О МОДЕЛИРОВАНИИ ОДНОКАНАЛЬНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ МОМЕНТОВ ВРЕМЕНИ ПОСТУПЛЕНИЯ ЗАЯВОК И ИХ ОБСЛУЖИВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.А. Смагин

доктор технических наук, профессор

Я.Н. Гусеница

кандидат технических наук

Военно-космическая академия имени А.Ф. Можайского

О МОДЕЛИРОВАНИИ

ОДНОКАНАЛЬНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ МОМЕНТОВ ВРЕМЕНИ ПОСТУПЛЕНИЯ ЗАЯВОК И ИХ ОБСЛУЖИВАНИЯ

АННОТАЦИЯ. Предлагается модель одноканальной системы обслуживания с произвольными распределениями моментов времени между поступающими требованиями и моментов времени их обслуживания. В основу модели положено использование преобразований Лапласа для изображения вероятностей состояний системы, а также применение принципа вероятностного баланса при составлении уравнений для изображений вероятностей состояний системы. Предлагаемая модель позволяет исследовать переходный процесс в системах, которые называются нестационарными.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: нестационарная система обслуживания, произвольные распределения, вероятность состояния, граф состояний, преобразование Лапласа, принцип баланса изображений вероятностей, рекуррентные уравнения.

Введение

Значительная часть исследований эффективности вычислительных систем посвящена изучению их функционирования в стационарном режиме. Широкое применение нашли модели и методы стационарной теории массового обслуживания. Однако в интересах многих приложений представляет интерес исследование с теоретической точки зрения функционирования систем обслуживания с изменяющейся интенсивностью рабочей нагрузки в переходных, нестационарных режимах работы. Решение этой задачи позволяет оценивать поведение систем в случае пиковых динамических нагрузок, переходных нестационарных процессах и принимать необходимые меры по повышению качества работы управляющих систем.

Модели функционирования систем с изменяющейся интенсивностью рабочей нагрузки и методы их расчета рассматривались, например, в работах [1—3]. Однако в практическом при-

менении они сложны и громоздки. Поэтому в работе [4] предлагался инженерный метод оценивания качества функционирования систем с изменяющейся интенсивностью рабочей нагрузки в переходном режиме. Рассматривалась следующая математическая модель.

На вход одноканальной системы последовательно поступало N заданий. Распределение временных интервалов между моментами поступления заданий, а также моментами обработки заданий описывалось экспоненциальными законами с интенсивностями, зависящими от номеров заданий. Предусматривалась системная память — накопитель очереди. Составлялся марковский граф состояний и переходов, по нему — система дифференциальных уравнений, которая затем решалась при заданных начальных условиях. В заключение предлагалось расширить область применения модели за счет использования различных аппроксимаций распределений, позволяющих снять ограничения об экспонен-циальности распределений.

МЕАП ОБ СОММИШСЛАОМ Е((и ШМЕОТ. Ъй. 2 (142). 2018

В последующих работах этого направления подобные модели получили название моделей нестационарных систем массового обслуживания. В качестве примера сделаем ссылку на монографию [5], в которой изучены разнообразные нестационарные одноканальные и многоканальные модели с различными видами мар-ковизации распределений между поступающими заявками и длительностями их обслуживаний.

Недавно Бубновым В.П. и Ереминым А.С. предложено расширение свойств нестационарной модели за счет учета в ней времени задержки на обслуживание. Ими построен соответствующий процессу граф, записана и решена система дифференциальных уравнений. Однако предложенная модель является марковской, у которой оба распределения экспоненциальны, а задержка времени постоянна.

В настоящей работе представлены принципы построения немарковской модели одноканаль-ной нестационарной системы с произвольными распределениями моментов времени поступления заявок и их обслуживания, а также описан путь для учета различных видов временных задержек в системе.

Математическая формализация модели

В соответствии с работой [5] изобразим граф состояний и переходов одноканальной системы обслуживания на рис. 1. В отличие от графа [5], данный граф содержит переходы — стрелки

вниз, связанные не с интенсивностями поступления в систему прибывающих заявок X , а с изображениями по Лапласу плотностей вероятностей времени между заявками а* ^), у которых * s — обозначения символа преобразования и комплексной переменно Лапласа. Переходы — стрелки слева направо под углом также связаны не с интенсивностями обслужи-ваний прибывших заявок ц , а с изображениями по Лапласу плотностей вероятностей времен их обслуживания — Ь*^). Благодаря такому представлению мы стремимся перейти от марковских случайных процессов к немарковским. Однако для такого перехода нам потребуется не модель дифференциальных уравнений типа «гибели и размножения», а другая математическая модель — модель «комплексного представления вероятностей».

Для простоты представления формализации системы обслуживания здесь рассмотрим только модель системы с одинаковыми параметрами переходов а*^), Ь*^), связывающих все состояния на графе.

Сначала рассмотрим для доказательства справедливости «комплексной формализации» самый простейший граф. Для этого изобразим два графа на рис. 2 и 3.

Граф, показанный на рис. 2, имеет два состояния с возможными многократными переходами между ними (замкнутый граф). Граф,

Рис. 1. Граф состояний и переходов нестационарной системы обслуживания

Рис 2. Замкнутый граф обслуживания

Рис. 3. Разомкнутый граф обслуживания

показанный на рис. 3, имеет три состояния, только с двумя возможными переходами между ними (разомкнутый граф). Для этих графов вероятности состояний, представленные в комплексном виде, принимают следующие формы записи:

№ад=

Р*(э) =

5(1 - а^)Ь (5))

а*(я) 5(1 - а*(5)Ь*(5))'

) =

а*(5)Ь*(5)

5(5 + X + -) X

5 + Х'

X

Р!*(5) =---. Я,» = -

5(5 + Х + Ц) (5 + -)(5 + X)

-X

Щ(5 ) = -

5(5 + Ц)(5 + X)

Далее от выражений (3) перейдем к их представлению с учетом зависимости от времени:

^5) = а (5 )(1 - ь* (5 )), (1)

, (3)

Р>С) =

-

X

ц+Х ц+X

е, е0({) = е

-X*

Р1Ю = -+7^1 - е""^' 1. К1«) =

ц + XL J

X(е-Xt - е )

--X

) = 1 -

-а.* ^--

--X

(4)

Нетрудно убедиться, что

(*)=- - '=1 • (2)

Формулы (2) подтверждают правильность определения изображений Лапласа для вероятностей рассматриваемых событий.

Для наглядности представления (1) запишем формулы при экспоненциальных распределениях. Будем иметь:

Р0(5) = , 5 + - ч, %(5) = 1

Для изображения кривых (4) на графиках примем X = 0,3 ч -1, - = 0,1 ч -1.

Графики кривых показаны на рис. 4 и 5. Они наглядно поясняют различие двух случайных процессов для графов, показанных на рис. 2 и 3.

Для дальнейшей формализации модели графа на рис. 1 нам потребуется введение двух условных вероятностей переходов, определяющих выбор дальнейшего движения случайного процесса из состояний графа, имеющих разветвления.

Пусть плотности вероятности а(1) соответствует функция распределения

ЛЦ) = } а(1 №.

О 20 40 60 80 t

Рис. 4. Зависимость вероятностей состояний от времени для замкнутого графа

О 20 40 60 80

Рис. 5. Зависимость вероятностей состояний от времени для разомкнутого графа

5

Кроме того пусть плотности вероятности b(t) соответствует функция распределения

B(t) = } b(z )dz.

о

Тогда условная вероятность выбора предпочтения из двух событий, заключающихся в поступлении новой заявки в систему или обслуживание в ней имеющейся заявки, будет определяться так:

— вероятность выбора поступления новой заявки

а

= J B (z)dA(z),

где В (/) = 1 - В (/);

— вероятность выбора обслуживания имеющейся заявки

р = | Л(г ^В^),

0

где Л^) = 1 - ЛЦ).

Для экспоненциальных распределений имеем

а = -

ц + Х

в =

Ц

ц + Х

Для того чтобы показать необходимость применения введенных условных вероятностей, рассмотрим более сложный подграф, заимствованный из графа на рис. 1.

По графу на рис. 6 составим следующие изображения Лапласа вероятностей состояний:

Ь (о

в у® ф

« (.V) в

Рис. 6. Граф состояний и переходов нестационарной системы обслуживания

1 - a*(s)

a* (s)[а(1 - a* (s)) + p(1 - b* (s))]

a*(s )pb * (s)

a(a*(s ))2

(5)

P0o(s) =

Pl0(s ) =

P0l(s) =

p2o(s ) =

Суммируя формулы (5), получаем:

У . .Р? - = — , что подтверждает правильность вы" s

полненных формул.

Можно было бы рассмотреть и другие, более сложные подграфы графа на рис. 1, но мы ограничимся приведенными случаями.

Вместе с тем, практический интерес представляет подграф, содержащий хотя бы один узел с двумя входами и двумя выходами. Поэтому далее мы рассмотрим узел с четырьмя связями с другими узлами и приведем общую формулу, связывающую все необходимые изображения Лапласа для смежных вероятностей. На рис. 7 изображен подобный подграф.

В соответствии с изображением связей на данном графе общая формула может быть записана в следующем виде:

((s ) + pb* (s))) (s ) = = aa* (s)p-i,j (s) + pb* (s)p+i,.(s).

(6)

Для того, чтобы пользоваться формулой (6) при вычислении требуемых показателей по графу на рис. 1, ее необходимо дополнить формулами для тех подграфов, которые не имеют четырех связей. Такими подграфами являются подграфы с состояниями I, 0 и подграфы с состояниями 0, -для I, - = 1,2,3,.... Для них соответствующие формулы связи записываются в виде:

((s ) + Pb* (s))) (s ) = = aa* (s)p.-i,o (s) + pb* (s) . a' (s К j (s ) = Pb * (s )p*j.-i (s).

(7)

Изображение Лапласа вероятности состояния для начального узла с индексом 00 всегда равно:

1 - а* ^)

Ро>) = -

(8)

s

s

s

s

s

Правило записи выражений (6—8) можно назвать правилом вероятностного баланса в изображении Лапласа для узлов состояний. Оно аналогично правилу вероятностного баланса для узлов состояний марковской схемы «гибели и размножения».

Основные вычислительные возможности модели

Следует указать на то, что на графе рис. 1 строки определяют числа поступивших заявок в систему, а столбцы — числа обслуженных в ней заявок. Если выделить узел графа с номером i, ] , то вероятность и ее изображение по Лапласу соответствуют такому состоянию системы, когда в нее поступило i заявок, из которых у заявок было обслужено. Чтобы определить математическое ожидание числа заявок, поступивших в систему при числе обслуженных заявок, равном нулю, следует применить формулу:

^О - X кРк,0 , к=0

(9)

где Pi0 — стационарная вероятность поступления в систему ровно i заявок, при условии, что ни одна из них не была обслужена, а верхний индекс (1) означает, что определяется первый начальный момент числа поступивших заявок.

Если необходимо определить математическое ожидание числа поступивших заявок i при условии, что у < i из них было обслужено, то можно воспользоваться формулой:

,(1) _

-X кРк

к=0

к, ]

(10)

где Р ^ — стационарная вероятность поступления в систему к заявок в г'-м столбце графа, или иначе — при условии, что ] заявок из числа поступивших заявок было обслужено.

Подобным образом можно определять и другие необходимые начальные моменты.

В том случае, когда граф является конечным и достаточно простым по сложности, можно применять прямое и обратное преобразование Лапласа и находить представление вероятностей во временной области. Однако это следует рассматривать как исключение для модели, которая в основном ориентирована на получение стационарных вероятностей состояний.

Об исследовании моделей систем обслуживания с временными задержками

В предлагаемой здесь модели учет задержек можно производить принципиально достаточно просто. Задержка может быть как в начале поступления заявки в систему, так и в ее конце. Также задержка может быть в начале и в конце времени обслуживания. В любом из этих случаев можно воспользоваться изображением свертки нужных плотностей вероятностей в преобразовании Лапласа. Свернутую плотность далее нужно подставить в модель графа и поступать так, как было изложено в данной работе. Вырожденное распределение здесь также легко учитывается. Кроме того, при необходимости может учитываться и достоверность контроля состояний в модели.

Замечание об использовании в модели неодинаковых распределений вероятностей

В указанном случае предложенная модель принципиально остается работоспособной, но процесс получения необходимых численных решений значительно усложняется.

Что касается вопроса применимости модели для многоканальных систем обслуживания, то ответ на него остается открытым для исследования. Здесь для более подробного ознакомления состояния вопроса рекомендуется работа [6].

Пример

Произведем численные расчеты для определения вероятностей состояний подграфа, изображенного на рис. 6, и представим их временные зависимости графически. Для этого воспользуемся изображениями вероятностей четырех состояний формулами (5). Примем следующие исходные данные. Законы распределения нормальные. Плотность вероятности времени между поступающими заявками

/ «) = -

1

Ц-т)2 ' 2а2

с параметрами т = 20 ч,

а = 5 ч. Плотность вероятности времени обслу-

живания заявки g(t) =

1

еТ2Л

с-п)2 2е2

с параме-

трами п = 15 ч, е = 3 ч. Соответствующие функции распределения равны:

А($) = |/(№, В^) = jg(z№.

Однако легко убедиться, что численное вычисление выражений (5) в среде Mathcad невозможно. Вероятно, это обусловлено сравнительно слабым представлением выражений для прямого и обратного преобразований Лапласа в данной среде, что даже при «слабых» изображениях вычисления занимают порядка несколько часов времени. Поэтому воспользуемся одним из приближенных методов аппроксимации плотностей вероятностей [7], который назван методом гипердельтной аппроксимации. Для приближенного представления по методу моментов воспользуемся четырьмя начальными моментами, включая и нулевой момент. Тогда в новых обозначениях для нормального закона распределения будем иметь:

a(t) = |(5(t -15) + S(t - 25)),

b(t) = ^(t -12) + S(t -18)),

Ф(х) = } S(t)dt.

Условные вероятности переходов находятся по формулам:

а = J (1 -A(z ))g(z )dz = 0,804,

о

ß = J (1 -G (z ))dz = 0,196.

(13)

Изображения Лапласа вероятностей аппроксимированных плотностей вероятностей (11) будут равны:

a* (s) =1 2

е"15s +

b*(s) = -2

е-12 s +

(е-15 s) (е-12s)

(14)

Далее, применяя обратное преобразование Лапласа, найдем все необходимые вероятности четырех состояний (5):

(11) Роо (() = 1 - 1(Ф((-25) + Ф((-15));

где §(•) — дельта-функция Дирака.

Для получения (11) используется формула для нормальной плотности вероятности

f (t) ~ — (8(t -т + о) + 8)(t -т - о)), которая приведена в работе [7]. Функции распределения для (11) будут равны:

Л($) = 2(Ф(/ -15) + - 25)),

B(t) = ^(Ф((/-12) + Ф(t-18)), (12) где Ф(^) — функция Хевисайда, равная

Р10 () = 0,5Ф ( - 25,0) - 0,201Ф (- 37,0)--0,098Ф (t - 40,0) - 0,201Ф ((- 43,0) --0,049Ф ( - 50,0) - 0,201Ф ( - 33,0)--0,201Ф ( - 27,0) - 0,049Ф ( - 30,0) + + 0,5 Ф(( -15,0);

Р01 () = 0,201Ф ( - 33,0) + 0,201Ф (- 37,0) + + 0,201Ф ((- 43,0) + 0,201Ф( - 27,0);

Р20 () = 0,049Ф ( - 30,0) + 0,098Ф (t - 40,0) +

+ 0,049Ф( - 50,0). (15)

На рис. 8 показаны графики вероятностей, а на рис. 9 — сумма этих вероятностей.

'•W ип

4,(1)

г,м

1 - 1 т

! -1

5 " Г1:

1 1 - ■

20

40

60

t

Рис. 8. Графики вероятностей состояний

t

Рис. 9. Графики суммы вероятностей состояний

Заключение

В настоящее время исследование переходных процессов в вероятностных системах обслуживания более известных, как нестационарные вероятностные процессы, является достаточно актуальным.

В отличие от моделей исследования нестационарных систем, существенно опирающихся на экспоненциальные распределения, в данной работе предлагается модель с использованием произвольных распределений вероятностей. Математическая формализация модели основана не на применении классической модели «гибели и размножения» во временной области, а на формальном представлении вероятностей состояний систем в преобразовании Лапласа, то есть в комплексном виде.

Корректность модели подтверждается правильностью записи «комплексных вероятностей состояний» на отдельных подграфах состояний системы, выполнением условия нормирования полной суммы этих показателей.

Даются рекомендации расчета частных показателей качества систем. Предлагается учитывать в модели обслуживания различного вида временные задержки, случайные или детерминированные. Делается замечание о возможности учета в модели систем достоверности контроля состояний. Утверждается о применимости модели в системах с наборами различных распределений времени между заявками и времени обслуживания. В то же время применимость модели для многоканальных систем требует дальнейшего исследования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сигалов Г.Г. Влияние параметров надежности на эффективность локальной вычислительной сети с радиальной структурой / Г.Г. Сигалов, Г.В. Николаева, А.М. Люперсольский // Автоматика и вычислительная техника, 1985. — № 4, с. 35-42.

2. Горов Г.В. Диффузионно-скачкообразная аппроксимация в однолинейных системах с прерыванием обслуживания и переменном режиме поступления заявок / Г.В. Горов, Я.А. Коган, Н.В. Парадизов // Автоматика и телемеханика, 1985. — № 6, с. 44-51.

3. Алимов Д. Одноканальные системы с очередью в случае переменных интенсивностей поступления и обслуживания требований / Дис. канд. физ. - мат. наук. — Киев, 1980.

4. Бубнов В.П. О загрузке вычислительной системы с изменяющейся интенсивностью поступления заданий / В.П. Бубнов, В.И. Сафонов, В.А. Смагин // Автоматика и вычислительная техника, 1987. — № 6, с. 19—22.

5. Бубнов В.П. Разработка динамических моделей нестационарных систем обслуживания / В.П. Бубнов, В.И. Сафонов. — СПб.: изд. «Лань», 1999.

6. Smagin V.A. Complex Delta Function and Its Information Application. — ISSN 0146—4116, Automatic Control and Computer Sciences, 2014, Vol. 48, No. 1, pp. 10-16. © Allerton Press, Inc., 2014.

7. Смагин В.А. О моделировании случайных процессов на основе гипердельтного распределения / В.А. Смагин, Г.В. Филимонихин // Автоматика и вычислительная техника, 1990. — № 5. — с. 25—31.