CC BY
64
Вивчаються поперечна сила тертя i момент сил тертя навколо вертикальноi oci на колем, що котиться, з пневматичною шиною. Колесо здшснюе вимушен поперечт поступальн або обертальн навколо верти-кальноi оЫ гармоншн коливання. Теоретичт залежностi для сили i моменту отрима-т за допомогою моделi шини М.В. Келдиша. Проведено зютавлення теоретичнихрезуль-татiв з експериментальними, отриманими набагато пЬнше за публжащю роботи М.В. Келдиша. З^тавлення показало, що обгово-рювана модель дае результати адекватн експериментальним
Ключовi слова: Шина, шиммi, тертя,
коливання, М.В.Келдиш
□-□
Изучаются поперечная сила трения и момент сил трения вокруг вертикальной оси на катящемся колесе с пневматической шиной. Колесо совершает вынужденные поперечно поступательные или вращательные вокруг вертикальной оси гармонические колебания. Теоретические зависимости для силы и момента получены с помощью модели шины М.В. Келдыша. Произведено сопоставление теоретических результатов с экспериментальными, полученными гораздо позже опубликования работы М.В. Келдыша. Сопоставление показало, что обсуждаемая модель дает результаты адекватные экспериментальным
Ключевые слова: Шина, шимми, трение,
колебание, М.В. Келдыш
□-□
Transversal force of friction and moment of forces of friction is studied about vertical axis on a rolling wheel with a pneumatic. A wheel accomplishes the forced transversal forward or rotatory about vertical axis harmonic vibrations. Theoretical dependences for force and moment are got by the model of tire of M. V. Keldysha. Comparison of theoretical results is made with experimental, got much later than publication of work of M.V. Keldysha. Comparison rotined that the discussed model gave results adequate experimental
Keywords: Tire, shimmi, friction, oscillation, M.V.Keldysh -□ □-
УДК 629.735.015:533.6.013.43
О МОДЕЛИ ШИНЫ М.В. КЕЛДЫША
Б.М. Шифрин
Кандидат технических наук, доцент Кафедра «Механика и авиационная техника» Государственная летная академия Украины ул. Добровольского 1, г. Кировоград, Украина, 25005 Контактный тел.: 8 (0522) 37-24-67 E-mail: B Shifrin@mail.ru
1.Введение
Прошло более 60-ти лет со времени опубликования М.В. Келдышем монографии, посвященной шимми - интенсивным самовозбуждающимся колебаниям колес шасси самолета [1]. Разрабатывая механико-ма-
тематическую модель шимми, автор, в частности, построил модель взаимодействия податливой катящейся шины с опорной поверхностью. За прошедшие годы направление механики, занимающееся взаимодействием шины с опорной поверхностью, выделилось как самостоятельная отрасль механики - механика шин; в
разных странах опубликованы десятки монографий и многие сотни научных статей. Однако существует ряд насущных проблем динамики пневмоколесных машин, которые требуют своего решения или уточнения с привлечением модели катящейся шины. Более того, шимми колес шасси самолета все еще наблюдается в ходе летных испытаний и реальной эксплуатации [2,3]. В настоящее время, особо активно за рубежом, продолжаются поиск механико-математической модели взаимодействия шины с опорной поверхностью и изучение практически тех же расчетных схем навески шасси ([4-7]), которые были рассмотрены М.В. Келдышем; наметилась тенденция значительного усложнения математических моделей шины [7,8].
Данная работа посвящена сопоставлению теоретических данных, полученных на основе модели шины М.В. Келдыша [1, параграф «Шимми колеса при жесткой вертикальной стойке»], с экспериментальными данными [9,10], полученными гораздо позже написания только что упомянутой работы.
где I7,М - поперечная сила трения и восстанавливающий момент сил трения на шине; к - коэффициент силы или боковая статическая жесткость шины; Д,ф- линейная и угловая деформации шины, соответственно; См - коэффициент момента или пяточная статическая жесткость шины; V - скорость движения колеса (рис.1); а,Р~ кинематические коэффициенты шины; точками обозначено дифференцирование по размерному времени. Заметим, поперечная сила трения перпендикулярна плоскости диска колеса, а восстанавливающий момент действует вокруг вертикальной оси. В приведенных уравнениях Ё,М,Д,ф,ф-функции времени, а остальные величины - постоянные.
При построении модели (1) автор исходил из предположения, что кривизна траектории движения центра контактной области шины и опорной поверхности есть линейная функция деформаций Д,ср . В моделях шины [4-7] эта гипотеза не используется.
Для дальнейшего перезапишем коэффициент момента в виде:
2. Постановка задачи
Cm = kD2K ,
(2)
На рис.1 приведен в несколько измененном виде фрагмент рис. 1 из работы [7]. На нем показано колесо, снаряженное податливой пневматической шиной, которое с постоянной скоростью V буксируется посредством вилки. Оси О^^^ - неподвижные. Центр масс колеса обозначен С . В ходе движения колесо вместе с вилкой АС может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через точку А . Закон вращения задан и описывается функцией угла поворота вилки:
Ф = Ф00,
где t - время в секундах. Длину вилки АС обозначим L . Контакт осуществляется на участке между носовой точкой « f » и кормовой - « а ».
Рис. 1. Буксируемое колесо (несколько иная версия части рисунка 1 из [7])
Приведем уравнения шины [1] в виде:
F = кД, M = Смф,
Д + Ltp = -У(ф + ф), ф + ф = V( аД-Рф)
(1)
где D- внешний диаметр колеса;к- безразмерный коэффициент момента.
Рассмотрим случай, когда изменение угла поворота вилки и колеса происходит по закону:
4>(t) = Фо sin ,
(3)
где ф0,О- постоянные амплитуда и частота изменения угла. Иными словами, изучим вынужденные колебания при гармоническом законе изменения угла поворота. При этом выделим два предельных случая: поперечно поступательное движение колеса и его чистый поворот вокруг вертикальной оси. Первый случай будем иметь место при больших значениях выноса ( L ^ ~ ), а второй - при нулевых ( L = 0 ).
Своей целью считаем получение посредством уравнений (1) теоретических зависимостей Ё(^ и М(^ для случая заданного вращения вилки с колесом (3) и их сопоставление с экспериментальными данными [9,10].
3. Вынужденные колебания
В уравнениях (1) положим угол поворота изменяющимся по закону (3). Пренебрежем собственными колебаниями Д^),ф^) и эти функции найдем в виде:
(4)
A(t) = D(CA cos Qt + SA sin Qt), ,(t) = Фо(Сф cos Qt + S, sin Qt)
где Сд,SA и Сф,S^- требующие определения постоянные.
Подстановка (4) в два последних уравнения системы (1) приводит к системе четырех линейных алгебраических уравнений относительно только что названных неизвестных. Решая систему, найдем:
Сд = ф0РО(Р-^) / det,
SA = -ф(1 [L + (а - Q2 )(Р - aL) / det] J
(5)
М 2 = kDZ0к[(cфZ| ^+(sфZ к^» .
Сф = (a-Q2)Q(P-aL)/det,
(6)
Sф = -[(а - О2 )2 +apLQ2]/detJ
где a = aD2,P = pD,L = L/D,Q=QD/V- приведенная (по [9]) частота колебаний; det = (а-О2)2 + (РО)2.
Значения параметров изучаемого колеса [1] приведем в таблице
Тип колеса D,м _2 а,м 2 Р,м-1 к
400х150 0,4 120 30 0,052
Заметим, коэффициент к зависит от давления воздуха в пневматике и нормальной нагрузки на колесо.
3.1. Поперечно поступательное движение колеса. Располагая формулами (5) и (6), выделим поперечную силу трения и восстанавливающий момент, возникающие на шине при принудительном движении центра масс колеса вдоль оси О^ (рис. 1) по гармоническому закону:
Z = Z0 sin Qt,
где
Z0 = const = Lф0,L .
(7)
Для сопоставления с экспериментальными данными силу и момент нужно представить в виде:
¡5О) = Ё2 О) = sm(Qt + РР2 ) ,
(8)
М 00 = М z(t) = kZ0DAмz sm(Qt + рМ2), (9)
где ЛР2 = ЛР2(0),РР2 =РР2(0)- амплитуда и фазовый угол силы;
Амг = АМ2<Р)> Рмг = Рм2<Р)- амплитуда
и фазовый угол момента при изучаемом (в данном случае поперечно поступательном) движении колеса.
Перезапишем выражения (5), (6) для нашего случая в виде:
Сд = С&2 = Фо^Д2 , |
^д = ^дг = фоLsдz
(10)
Эти выражения можно представить в искомом виде (8), (9), если положить:
=у1 (с^и)2 + (з^)2 и tgPpZ = ; (12)
CфZ |L
Амг (е^Ь. )2 + Ыь^ )2 и tgPMz = . (13)
На рис. 2 сплошными линиями представлены графики зависимостей безразмерных амплитуд силы и момента, а также их фазовых углов от приведенной частоты; пунктиром показаны экспериментальные данные [9,10]. Экспериментальные данные получены в ходе динамических испытаний мелко масштабных моделей авиационных шин А20, А23, А24; при этом частоты возбуждения О варьировались в диапазоне от 1 до 7 Гц, а скорости V - от 0,256 до 11,8 м/с.
3.2. Чистый поворот колеса. Теперь положим:
фО) = ф,^т, L = 0 ,
а изучаемые силу и момент представим в виде: Р О) = Рф О) = kDф0Apф + РРф), (14)
М (t) = М ф (t) = kD2ф0AMф зт(т + рМф),
(15)
Сф = ^ - LcфZ , I
- SфZ - LsфZ
(11)
где сд2^„=-арО/det; SдzL„=-1 + a(a-Q2)/det;
Сф2 -а(а-Й2)а / det; sфZ -арЙ2^.
Объединив первые две формулы системы (1) с формулами (4), (7) и (10), (11), найдем:
= кго[(сдг и»)со?^ + (sдz )sinОД,
Рис. 2. Поперечно поступательное движение колеса
где AFф= (Q)^PFф = PFф (й) - амплитуда и фазовый угол силы при чистом повороте;
АМФ= АМФ Рмф = Рмф- амплитуда и фазовый угол момента при чистом повороте колеса.
В данном случае, обратившись снова к (5), (6), будем иметь:
СЛ = СЛф=Ф0СЛф Сф = Сфф |Ь=0>
^Д = ^Лф = Фо8Лф |L=0^ф = 8фф |L=0
и
гДе cJl=o =Р2^/det; si(p ^ =-P(a-Q2)/det; S<p |uo = (a-Q2)PQ/det; |L=0 =-(a-Q2)2 /det. Окончательно получим формулы:
AF9 = ^(СЛФЫ2 + Il=o)2 и tgPFZ = ;
SAZ II^»
Сфф 1
фф IL=0
®фф |L=0
а также графики, показанные на рис. 3.
(17)
(18)
- различием параметров шины, для которой выполнен расчет, с параметрами шин, использовавшихся для экспериментов;
- выборочно взятыми при расчете значениями давления в пневматике и нормальной нагрузки на колесо.
На сегодняшний день обсуждаемая модель шины остается простой и удобной моделью, дающей адекватные результаты. Для решения задач типа шимми колес шасси пневмоколесных машин прошедшие с момента опубликования работы [1] годы не привели к построению модели заметно улучшенной в сравнении с моделью шины М.В. Келдыша.
Рис. 3. Чистый поворот колеса
4. Анализ полученных результатов; выводы
В данной работе выполнено сопоставление теоретических и экспериментальных зависимостей, описывающих поперечную силу трения и момент сил трения вокруг вертикальной оси на катящемся колесе, снаряженном пневматической шиной. Упомянутые теоретические зависимости получены посредством механико-математической модели взаимодействия шины с опорной поверхностью М.В. Келдыша (1945 г.). Экспериментальные данные получены в начале 70-х годов.
Все рассматриваемые в работе теоретические зависимости качественно правильно описывают изучаемые величины. Количественное расхождение теоретических и экспериментальных кривых невелико и может быть обусловлено:
Литература
1. Келдыш М.В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси /Труды ЦАГИ.- 1945.-№564.- 37 с.
2. Van der Valk R. and Pacejka H.B. An analysis of a civil main gear shimmy failure // Vehicle System Dynamics. - 1993. -22. - P. 97- 121.
3. Гончаренко В.И. Основы предотвращения шимми неповоротных колес самолета// Тр. 5-то1 Мiжнар. конф. „Авиа-2003". Кшв, 2003.-Т.3. - С.32.21-32.24.
4. Thota P., Krauskopf B., Lowenberg M. Interaction of torsion and lateral bending in aircraft nose landing gear shimmy//Nonlinear Dynamics. -2009, v.57, №3.-P.455-467.
5. Thota P., Krauskopf B., Lowenberg M. Shimmy in a nonlinear model of an aircraft nose landing gear with non-zero rake angle/Proceedings of European Nonlinear Oscillations Conference (ENOC-2008), Saint Petersburg, Russia, 30 June-4 July 2008. 5 p.
6. Sura N.K., Suryanarayan S. Lateral response of nose-whell landing gear system to ground-induced excitation// Journal of aircraft, vol.44, No. 6, 2007.- Р.1998-2005.
7. Takacs D., Orosz G., Stepan G. Delay effects in shimmy dyn-
amics of wheels with stretched string-like tyres//European journal of mechanics A/Solid. - 2009, №28. -Р.516-525.
8. K.Guo, L.Ren. A non-steady and non-linear tire model under
large lateral slip condition//SAE Technical paper series, 2000-01-0358, 10 p.
9. Clark S., Dodge R., Nybakken G. Dynamic properties of aircr-
aft tires// J. aircraft. - 1974.- Vol.11, №3.- P. 166-172.
10. Clark S., Dodge R., Nybakken G. An evalution of string theory for the prediction of dynamic tire properties using scale model aircraft tires/NASA report CR-2058. Washington, 1972.- 47 p.
