О моделировании безынерционных систем в условиях комбинированной априорной информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62.501

О МОДЕЛИРОВАНИИ БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ КОМБИНИРОВАННОЙ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ

М. В. Кузьмин

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: kuzminmv95@mail.ru

Рассматривается задача идентификации многомерной безынерционной системы: компоненты вектора выходных переменных стохастически зависимы, априорная информация о каналах связи соответствует различным уровням неопределённости.

Ключевые слова: непараметрические алгоритмы управления, априорная информация, много-связность, комбинированная система, прогнозирование.

ABOUT MODELING OF FREEWHEELING SYSTEMS IN CONDITIONS OF COMBINED PRIOR INFORMATION

M. V. Kuz'min

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: kuzminmv95@mail.ru

The problem of identification of a multidimensional free-wheeling system for the case where the components of the output variables are stochastically dependent. Priori information about the link multidimensional system corresponds to the level of different uncertainty.

Keywords: nonparametric control algorithms, prior information, multiply, combination system, forecasting.

В настоящее ничуть не уменьшается роль идентификации безынерционных систем с запаздыванием [6; 7]. В качестве особенности здесь выступает то, что измерения некоторых компонент вектора выходных переменных осуществляется через значительные интервалы времени, превышающие время, необходимое для установления переходного процесса. Например, при протекании динамического процесса в течение 15-20 минут, контроль выходных переменных, в силу несовершенства измерительного оборудования или иных факторов, может быть осуществлён только уже после завершения процесса. В этом случае объект естественно рассматривать как безынерционный с запаздыванием.

Рассмотрим объект, на вход которого поступает вектор входных переменных: u(t) = ux (t), ... , un (t))e(u) Rn, на выходе наблюдаем вектор выходных переменных

x(t) = (xl(t), ... , xm (t)) e(x) Rm, х(t) - выход модели, обе переменные контролируются в дискретные моменты времени через интервал At. Схема такого объекта приведена на рисунке.

В ходе исследования объекта, может быть получена (средствами контроля Ии и Hx ) выборка наблюдений (обучающая выборка): xi = (хг1...xim), ui = (un ...uin), i = 1, s, где s - объём выборки; ^(t) - вектор случайных воздействий, действующих на объект. Случайные помехи hu (t) и hx (t),

действующие в каналах измерений имеют нулевое математические ожидания и ограниченную дисперсию.

Однако, помимо выборки наблюдений, для построения модели будет использована информация другого уровня неопределённости. Относительно некоторых каналов исследуемого процесса из имеющейся априорной информации известна параметрическая структура модели. Модели, исполь-

Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2016. Том 1

зующие информацию различных уровней неопределённости о каналах связи будут названы ^-моделями [2; 8]. Цель использования К-моделей в том, чтобы максимально реализовать всю имеющуюся об исследуемом объекте информацию, даже если эта информация разнотипна, а не основываться при построении модели лишь на выборку наблюдений, либо только параметрическую структуру.

Дискретно-непрерывный процесс и контроль переменных

Особенность идентификации многомерного объекта при априорной информации различных уровней неопределённости состоит в том, что исследуемый процесс описывается как системой неявных стохастических уравнений, так и известными из фундаментальных законов физики, химии и механики параметрическими уравнениями.

¥} (и7 ^), х^ (г), а) = 0, ] = 1, т , ¥} ( ((), х^ (г), X", Ц")= 0, 7 = тх +1, т,

(1)

где а - вектор параметров, и^, - составные векторы, а х5, и, - временные векторы (набор данных, поступивший к 5-му моменту времени)), в частности: х

= (*!,... Х,) =

= (х11, х12,

• • х15 , • • • х21 , х'

2Ъ 22?

• • х25 , • • • хт1 , х

тЪ Ат2'

• • •хт5) .

Общая схема решения такой системы такова:

- сначала в уравнение (1) последовательно подставляются элементы обучающей выборки с/ = (хг1,—хтт), I = 1, 5, ы1 = (...и1п), I = 1, 5*, где 5 - объём обучающей выборки, а 5* - тесто-

вой, в результате получаем невязки вй.

- следующий шаг состоит в оценивании условного математического ожидания [1; 2]

х^ = М{х|и7, в = о}, ] = 1, т. В качестве оценки (2) примем непараметрическую оценку регрессии

(2)

х} =

Iх^[1 ] Пф

к1=1

(и. -

I=1

иь[1]

Пф

)к2=1

ЧИ'

V С5_ У

1ПФ

1=1 к!=1

(и. -

ик1 [|]

Л <т>

ПФ

к2 =1

_к2[1]

V С5_ У

. 7 = 1, т.

(3)

где колоколообразные функции Ф(.) и коэффициентом размытости с,,, удовлетворяет условиям сходимости [3-5; 9]. Таким образом, формула (3) даёт решение системы (1), которое и является оценкой (прогнозом) выходных переменных х(0 при значениях входной переменной и (^) = и'.

В заключение отметим, что КТ-модели являются моделями нового типа в теории идентификации. Обратим внимание на то, что КТ-модели представляют собой органический синтез параметрических и непараметрических моделей. Проведённые многочисленные расчёты демонстрируют высокую эффективность работы КТ-модели.

Библиографические ссылки

1. Медведев А. В. Теория непараметрических систем. Моделирование // Вестник СибГАУ/ 2010. № 4(31). С. 4-9.

2. Мальцева Т. В., Медведев А. В. О компьютерном исследовании К-моделей // Вестник СибГАУ. 2013. № 2(48). С. 52-57.

3. Хардле В. Прикладная непараметрическая регрессия : пер. с англ. М. : Мир. 1993. 327 с.

4. Васильев В. А., Добровидов А. В., Кошкин Г. М. Непараметрическое оценивание функционалов от распределений стационарных последовательностей. М. : Наука, 2004. 508 с.

5. Медведев А. В. Основы теории адаптивных систем ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2015. 525 с.

6. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя : пер с англ. / под ред. Я. З. Цып-кина. М. : Наука ; гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 432 с.

7. Цыпкин Я. 3. Информационная теория идентификации. М. : Наука : Физматлит, 1995. 336 с.

8. Медведев А. В. Теория непараметрических систем. К-модели // Вестник СибГАУ. 2011. № 3(36). С. 6-12.

9. Надарая Э. А. Непараметрическое оценивание плотности вероятностей и кривой регрессии. Тбилиси : Изд-во Тбилис. ун-та, 1983. 194 с.

© Кузьмин М. В., 2016