O многочленах совместной ортогональности, связанных с распределением Пуассона Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.53

О МНОГОЧЛЕНАХ СОВМЕСТНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ, СВЯЗАННЫХ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПУАССОНА

В. Н. Сорокин1

Изучается обобщение ортогональных многочленов дискретной переменной, а именно многочленов Шарлье. Методом перевала получено предельное распределение их нулей.

Ключевые слова: многочлены Шарлье, метод перевала.

A generalization of orthogonal polynomials of discrète variable, namely, Charlier polynomials is studied. The limit distribution of their zéros is obtained by the saddle-point method.

Key words: Charlier polynomials, saddle-point method.

1. Многочлены Шарлье — это ортогональные многочлены дискретной переменной, связанные с распределением Пуассона. А именно обозначим через /л(а; х) дискретную меру, которая имеет массы ак/к\ в целых неотрицательных точках к € Эта мера зависит от параметра а > 0. Мы не используем вероятностную нормировку. Тогда многочлены Шарлье Qn(x) — это многочлены степени п € удовлетворяющие соотношениям ортогональности

J Qn(x)xmd/j,(a;x) = 0, т = 0,...,п — 1. (1)

Соотношения (1) определяют многочлен Qn(x) единственным образом (с точностью до нормировки). Все нули этого многочлена вещественные положительные и по теореме Чебышёва-Маркова-Стилтьеса [1] разделены целыми неотрицательными точками, т.е. каждый отрезок [к, к + 1], где к € содержит не более одного нуля многочлена. Эти многочлены были введены К. В. Л. Шарлье в монографии [2] и изучались К. Мейкснером (см. [3]).

В теории рациональных аппроксимаций аналитических функций [1] естественным образом возникает понятие многочленов совместной ортогональности, т.е. многочленов, удовлетворяющих соотношениям типа (1), но с различными мерами. Такие многочлены для классических непрерывных и дискретных мер имеют многочисленные приложения в различных областях математики. В работе мы изучаем два класса многочленов совместной ортогональности, обобщающих многочлены Шарлье.

(I) Пусть г — натуральное число. Зафиксируем параметры 0 < а\ < а2 < ■ ■ ■ < аг- Определим меры Hj(x) = n(a,j]X), j = 1 ,...,г, где //(a;ж) — рассмотренное выше распределение Пуассона. Для каждого целого неотрицательного числа п будем искать многочлен Qn, такой, что

1) Qn Ф 0;

2) deg Qn ^ m;

3) выполняются соотношения ортогональности

J Qn{x)xmdnj{x) = 0, m = 0, ...,п — 1, j = l,...,r. (2)

Поскольку меры {l~ij}Vj=i образуют АТ-систему Никишина [1], то условиями 1-3 многочлен Qn определен единственным образом (с точностью до нормировки). Его степень в точности равна гп, а все нули вещественные положительные и разделены целыми неотрицательными точками. Будем называть эти многочлены совместными многочленами Шарлье.

(II) Пусть г — натуральное число. Зафиксируем параметр а > 0, а также параметры 0 ^ (3\ < fo < ... < /Зг < 1. Определим целую функцию

1 Сорокин Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-

мат. ф-та МГУ, e-mail: vnsornimQmech.math.msu.su.

где Г — гамма-функция Эйлера. Построим меры ßj{x), помещая массы G(x) в точки х = ßj + к, где к € Z+, j = 1,... ,г. Многочлены Qn определим условиями 1-3 из (I). Назовем их обобщенными многочленами Шарлье. Для этих многочленов нет простого аналитического доказательства того, что deg Qn = т. Данный факт можно доказать прямым вычислением соответствующих обобщенных определителей Ганке-ля. Но на алгебраических аспектах мы в этой работе останавливаться не будем. Вычисления показывают, что порядка п нулей многочлена Qn лежит на положительной полуоси, а остальные нули уходят с нее.

Алгебраические свойства многочленов Шарлье и других классических ортогональных многочленов дискретной переменной детально изучены, чего нельзя сказать об их асимптотическом поведении. В настоящей работе мы исследуем асимптотику многочленов (I) и (II). Мы рассмотрим самый простой тип асимптотики — слабую асимптотику масштабированных многочленов, которая описывает распределение их нулей.

Как показал Е. А. Рахманов [4], в случае ортогональности по мере с неограниченным носителем для получения качественной картины распределения нулей ортогональных многочленов необходимо сделать масштабирование. А именно пусть {7n}^Lo — некоторая неубывающая последовательность положительных чисел, которые мы будем называть коэффициентами масштабирования. Масштабированными многочленами назовем многочлены

Q*Jx) = CnQn{jnx), п € Z+,

где нормировочный множитель Сп выбран так, что старший коэффициент многочлена Q^ равен единице. Обозначим через Хп меру, считающую нули этого многочлена. А именно в каждый нуль многочлена Q^ поместим массу величины 1 /п. Задача состоит в том, чтобы подобрать коэффициенты масштабирования так, что носители всех считающих мер будут принадлежать некоторому компакту на комплексной плоскости и последовательность {Ara}^L0 будет иметь предел в *-слабой топологии: \п —% А при п —> оо. Требуется также найти предельную меру А. В этом случае существует предел

lim (-1) log\Q*n{x)I = V\x), x eC \ S(A),

in ooV П/

где S(A) — носитель меры А, а Vх — ее логарифмический потенциал:

Vx(x) = [ log |—-—:d\(t), xeC. j \x t\

Мы покажем, что для многочленов (I) и (II) правильный выбор коэффициентов масштабирования следующий: тп = п, п (£

В работе автора [5] изучались многочлены типа (I) и (II), обобщающие многочлены Мейкснера. Были обнаружены новые эффекты в поведении их нулей. Новые моменты появляются и в настоящей работе, но они отличны от тех, что были в [5]. В некотором смысле многочлены Шарлье и их обобщения устроены проще, чем многочлены Мейкснера. Будут доказаны две следующие теоремы.

Теорема 1. Предельной мерой распределения нулей масштабированных совместных ммогочленов Шарлье является классическая м,ера, Лебега на отрезке [0, г].

Теорема 2. Предельной мерой распределения нулей масштабированных обобщенных ммогочленов Шарлье является м,ера, А = г%; где % — классическая мера Лебега на отрезке [0,1].

Для некоторых классов мер ортогональности {ßj} задача о нахождении предельной меры может быть решена методами теории функций и функционального анализа, точнее в терминах задач равновесия теории логарифмического потенциала. Наиболее широкий класс таких мер был предъявлен в работе [6]. Это так называемые обобщенные системы Никишина. В [6] меры непрерывные и их носителями служат компактные отрезки вещественной оси. Результаты Рахманова [4] позволяют расширить этот класс на меры с неограниченными носителями. При этом в задачах равновесия появляется внешнее поле

ф{х) = lim (--) log 10(7пх),

rn-oo V п /

где и)(х) — вес меры ортогональности. Например, для весов Фройда и)(х) = е х", х ^ 0, а > 1/2, которые изучал Рахманов, берут коэффициенты масштабирования 7„ = п1/а и получают внешнее поле ф{х) = ха, х ^ 0. Также результаты Рахманова из работы [7] позволяют применять эти методы и к дискретным мерам. При этом в задачах равновесия появляется констрейн — дополнительное ограничение на величину меры, связанное с теоремой о разделении нулей. Для многочленов Шарлье и их обобщений эти методы неприменимы. Мы докажем теоремы 1 и 2 классическими асимптотическими методами математического анализа.

В некотором смысле распределение нулей многочленов Шарлье тривиально. Это связано с тем, что весовая функция и)(г) = аг/Г(1 + г) имеет первый порядок роста, но бесконечный тип. Слабая асимптотика не может уловить эту грань. Действительно, для различных выборов коэффициентов масштабирования, как следует из формулы Стирлинга, соответствующее внешнее поле ф(х) равно либо +оо, либо конечной константе, которая не зависит от ж и которую можно считать равной нулю. В первом случае для непрерывной меры ортогональности внешнее поле сталкивает все нули масштабированных многочленов в начало координат, т.е. предельная мера Л является дельта-функцией Дирака в нуле. Для дискретной меры, т.е. для многочленов Шарлье, нули не могут сталкиваться к началу координат из-за констрейна — классической меры Лебега на положительной полуоси (если 7п = п) — и поэтому равномерно заполняют отрезок [0,1]. Этот эффект наглядно демонстрируют компьютерные вычисления. Во втором случае, т.е. при отсутствии внешнего поля, не существует *-слабого предела считающих мер: нули масштабированных многочленов уходят на бесконечность. Цель работы — прямыми вычислениями показать, что этот эффект наблюдается и в случае рассмотренных выше обобщений многочленов Шарлье.

2. Имеет место следующее предложение, обобщающее классическую формулу Родрига.

Предложение 1. Для совместных многочленов Шарлье справедлив дискретный аналог формулы Родрига

з=1

где

Г(1 + х)

X

й,- = А 3

г*

3 а* Г(1 + х)

и (Д/)(ж) = /(ж) — /(ж — 1) — оператор левой разности. При этом операторы в (4) коммутируют.

Доказательство. Требуется установить три факта, а именно, что формула (4) определяет многочлен степени гп, что операторы в (4) действительно коммутируют и что выполняются соотношения ортогональности (2).

Первый факт по индукции следует из тождества

(0,/)(ж) = /(ж)-^/(ж-1), аз

где /(ж) — произвольная функция, определенная на множестве целых чисел ж € Ъ. Второй факт вытекает из тождества

У ' ^^к

поскольку параметры а^ и а & входят в его правую часть симметрично. Третий факт проверяется преобразованием Абеля — суммированием по частям. При этом все "внеинтегральные члены" обращаются в нуль, поскольку в точках —1, —2, —3,... функция 1/Г(1 + г) имеет нули. Предложение 1 доказано.

Доказательство теоремы 1. Доказательство проведем индукцией по г € N. Установим базу индукции, т.е. исследуем поведение нулей классических многочленов Шарлье.

Перепишем формулу Родрига по интегральной формуле Коши и сделаем масштабирование. Получим

Я^Мпх)^^!^^^, (5)

7

(0к03Л(х) = /(ж) - х(- + -) /(ж - 1) + ^—^¡{х - 2),

ча, аь/ а, 4 а к

где

к=0

при этом а = а\, а нормировочная постоянная Сп также находится из формулы Родрига:

V ) Пп

Здесь ж — произвольное комплексное число, а 7 — любой простой спрямляемый контур, обходящий отрезок [ж — 1,ж] против часовой стрелки. В дальнейшем при применении метода перевала предполагаем, что

ж € С \ (—оо, 1], а контур 7 лежит в области С \ (—оо, 0]. По формуле Стирлинга при п —> оо имеем

Сп

ne / log п

+ О1 6

а \ п

1Л 1 I / м пх

— Nog \w(nx) = х log--Ь См- . (6)

n J ae \ n J

Формула (6) справедлива равномерно в любом секторе | arga;| < е, где 0 < е < тт. Заметим, что

Г

_ \wn{z)\ —> V{z) при —> оо,

где V — логарифмический потенциал классической меры Лебега на отрезке [—1,0]. Соответствующий комплексный потенциал равен

о

V(z) = I \og^—dt = z\ogz-(z + l)\og(z + l) + l.

J % t -1

Поэтому, как легко видеть, слабая асимптотика интеграла в (5) совпадает со слабой асимптотикой следующего интеграла:

Jn(x) = Je~nSn(-t;xUt,

где

Tit

Sn(t; х) = t log — - (t - x) log(i - x) + (t - x + 1) log(i - x + 1) - 1.

Найдем эту асимптотику методом перевала. Функция Sn(t] х) многозначная на контуре 7, но ее экспонента и производная суть функции однозначные. Уравнение для критических точек функции Sn

9Sn=lo nt(t - x + 1) = о д t ait — x)

равносильно квадратному уравнению

nt2 — (а + п(х — l))t + ах = 0. (7)

Поэтому мы имеем дело с нестационарным методом перевала, при п —> оо корни уравнения (7) имеют следующую асимптотику:

t+in;x) = — Х + of Дт ), t_(n; x) = (х - 1) - - ——- + of Дт UI-1 \пг ) пх — 1 \пг

Обе точки ветвления функций t±(n',x) стремятся к единице при п —> оо. Таким образом, из (5) получаем

Vx(x) + ж log — = log — + S*(n:x), ae a

где S*iri]x) — критическое значение функции Sn(t',x) в точке a VA — комплексный логарифми-

ческий потенциал предельной меры А. Находя асимптотику этого критического значения при п —> оо, заключаем, что потенциал VA равен потенциалу классической меры Лебега на отрезке [0,1]:

Vх ix) = (ж — 1) log (ж — 1) — ж log ж + 1.

Тем самым база индукции установлена.

Проведем шаг индукции, т.е. докажем справедливость утверждения теоремы 1 для индекса г + 1 в предположении, что оно справедливо для индекса г.

Рассуждая, как и выше, приходим к соотношению

Vx(x) + ж log — = log — + S*(n:x), ае а

где а = ûv+i, а Б*(щх) — соответствующее критическое значение теперь уже следующей функции:

fi

Sn(t; х) = t log--h (t - r) logfi - r) - (t - x) logfi - x) + (t - x + 1) logfi - x + 1) + r - 1. (8)

ae

Уравнение для критических точек равносильно квадратному уравнению

nt2 + (п( 1 — х — г) — a)t + (ах + пг(х — 1)) = 0. Корень этого уравнения, дающий основной вклад в асимптотику, ведет себя следующим образом:

¿*(п;ж) = ж — 1 + О^—^ при п —> оо. (9)

Подставляя (9) в (8), получим асимптотику критического значения, откуда следует, что

Vx(x) = (х — 1 — г) log (ж — 1 — г) — ж log ж + г + 1.

Это — комплексный потенциал классической меры Лебега на отрезке [0, г + 1]. Тем самым шаг индукции установлен. Теорема 1 доказана.

3. Имеет место еще одно обобщение формулы Родрига.

Предложение 2. Для обобщенных многочленов Шарлье справедлив дискретный аналог формулы Родрига

где функция G( ж) определена формулой (3 ), вД - оператор левой разности. Доказательство предложения 2 аналогично доказательству предложения 1. Доказательство теоремы 2. Рассуждая, как при доказательстве теоремы 1, получим

ТЪСС 6

Vx(x) + rx log--ж log а = log--h S*(n] ж),

где S*(n] ж) — соответствующее критическое значение функции

Tit

Sn(t] ж) = ri log--t log a — (t — ж) log(i — ж) + (t — ж + 1) log(t — ж + 1) — 1.

Соответствующая критическая точка находится из уравнения

nrtr(t- ж + 1) — a(t — ж) = 0.

Она ведет себя следующим образом: t*(n; ж) —> ж — 1 при п —> оо, откуда следует, что

Vх (x) = г (ж — 1) log(œ — 1) — гжк^ж + г,

т.е. Л = г%, где % — классическая мера Лебега на отрезке [0,1]. Теорема 2 доказана.

Работа частично поддержана РФФИ, гранты № 1ЮЮ0330, 10-0Ю0682, и программой "Ведущие научные школы РФ", грант НШ-4664.2012.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никишин Е.М., Сорокин В.Н. Рациональные аппроксимации и ортогональность. М.: Наука, 1988.

2. Charlier С. V.L. Application de la theory des probabilités a l'astronomie. P.: Gauthier-Villars, 1931.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966.

4. Рахманов Е.А. Об асимптотических свойствах многочленов, ортогональных на вещественной оси // Матем. сб. 1982. 161, № 10. 163-203.

5. Сорокин В.Н. О многочленах совместной ортогональности для дискретных мер Мейкснера // Матем. сб. 2010. 201,№ 10. 137-160.

6. Гончар A.A., Рахманов Е.А., Сорокин В.Н. Об аппроксимациях Эрмита-Паде для систем функций марковского типа // Матем. сб. 1997. 188, № 5. 33-58.

7. Рахманов Е.А. Равновесная мера и распределение нулей экстремальных многочленов дискретной переменной // Матем. сб. 1996. 187, № 5. 109-124.

Поступила в редакцию 26.12.2012

УДК 517.5

СВЯЗЬ МЕЖДУ МОДУЛЯМИ ГЛАДКОСТИ В МЕТРИКАХ Lp И С

М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2

В работе доказана справедливость двух неравенств между дробными модулями гладкости функции, рассматриваемой в пространствах Lp и С.

Ключевые слова: неравенство, пространство, дробный модуль гладкости.

Two inequalities are proved for fractional moduli of smoothness of a function considered in the spaces Lp and C.

Key words: inequalitiy, space, fractional modulus of smoothness. 1. Обозначения и формулировка основных результатов. Введем обозначения: Lp{ 1 ^ р < оо) —

/ 2тг \ |

пространство 27г-периодических измеримых функций /(ж) с конечной нормой ||/||р = I f \f(x)\pdx ) ; Lqo — пространство 27г-периодических непрерывных функций с нормой ||/||оо = max |/(ж)|; — мно-

2тг

жество функций / € Lp, 1 ^ р ^ оо, таких, что f f(x)dx =

0; /<")(ж) — производная в смысле Вейля по-

о

п

рядка р (р > 0) функции /(ж) (см. [1, т. 2, с. 201]); Тп(ж) = ^ (av cos их + bv sin г/ж) — тригонометрический

и=0

полином порядка не выше щ En(f)p = inf ||/(ж) —Тп(х)\\р — наилучшее приближение функции /(ж) € Lp

Т„(х)

при помощи тригонометрических полиномов порядка не выше п в метрике Lp]Sn(f) — частичная сумма

ряда Фурье функции /(ж); Vo(/) = ¿>о(/), Vn(f) = (гг = 1,2,...) — сумма Валле-Пуссена

функции /(ж); u)a(f,t)p — модуль гладкости функции /(ж) € Lp порядка а(а > 0) в метрике Lp, т.е.

оо

UJa(f,t)p = SUp

Ё(-1Г Р/(® + (а - !/)Л)

и=0

где (") = 1 для V = 0, (") = а для v = 1, (") = а(а~1)—(а~гУ+1) дЛЯ v ^ 2.

Для неотрицательных функционалов F(f, ö) и G(f, ö) будем писать F(f, ö) <С G(f, ö), если существует положительная постоянная С, не зависящая от / и S, такая, что F(f,ö) ^ CG(f,ö). Если одновременно F(f, S) < G(f, S) и G(f, S) < F(f, S), то будем писать F(f, S) x G(/, 5).

Известны следующие теоремы о взаимосвязи модулей гладкости в разных метриках. Из результата С.Б. Стечкина и A.A. Конюшкова (см., например, [2]) следует Теорема А. Пусть / € L®, 1 ^ р < q ^ оо, ö € (0,1). Тогда

s

j t-v+Ъшi(/,i)pj. о

1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mkpotapovQmail.ru.

2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград, гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-b2002Qyandex.ru.