УДК 519.677
А. В. Старовойтов
О МНОГОМЕРНОМ АНАЛОГЕ АЛГОРИТМА КУЛИ-ТЬЮКИ*
Представлено применение рекуррентных последовательностей ортогональных базисов на п -мерный случай
для вывода формул варианта быстрого п -мерного преобразования Фурье, использующего
2п -1
-Ып ^2Ж комп-
лексных умножений и пМп^2^ комплексных сложений, где N = 2"' - число отсчетов по одной из осей.
Ключевые слова: пространство сигналов, последовательность ортогональных базисов, многомерное дискретное преобразование Фурье.
Рекуррентные последовательности ортогональных базисов в пространстве сигналов хорошо изучены [1] и имеют многочисленные приложения, в том числе для получения формул быстрого преобразования Фурье.
В данной работе обобщение рекуррентных последовательностей ортогональных базисов на п-мерный случай применяется для вывода формул варианта быстрого п-мерного преобразования Фурье (пБПФ), использую-2п -1
щего ———N ^2Х комплексных умножений и
пЫ" комплексных сложений, где N = 2" - число
отсчетов по одной из осей (известный в литературе, см., например [2]). Этот вариант пБПФ содержит меньшее число операций комплексного умножения, чем обычно применяемый, в котором многомерное преобразование Фурье осуществляется повторным применением одномерных БПФ (см., например, [3; 4]).
При построении п-мерных реккурентных последовательностей ортогональных базисов мы придерживаемся схемы изложения, предложенной в [1] для одномерного случая.
Пространство периодических и-мерных сигналов. Для
полноты изложения мы приводим определения и основные утверждения из теории многомерных сигналов, которые будем использовать далее.
Определение 1. При фиксированном N будем называть п-мерным периодическим сигналом периодическую, с периодом N по каждой переменной, комплекснозначную функцию целочисленного аргумента.
Вместе с операциями сложения двух сигналов х х2:
У( у) = х1( у) + х*2 (у) и умножения сигнала х на комплексное число с:
У( у ) = с • х( у),
где х(/) - отсчет сигнала х в точке у е 2п, множество сигналов С"„ становится линейным комплексным пространством. Нулевым элементом в CN является сигнал
О такой, что О(у) = 0 при всех у е 2п. Введем в C; скалярное произведение и норму:
<х, У> = X х(У)У(У),
УеВп( N) \ 1/2
Определение 2. Единичным п-мерным периодическим, с периодом N по каждой переменной, импульсом назовем сигнал 8"к такой, что 8"к ( у) = 1, если каждая ко -ордината вектора у делится на N и 8"к(у) = 0 в противном случае.
Для единичного импульса справедливы следующие утверждения, вытекающие сразу из определения.
1. 5^(у„..., уп) = 5;(Ц !,...,!;„!);
2. 5^ (у^.у ) = 5^ (у;) •... ^ (уп);
3. Для х е CN справедливо равенство
х(у )= X хЦ^ (у - t) (1)
1еВп ( N )
при любом у е Вп (N).
2 л/
Пусть ехр(-----------). Тогда справедлива лемма 1:
N
у ,1)
N
(2)
1еВп (N)
где (у, t) - скалярное произведение векторов у и t.
Равенство (2) проверяется непосредственно.
Определение 3. п-кратным дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) называется отображение ^ :CnN ® , сопоставляющее с сигналом х сигнал X
со значениями
X(у) = X х(Ф„(и\ у е Вп(N).
tеBn (N)
Отметим, что для ДПФ справедлива формула обращения
х« = ^ X Х (у) -1
,(у ,t)
!! х !!= <х, х>'
где Вп (N) - множество целочисленных векторов из [0, N - 1]п .
уеВп ( N )
и равенство Парсеваля: если X = ^ (х), У = ^ (у), то
< ^ у> = ^ <х ,У >.
Рекуррентные последовательности ортогональный базисов. Положим N = 2", Nn = 2!-у, Дп = 2Г-1. Построим рекуррентную последовательность базисов /0, /1, ..., /, где / - t -й базис, состоящий из ^ сигналов / (к), к е Вп (N). Значение сигнала / (к) в отсчете у = (Л,...,у„), у е Вп(Ы) будем обозначать, как /(к;у).
Обозначим через В1п (N) множество целочисленных векторов из [0, ^- 1]п, а через В2п (N) множество целочисленных векторов из [0, Дп - 1]п. Определим последовательность ортогональных базисов следующим образом:
* Работа поддержана грантом РФФИ 07-01 -00326.
п
/о( k; j) = SN (j - k) =
= SN(Л -kt)SN(j2 -k2)...SN(j„ -k„),k, j e 5^;
fv (/1 + S1Av + P1Av+1> l2 + S2Av +
+p2Av+1, /я +аиDv + p„Dv+1) =
1 1 (li + °'-
(3)
'A„ )
=1-1
w;
1 N -1 X/<:
jevv(q:)
q1=0 qn=0
X revv (Л-)
< X (k) fv (k = <fv (/1 + P1Av+1> — ln + Pn Av+ Л X (/1 + P1Av+1, + p'n Av+1)) =
A -1 A -1 7 /.rev (q.)
Av +1 1 Av +1 1 Z-J i v i
= < X ... X wA=+1
fo(q1 + P1Av+1, ..., qn + PnAv+1),
q1=0 qn=0
хХ-Д + 2Д+ тА, ..., /„ + 2Дурп + тиДV),
где Р = (Р1,..., Рп) е В;(N); I = (/;, ..., /п) е Ви2(N); с,, равно 0 или 1 при всех 1 = 1,п; V = 1,5.
Для изучения свойств рекуррентной последовательности базисов полезно использовать понятие реверсной перестановки [1].
Пусть у - целое число из множества J = {0,1, ...,2” -1} представимо в двоичной системе в виде у”-12”-1 +... + у12 + у0 где у1 =0,1 для всех 1 = 0,...,V-1. Вектор (у”-1,...,у;,у0)2 будем называть двоичным кодом числа у. Сопоставим с числом у число у; е J, которое задается двоичным кодом (у0, у;,..., у”-1)2. Перестановка геу„(у) = у; множества J называется реверсной. Для реверсной перестановки справедливы равенства:
2геу„ -;(д) = геу„ (д);
2геу„-1( д) + 1=геу„ (Д „ + д). (4)
Используя реверсную подстановку, легко показать,
что
X (/1 + РА+1,..., 4 + РпД V+1) =
п
\+1-1 \+1-1 X1,-V (д, }
= X... X ™Д=+1 />(д + РlДv+l,..., ди+РпДV+l),
где р = (Р1,..., Рп) е ВП( N) , I = (/1,..., /и) е В2( N) ,
V = 1,..., 5 .
В частности, при V = 5 имеем
V!- Дv+1 -1 X/':ГeУv (9,}
X ... X "Д=+1 /0 (д1+р1дV+l,..., д’п + рпДv+l )> =
д1=0 д'„=0
п
Дv+1-1 \+1 -1Дv+1-1 Дv+1-1 X1,Геуп (д, )-/'<IeУv (д,)
= X... X X!]... X 4+1 х
д1=0 дп=0 д1=0 д' =0
х 5^ (д1- д!+(Р1- р1 )Дv+l,..., ди - д'+(ри - рП А+1
Аргументы единичного импульса 5"„ по модулю не превосходят N -1. При р1 = р' при некотором t аргументы отличны от нуля при всех д1, д' е 0 : Дп+; -1,
1 = 1,..., N, поскольку ! -д' !< Дv+1 -1. Значит,
</V (к), /V(к')> = 0 при Ру * Р'у.
Пусть ру = р у. при всех у =1,..., п, тогда
п
Д -1 Д -1 / (/• -/• )геу (д.)
^+1 1 ^+1 1 ^ , 1 у 1
< /п (к), /V (к • )> = X... X ^^:+1 =
q1=0 qn=0
Xq;
= X... X "С = ^ 1 ,..., ).
д1=0 дп=0
Из последней формулы заключаем, что скалярное произведение < /V (к, /у (к' )> отлично от нуля только при ру = р ', /,. = /• при всех 1, у =1,п . В последнем случае !! /,(к1,...,ки)!!= Дv+l...Дv+l =2ИV при всех
к1,..., кп = 0: N -1. Теорема доказана.
Применение последовательности ортогональный базисов к быстрому дискретному преобазованию Фурье.
Пусть х(у) = х(у;, ...,уп) е , у е Вп(N). Сопоставим с сигналом х(у) сигнал х0(у) = х(геУ"(¿Х^деу,(уи)) и разложим х0 (у ) по базису / :
х0=2П7 X xv(k ) fv(k I
2 keB (N)
(5)
х5 N( у! - gl,..., уя - ди ) = "м0 .
Теорема 1. При каждом V = 0,..., 5 система сигналов /у = /у (к), к е Вп (N), ортогональна и Ц / (к)Ц2 = 2ИV.
Доказательство. Пусть п = 0 . Тогда
</>(к), /0(к' )> = X 5^ (у - к) •5'^ (у - к).
уеВп ( N)
Последняя сумма может быть отлична от нуля только в том случае, когда к = к', а в остальных случаях она равна 1, и теорема доказана.
Пусть теперь V = 1,5 . Возьмем к,к’ е Вп(N), которые представим в следующем виде:
к = ^ ..., к„ ) = (/1 + Р;^ ..., + Рп
к=(к; ,..., кп)=(/;+р; д V+1,..., ^+рП Дv+l)^ где / = (/;,..., /п) и /' = (// ,..., /') принадлежат Ви2(N), а Р = (Р;,..., Рп) и р' = (р; ,..., р’п) принадлежат В^). Тогда
где 2^7 - нормирующий множитель. Домножим обе
части равенства (5) скалярно на /, (/), для некоторого / e Bn (N). Тогда
< *0> /v (/)) = xv (/),
xv (k)= X x0(j) /V (k) =
jeBn ( N)
= X x(rev,(j1). ...,revi(jn))fv(k;j)
jeBn ( N)
и коэффициенты xn (k) в (5) определены.
В частности, при v = 0 имеем из (1)
Х0(k) = X x(revf(у!),...,
jeBn (N)
revs (jn )SN (j - k) = x(revs (k1),..., revs k)). (6)
Из рекуррентных соотношений (3) имеем:
xv(/j + 8Д, + ptAv+1,ln +5ИDv + pnДv+1) =
= <X0, /v (l1 +d1Av + P1AV+1, ..., ln + dnAv + pnAv+1)) = n
1 1 XS (/i +SiAv)
= X- X 4+1 x
"1=0 Tn =0
X< ^ /v-1(l1 + 2AvP1 ft1Av, ..., ln + 2AvPn ftn Av )) =
(7)
1 1 X(l,- + SAv)
= X... X WT+1 Xv
X(l1 + 2Avp1 + тД,,..., ln + 2Avpn + tnAv),
где p = (p1,..., pn) є ^(W), l = (і1, ..., ln) є B2(W):
v = 1,..., 5,a ct1;.„,стп равно 0 или 1.
Так как
xs(k) = x(kx,..., k,) =
-X
, ki rev5 (і)
= X X(reV5 (j1),..., rev5 (jn)) • W
ІєЬп (W)
n
^ -Xkiii
= X x(і)Ww'=° = X(k),
ІєВп (W)
где k є Bn (N), то коэффициенты x5 (k) определяют компоненты спектра сигнала x на основном периоде.
Из (6) и (7) получаем реккурентную схему для вычисления спектра сигнала x є CnW :
x0(k) = x(rev5(kj,..., rev5(kn));
xv (l1 +S1Av + p1Av+1> .... ln +snAv + pnAv+1) =
1 1 Xt ^-V
= X... X wc x
(8)
Б(ст) = 5 (0,0) = / (0,0) + / (1,0) + / (0,1) + / (1,1) =
= (/ (0,0) + / (1,0)) + (/ (0,1) + / (1,1)) = 5* + 5*; Б(ст) = 5 (1,0) = / (0,0) - / (1,0) + / (0,1) - / (1,1) =
= (/ (0,0) - / (1,0)) + (/ (0,1) - / (1,1)) = 5* + 5*; 5з(ст) = 5 (0,0) = / (0,0) + / (1,0) - / (0,1) - / (1,1) =
= (/(0,0) + /(1,0)) - (/(0,1) + /(1,1)) = 5* - 5*; ад = 5 (0,0) = / (0,0) - / (1,0) - / (0,1)+/ (1,1) =
= (/(0,0)-/(1,0))-(/(0,1)-/(1,1)) = 5* -54, где 5* = /(0,0) + /(1,0); 5* = /(0,0) - /(1,0);
5* = /(0,1) + /(1,1); 5* = /(0,1) - /(1,1).
Для вычисления 5*, 1 = 1, 2, 3, 4 требуется применить четыре сложения (вычитания), а для вычисления всех значений 5 требуется восемь таких операций, и утверждение леммы верно.
Пусть утверждение леммы верно при г = к, т. е. для произвольной функции g ^) все значения функции
5 (с^..., ск ) = X (о(-1)<а,°, t
где t = (^,..., tk), вычисляются за 2 • 2 сложений (вычитаний).
Рассмотрим г = к +1.
5 (с^ ..., ст*+1) =
= ^... 'X / (А,..., Ь+1) • (-1)У1+-+Ск+А+! =
^=0 tk+1=0
= ¿..X / (А,..., ^ ,0) • (-1)с1<1+-+сА +
¡;=0 1к=0
+^... X / (А,..., Ч ,1) • (-1)с11
о,t +...+ о. t, + о.
хху-1(/1 + 2Дvp1 +x1Дv, ..., /п + 2Д„ри +хиДv),
где Р = (Р;,..., Рп) е В'(N), / = (/;,..., /„) е В2(N),
V = 1,..., 5 и ст;,..., сти равны 0 или 1.
Найдем теперь число операций комплексного сложения и умножения, необходимых для нахождения спектра сигнала по схеме (8).
Лемма 2. При некотором г даны векторы t = ^;,...,tг) и с = (с;,..., сг), где t¡,с, е0,1. Тогда вычисление всех значений некоторой функции
5 (с) = X/ ^)(-1)<s,t> t
требует г^ 2г сложений (вычитаний).
Доказательство. Для доказательства применим индукцию по г.
Пусть г = 2. Тогда
5 (с) = 5 (ст;, СТ2) = XX/(tl, t2) • И)“11 +C2t2 =
^1 :0t2 =0
= / (0,0) + / (1,0)(-1)с; +
+/(0,1)(-1)с2 + / (1,1)(-1)с1+с2.
Обозначим
Введем обозначения:
S(о1, 02 , .... 0k ,0) = S1(°1, 02. .... 0k ) =
оt +...+ о, t.
= X... X / (t1,..., tk ,0) • (-1)01t1
t1=0 tk =0
+X...X / (t1,..., tk ,1) • (-D01t1+
t1 =0 tk =0
=X... X (/(t1,..., tk ,0)+/ (t1,..., tk ,1)) • (-1)
о A +■■■+ h.
S(01,02,...,оk,1) = S2(01,02,..., Ok) =
=X... X / (t1,..., tk ,0) • (-D01t1+
о t +...+ 0,t,
-X... X / ,і) • (-і)”1'1
?1=о гк=0
= X...Х</('і, •••> ,0) - /('і, •••, Ч,і)) • (-і)”1'1"•
¡1=0 'к =0
Определим, сколько требуется операций сложения (вычитания) для вычисления ^ и Б.
Обозначим /+ ('і,..., 'к) = /('і,..., 'к,0) +
+ /('і,..., 'к,і), /-('і,..., 'к) = /('і, 'к,0)-/('і= ■■■= 'к,і) •
Для в^гчисления всех значений /+ требуется 2к сложений
и для вычисления Б = X —X/ + ('і, •••, 'к ) • (-і)”і'і+ . + ”к'к
требуется к2к согласно индукционному предположе- Число комплексных произведений вида (11) равно нию. числу всевозможных векторов х = (х;,..., ти), где
Тогда общее количество операций сложения (вычита- х, е 0,1, т. е. 2п -1, так как при г = 0 имеем произведения) для вычисления 5 составит к2к + 2к. Такое же ко- ние действительных чисел. Так как параметр уе1:5, век-личество операций необходимо для Б2. торы / = (/;,..., /п) и р = (р;,..., рп), где
Поэтому определение всех значений 5 требует р1 =0,1,..., ^ -1 (N = N/2п), /1 =0,1,..., Дv -1
(к + 1)2к+1 сложений (вычитаний), что и требовалось до- (Д у = 21'-1), то общее количество комплексных умноже-
казать. м 2п -;
,1'< ~ V-1 \п ,п.П Х 1
Теорема 2. Реккурентная схема вычисления спектра ний равно s(2v '2 ) •(2 1) 2n W log2W ■
сигнала x є CW (W = 25)
2 2"
Найдем количество комплексных сложений в алгорит-x0(k) = x(revs(kj,..., revs(kn);
ме. При фиксированном v* и
xv(/1 + °A + P1Av+p ..., ln +snAv + PnAv+1) = = (C ..., /n*),P* = (P^ ..., P*„) имеем
1 1 Xt-(‘i +°/Av) (9) x*(/1* +S1A v* + PlAv*+1,•••, ln* +sn Av* + P* Av*+1) =
= Ю-Ю-С X 1 1 X (/* +*,<)
'Г° 'n=0 = XXwX x (12)
X xv -1 (/1 + 2An P1 +'1Av ,•••, ln + 2AvPn +'nA v X “0 t=0 Av*+1
1n
2n -1 n, Jr ~ xx * 1 (/* + 2P,*A +t1A *,..., /* + 2n*A +t A ,).
требует 2n N log2N комплексных умножений и v 11 1 v 1 v n n v n v
nN" log2N комплексных сложений.
Доказательство. Вначале найдем число комплексных умножений. Комплексные умножения производятся толь-
Из (10) следует, что для вычисления (12) нам требуется вычислить выражения
X* * * * *
/(х) = "Г°, ; х* ;(/1 + 2Р;Дп +X1ДV*, К + 2РА +хп
XV +1 V -1 __
х/(//+п,-Дv) которые зависят только от х = (х;,..., хп), где х, е 0:1.
ко при умножении на w;:0 . Определим, сколько Тогда (12) можно представить как
требуется произведений (9) при заданных параметрах х*(/* + 3Д* + рхДу*+1,..., /* + зпД^ + р*Д=
п*,/* = (/*,..., /*) и р* = (р*,..., р**). Для этого рассмотрим произведения
t .а.
+а. AvV)
1 1 X"'
= X...X(-і)"0 • /(т).
X xvV-1(lV + 2 p*Av +t1AvV, ..., l* + 2 pi A v +tn AvV),
Теперь из леммы 2 для вычисления
x^l- fs-Avv + pA*+i, ..., l* +Sn AvV + pi a vv+i) потребуется n2n комплексных сложений.
где 0. є 0,1. Так как параметр пє 1: s , векторы l = (l1,..., ln) и
Заметим, что p :(pl,■■■, pn), где p. ^Л^.^ W -1 (Wv = W/2v),
Zt. (l. + о .A *) 7 t7. ft .о .A *
'y' ' v*' ' ' ' ' v*
Av*fi n n
Xv* Xt'0'Av* X™ X"'7*
= wA=0fi • wA=0fi =(-1) '0 • "C-
т. е. произведение
n
X"'(/0+ai Av*
/1 = 0,1,..., Дv -1 (Дп = 21'-1), то общее количество комплексных сложений (вычитаний) равно
N -;
(10) 5(—• 2п )' • ('2') = nNnlog2 N. Теорема доказана.
Библиографические ссылки
і. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Основы дискретного гармонического анализа. Ч. 2. СПб. : НИИ мате-Ждг*+і л матики и механики, 2003.
хх^Д* + 2рХ +хіДуі,..., I* + 2р*Ду +хиДу.) 2. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка мно-
при фиксированных (определенных) параметрах гомерныхсигналов : пер. с англ. М. : Миp, і988.
v ,l =(li,..., ln) и p =(pi,..., pn) можно заменить на комплексное произведение
n
Xt'lV
WA^0f1 • xv*-1(l1 + 2p-Av ."A- h + 2pnAv +tnДvV), (11)
3. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М. : Мир, 1989.
4. Опенгейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов : пер. с англ. ; под ред. С. Я. Шаца. М. : Связь,
X™
поскольку величина (-1)' 0 может принимать значения только ±1.
X
A. V. Starovoytov
ABOUT MULTIDIMENSIONAL ANALOG OF ALGORITHM OF COOLEY-TUKEY
In this article, recurring sequences of orthogonal basis in n-dimensional case has being applied for express of
2n -1
formulas of the n-dimensional fast Fourier transformation, which using ---Nn log N complex multiplication and
2n 2
nNn log2N complex addition, where N = 2s - number of counting on one of the axis.
Keywords: space of signals, orthogonal basis sequence, multidimensional discrete Fourier transform.
© Старовойтов А. В., 2010
УДК539.21:537.86
С. С. Аплеснин, А. И. Москвин
МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ, ИНДУЦИРУЕМЫЙ ОРБИТАЛЬНЫМ УПОРЯДОЧЕНИЕМ ЭЛЕКТРОНОВ
Исследована взаимосвязь орбитального порядка и температуры образования спонтанного магнитного момента, постоянной решетки, корреляционных функций орбитальных и магнитных моментов между ближайшими соседями в непрерывной модели Потса для ряда параметров электрон-решеточного и спин-решеточного взаимодействия. Найдено изменение диэлектрической проницаемости и орбитальных корреляционных функций во внешнем магнитном поле.
Ключевые слова: диэлектрическая проницаемость, магнитоэлектрический эффект, электрон-решеточное взаимодействие, орбитальный и спиновый момент.
Исследование мультиферроиков, в которых сосуществует хотя бы два из трех параметров порядка: магнитный, электрический или кристаллографический [1], является актуальной задачей, так как описывает возможность с помощью электрического поля управлять магнитными свойствами материала и, наоборот, осуществлять модуляцию электрических свойств магнитным полем. В перспективе такие материалы могут найти широкое техническое применение в качестве сенсоров, датчиков, устройств записи-считывания информации. Если в спиновой электронике запись информации происходит путем преобразования намагниченности в электрическое напряжение, то в мультиферроиках связь между магнитной и электрической подсистемами проявляется через магнитоэлектрический эффект [2; 3].
Твердые растворы 03X^11^8 можно отнести к классу мультиферроиков [4]. В области температур Т = 230 К обнаружена корреляция между упругой, магнитной и электрической подсистемой. Это подтверждается следующими фактами: найдено изменение угла наклона постоянной решетки, сдвиг пика поглощения рамановской моды, зависимость от предыстории температурного поведения намагниченности и сопротивления при «отжиге» в магнитном поле, нелинейной зависимостью вольт-амперной характеристики в магнитном поле, и наличие максимума в изменении диэлектрической проницаемости во внешнем магнитном поле от температуры [5]. На взаимодействие между электрической, магнитной и уп-
ругой подсистем при температурах Т = 120 К указывает также образование ферромагнитного порядка, максимум по температуре относительного изменения диэлектрической проницаемости, измеренной во внешнем магнитном поле и в отсутствие поля [6], аномалия коэффициента теплового расширения решетки.
Предполагается, что замещение ионов марганца кобальтом приводит к перераспределению электронной плотности между 0 - и ^-состояниями. Конкуренция кулонов-ского взаимодействия между электронами, расположенными на одной орбитали и между орбиталями, совместно с изменением интегралов перескока приводит к упорядочению электронов на определенных орбиталях и к орбитальному магнетизму. В результате перераспределения электронной плотности меняется упругая энергия и под действием электрон-фононного взаимодействия индуцируются связанные моды колебаний ионов.
Цель работы состоит в установлении взаимосвязи между магнитной, электрической и упругой подсистемами и определении тенденций изменения параметров решетки, величины корреляционных функций орбитальных и спиновых моментов в зависимости от параметра электрон-решеточного и спин-фононного взаимодействия.
Модель взаимосвязи электронной и упругой подсистем. Для интерпретации полученных результатов в твердом растворе ^Мп^ [5; 6] необходимо рассматривать взаимосвязь электронной и кристаллической струк-