CC BY
18
Также были рассмотрены случаи, когда значения двух или трёх весовых множителей изменялись линейно.
Таблица 2
а\ а2 аз I
1000 2000 1000 0.2561562129231243
1000 2000 2000 0.3504523223918996
1000 2000 3000 0.44435544985946895
1000 2000 4000 0.5378731541347116
1000 2000 5000 0.631005289929338
1000 2000 6000 0.7237495719395564
1000 2000 7000 0.8161023547512606
1000 2000 8000 0.9080588213038621
1000 2000 9000 0.9996130262325005
1000 2000 10000 1.0907578924280608
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Антипова, А. С., Бирюков В. Г. Аналитическое и численное исследование кинематической задачи оптимальной переориентации твердого тела // Математика, Механика, : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2011, Вып. 13, С, 132-136,
2, Панкратов И. А., Сапупков Я. Г., Челноков Ю. Н. Об одной задаче оптимальной переориентации орбиты космического аппарата // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2012, Т, 12, вып. 3, С, 87-95,
3, Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. П. Решение задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата с использованием кватернионных уравнений ориентации орбитальной системы координат // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2013, Т. 13, вып. 1, ч, 1, С, 84-92,
УДК 531.383, 532.516
А. В. Калинина, Д. В. Кондратов, Д. Д. Старостин, А.Ю. Блинкова
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ РЕБРИСТОЙ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВИБРАЦИИ
Развитие современного машино- и ракетостроения ставит задачи использования сложных механических систем с учетом минимизации веса
несущих конструкций и одновременно улучшения эксплуатационных характеристик системы в целом. Одними из основных конструкций таких систем являются механические системы, состоящие из двух цилиндрических оболочек, вложенных друг в друга, между которыми расположена жидкость [1]. Примерами использования такой модели можно считать трубы кольцевого профиля системы охлаждения и подогрева топлива жидкостных ракетных двигателей, системы смазки силовых гидроцилиндров, где жидкость проходит по трубе кольцевого профиля, а во внутренней трубе либо находится газ постоянного давления, либо внутренняя труба полая. Ранее рассматривалась задача гидроупругих колебаний ребристой трубы кольцевого профиля при воздействии гармонического давления на концах трубы [2|.
Рассматривается кольцевая труба (рисунок) с упругой внешней оболочкой и абсолютно жестким внутренним цилиндром, содержащей слой вязкой несжимаемой жидкости между ними, при воздействии вибрации.
Конструкция механической системы сделана таким образом, что упругие перемещения внешней ребристой оболочки намного меньше ширины цилиндрической щели. Кроме того, ширина цилиндрической щели кольцевого сечения, образованная двумя оболочками намного меньше, чем внешний радиус у внутреннего цилиндра и внутренний радиус у внешней оболочки. Радиус срединной поверхности внутреннего абсолютно жесткого цилиндра значительно больше толщины внешней оболочки. Система считается термостабилизированной. В системе присутствует внешний источник вибрации.
Внешняя поверхность внешней оболочки трубы представляет собой геометрически нерегулярную оболочку, имеющую ребра жесткости. Высота внешней оболочки трубы изменяется ступенчато. Ребра являются внешними шпангоутами. Крепление геометрически нерегулярной оболочки на торцах имеет свободное опирание.
Математическая модель рассматриваемой механической системы можно записать в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных, состоящей из трехмерных уравнений Нивье Отокси и уравнения неразрывности, уравнений динамики внешней упругой ребристой цилиндрической оболочки и соответствующих граничных условий [3]. При этом уравнения динамики внешней ребристой оболочки получены исходя из гипотез Кирхгофа-Лява с применением интегрального принципа Гамильтона. Ступенчатый характер изменения высоты ребра описывается с помощью разностей функций Хевисайда по продольной координате [4].
Полученная связанная задача гидроупругости решается в безразмерных переменных методом возмущений [5] в предположении гармонического закона вибрации системы. Решение уравнений динамики жидкости ищется в виде одночленных разложений по малому параметру, характеризующему относительную толщину поддерживающего слоя жидкости, и по малому параметру, называемому характеризующему относительный прогиб внешней упругой ребристой цилиндрической оболочки.
Применение метода возмущений, а именно представление всех неизвестных величин таких как компоненты вектора скорости движения вязкой несжимаемой жидкости, давление в слое жидкости, упругие перемещения ребристой оболочки в виде рядов по малым параметрам позволяет значительно упростить изначальную постановку задачи, а именно линеаризовать уравнения Нивье Отокси и уравнение неразрывности.
Решение линеаризованных уравнений динамики жидкости производится в предположении неизвестности упругих перемещений внешней ребристой оболочки. В результате получим выражения для компонент вектора скорости жидкости и давления в слое жидкости в виде интегралов от упругих перемещений внешней ребристой оболочки.
Полученные выражения для компонент вектора скорости жидкости и давления в слое жидкости подставляются в уравнения динамики внешней ребристой оболочки. Полученные интегродифференциальные уравнения решаются методом Вубнови Ги.перки ни в первом приближении, при этом упругие перемещения внешней упругой ребристой оболочки представляются в виде тригонометрических рядов по продольной координате и гармонических функций по окружной координате. В результате решения уравнений динамики внешней ребристой оболочки нашли упругие перемещения оболочек, из которых были найдены амплитудные и фазовые частотные характеристики прогиба оболочки.
Исследование амплитудной частотной характеристики внешней упругой ребристой цилиндрической оболочки позволяет определить резонанс-
ные частоты - частоты на которых происходит наибольший прогиб оболочки. Именно на этих частотах наблюдается падение давления в слое жидкости ниже 0,2 атмосфер, что позволяет говорить о возможности возникновения кавитационного эффекта. В зависимости от наблюдаемых падений давления при работе механизма или агрегата, в состав которого входит рассматриваемая механическая система, можно произвести изменение параметров механической системы так, чтобы резонансные частоты вышли из зоны рабочих частот либо предотвратить падение давления ниже 0,2 атмосфер. Этого можно добиться изменением параметров жидкости, количеством и расположением ребер жесткости, параметров оболочки. Кроме того, исследование модели показало, что при увеличении количества слагаемых в тригонометрическом ряде упругих перемещений никак не сказывается на первой резонансной частоте, а добавляет только последующие резонансы, которые меньше, чем величина первого резонанса. Можно считать, что именно первое слагаемое ряда упругих перемещений определяет максимальную величину (главный тон) прогиба оболочки, а остальные (полутона) лишь добавляют незначительные колебания на более высоких частотах.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект № МД-6012.2016.8.)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Башта Т. М. Машиностроительная гидравлика. М, : Машгиз, 1963. 696 с.
2. Плаксина И. В., Кондратов Д. В., Кузнецова Е. Л. Гидроупругость геометрически нерегулярной оболочки, содержащей слой вязкой жидкости и упругий цилиндр, в условиях гармонического давления // Научные труды SWorld. 2013. Т. 6, № 4. С. 17-20.
3. Кондратов Д. В., Калинина А. В. Исследование процессов гидроупругости ребристой трубы кольцевого профиля при воздействии вибрации // Труды МАИ. 2014. № 78. С. 4.
4. Кондратов Д. В., Кондратова Ю. Н., Попов В. С., Плаксина И. В. Задачи гидроупругости для трубы кольцевого сечения с упругой, геометрически нерегулярной внешней оболочкой при воздействии давления // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, JV2 3. С. 70-76.
5. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М. : Мир, 1967. 310 с.
