О множествах единственности кратных рядов Виленкина Текст научной статьи по специальности «Математика»

И.С. Непочатова

УДК 517.51

О МНОЖЕСТВАХ ЕДИНСТВЕННОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ ВИЛЕНКИНА

Для кратных рядов Уолша в [1] было доказано, что множество вида Е х [0,1] с [0,1]п является множеством единственности для п-кратного ряда Уолша тогда и только тогда, когда Е — множество единственности для (п — 1)-кратного ряда Уолша. Мы докажем справедливость этого утверждения для кратных рядов Виленкина. Для доказательства теоремы приведем необходимые определения.

Определение 1. Пусть {рк}Х=0 — последовательность простых чисел (рп > 2). Обозначим т0 = 1, тк+1 = тк • рк, п = 0,1, 2,... Пусть

Ж

п = ^ ек • тк, £к = 0,...,рк — 1, — р-ичное разложение числа п; к=о

х = , х Е [0,1], хк = 0,... ,рк — 1, — р-ичное разложение х. Поло-

к=0

жим по определению гк(х) = е2прк, п = 0,1,..., и назовем их р-ичными функциями Радемахера. Функции

Ж /ж

К(х) = П[гк(х)]£й = ехр 2^ ^ к=0 к=0 рк

называются функциями Виленкина. Ряд вида

ж

• Ск1-кп (х) ... (х), х = (х1,.. . ,хп), (1)

к!=0 кп=0

называется кратным рядом Виленкина [2]. Обозначим для краткости

т = (х2,... ,Хп), I = (к2,... ,кп),

Ь = (¿2, . . . , Ьп), V (т) = Ук2 (Х2) . . . (хп). Тогда ряд (1) запишется в виде

Vk (х)^(т),

его частичные суммы

(х)

к=0 1=0

Sr,l (х,т) = Е °п^п(х^1 (т).

п=0 0<К1

Обозначим

mk+1-1

fk,b{x,r) = CnlVn{x)Vl(t).

n=mk 0<l<L

Определение 2. Отрезок [0,1], в котором каждая р-ично-рациональная точка — считается дважды (как —--0 и — + 0), называется модифи-

mk У mk mk ' ^

цированным отрезком и обозначается [0,1]*.

Определение 3. Множество E точек, расположенных на отрезке [0,1], называется множеством единственности (U-множеством) для данной системы функций Vn(x), если из сходимости ряда

ж

CnVn (x)

n=0

к нулю всюду вне E следует, что cn = 0, n = 0,1,...

Для кратного ряда (1) сходимость можно понимать по-разному, например, как сходимость по всем прямоугольникам, кубам, сферам. Поэтому с каждым видом сходимости связан свой класс множеств единственности. Мы будем рассматривать сходимость по прямоугольникам.

Лемма. Пусть U = • • • } - счетное множество точек модифи-

цированного отрезка [0,1]*. Пусть для фиксированного т0 £ [0,1]n-1 ряд

J2J2cki Vk (t)Vi(To) kl

сходится к нулю по прямоугольникам для любого t £ [0,1] за исключением быть может точек из U С [0,1]*. Тогда для любого r

lim fr,L(t,To) = 0

всюду на [0,1]. L ^ ж означает, что min{L2,..., Ln} ^ ж. Данная лемма для системы Уолша доказана в [1].

Теорема 1. Пусть Un С [0,1]n, n > 2. Обозначим J(т0) = = J(t0,...,tn) = t = (t1,t°2,v,t°n), Un-1 С [0,1]n-1 - множество точек т0 = (t2, • • •, tn) таких, что множество J(т0) П Un более чем счетное. Если Un—1 - множество единственности для (n — 1)-кратного ряда Виленкина, то Un будет множеством единственности для n-кратного ряда Виленки-на.

Доказательство. Предположим, что ряд (1) сходится к нулю всюду вне Un. Выберем т0 £ Un—1. Тогда по лемме для любого r

lim =0 (2)

L^TO

всюду на [0,1]. Так как функция /г>ь(£,то) постоянна на р-ичных интервалах Д(г) ранга г, то сходимость в (2) равномерная и равенство в (2) можно интегрировать:

1 ГОг+1-1 1

0 = / Иш /г>ь(*,то) ^ = 11ш V V Ск/И(то) / ^(*)

J Ь^ж Ь^ж —' ^—' J

0 к=тг о</<Ь о

Зафиксируем Шк < к1 < шг+1 — 1 и умножим обе части последнего равенства на Ук1 (£). В силу ортонормированности системы Виленкина, получим

0 = 11ш V Ск1/V/(то). Ь

о</<Ь

Следовательно, для любого Шк < к < шг+1 — 1

Е Ск/V/ (то) = 0.

о</<Ь

Но то ^ ип—1 и так как ип—1 есть множество единственности, то для любых к,/ Ск/ = 0.

Теорема 2. Пусть Е С [0,1]п—1, п > 2. Множество Е х [0,1] будет множеством единственности для п-кратного ряда Виленкина тогда и только тогда, когда Е будет множеством единственности для (п — 1)-кратного ряда Виленкина.

ж

Докажем необходимость. Предположим, что ^ С/V/(т) = 0 вне Е. Рас-

/=о

смотрим ряд

ж ж ж ж

ЕЕ Ш с/ * «V (т ) = Е ^ Е с/ и(т ) = 0

к=о /=о к к=о к /=о

вне Е х [0,1]. Следовательно, т~с/ = 0 для любых к, /. Таким образом, с/ = 0 для любого /, т. е. Е С [0,1]п—1 является множеством единственности. Достаточное условие следует из теоремы 1.

Автор выражает благодарность С. Ф. Лукомскому за постановку задачи и внимание к работе.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лукомский С. Ф. О некоторых классах множеств единственности кратных рядов Уолша // Мат. сб. 1989. Т. 180, вып. 8. С. 937-945.

2. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джаварли Г. М., Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку: Элм, 1981.