О минимальных рёберных расширениях Пальм специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

стых подмножеств множества источников в орграфе, представляющем состояние в;, которые смежны со всеми стоками. Тогда количество непосредственных предшественников данного состояния в1 равно количеству таких подмножеств; если же для данной ориентации графа таких подмножеств не существует, то такое состояние является начальным.

Определение 1. Множество источников ориентированного графа назовем допустимым, если из него в каждый сток этого графа есть дуга.

Теорема 1. Ветвление данного состояния в динамической системы (Гс, а) равно:

1) количеству допустимых множеств источников в орграфе GG, представляющем состояние в, если в GG есть стоки;

2) количеству различных подмножеств множества источников, включая пустое, в орграфе GG, представляющем состояние в, если в GG нет стоков.

Следствие 1. Состояние в динамической системы (Гс, а) недостижимо тогда и только тогда, когда в орграфе GG, представляющем состояние в, есть по крайней мере один сток и при этом нет ни одного допустимого множества источников, или, другими словами, когда существует хотя бы один сток в GG, не смежный с источниками.

Следствие 2. Для неначального состояния в динамической системы (Гс, а) все его непосредственные предшественники определяются:

1) всеми различными допустимыми множествами источников в орграфе GG, представляющем состояние в, если в GG есть стоки;

2) всеми подмножествами множества источников, включая пустое, в орграфе GG, представляющем состояние в, если в GG нет стоков.

Это определение происходит следующим образом: все дуги, исходящие из всех источников соответствующего множества, переориентируются, а все остальные дуги остаются без изменения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Власова А. В. Исследование эволюционных параметров в динамических системах двоичных векторов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

№2009614409, выданное Роспатентом. Заявка №2009613140. Дата поступления 22 июня

2009 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 20 августа 2009 г.

2. Barbosa V. C. An atlas of edge-reversal dynamics. London: Chapman&Hall/CRC, 2001.

3. Власова А. В. Об одной динамической системе / Саратов. гос. ун-т. Саратов, 2007. 17с.

Библиогр.: 2 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ 17.12.07, №1181-В2007.

УДК 519.17

О МИНИМАЛЬНЫХ РЁБЕРНЫХ РАСШИРЕНИЯХ ПАЛЬМ

СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Д. Д. Комаров

Описаны минимальные рёберные 1-расширения графов специального класса — двулистных пальм.

Ключевые слова: расширения графов, деревья, пальмы.

Ф. Харари и Дж. Хейз в работе [1] рассматривают граф как модель некоторой технической системы. Вершины графа — её элементы, а ребра — связи между ними. Отказ связи системы рассматривается как удаление соответствующего этой связи ребра. При такой интерпретации минимальное рёберное к-расширение графа, моделирующего некоторую систему Е, является моделью оптимальной рёберной к-отказоустойчивой реализации системы Е.

Задача нахождения минимального рёберного расширения произвольного графа является КР-полной [2], поэтому представляет интерес нахождение классов графов, для которых можно построить минимальное рёберное расширение аналитически.

Определение 1. Назовём граф О* рёберным к-расширением графа О, если О вкладывается в каждый граф, получающийся из О* удалением любых его к ребер.

Определение 2. Граф О* = (V*,а*) называется минимальным рёберным к-рас-ширением графа О = (V, а), если выполняются следующие условия:

1) О* является рёберным к-расширением О;

2) IV*| = IV|;

3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.

Определение 3. Сверхстройным деревом называется корневое дерево, где степень всех вершин, кроме корня, не превосходит 2, а степень корня более 2.

Альтернативное определение:

Граф О называется сверхстройным деревом, если он является объединением в > 2 цепей Рі, ..., Р, с общей концевой вершиной.

Определение 4. Назовем сверхстройное дерево р-листной пальмой высоты г, если оно образовано объединением в > 2 цепей Рі,... , Р, с общей концевой вершиной, причём длина цепи Рі равна г, а длины остальных цепей равны 1.

Определение 5. Назовем рогатым циклом длины п с к рогами граф, полученный из п-звенного цикла и к трёхзвенных циклов таким образом, что каждый из трёхзвенных циклов имеет ровно одно общее ребро с п-звенным циклом и ни один из трёхзвенных циклов не имеет общих рёбер с другими трёхзвенными циклами. При этом назовём п-звенный цикл телом рогатого цикла, а трёхзвенные циклы — его рогами.

Определение 6. Назовём разреженностью рогатого цикла длину максимального пути между вершинами, принадлежащими разным рогам, проходящего по рёбрам, не принадлежащим ни одному из рогов.

На рис. 1 показаны рогатый цикл длины 6 с тремя рогами и разреженностью 2 (а) и рогатый цикл длины 8 с двумя рогами и разреженностью 3 (б).

Рис. 1. Примеры рогатых циклов

Теорема 1. Пусть граф О — двулистная пальма высоты п, п > 3. Тогда рогатый

п — 4

+ 2, длиной п1 = п — р + 3 и разреженностью

цикл G1 с количеством рогов p =

б

меньше 5 является минимальным рёберным 1-расширением графа G.

ЛИТЕРАТУРА

1. Harary F. and Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. V. 23. P. 135-142.

2. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. Т. 88. №5. С. 643-650.

УДК 519.174

ДЕРЕВЬЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ГРАФОВ ДЛЯ ЦИРКУЛЯНТОВ С ЛИНЕЙНЫМИ БУЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ В ВЕРШИНАХ

А. С. Корниенко

Получено описание функционального графа дискретной динамической системы, являющейся моделью регуляторного контура генной сети.

Ключевые слова: дискретная динамическая система, циркулянт, генная сеть, регуляторный контур, функциональный граф.

Пусть даны п ^ 3, {^, ^2,... , ^} С {0,1,... , п — 1} и ориентированный граф Сща1,а2...,,ак с множествами вершин {0,1,... , п — 1} и дуг {— г) = йг (mod п), г = = 1, 2,... , к}. Матрица смежности таких графов называется циркулянтом. Эти графы также принято называть циркулянтами [1].

Рассмотрим следующую дискретную динамическую систему. В каждый момент времени вершины циркулянта Сп;^ьй2,...,^ помечены элементами у0, ^1,... , Уп-1 из конечного поля Е порядка д. Набор г = (у0, ..., уп-1) € Е™ назовём состоянием

системы. В следующий момент времени (такт работы системы) состояние системы меняется, и динамика его изменения определяется отображением

А : Еп —>• Еп л/,? : Е ^ Е ,

где / = (/о, /1,..., /п-1) и новая метка каждой вершины г является значением функции /г : Е^ ^ Е, аргументы которой принимают значения старых меток в тех вершинах, дуги из которых входят в вершину г.

Функциональным графом С/,д называется ориентированный граф, вершинами которого являются элементы Е™, причём дуга из вершины г идёт в вершину г тогда и только тогда, когда Л/л(г) = г.

В работе рассматривается структура функционального графа в случае, когда д = 2, все функции /г равны между собой и линейны и отображение Л/,2 действует следующим образом:

Л/,2 (у0, ^1, . . . , Уп—1) (и0, и1, . . . , ип— 1) ,

иг = V— + V; + 1>г+1, г = 0,1,... , п — 1, где V— = Уп-1,Уп = ^0.

С использованием методов, изложенных в [2], доказаны следующие свойства функционального графа С/,2:

— если п не кратно 3, то отображение Л/,2 обратимо и функциональный граф С/,2

является дизъюнктивным объединением простых контуров;