О минимизации затрат энергии на управление угловым движением спутника Текст научной статьи по специальности «Математика»

к моделированию патологий и реконструктивных операций по замене межпозвонкового диска.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Иванов Д. В., Долъ А. В., Павлова О. Е., Аристамбекова А. В. Моделирование виллизиевого круга человека в норме и при патологии // Рое, журн, биомеханики, Пермь : Изд-во Перм, политех, ун-та, 2013, Т. 17, JV2 3 (61), С, 49-63,

2, Иванов Д. В., Долъ А. В. Практические задания по применению пакета Ansys Mechanical APDL к задачам биомеханики сердечно-сосудистой системы : учеб.-метод, пособие для студ. естест.-науч. дисциплин. Саратов : Буква, 2015. Сер. Биомеханика.

3, Ломакин М. В., Лепилин А. В., Смирнов Д. А., Иванов Д. В., Долъ А. В. Биомеханическое изучение напряженно-деформированного состояния в области коротких дентальных имплантатов в системе костная ткань-имплантат-абатмент // Российская стоматология. М, : Изд-во Медиа-Сфера, 2013, Т. 6, JV2 1, С, 21-24,

4, Dreischarf М., Zander Т., Shirazi-Adl A., Puttlitz С. М., Adam С. J., Chen С. S., Goel V. К., Kiapour A., Kim Y. Н., Labus К. Л/.. Little J. P., Park W. Л/.. Wang Y. H., Wilke H. J., Rohlmann A., Schmidt H. Comparison of eight published static finite element models of the intact lumbar spine: predictive power of models improves when combined together // J, Biomech, 2014, Vol, 47, iss, 8, P. 1757-1766.

5, Иванов Д. В., Долъ А. В. Применение томографических изображений для создания трехмерных индивидуальных реалистичных моделей биологических объектов // Кардио-ИТ, (Саратов), 2015, Т. 2, № 4, С, 1-5,

6, Иванов Д-В., Лепилин А. В., Смирнов Д. А., Долъ А. В. Возможности различных CAD-комплекеов при построении математической модели костной ткани // Сарат, науч.-мед, журн, 2015, Т. 9, С, 403-405,

УДК 629.78

Г. А. Исмайылов, И. А. Панкратов

О МИНИМИЗАЦИИ ЗАТРАТ ЭНЕРГИИ НА УПРАВЛЕНИЕ УГЛОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ СПУТНИКА

Пусть угловое движение тела (искусственного спутника Земли) описывается кинематическим уравнением Пуассона:

2А = А о ш,

где А - кватернион, характеризующий положение твердого тела относительно инерциальной системы координат, ш - вектор абсолютной угловой скорости твердого тела относительно этой системы.

Начальное угловое положение тела есть

А(0) = А0.

Требуемое конечное угловое положение имеет вид

Л (T) = Лт.

Требуется найти такое оптимальное управление w(t), чтобы функционал качества

т

I = У («1^1 + «2^2 + аз^з) dt, 0

где а1? а2, аз = const > 0 ы2, _ компоненты вектора ш, принимал минимальное значение при фиксированном T. Функционал I характеризует общие энергетические затраты на управление.

Для решения задачи воспользуемся принципом максимума Понтря-гина. Введём кватернион ф с компонентами 0о,... ,0з, сопряжённый по отношению к фазовому кватерниону. Функция Гамильтона I loin рягина имеет вид

H = —aiui — «2^2 — «з^з — 0.5 • ^o(Ai^i + A2W2 + Аз^з) — -0.5 • ^i(Ao^i + А2^з — Аз^2) — 0.5 • 02(Ао^2 + Аз^1 — А^з) — —0.5 • ^з(Ао^з + А1Ш2 — А2Ы1).

Кватернионное сопряжённое уравнение имеет вид

2ф = ф о ш, H

нпе

= (—0о А1 + ^1Ао + ^2 Аз — ^зА2)/(4«1), < = (—0оА2 — ^1Аз + 02 Ао + ^зА1)/(4«2),

= (—0о Аз + 01А2 — 02А1 + 0зАо)/(4«з).

Отметим, что данная краевая задача рассматривалась ранее в работе [1]. Для решения поставленной краевой задачи была написана программа на языке Java, реализующая алгоритм [2, 3], являющийся комбинацией методов Рунге-Кутты четвертого порядка точности, модифицированного метода Ньютона и градиентного спуска.

Пусть начальное положение твердого тела задано углами Эйлера (а -угол прецессии, в _ угол нутации, y - угол собственного вращения):

а = 10о, в = 8о, Y = 5о.

Этим углам соответствует кватернион

Л§ = 0.9930873627220702, Л? = 0.0732173086418921, А2 = 0.037273661348003334, Л3 = 0.083829528727505.

Конечное положение тела задано углами

а = 0°, Д =0°, Д = 0°,

что соответствует следующему кватерниону

Ат = 1, Лт = 0, Ат = 0, Лт = 0.

Пусть требуется решить задачу при а? = 1000, а2 = 2000, а3 = = 3000

ков [0, Т] представлены в табл. 1.

Таблица 1

Т, С I Т, с I

200 0.6665346560157165 300 0.44435544985946895

210 0.6347947090668907 310 0.4300213419788282

220 0.6059402291411088 320 0.4165831192013803

230 0.5795948495036541 330 0.4039593366750249

240 0.5554449303187555 340 0.39207813322040375

250 0.5332270138435539 350 0.3808758580825576

260 0.512718177373356 360 0.3702959339180532

270 0.4937285213805331 370 0.3602878996580692

280 0.47609527601585777 380 0.35080660573398065

290 0.45967812105185146 390 0.34181153391470087

При увеличении времени Т количество энергии I, которое требуется затратить на управление, уменьшается. Это легко объясняется тем, что при увеличении затрат энергии на управление увеличивается угловая скорость и, следовательно, меньше времени затрачивается на поворот.

Рассмотрим теперь случаи при одинаковом параметре Т = 300 с и разных значениях весовых множителей а1, а2, а3. Начальное положение тела задано теми же углами.

Зафиксируем значения двух весовых множителей и будем варьировать значение третьего множителя. Пусть а? = 1000, а2 = 2000, а3 пробегает по значениям: 1000, 2000, ..., 10000 (табл. 2).

а3

ционала качества I существует линейная зависимость.

Также были рассмотрены случаи, когда значения двух или трёх весовых множителей изменялись линейно.

Таблица 2

а\ а2 аз I

1000 2000 1000 0.2561562129231243

1000 2000 2000 0.3504523223918996

1000 2000 3000 0.44435544985946895

1000 2000 4000 0.5378731541347116

1000 2000 5000 0.631005289929338

1000 2000 6000 0.7237495719395564

1000 2000 7000 0.8161023547512606

1000 2000 8000 0.9080588213038621

1000 2000 9000 0.9996130262325005

1000 2000 10000 1.0907578924280608

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Антипова, А. С., Бирюков В. Г. Аналитическое и численное исследование кинематической задачи оптимальной переориентации твердого тела // Математика. Механика. : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2011. Вып. 13. С. 132-136.

2, Панкратов И. А., Сапупков Я. Г., Челноков Ю. Н. Об одной задаче оптимальной переориентации орбиты космического аппарата // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2012, Т, 12, вып. 3, С, 87-95,

3, Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. П. Решение задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата с использованием кватернионных уравнений ориентации орбитальной системы координат // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2013, Т. 13, вып. 1, ч, 1, С, 84-92,

УДК 531.383, 532.516

А. В. Калинина, Д. В. Кондратов, Д. Д. Старостин, А.Ю. Блинкова

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ РЕБРИСТОЙ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВИБРАЦИИ

Развитие современного машино- и ракетостроения ставит задачи использования сложных механических систем с учетом минимизации веса