, 5 Э М и, значит, Б € Б.

Достаточность. Пусть множество Б принадлежит Б. Покажем, что тогда последовательность {Б-Иш /п}00=1 сходится к точке Б-Иш/. Пусть ап = Б-Иш /п, п > 1, ао = Б-Иш /. Найдется счетное семейство открытых в X множеств {Пп}0=1 такое, что

о

{ап} = П УТ (п = 0,1,...).

=1

Имеем

о

Мп = {г € А : /п(г) = ап} = П {г € А : /п(г) € У,™} € Б, п > 1,

=1

Мо = {г € А : /(г) = ао} = р| {г € А : /(г) € У°} € Б.

=1

Имеем также

о

М = Р| Мп € Б, 5 П М € Б.

п=о

Если го € 5П М, то последовательность {Б-Иш/п}00=х сходится к точке Б-Иш/. Теорема доказана.

Сходимость Б-пределов рассматривается также в [6,7].

92

П. В. Черников

ЛИТЕРАТУРА

1. Архангельский А. В. Строение и классификация топологических пространств и кардинальные инварианты // Успехи мат. наук. 1978. Т. 33, № 6. С. 29—84.

2. Juhasz I. Cardinal functions in topology-ten years later. Second ed. Amsterdam: Math. Centrum, 1980.

3. Черников П. В. О счетно полных ультрафильтрах. М., 1984. Деп. в ВИНИТИ, № 3206-84Деп. Аннот.: Сиб. мат. журн. 1985. Т. 26, № 4. С. 201-202.

4. Кейслер Г. Дж., Чэн Чень-чунь. Теория непрерывных моделей. М.: Мир, 1971.

5. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.

6. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

7. Черников П. В. Об элементарных теориях, пространстве моделей и D-пределах // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С. 155-158.

Статья поступила 10 января 2015 г.

Черников Павел Васильевич Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090