CC BY
22
3. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д. П. Математические задачи диагностики плазмы // Некорректные задачи естествознания / Под ред. А.Н. Тихонова, А.В. Гончарского. М.: Изд-во МГУ, 1987. С. 103-134.
4. Zaitsev F.S., Trefilov А.В., Akers R.J. An algorithm for reconstruction of plasma parameters using indirect measurements // 30th European Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics. St. Petersburg, 2003. ECA. 27A. P-2.70.
5. Костомаров Д. П., Зайцев Ф. С., Лукьяница А. А. Реконструкция равновесия тороидальной плазмы по данным оптической и магнитной диагностик // Докл. РАН. 2005. 404. № 6. С. 753-756.
6. Костомаров Д.П., Зайцев Ф.С., Лукьяница А.А., Трефилов А.Б., Кузнецов Ю.А., Злобин В. В. Восстановление параметров тороидальной плазмы по магнитным и оптическим измерениям // Матем. моделир. 2005. 17. № 12. С. 3-26.
7. Pustovitov V.D. Magnetic diagnostics: General principles and the problem of reconstruction of plasma current and pressure profiles in toroidal systems // Nucl. Fusion. 2001. 41. P. 721-730.
8. Шафранов В. Д. Равновесие плазмы в магнитном поле // Вопросы теории плазмы. М.: Госатом-издат, 1963. Вып. 2. С. 92-131.
9. Zaitsev F.S., Shishkin A.G., Kostomarov D.P., O'Brien M.R., Akers R. J., Gryazne-vi с h M., Trefilov А. В., Yelchaninov A.S. The numerical solution of the self-consistent evolution of plasma equilibria // Сотр. Phys. Comm. 2004. 157/2. P. 107-120.
10. Sauter O., Angioni C., Lin-Liu Y. R. Neoclassical conductivity and bootstrap current formulas for general axisymmetric equlibria and arbitrary collisionality regime // Physics of Plasmas. 1999. 6. N7. P. 2834-2839; Sauter O., Angioni C., Lin-Liu Y. R. ERRATUM: "Neoclassical conductivity and bootstrap current formulas for general axisymmetric equlibria and arbitrary collisionality regime" // Physics of Plasmas. 2002. 9. N 12. P. 5140.
11. Holland J.H. Adaptation in natural and artificial systems. An introductory analysis with application to biology, control, and artificial intelligence. London: Bradford book edition, 1994.
12. http://www.neuroproject.ru/
http://www.gotai.net/documents-genetic_algorithms.aspx
Поступила в редакцию 03.02.06
УДК 517.958
В. И.Дмитриев
О МНОГОМЕРНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЗОНДИРОВАНИЙ
(кафедра математической физики факультета ВМиК)
Методы электромагнитного зондирования неоднородных сред основаны на том, что рассеянное электромагнитное поле зависит от строения неоднородной среды. Чаще всего используются частотные методы зондирования, когда поле измеряется на различных частотах в некоторой области пространства, удаленной от области неоднородности среды. Объем получаемой экспериментальной информации должен позволить определить характерные особенности неоднородности среды.
Электромагнитные зондирования широко применяются при поиске полезных ископаемых, при изучении строения земной коры и верхней мантии, при исследовании строения атмосферы и ионосферы, при решении задач интероскопии (неразрушающие методы исследования строения объекта) и т.п.
В данной статье будут рассмотрены математические проблемы интерпретации данных электромагнитных зондирований применительно к задачам геофизики, хотя полученные результаты могут быть использованы и в других прикладных задачах.
Методы электромагнитных зондирований геофизических исследований начали активно развиваться в середине XX в. В развитии этих методов основополагающую роль сыграли работы А.Н. Тихонова [1-5]. Им были проведены работы по созданию методов расчета электромагнитных полей в слоистых средах от точечных источников [5], предложены и обоснованы: метод магнитотеллурического зондирования, использующий естественное электромагнитное поле Земли [3, 4], а также метод становления электромагнитного поля [1, 2].
В начале развивалась теория электромагнитного зондирования слоистых сред, так как в этом случае достаточно просто решалась прямая задача. Были разработаны эффективные алгоритмы расчета электромагнитных полей в слоистых средах при возбуждении поля плоской волной или точечным источником. Для обратной задачи определения электропроводности в слоистой Земле по известной зависимости импеданса от частоты на земной поверхности была доказана теорема единственности в классе кусочно-аналитических функций [6]. Позднее этот результат был обобщен на случай точечного источника поля [7]. Развитие методов регуляризации неустойчивых задач, к которым относятся обратные задачи [8], позволило создать устойчивые методы интерпретации электромагнитных зондирований слоистых сред.
Обратная задача зондирования слоистой среды по известному импедансу на земной поверхности Zo(uj), где uj — частота поля, ставится следующим образом:
и"(z) + icj/j,0u(z) = 0, ze[0,oo), u(z) G Ci, , ч
u(z = 0) = 1, u(z) —7- 0 при z -7- oo. ^ '
Электропроводность a(z) является кусочно-аналитической функцией, причем a(z) = ан = const при z > Н. Функция a(z) определяется из дополнительного условия
= ^Oj- <2>
Эта классическая обратная одномерная коэффициентная задача часто называется обратной маг-нитотеллурической задачей, так как такая задача возникает, в частности, при электромагнитном зондировании, использующем естественное (магнитотеллурическое) поле Земли.
Было показано [8], что определение электропроводности a(z) из задачи (1), (2) неустойчиво. Однако так называемая интегральная электропроводность
Z
S(z) = Ja(Qd? (3)
определяется устойчиво, т.е. если ||Zq — Zq ||с ^ 8, то 11(-гг) — 52(г)||с ^ £(<$), причем е(<5) —> 0 при S —т- 0. На этой основе создан [8] 5-метод решения одномерной обратной магнитотеллурической задачи. В этом методе на первом этапе определяется распределение a(z) на некоторой сетке
{zi}, г Е [1, те], ¿1=0; а=(а1,а 2,...,ст„), <т» = а ( z = Zl+1
2
Вектор <7 находится методом подбора из условия минимизации невязки по импедансу
inf||Z0>)-Z0>,ä)||, (4)
er
где Zq — экспериментально наблюденный импеданс в зависимости от частоты uj, а Zq — рассчитанный импеданс для данного кусочно-постоянного распределения электропроводности а.
Естественно, что полученное распределение электропроводности может сильно отличаться от истинного, т.е. задача (1), (2) неустойчива. Однако по полученному а можно вычислить интегральную электропроводность в виде непрерывной кусочно-линейной функции
т — 1
S(z) = <Ji(zi+1 - Zi) + am(z - zm) при zm < z < zm+1, mE[l,n], zn+1=H. (5) ¿=i
Заметим, что S(z) определяется устойчиво, поэтому S(z) близко к истинному S(z). На втором этапе a(z) определяется из решения интегрального уравнения первого рода (3), где S(z) известна
приближенно. Эта задача неустойчива, но она проще первоначальной, так как необходимо решить линейное интегральное уравнение первого рода, для которого разработаны различные методы регуляризации.
Наиболее часто используется алгоритм выбора наиболее плавного решения из множества эквивалентных решений обратной задачи. В этом случае сг(г) находится из минимизации сглаживающего функционала
н * 2 Ч /, \ 2
( аа\
Ф(а) = / ( 5(г) - / ст(0 ) dz + aJ 1 — 1 сЬ, (6)
0 0 о
где а — параметр регуляризации, определяемый из условия невязки
е- (7)
с
или
ЭД- I <7(0
о
Уравнение Эйлера для функционала (6) имеет вид
г г
аа"(г) + | * (С) < = / ¿(0 <К, (8)
0 0 о
аа"(г) + | (г - СМС) ¿С = | 5(С) (9)
о о
Решение интегродифференциального уравнения (9) по известной интегральной проводимости дает при данном а приближенное распределение электропроводности ста(г). Оптимальный параметр а выбирается из условия таха при выполнении условия невязки (7). Аналогично решаются одномерные обратные задачи для случая возбуждения электромагнитного поля известным источником.
В случае многомерных обратных задач электромагнитного зондирования импеданс измеряется на земной поверхности при 2 = 0в зависимости от точки измерения М = (х,у, г = 0) и частоты поля и. В трехмерном случае измеряется тензор импеданса
г{х,у,и)=(1хх (ю)
\ЛуХ Ауу/
который находится из линейных соотношений
Ех(х, у,г= 0) = гххНх(х, у, г = 0) + гхуНу(х, у,г = 0), Еу(х, у,г = 0) = гухНх(х, у, г = 0) + гууНу(х, у,г=0).
Компоненты электрического поля Ех, Еу и магнитного поля Нх, Ну измеряются в зависимости от (х,у) и и и для разных поляризаций первичного поля. В результате для фиксированных (х,у) и и имеем четыре уравнения типа (11) для двух различных поляризаций поля, из которых находятся четыре компоненты тензора импеданса. В качестве дополнительного условия в трехмерной обратной задаче используется инвариант тензора, так называемый эффективный импеданс:
^эф (х, у, и) = у/ гххгуу — ЕхуЕух. (12)
Такой импедансный подход выгоден тем, что измерения в различных точках земной поверхности могут производиться независимо.
Если распределение а(х,у,г) на достаточно больших расстояниях \х\ ^ I практически не зависит от переменной ж, то в центральной части х = 0, \у\ < I можно считать задачу двумерной. В этом случае 2ХХ рй 0, Zyy й 0 и мы имеем отдельные задачи для двух поляризаций поля:
1) в случае ¿'-поляризации
_ __Ех
Е = (Ех, 0,0), Н = (0, Ну, Яг); Еху = —
п..
г=0
2) в случае ^-поляризации
_ __Е
Е = (О, Еу, Ех), Н = {Нх, 0,0); Еух = ——
Их
(14)
г=0
В настоящее время на практике наиболее часто используется двумерная обратная задача. Это связано с тем, что измерения проводятся, как правило, вдоль некоторого профиля, проходящего, по возможности, вкрест основного простирания структур.
Заметим, что двумерная обратная задача локальна, так как должно выполняться условие \у\ < /, где I — полудлина распространения структуры по оси ОХ. Таким образом, если измерения проведены на профиле длиной Ь I, то необходимо разбить профиль на приблизительно равные отрезки длиной 21. Причем аномальная часть измерений должна принадлежать центральной части участка. Таким образом, предполагается, что строение среды вдоль профиля имеет следующий вид: в слоистой среде с медленно изменяющимися границами и электропроводностью слоев находятся несколько произвольных локальных неоднородностей с распределением электропроводности г Е [1,^].
Обратная задача ставится для каждой зоны неоднородности отдельно.
При этом для каждой зоны необходимо определить нормальный геоэлектрический разрез:
а = ПРИ \у~УЛ>11 (15)
где у1 — центральная точка г-й зоны. Нормальное распределение электропроводности в среднем учитывает влияние неоднородностей, находящихся вне зоны, где решается обратная задача.
Проблемы разделения всей области обратной задачи на отдельные зоны и определения для каждой зоны нормального разреза преодолеваются с помощью квазиодномерного метода [9]. В этом случае в каждой точке (уг,г = 0), г Е [1, тг.], где измерен импеданс, проводится решение одномерной обратной задачи (1), (2). При этом вводится дополнительное условие близости получаемого решения а^ (г) от решения в соседней точке
" «С е. (16)
(7«Ы - ст^-^Ы
В первой точке за и'0' (г) берется гипотетический разрез на основе априорной информации. Полученные решения {<т'г'(,г)}, г 6 дают нам приближенное распределение электропроводности
а(у,г) и а{г)(г) при \у - уг\ < I. (17)
Квазиодномерное решение дает хорошее приближение, если реальное распределение электропроводности медленно изменяется вдоль земной поверхности. При относительно быстром изменении а (у, г) описанный метод дает сглаженные результаты и необходимо уточнять полученное решение (17).
Первое уточнение проводится методом контрастирования, т.е. а (у,г) рассматривается как изображение, у которого повышается контрастность при выполнении условия невязки
(18)
где Zэ — измеренный в точках земной поверхности импеданс в зависимости от частоты, Zv — рассчитанный импеданс для полученной контрастной модели, 8 — точность измерений.
Второе уточнение проводится путем итерационного метода введения поправок к полученному решению. Отметим, что эти поправки должны вводиться для каждой аномальной зоны распределения электропроводности, так как только там выполняются условия двумерности обратной задачи. Введем обозначения: Р\{о, и) — оператор решения прямой одномерной задачи, описывающий вычисления импеданса по известному одномерному распределению электропроводности, Р2{а,и) — оператор решения прямой двумерной задачи, описывающей вычисления импеданса в двумерном случае, — оператор решения обратной одномерной задачи. Тогда имеем решение квазиодномерной задачи
д(уг1г) = 11{гэ{уг,и)), (19)
а невязка решения равна
V=\\AZ\\ = \\гэ{уг,и) - Р2(а(у^г),и)\\. (20)
Поправка к решению обратной задачи находится применением квазиодномерного метода к уклонению рассчитанных импедансов для одномерного и двумерного распределений электропроводности:
Аст(у,г) = 11(Агу, Аг = Р1(а,и)-Р2(а,и). (21)
Отсюда имеем исправленное решение:
а = а + Аа = 11 (Иэ) + 1\ (ДЯ) = 1\ {гэ + Р1 (а, ш) - Р2 [а, и)). (22)
Обычно достаточно вычислить одну поправку, хотя это можно сделать неоднократно. В работе [9] показано, что такой итерационный процесс при определенных условиях сходится.
Рассмотрим теперь решение трехмерных обратных задач электромагнитного зондирования. В этом случае в обратной задаче, кажется, нет принципиальных проблем и все связано только с разработкой быстрых методов решения прямых задач.
Однако в трехмерных обратных задачах, в которых тензор импеданса измеряется на
ограниченной области земной поверхности 5о, мы сталкиваемся с проблемой, вызываемой противоречием между локальностью области измерений 5о и бесконечной областью многомерной обратной задачи.
Это противоречие в прямых задачах ликвидируется введением нормального слоистого разреза вне области измерений. В обратной задаче нормальный разрез неизвестен, и мы обязаны ввести его на основе экспериментальных данных.
Пусть измерения тензора импеданса проведены в области 5о земной поверхности, которая ограничена контуром Со- Отойдем от контура Со на два пространственных шага, с которыми проводились измерения, затем построим сплайн-аппроксимацию тензора импеданса так, чтобы на новом граничном контуре импеданс имел равную нулю производную по нормали к контуру, а значения импеданса были бы равны импедансу слоистой среды. Таким образом, мы создали искусственное продолжение наблюденного импеданса на некоторый тензор слоистой среды. В дальнейшем этот импеданс слоистой среды мы будем считать нормальным импедансом, а соответствующую ему слоистую среду — нормальным разрезом. Нормальный разрез определяется через нормальный импеданс с помощью решения одномерной обратной задачи.
Конечно, определенный нами нормальный разрез является некоторым усредненным фиктивным разрезом, поэтому он вносит ошибки в решение многомерной обратной задачи, но в центральной части области 5о вносимые ошибки будут малы.
Наиболее просто эта процедура выполняется следующим образом. Пусть то е [1, м], —
измеренный импеданс на границе исследуемой области. Вычислим в этих точках инвариант тензора импеданса
г[т) = -г^), ше[1,м]. (23)
Затем проведем усреднение этих инвариантов и получим средний импеданс на границе области:
м
ЗфИ = м Е^ГН- (24)
Ш=1
Будем считать, что средний импеданс близок к нормальному импедансу со средней погреш-
ностью
м
82 = м Е^гн-^рИ!2- (25)
ш= 1
Таким образом, если Z (и) — нормальный импеданс N
-слойной среды, то он связан с
условием
\г"(ш)-гср (ы)\\б2. (26)
Для устойчивости определения нормального разреза находят разрез с минимальным числом слоев, импеданс которого удовлетворяет условию (26).
Описанный метод позволяет получить нормальное распределение электропроводности (г) вне области измерений. Это (г) вносится в алгоритм решения обратной трехмерной задачи.
Другой наиболее важной проблемой трехмерных обратных задач является существенно более сильная неустойчивость решения по сравнению с одномерной обратной задачей. Ясно, что в трехмерном
пространстве возможно создание сложных путей перетекания тока, что существенно увеличивает множество эквивалентных решений обратной задачи. Это приводит к необходимости введения более жестких ограничений на множество интерпретационных моделей строения среды. Такую возможность дает нам сам характер магнитотеллурического поля, которое несет информацию о сглаженной модели среды. Поэтому, как правило, в трехмерных обратных задачах в качестве множества интерпретационных моделей используется множество квазислоистых сред, в которых а(х, у, г) медленно изменяется вдоль земной поверхности. Вводится понятие плавности решения
—-:--^-• (27)
/
V
(дх) + ( ду ) + ( дг )
Максимальная плавность достигается при выполнении условия
2 / <\ \ 2 / «-, \ 2
/ / СНГ \
тт
V
да У дх )
+
да ду
+
даУ дг )
¿хйуйг.
(28)
Наиболее эффективным методом решения обратной задачи в этом случае является квазиодномерный метод, который дает нам наиболее плавное решение по переменным (х,у). Кроме того, часто используется метод сглаженной проводимости.
В методе сглаженной проводимости решается регуляризированная вариационная задача:
т£
гт(х,у,г)
%
эф I
V
да\ дх )
+
ду
+
до_ у
дг )
¿V
(29)
где — эффективный импеданс (12), измеренный в 5о, а — рассчитанный эффективный импеданс для данного а (ж, у, г).
При решении задачи (29) минимизация проводится во всей области неоднородности V, что требует введения большого числа параметров, описывающих поведение а(х,у,г) в области V. Причем необходимо учитывать, что по координате г электропроводность терпит разрыв на границе слоев и сглаживание этих разрывов приводит к погрешностям в определении а(х,у,г). В качестве стартовой модели берется нормальный разрез (г), в котором имеется область V с однородной электропроводностью сто- На основе априорной информации о возможном распределении а(х,у,г) в области V она разбивается на N подобластей, в которых искомая электропроводность считается постоянной
N
а(х,у,г) = ат, (х,у,г)еУт, тб[1,Аг], =
Ш=1
Функционал (29) минимизируется по переменным
< ат < <т„
т 6
(30)
(31)
Более адаптированным к обратной задаче зондирования квазислоистых сред является квазиодномерный метод. В этом случае в каждой точке земной поверхности Мпт = (хп, ут), п 6 [1, N0], т £ [1> А^о], измерен тензор импеданса решается одномерная обратная задача
а(хП1ут1г) = 11(г%>т](и))1 (32)
(и) = г(уу'т) — Zy"'m^. При решении одномерной обратной задачи в качестве
стабилизатора используется функционал
н
где гуэф
^(о-) = J ут, г) - <т(жп_1, Ут, ¿О)2 + (а(хп, Ут, - а(хп, ут-1, г))2^ ¿г.
о
Таким образом, решение одномерной обратной задачи сводится к вариационной задаче:
I 2
т£
гт(х,у,г)
- ^И
+ аЩа)
(33)
(34)
Параметр регуляризации а определяется из принципа невязки. Описанные методы позволяют эффективно решать многомерные обратные задачи электромагнитных зондирований.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тихонов А. Н. О процессе установления электрического тока в полупространстве // Успехи ма-тем. наук. 1947. 2. № 3. С. 175-176.
2. Тихонов А.Н., Скугаревская O.A. О становлении электрического тока в неоднородной слоистой среде // Изв. АН СССР. Сер. Геогр. и геофиз. 1950. 14. № 3. С. 199-222.
3. Тихонов А.Н. Об определении электрических характеристик глубоких слоев земной коры // ДАН СССР. 1950. 73. № 2. С. 295-297.
4. Тихонов А.Н., Шахсуваров Д. Н. О возможности использования импеданса естественного электромагнитного поля Земли для изучения ее верхних слоев // Изв. АН СССР. Сер. Геофиз. 1956. № 4. С. 410-418.
5. Тихонов А.Н., Шахсуваров Д. Н. Метод расчета электромагнитных полей, возбуждаемых переменным током в слоистых средах // Изв. АН СССР. Сер. Геофиз. 1956. № 3. С. 245-251.
6. Тихонов А.Н. К математическому обоснованию теории электромагнитных зондирований // ЖВМиМФ. 1965. 5. № 3. С. 545-547.
7. Дмитриев В. И. О единственности обратной задачи электромагнитного зондирования слоистых сред // Изв. РАН. Сер. Физика Земли. 1994. № 6. С. 30-34.
8. Berdichevsky M.N., D mit rie v V.l. Magnetotellurics in the context of the theory of ill-posed problems. Investigations in Geophysics. N 11. Tulsa: Society of Exploration Geophysicists. 2002.
9. Бердичевский M.H., Дмитриев В.И., Новиков Д.Б., Пастуцан В.В. Анализ и интерпретация магнитотеллурических данных. М.: Диалог-МГУ, 1997.
Поступила в редакцию 10.02.06
УДК 517.927.4
А. В. Ильин, С. К. Коровин, В. В. Фомичев
ОБРАЩЕНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
(кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления факультета ВМиК)
1. Введение. Постановка задачи. Обратные задачи динамики управляемых систем играют важную роль в современной теории управления. Эти задачи давно привлекают внимание ученых у нас в стране и за рубежом. Одной из классических обратных задач является восстановление неизвестного входа системы по измерениям ее выхода, так называемая задача обращения динамической системы. Можно привести обширную библиографию работ, посвященных различным аспектам этой проблематики, отметим, например, работы зарубежных ученых JI. Сильвермана (1969), М. Сайна и С. Сайна (1980) по обращению линейных систем, работы Р. Харрисова (1979), Синха (1980), В. Респондека (1988), X. Нимеера (1988), JI. Ханта и Г. Майера (1997) по обращению нелинейных конечномерных систем. В нашей стране большой вклад внесли в эту проблематику И.В. Гайшун (1978), A.C. Галиуллин (1975), Ю.С. Осипов и A.B. Кряжимский (1983), П.Д. Крутько (1988).
Несомненная значимость решения задачи обращения динамических систем обусловлена тем фактом, что она находит применение при решении целого ряда практических задач таких, как задача идентификации динамических параметров системы и помех, задачи фильтрации сигналов, задачи управления динамическими системами при наличии внешних возмущений, при планировании траектории и т.д.
