CC BY
32
12 3
Северцев Н.А., Бецков А.В., Лончаков Ю.В.
1. ВЦ РАН им. А.А. Дородницына
2. Академии управления МВД России
3. ЦПК РОСКОСМОС «Звёздный городок»
О МИНИМИЗАЦИИ РИСКОВ ЭКСПЕРТНЫХ ЗАКЛЮЧЕНИЙ
Для минимизации рисков при оценках проектов предлагается использовать метод дискретной оптимизации.
При экспертной оценке эффективности, при сертификации изделий авиационной техники, выборе проектов на этапе ее создания и во многих других случаях, включая обработку информации о наличии террористической угрозы, возникает задача принятия положительного решения с минимальным риском. Этот риск обусловлен ошибками первого и второго рода, всегда возникающими в таких ситуациях.
Введем обозначения случайных событий и вероятностей их возникновения, с которыми будем иметь дело дальше. Наши усилия сосредоточим на оценке сложного авиационного объекта по результатам его испытаний или эксплуатации.
Обозначим через Д событие, состоящее в том, что рассматриваемый объект априори отвечает всем предъявленным к нему требованиям. Тогда Д будет обозначать противоположное событие. Пусть далее символ Г обозначает, что по результатам экспертизы объект оценивается как годный, тогда Г будет обозначать противоположное событие.
Следовательно, по результатам экспертизы объекта имеются такие события: ДГ, ДГ , Д Г, Д Г расшифровка которых очевидна.
Все обозначенные выше события являются случайными, обозначим вероятности их возникновения, соответственно, через
Р(Д), Р( Д), р(дг), Р(Д Г), Р( Д Г), Р( Д Г).
По теореме умножения вероятностей имеем
Р(ДГ) = Р(Д) Р(Г/Д); Р( Д Г) = Р( Д ) Р(Г/ Д );
Р(Д Г ) = Р(Д) Р( Г /Д); Р( ДГ ) = Р( Д )Р( Д / Г );
где: Р(ДГ) - условная вероятность признания по результатам экспертизы объекта годным при
условии, что он действительно годный (в дальнейшем слова «по результатам экспертизы» для краткости будем опускать);
Р( Д Г) - условная вероятность признания негодного объекта годным;
Р(Д Г ) - условная вероятность признания годного объекта негодным;
Р(ДГ )- условная вероятность признания негодного объекта негодным.
Очевидно, Р(Д) - вероятность того, что в априори объект годен; Р( Д) - вероятность того, что априори объект негоден.
Разумеется, эти цифры должны уточняться. Так как перечисленные события составляют полные группы событий (например, Р(Д) + Р(Д) = 1), то из шести введенных вероятностей достаточно
будет оперировать только тремя:
Р(Г/Д) , Р(Г/ Д ) и Р(Д).
В качестве критерия оптимизации выберем решающую функцию P(k, n) , которую определим следующим образом:
P(k, n) есть вероятность положительного заключения (о годности объекта), если не менее чем k экспертов из n (1 < k < n) признали объект годным, когда он на самом деле годный.
Под мнением «эксперта» здесь можно понимать и мнение группы экспертов. Важно, чтобы эти мнения были независимыми, а высокая квалификация экспертов была бы примерно одинаковой.
Задача экспертов заключается в том, чтобы при фиксированном n выбрать число k = копт, чтобы обеспечить максимальное значение вероятности P(k, n) .
Введем сначала оценки рисков при использовании решающей функции P(k, n).
Рассмотрим коллективные ошибки первого и второго рода. Пусть P(I) есть вероятность того, что при наличии не менее k положительных заключений экспертов принимается все же негодный объект (ошибка первого рода), а P(II) есть вероятность того, что при не более k — 1 положительного заключения экспертов отвергается годный объект (ошибка второго рода).
Положительные заключения экспертов мы можем трактовать как успехи в n испытаниях Бернулли. Тогда для вероятности ровно k положительных испытаний из n имеем выражение
P(k) = Cnk pk (1 - p)n-k, (k = 0, n), (1)
где р - вероятность отдельного успеха, n - число испытаний,
_ k n!
Cn = ------- - число сочетаний из n по х.
к !(n — к)!
Число успехов в n испытаниях величина случайная, обозначим ее через тогда к
Pii < k} = УP(i) ; (2)
i = 0 n
P{£, > k} = УP(i) . (3)
i=k
Используя (1)-(3), для вероятностей P(I) и P(II), соответственно, имеем
n
P(I) = Р( Д ) УC‘nP‘ (Г/ Д ) [1 - P(Г/Д )] n-i; (4)
i=к к—1
P (II) = P (Д) У C‘„P‘ (Г/Д) [1 - P (Г/Д) ] n-i. (5)
i = 0
Очевидно,
P(k, n) = 1 - [P (I) + P(II)]. (6)
1
Поэтому максимизация P(k, n) означает минимизацию суммарных ошибок первого и второго рода, то есть риска принятия неверного решения при оценке объекта.
С учетом (4) и (5) имеем из (6)
n
P(k, n) = Р(Д) £CnP (Г/Д) [1 - Р(Г/Д)]п-i +
i=k
k-1 _ _
+ [1 - P (Д) ] £ C‘nP‘ (Г/ Д ) [1 - Р(Г/ Д )] n-i. (7)
i = 0
В (7) в соответствии с определением функции P(k, п) по сравнению с (4) и (5) мы поменяли порядок суммирования.
Так как оптимизацию функции P(k, п) необходимо осуществлять по дискретному аргументу k, то составим рекуррентное соотношение, определив из (7) P(k + 1, п) :
n
P(k + 1, п) = Pm) £ сПр1 (г/д) [1 - Pm^)]n-i +
i=k+1 k
+ [1 - P(m)] £с‘„р‘ (г/д) [1 - P(r/д)] n-i. (8)
i = 0
Вычитая из (8) выражение (7), получим после простых преобразований P(k + 1, п) - P(k, п) =с nk { P( Д )P (г/ Д) [1 - P(r/ Д)] n-k -- P(m) Pk (г/д) [1 - P(r/m)]n-k }. (9)
Приравнивая полученное разностное уравнение (9) к нулю, получаем уравнение для определения
с nk{P( Д )Р(Г/ Д) [1 - P(r/ Д)] n-k- P(m) Pk (Г/Д) [1 - P(r/m)]n-k } = 0. (10)
Для часто встречающегося на практике случая имеем, решая (10),
In, если [я'] > n,
[n'] + 1, если 1 <[я'] <п,
1, если [я'] < 1,
где:
n,= log{P(Д)[1 -Р(Г / Д)г} -log{[1 -P(Д)][1 -Р(Г/ ДГ} (11)
log{P(r / Д)[1 -Р(Г / Д)} -log{[P(Г/ Д)][1 -Р(Г/ Д)] } '
а [п' ] - наибольшее целое, не превышающее п'.
Приведенный алгоритм получения оптимального решения легко формализуется в программе любого вычислителя.
ЛИТЕРАТУРА
1. Барзилович Е.Ю. Модели технического обслуживания сложных систем. М.: Высшая школа, 1982.
2. Бецков А.В., Северцев Н.А. Системный анализ теории безопасности. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2009. 452 С.
3. Бецков А.В., Северцев Н.А. Введение в безопасность // Научное издание. М.: Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Российской Академии Наук, 2008. 176 С.
2
