О модели Солнечной системы с диссипацией Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

25

Механика

УДК 531.391

О МОДЕЛИ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ С ДИССИПАЦИЕЙ

В. Г. Вильке

Известна модель Солнечной системы, в которой тела представляются материальными точками и взаимодействуют по закону всемирного тяготения [1]. В этой модели тела можно рассматривать как абсолютно твердые шары со сферическим распределением плотности. В этом случае гравитационный потенциал такого тела совпадает с потенциалом материальной точки, а вращение каждого шара относительно его центра масс происходит с постоянной угловой скоростью. Таким образом, движение относительно центра масс такого шара определяется независимым образом от движения его центра масс, а движение центров масс шаровых планет идентично движению в соответствующей задаче N тел.

Заметим, что формы планет Солнечной системы близки к шаровым, поскольку доминирующими силами при формировании планет являются гравитационные силы, которым противодействуют молекулярные силы в веществе планеты (упругие тела, жидкие и газообразные тела). Форма небесного тела может сильно отличаться от шаровой, если масса тела мала (малы гравитационные силы) и тело представляется как твердое деформируемое тело (астероиды).

Рассматривается модель Солнечной системы, представленной в невозмущенном состоянии N однородными вязкоупругими шарами. Под действием собственного вращения и приливных гравитационных сил шаровая планета меняет свою форму: происходит "сплющивание" планеты в направлении вектора ее угловой скорости и формирование приливных горбов по линиям, соединяющим центр планеты с центрами остальных планет. Предполагается, что приливные гравитационные, центробежные и упругие силы приводят к малому изменению шаровой формы планеты. Методом разделения движений получены уравнения, описывающие движения центров масс планет и их собственные вращения. В предложенной модели имеет место диссипация энергии, источником которой являются внутренние вязкие силы каждой планеты. В результате деформаций планет в законе всемирного тяготения обнаруживаются малые консервативные поправки. Частные случаи этой модели рассматривались в работах [2-4].

1. Уравнения невозмущенного движения. Рассмотрим изолированную систему N абсолютно твердых однородных шаров, взаимодействующих друг с другом по закону всемирного тяготения. Пусть ОХ1Х2Х3 — инерциальная система координат, начало которой совпадает с центром масс механической системы. Введем следующие величины: Иг, Шг, рг, аг, Аг — радиус-вектор центра г-го шара, его масса, плотность, радиус шара и момент инерции относительно центра масс шара — точки Сг. Справедливы равенства

4 2 М М

т» = - ■кa!¡pi, Аг = - т»аг2, ^ «»¿И, = 0, ^[Кг х т^] = Се3. (1)

г=1 г=1

Последнее равенство в (1) выражает закон сохранения момента количеств движения относительно центра масс системы в предположении, что угловые скорости вращения всех шаров равны нулю и что постоянный вектор момента количеств движения О направлен по оси ОХ3 с единичным вектором ез. Если угловая скорость г-го шара отлична от нуля, то момент количеств движения однородного шара относительно его центра масс Ьг = Аг^г, где 0,г — угловая скорость г-го шара, постоянен, поскольку внешние силы гравитации не дают момента относительно центра масс шара в силу его сферической симметрии. В системе имеет место разделение движений: вращение каждого шара относительно его центра происходит с постоянной угловой скоростью и не влияет на движение их центров.

Потенциальная энергия поля гравитационных сил имеет вид

N

По (И,1, ..., И^) = 1ШгШз И ]-1/2, Щ = Иг - И,-.

г<3

Здесь 7 — универсальная гравитационная постоянная. Уравнения движения центров масс представляются в форме

N

тгКг = -Ун, П0 = г = 1,...,Ж; Кг] = (2)

3=г НИ

26

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

Уравнения (2) интегрируются только при N = 2 (задача двух тел Кеплера-Ньютона). Отметим существование двух первых интегралов движения — закона сохранения энергии

1 N

T(Rb ..., Rjv) + n0(Rb ..., R N) = h, T=-J2 тг R?

i=1

и ранее упомянутого закона сохранения момента количеств движения при движении N материальных точек.

2. Уравнения движения деформируемых шаров. Пусть рассматриваемые шары деформируемы. Свяжем с каждым шаром систему координат CiXiiX2iX3i и обозначим через Ui(ri,t), |ri\ < ai, поле перемещений точек i-го шара при деформациях. Система координат CiXiiX2iX3i, согласно [3], интегральным образом связана с шаром, поскольку справедливы условия

J Ui(ri,t) dx(i) =0, У rot Ui(ri,t) dx(i) =0, Vi = {ri : |ri| < ai}.

Vi Vi

Обозначим через ri(si(t)), Si(t) = (sii(t),s2i(t),S3i(t)), ортогональный оператор перехода от системы координат CiXiiX2iX3i к инерциальной системе координат ОХ1Х2Х3. Здесь s — локальные координаты на группе вращений трехмерного пространства, например углы Эйлера [5].

Функционал потенциальной энергии гравитационных сил взаимодействия двух деформируемых шаров равен

.npt + щ + щ, о,

где

{_______^(i) 3

п

ЯЗ.

Яг] ^

] Уг ] Уг

В выражении потенциальной энергии (3) оставлены два первых члена в разложении по малым величинам аг/Яг], а]/Яг] и члены первого порядка малости по перемещениям. Потенциал гравитационных сил для всей системы равен

N

П[ЯЬ...^, и , Гь...,^ ] =По + . (4)

г=]

В дальнейшем, согласно методу разделения движений [3], перемещения иг в выражении потенциала (4) будут заменены соответствующими решениями квазистатических задач линейной теории упругости малых деформаций.

Примем в качестве модели вязкоупругих сил модель теории упругости малых деформаций и соответствующую ей модель вязких сил Кельвина-Фойхта [3]:

Вд = [(-Г^Г + £ екЦ = +

2(1 + иг) у - 2 ^г ^ ') ' 2\дхы дхы) (5)

А [иг] = ХгЕг[иг], иг = (пи,п2г,пзг), гг = (х1г,х2г,хзг), Хг > 0.

Здесь Ег[иг], ^г[й] — функционалы упругих и диссипативных сил соответственно; Ег, иг — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала г-го шара; Хг — коэффициент, определяющий вязкие свойства материала шара. Деформация шара возникает за счет поля центробежных сил инерции вследствие вращения шара и поля градиента гравитационных сил. Предполагается, что перемещения точек шара малы, что обеспечивается малостью безразмерных параметров £ц = рг^т]Я—3а2Е~1 и его = Рги2(0)а2Е-1, где иг (1) — угловая скорость шара или системы координат Огхцх2гхзг.

Напишем уравнения динамической линейной теории упругости малых деформаций для г-го шара в системе координат Сгх1гх2гхзг [3]:

рг{иг + [иг х (гг + иг) + [иг х [и х (гг + иг)) + 2[иг х иг]} +

+ Ег[иг ]+^^ Ег[и ] + П = 0, Рп =0, (6)

ГгСдУг

где потенциал упругих сил определен в (5). Последнее равенство в (6) означает равенство нулю напряжений на поверхности шара. Согласно методу разделения движений [3], решение уравнения (6) ищется в виде ряда иг(гг, ¿) = егиц(гг, ¿) + ... по малому параметру ег = Е-1. Такой вид малого параметра может быть получен путем соответствующего выбора размерных величин в каждой задаче о деформации упругого шара. Если в уравнении (6) сохранить члены нулевого порядка малости по этому малому параметру, то динамическая задача теории упругости редуцируется в квазистатическую задачу

N

рг{ [Ш г X г] + [иг X [шг X Гг]]} + ег{ Vui Ег[и1г] + ХгVui Ег [и 1г]} + ^ = 0, рп

3= ^ (7)

VuiПг, = РгП2, [гг - 3(Г"1К°/, Гг)г-1И°,] , О2, = Я-3, = Иг,-И|-1.

Взаимные расстояния между шарами в уравнениях (7) рассматриваются как переменные, удовлетворяющие уравнениям невозмущенной задачи (2), а угловая скорость шара шг постоянна в невозмущенном движении. Будем считать вязкость упругого шара малой и найдем решение уравнения (7) в виде сходящегося ряда:

0,

ulг(rг,t)=voг(rг)+vг(rг)+ £

ж,

к=о,з=г

N

~ ^Ог(гг) + ^г(гг) + ^ [\г, (гг,£) - Хг^г, (Гг,Щ , (8)

3=г

где соответствующие функции являются решениями граничных задач

2 2

= - ргШ^г, рп =0, = (шц, Ш2г, Сс>3г)! (9)

= ргВгГг, рп =0, В^ = ( 5Ы - ШЫШц ) ; (10)

г1едУ1 \ 3 /

егVVij Ег[чг, ] = ргЩ, Вг, Гг, Рп

= 0,

(11)

Вг, = (3ек,г,е1,г, — ^kl), Г- = ег, = (е1,г,,е2,г,,ез,г,)

Здесь 5к1 — символ Кронекера. Решение задачи (9) определяет сферически-симметричную часть деформации шара вследствие его вращения и имеет вид [6]

чог = 9г (гг)Гг, дг (гг) = —2/3рг^2(Й1г г2 + ^г), П = |Гг|,

_ (1 + У»)(1 - 2щ) (3-^(1-2щ) 2

2(4 — Зщ) ' 2г~ 2(4 — Ъщ) йг'

При этой деформации обращается в нуль потенциальная энергия взаимодействия деформированных шаров Пг,, так как интеграл по шару

J д(г) (г2 - 3(г, е)2) йх = 0,

У

где е — произвольный единичный вектор. Матрицы Вг, Вг, имеют нулевые следы, и решения задач (10), (11) представляются в форме [6]

чг = Сг [а1г(ВгГг, Гг)г + (а2гг2 + азг)ВгГг] , Сг = Рг;

чг, = Сг, [а1г(Вг,гг, гг)гг + (а2гг2 + азг)Вг,Гг] , Сг, = Рг^2,; (12)

1 + ^ (1 + ^)(2 + иг) (1 + + 3) 2

а 1г — --—, Й2г —--1-—=-, «Зг — -1-~=-«г •

+ 7 + 7 + 7 г

Подставим решения (12) в выражение потенциальной энергии (3) и найдем выражение потенциала. При вычислении интегралов воспользуемся равенствами [7]

(Хг) =0, У"(Р, г)^, va) (Хг) = с«А(£«Р, Q), А =

4тгаг7(1+^)(9^ + 13) 105(51/, + 7)

V V

где Р, Р — произвольные векторы, не зависящие от гг; а = (г); (1,]). В результате получим

П.

г.]

Щ3Ег

N

сг(ВгУг., У г.) + ^ сгк (Вгк У г., У г.) к=г

(13)

Преобразуем выражение потенциала (13), вычислив соответствующие квадратичные формы:

П. = -т.НгК-АШ2 - 3(шг, Уг.)2 + П2к [9(вгк, Уг.)2 - 3] ] , Ы = ^гР^Е-Т1 •

^ к=г >

(14)

Потенциал (14) мал по сравнению с основным потенциалом (1), так как он пропорционален малому параметру ег. При определении сил и моментов путем вычисления соответствующих частных производных потенциала (14) величины шг, О., егк следует считать постоянными, соответствующими невозмущенному движению и определяющими поле деформаций, а в дальнейшем в уравнениях возмущенного движения отождествить их с возмущаемыми переменными. Потенциал (14) в первом приближении описывает добавочное гравитационное взаимодействие деформированного г-го шара с остальными N - 1 материальными точками. Добавочная сила, действующая на г-й шар, задается выражением

N

?гр = П.г - %)

з=г

(15)

где

Унг,- Пг.

3Нгт.

К

г.

N

П2 - 5(Пг, щ )2 К- + ^п2к

к=г

(К-гЬ ГЦ;)2

Р 2 1?2

Кгк Кг.

1

Кг. +

N

+ 2(Пг, Кг.)Пг - 6 ^ О^К-гк, )К-кКгк

к=г

Пг

Гг<ш ~ А- 1Ьг,

^2к = !ткЯ

гк

Здесь все векторные величины представлены в инерциальной системе координат ОХ1Х2Х3. Соотношение, связывающее момент количеств движения шара Ьг с его угловой скоростью Пг в соотношениях (15), справедливо с точностью до малых порядка ег.

Согласно (8), поле перемещений точек вязкоупругого шара в системе координат СгХ1гХ2гХзг содержит член, пропорциональный коэффициенту вязкости Хг в модели Кельвина-Фойхта. Диссипативные силы определяются аналогично добавочным потенциальным силам согласно правилу: правую часть в формуле (14) следует умножить на (-Хг) и продифференцировать по времени величины, соответствующие невозмущенному движению, с использованием соотношений

йш г

М

Згпк •

„4 Кгк, Кгк

йе

гк

Г- 1Кгк

(И

Кгк г 1

п - т;— ецс ~ [<*>г х ецс\,

Кгк Кгк

(16)

где [шг х Ь] = Г- ^гЬ], V Ь; шг — угловая скорость г-го шара, представленная в системе координат СгХ1гХ2гХзг [5]. Используя равенства (16), получим выражение потенциала

П

г3

Хг т. Нг

К

N

. Е

. к=г

(П

гк

(г

(9(егк, У г. )2 - 3) + 180^ (егк, У г. )(^гк, Уг.)

(17)

5

2

с помощью которого определим диссипативные силы:

N

Fid = J] {^Rji Пзг - VRij nj, П

j=i

ij ПгЗ = -Й-ij Rij +

N

18Xirrijhj x -

R5- ^

j k=i

dQ2

(eik, yij) + Ü2fc(éifc, yij)

Rij Rik Rik

— (eik, yij )R

ij

+

+ ^ (егк, У г, ) [Яг, Гге гк - (е гк, У г, )Иг,] }. Движение центров масс деформируемых планет описывается системой уравнений

N

Ymimj

nuRi = вз ' + F¿P + Fíd' f = • • •'N-

К3

(18)

(19)

Система (19) незамкнута, поскольку она содержит переменные Ьг ~ АгГгШг (г = 1,..., N). Для этих переменных запишем теорему об изменении моментов количеств движения для каждого шара:

L г = Мгр + Mid, i = 1,...,N.

(20)

Здесь Mjp, M¿p — моменты консервативных и диссипативных сил соответственно. Уравнения (20) верны с точностью до малых величин порядка ei включительно. Если в потенциале (14), взятом со знаком минус, в выражении yij = r~1R°j- поварьировать оператор Г по правилу Syj = —[Sai х yij], У Sai Е E3, то коэффициент при вариации Sai будет равен моменту консервативных сил

N

Mip = —r^ [Vyj Щ х yij ].

j=i

Оператор Г i переводит все векторные произведения в неподвижную систему координат ОХ1Х2Х3. В результате получим момент консервативных сил в явном виде:

N

Мф = 6hi¡J2 J¡Ta2 Íl1/• М Н:, X Li]

r,5 л2 Vх^гз^гЛ^гз

j=i Аг

Диссипативный момент определяется аналогичным образом путем варьирования оператора Гг в потенциале (17) по правилу

N

Mid = -Гг£ [Vyij Пij х yij],

j = i

или

N

mjmk

Ми = 181ХгЫ ]Г

j,k=i ij ik

5Rjk Rik

(Rij, Rik) — (Rij, Rik) — A- Lг, [Rij x Rik])

[Rij x Rik] —

— (Rij, Rik)[Rij x Rik] — A- 1(Rij, Rik) [Rij x [Rik x Li]] >.

(21)

Система уравнений (19), (20) является полной системой дифференциальных уравнений порядка 9N относительно неизвестных Иг, Ьг (г = 1,... Поскольку рассматриваемая механическая система изолирована, то уравнения движения допускают первый интеграл — закон сохранения момента количеств движения

G

N N

г=1

(Ьг + [Ri x miRi]) = const.

Диссипативные силы (19) и моменты (21) задают рассеяние энергии в системе, определяемое дисси-пативной функцией Рэлея

1

N

N

г N

W = - ^(F^R, + А~1Шыи) = ^ХгЕг J^iV^ri,t)

i=1 i=1 j = i

> 0,

(22)

при условии, что функции в диссипативном функционале (22) представлены решениями (12). Справедлива также теорема об изменении полной энергии системы

£( if

dt\ 2 ^

4 i=i

тЯ| + ^

N N

i<j

jmimj Rij

N N(

i=i

(FiPRi + A-1 MiPLi) - 2W.

(23)

Сумма в правой части соотношения (23) с обратным знаком равна полной производной по времени потенциала

П

N

Е hi

i=1,j=i

Щ3л

,2

Ri5j

+ 1 Е

N

himj mk

R3 R3

i=1,j=i,k=i ij ik

1

3(RijRjfc)2

R2 d2 R2j Rk

(24)

в котором угловые скорости ю, следует считать постоянными. Потенциал (24) определяет поправки порядка малости е, к классическому потенциалу гравитационного взаимодействия N материальных точек (1), когда материальные точки заменяются деформируемыми шарами. В соотношении (24) угловые скорости собственного вращения планет ю, считаются постоянными, а переменными величинами являются операторы поворотов Г, и векторы взаимных расстояний между центрами масс деформируемых планет.

Система может совершать стационарные движения, соответствующие ее вращению как твердого тела вокруг постоянного вектора момента количеств движения системы с постоянной угловой скоростью Овэ. В этом случае справедливы равенства

ГЦ = 0[вэ х Б,], Ь, = Ь,вз, Ь, & А,П, г = 1,...,N,

при выполнении которых диссипативные силы (18) и диссипативные моменты сил (21) обращаются в нуль.

Для двух вязкоупругих планет уравнения движения и стационарные движения рассмотрены в [3].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Под ред. Г. К. Дубошина. М.: Наука, 1976.

2. Вильке В.Г. Движение вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // Прикл. матем. и механ. 1980. 44, вып. 3. 395-402.

3. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы: В 2 ч. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 1997.

4. Вильке В.Г, Шатина А.В. Эволюция движения двойной планеты // Космич. исследования. 2001. 31, № 3. 316-323.

5. Вильке В.Г. Теоретическая механика. СПб.: Лань, 2003.

6. Love A.E.H. A treatise on the mathematical theory of elasticity. Cambridge University Press, 1927 (Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935).

7. Вильке В.Г, Шатина А.В. О поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в гравитационном поле притягивающего центра и спутника // Космич. исследования. 2004. 42, № 1. 1-12.

Поступила в редакцию 11.07.2006